Chương 2. JACOBIAN XẤP XỈ 17 2.1. Định nghĩa và tính chất
2.2. Các phép tính của Jacobian xấp xỉ
Ta thấy rằng một hàm f với biểu thức phức tạp có thể được biểu diễn bởi một số hàm thành phần đơn giảnfi (i ∈ I) qua các phép toán thông thường đã biết. Khi đó Jacobian xấp xỉ của hàm f có thể tính được thông qua các hàm fi. Ở đây chúng ta sẽ trình bày một số phép tính cơ bản đối với Jacobian xấp xỉ dưới những điều kiện thích hợp.
1. Phép nhân vô hướng
Định lí 2.2.1. Cho ∂∗f(x) và ∂∗f(x) tương ứng là các Jacobian xấp xỉ trên và Jacobian xấp xỉ dưới của f tại x. Khi đó:
i) Nếu λ > 0 thì λ ∂∗f(x) và λ ∂∗f(x) tương ứng là các Jacobian xấp xỉ trên và Jacobian xấp xỉ dưới của f tại x.
ii) Nếu λ < 0 thì λ ∂∗f(x) và λ ∂∗f(x) tương ứng là các Jacobian xấp xỉ dưới và Jacobian xấp xỉ trên của f tại x.
Chứng minh:
* Ta xét trường hợp λ > 0:
Khi đó ∀v ∈ Rn có (λf)+d(x, v) = λfd+(x, v) và (λf)−d(x, v) = λfd−(x, v).
Do ∂∗f(x) và ∂∗f(x) tương ứng là các Jacobian xấp xỉ trên và Jacobian xấp xỉ dưới của f tại x nên ta có:
fd−(x, v) ≤ sup
x∗∈∂∗f(x)hx∗, vi và fd+(x, v) ≥ inf
x∗∈∂∗f(x)hx∗, vi ∀v ∈ Rn. Vì λ > 0 nên ∀v ∈ Rn:
λfd−(x, v) ≤ λ. sup
x∗∈∂∗f(x)hx∗, vi = sup
x∗∈λ∂∗f(x)hx∗, vi và λfd+(x, v) ≥λ. inf
x∗∈∂∗f(x)hx∗, vi = inf
x∗∈λ∂∗f(x)hx∗, vi. Do đó
(λf)−d(x, v) ≤ sup
x∗∈λ∂∗f(x)hx∗, vi và (λf)+d(x, v) ≥ inf
x∗∈λ∂∗f(x)hx∗, vi. Theo định nghĩa 2.1.2 ta suy ra λ ∂∗f(x) và λ ∂∗f(x) tưng ứng là Jacobian xấp xỉ trên và Jacobian xấp xỉ dưới của λf tại x.
* Trường hợp λ < 0 ta có:
∀v ∈ Rn : (λf)+d(x, v) = λfd−(x, v) và (λf)−d(x, v) = λfd+(x, v).
Tiếp theo sử dụng cách chứng minh của trường hợp trên ta nhận được kết quả λ ∂∗f(x) và λ ∂∗f(x) tưng ứng là Jacobian xấp xỉ dưới và Jacobian xấp xỉ trên của λf tại x. Định lí được chứng minh.
Kết quả trong định lí sau đây được suy ra trực tiếp từ định nghĩa 2.1.3 và định lí trên.
Định lí 2.2.2. Nếu∂xf(x) là một Jacobian xấp xỉ của f tại x thì với λ 6= 0 ta có λ ∂xf(x) là một Jacobian xấp xỉ trên của λf tại x.
Nhận xét 2.2.1. Định lí 2.2.1 cũng thỏa mãn đối với Jacobian xấp xỉ chính quy trên và dưới vì vậy định lí 2.2.2 thỏa mãn với Jacobian xấp xỉ chính quy.
2. Phép cộng
Định lí 2.2.3. Giả sử các hàm f, g : Rn → R tương ứng có Jacobian xấp
xỉ trên ∂∗f(x) và ∂∗g(x) tại x và một trong hai Jacobian xấp xỉ trên đó là Jacobian xấp xỉ chính quy trên tại x. Khi đó ∂∗f(x) + ∂∗g(x) là một Jacobian xấp xỉ trên của f +g tại x .
Chứng minh: Giả sử ∂∗f(x) là một Jacobian xấp xỉ trên của f tại x còn
∂∗g(x) là một Jacobian xấp xỉ chính quy trên của g tại x.
Ta có ∂∗f(x) + ∂∗g(x) là tập đóng trong Rn. Mặt khác ∀v ∈ Rn có:
(f +g)−d(x, v) ≤ fd−(x, v) +g+d(x, v) ≤ sup
x∗∈∂∗f(x)hx∗, vi+ sup
y∗∈∂∗g(x)hy∗, vi. Từ đây suy ra: (f +g)−d(x, v) ≤ sup
z∈∂∗f(x)+∂∗g(x)hz∗, vi ∀v ∈ Rn
≤ sup
z∈∂∗f(x)+∂∗g(x)
hz∗, vi ∀v ∈ Rn.
Vậy ∂∗f(x) + ∂∗g(x) là một là một Jacobian xấp xỉ trên của f + g tại x.
Định lí được chứng minh.
Nhận xét 2.2.2. Với cách chứng minh hoàn toàn tương tự ta thấy định lí 2.2.3 cũng thỏa mãn với Jacobian xấp xỉ dưới, nghĩa là:
Nếu các hàmf, g : Rn →Rtương ứng có Jacobian xấp xỉ dưới∂∗f(x) và ∂∗g(x) tại x và một trong hai Jacobian xấp xỉ dưới đó là Jacobian xấp xỉ chính quy dưới tại x. Khi đó ∂∗f(x) + ∂∗g(x) là một Jacobian xấp xỉ dưới của f +g tại x.
Từ đây ta có ngay:
Định lí 2.2.4. Giả sử các hàm f, g : Rn → R tương ứng có Jacobian xấp xỉ ∂xf(x) và ∂xg(x) tại x và một trong hai Jacobian xấp xỉ đó là Jacobian xấp xỉ chính quy tại x. Khi đó ∂xf(x) + ∂xg(x) là một Jacobian xấp xỉ của f +g tại x.
Trong các định lí dưới đây chúng ta sẽ nhận được kết quả mạnh hơn các định lí trên dưới điều kiện khả vi.
Định lí 2.2.5. Nếu hàm f : Rn → R có một Jacobian xấp xỉ chính quy trên ∂∗f(x) tại x và nếu hàm g : Rn → R khả vi Gateaux tại x với đạo hàm g′(x) thì tập ∂∗f(x) +{g′(x)} là một Jacobian xấp xỉ chính quy trên của f +g tại x.
Chứng minh: Ta có ∂∗f(x) + {g′(x)} là tập đóng trong Rn. Mặt khác,
do ∂∗f(x) là một Jacobian xấp xỉ chính quy trên của f tại x và g khả vi Gateaux tại x nên với mỗi v ∈ Rn ta có:
(f +g)+d(x, v) = fd+(x, v) +hg′(x), vi = sup
x∗∈∂∗f(x)hx∗, vi+ hg′(x), vi
= sup
x∗∈∂∗f(x)hx∗ +g′(x), vi = sup
z∗∈∂∗f(x)+{g′(x)}hz∗, vi.
Vậy ∂∗f(x) +{g′(x)} là một Jacobian xấp xỉ chính quy trên của f +g tại x.
Nhận xét 2.2.3. Với cách chứng minh hoàn toàn tương tự ta thấy định lí 2.2.5 cũng thỏa mãn Jacobian xấp xỉ dưới, tức là: Nếu hàm f : Rn →R có một Jacobian xấp xỉ chính quy dưới ∂∗f(x) tại x và nếu hàm g : Rn →R khả vi Gateaux tại x với đạo hàm g′(x) thì tập ∂∗f(x) + {g′(x)} là một Jacobian xấp xỉ chính quy dưới của f + g tại x. Vì vậy ta có ngay:
Định lí 2.2.6. Nếu hàm f : Rn → R có một Jacobian xấp xỉ chính quy
∂xf(x) tại x và nếu hàm g : Rn → R khả vi Gateaux tại x với đạo hàm g′(x) thì tập ∂xf(x) +{g′(x)} là một Jacobian xấp xỉ chính quy của f +g tại x.
3. Phép lấy maximum
Cho I = {1,2}, x0 ∈ Rn và với mỗi i ∈ I cho hàm fi : Rn → R liên tục. Ta xác định hàm h : Rn → R như sau:
h(x) = max{f1(x), f2(x)}. Đặt I (x0) = {i ∈ I : h(x0) = fi(x0)}. Khi đó ta có định lí sau:
Định lí 2.2.7. Với mỗi i ∈ I, nếu fi có một Jacobian xấp xỉ trên ∂∗fi(x0) tại x0 thì:
∂∗h(x0) := S
i∈I(x0)
∂∗fi(x0) là một Jacobian xấp xỉ trên của h tại x0.
Chứng minh: Giả sử f1(x0) > f2(x0) thì I(x0) = {1}, h(x0) = f1(x0) và
∂∗h(x0) = ∂∗f1(x0). Khi đó h(x) =f1(x) với mỗi x trong một lân cận nào đó của x0. Do đó ∀v ∈ Rn:
h−d (x0, v) = f1−
d (x0, v) ≤ sup
x∗∈∂∗f1(x0)hx∗, vi = sup
x∗∈∂∗h(x0)hx∗, vi.
Vì vậy ∂∗h(x0) là một Jacobian xấp xỉ trên của h tại x0.
Tương tự nếu f2(x0) > f1(x0) thì ∂∗h(x0) = ∂∗f2(x0) cũng là Jacobian xấp xỉ trên của h tại x0. Bây giờ ta giả sử rằng f1(x0) = f2(x0).
Khi đó I(x0) =I và ∂∗h(x0) = ∂∗f1(x0)∪∂∗f2(x0) là một tập đóng trong Rn.
Với mỗi v ∈ Rn ta có:
h−d (x0, v) = lim inf
t↓0
h(x0 +tv)−h(x0) t
= lim inf
t↓0
max{f1(x0+ tv), f2(x0 +tv)} −h(x0) t
= lim inf
t↓0 max{f1(x0 +tv) −h(x0)
t ,f2(x0 +tv)−h(x0)
t }
= lim inf
t↓0 max{f1(x0 +tv)−f(x0)
t ,f2(x0 +tv)−f2(x0)
t }
=max{lim inf
t↓0
f1(x0+ tv)−f(x0)
t ,lim inf
t↓0
f2(x0 +tv)−f2(x0)
t }
=max
f1−d (x0, v), f2−d (x0, v) ≤ sup
x∗∈∂∗f1(x)∪∂∗f2(x)hx∗, vi.
Vậy ∂∗h(x0) = ∂∗f1(x0)∪∂∗f2(x0) là một Jacobian xấp xỉ trên của h tại x0. Định lí được chứng minh.
Nhận xét 2.2.4. Với cách lập luận như trên ta cũng thu được kết quả tương tự đối với Jacobian xấp xỉ dưới tức là: Với mỗi i ∈ I, nếu fi có một Jacobian xấp xỉ dưới ∂∗fi(x0) tại x0 thì ∂∗h(x0) := ∪
i∈I(x0)∂∗fi(x0) là một Jacobian xấp xỉ dưới của h tại x0.
Từ đây ta suy ra:
Định lí 2.2.8. Với mỗi i ∈ I, nếu fi có một Jacobian xấp xỉ ∂xfi(x0) tại x0 thì ∂xh(x0) := S
i∈I(x0)
∂xfi(x0) là một Jacobian xấp xỉ của h tại x0. Nhận xét 2.2.5. Định lí 2.2.6 và 2.2.7 cũng đúng cho trường hợp I = {1,2, ..., m}.
Một định lí hữu ích, có nhiều ứng dụng trong giải tích là định lí về giá trị trung bình. Những mở rộng khác nhau từ định lí này đã được nhiều tác
giả đưa ra bằng những cách tiếp cận khác nhau. Trong định lí dưới đây ta sử dụng Jacobian xấp xỉ trên và dưới, không nhất thiết là tập compact.
Khi đó ta sẽ được kết quả sâu sắc hơn, ngay cả trong trường hợp hàm Lipschitz địa phương.
4. Định lí giá trị trung bình
Định lí 2.2.9. Cho a, b ∈ Rn và f : Rn →R là một hàm mà f
[a,b] là hữu hạn và liên tục. Giả sử rằng, với mỗi x ∈ (a, b), ∂∗f(x) và ∂∗f(x) tương ứng là Jacobian xấp xỉ trên và Jacobian xấp xỉ dưới của f tại x. Khi đó, tồn tại c ∈ (a, b) và một dãy {x∗k} ⊂ co(∂∗f(c))∪co(∂∗f(c)) sao cho:
f(b)−f(a) = lim
k→∞hx∗k, b−ai. Chứng minh: Xét hàm g : [0,1] →R xác định bởi
g(t) :=f(a+t(b−a)) −f(a) +t(f(a)−f(b)).
Khi đó hàm g liên tục trên [0,1] và g(0) = g(1) = 0.
Vì vậy tồn tại γ ∈ (0,1) sao cho g đạt cực trị tại γ.
Ta đặt c := γb+ (1− γ)a thì c ∈ (a, b).
Giả sử g đạt cực tiểu tại γ. Khi đó, ∀v ∈ R : gd−(γ, v) ≥ 0.
Ta có
gd−(γ, v) = lim inf
d↓0
g(γ +dv)−g(γ)
d .
Mà g(γ +dv)−g(γ) = f(a+ (γ+ dv)(b−a))−f(a) +
+ (γ +dv)(f(a)−f(b)) −f(a+γ(b−a)) +f(a)− γ(f(a)−f(b))
= f(a+ γ(b−a) +dv(b−a)) +dv(f(a)−f(b))−f(a+γ(b−a))
= f(c+ dv(b−a)) +dv(f(a)−f(b))−f(c).
Nên g−d(γ, v) = lim inf
d↓0
f(c+dv(b−a))−f(c)
d + v(f(a)−f(b))
= fd−(c, v(b−a)) +v(f(a)−f(b)).
Do đó fd−(c, v(b−a)) +v(f(a)−f(b)) ≥ 0 ∀v ∈ R.
Hay fd−(c, v(b−a)) ≥v(f(b)−f(a)) ∀v ∈ R.
Lấy v = 1 và v = −1 tương ứng ta được:
fd−(c, b−a) ≥ f(b)−f(a) và fd−(c, b−a) ≥ f(a)−f(b).
Suy ra: −fd−(c, b−a) ≤ f(a)−f(b) ≤ fd−(c, b−a).
Do ∂∗f(c) là Jacobian xấp xỉ trên của f tại c nên
z∗∈inf∂∗f(c)hz∗, b−ai ≤ f(b)−f(a) ≤ sup
z∗∈∂∗f(c)hz∗, b−ai. Vì vậy tồn tại một dãy {x∗k} ⊂ co(∂∗f(c)) sao cho:
f(b)−f(a) = lim
k→∞hx∗k, b−ai .
Trường hợp f đạt cực đại tại γ, sử dụng cách chứng minh giống như trên ta cũng nhận được kết quả: tồn tại dãy {x∗k} ⊂ co(∂∗f(c)) sao cho:
f(b)−f(a) = lim
k→∞hx∗k, b−ai .
Như vậy luôn tồn tại một dãy {x∗k} ⊂ co(∂∗f(c))∪co(∂∗f(c)) sao cho:
f(b)−f(a) = lim
k→∞hx∗k, b−ai . Định lí được chứng minh.
Nhận xét 2.2.6.
i) Từ định lí suy ra tồn tại c ∈ (a, b) sao cho:
f (b)−f (a) ∈ co(h∂∗f (c)∪∂∗f (c), b−ai). ii) Nếu ∂∗f(c) và ∂∗f(c) là tập compact thì ta có:
f(b)−f(a) = hξ, b−ai với ξ nào đó thuộc co(∂∗f (c))∪co(∂∗f (c)).
Ta thấy ngay
Hệ quả 2.2.1. Cho a, b ∈ R và f : Rn → R là một hàm mà f
[a,b] là hữu hạn và liên tục. Giả sử rằng, với mỗi x ∈ (a, b), ∂xf(x) là Jacobian xấp xỉ của f tại x. Khi đó, tồn tại c ∈ (a, b) sao cho:
f(b)−f(a) ∈ co(h∂xf(c), b−ai).
Hệ quả 2.2.2. Nếu với mỗi x ∈ (a, b), ∂xf(x) là Jacobian xấp xỉ compact của f tại x. Khi đó, tồn tại c ∈ (a, b) sao cho:
f(b)−f(a) ∈ co(h∂xf(c), b−ai).
Nhận xét 2.2.7.
i) Nếu f khả vi trên một tập mở chứa đoạn [a, b] thì tồn tại c ∈ (a, b) sao cho:
f(b)−f(a) = D
f/(c), b−aE , đây chính là định lí về giá trị trung bình ở chương 1.
ii) Nếu f Lipschitz trên một tập mở chứa đoạn [a, b] thì với mọi x ∈ (a, b), gradient suy rộng Clarke ∂0f(x) của f tại x là một Jacobian xấp xỉ lồi, compact của f tại x. Do đó, từ hệ quả 2.2.2 suy ra tồn tại c ∈ (a, b) sao cho:
f(b)−f(a) ∈
∂0f(c), b−a . Đây chính là định lí giá trị trung bình của G.Lebourg.
Định lí về giá trị trung bình ở trên sẽ được ta sử dụng để chứng minh các các kết quả tiếp theo như: Định lí về điều kiện cần và đủ để một hàm liên tục trở thành Lipschitz địa phương, phép tính về Jacobian xấp xỉ của hàm hợp.
Ta biết rằng nếu hàmf : Rn →R khả vi thì tính Lipschitz địa phương của f có thể được đặc trưng hóa bởi tính bị chặn địa phương của ánh xạ đạo hàm f/ : x 7→f/(x).
Sử dụng Jacobian xấp xỉ chúng ta có thể mở rộng kết quả trên đối với một hàm liên tục và sẽ thấy rằng tính Lipschitz địa phương của một hàm liên tục có thể được dặc trưng bởi tính bị chặn địa phương của ánh xạ Jacobian xấp xỉ.
Ta nhắc lại một số định nghĩa về ánh xạ đa trị:
Định nghĩa 2.2.1. Cho ánh xạ đa trị F : Rn →2Rm. Ánh xạ F được gọi là nửa liên tục trên (viết tắt là u.s.c) tại x ∈ Rn, nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho F(x) ⊂ F(x) + εBm ∀x ∈ x + δBn, trong đó Bm, Bn
tương ứng là các hình cầu đơn vị mở trong Rn, Rn.
Định nghĩa 2.2.2. Ánh xạ đa trị F : Rn → 2Rm được gọi là bị chặn địa phương tại x ∈ Rn, nếu tồn tại một lân cận U của x và một hằng số α > 0 sao cho kvk ≤ α với mỗi v ∈ F(y) và y ∈ U.
Định lí 2.2.10. Cho hàm f : Rn → R liên tục. Khi đó, f có ánh xạ Ja- cobian xấp xỉ ∂xf bị chặn địa phương tại x khi và chỉ khi f Lipschitz địa phương tại x.
Chứng minh: Giả sử ∂xf bị chặn địa phương tại x. Theo định nghĩa, tồn tại một lân cận U của x, một số α > 0 sao cho kvk ≤ α ∀v ∈ ∂xf(U), ở đây ∂xf(U) := S
y∈U
∂xf(y).
Ta có thể giả thiết rằng U là tập lồi. Lấy x1, x2 bất kì thuộc U thì x1, x2
⊂ U. Từ định lí giá trị trung bình ta suy ra tồn tại c ∈ (x1, x2) sao cho
f(x1)−f(x2) ∈ co
∂xf(c), x1 − x2
⊂ co
∂xf(U), x1− x2 . Do đó
f(x1)−f(x2) ≤
x1 − x2
max{kvk : v ∈ ∂xf(U)} ≤ α
x1 − x2 . Vậy f Lipschitz địa phương tại x.
Ngược lại giả sử f Lipschitz địa phương tại x. Như vậy gradient suy rộng Clarke ∂0f của f là bị chặn địa phương tại x. Khi đó ta có thể chọn nó là ánh xạ Jacobian xấp xỉ của f. Định lí được chứng minh.
5. Jacobian xấp xỉ của hàm hợp
Định lí 2.2.11. Cho f = (f1, ..., fm) là hàm liên tục từ Rn tới Rm và cho g là hàm liên tục từ Rm tới R. Giả sử rằng với mỗi i = 1, m; fi có một Jacobian xấp xỉ bị chặn ∂xfi(x0) tại x0 và g có một Jacobian xấp xỉ bị chặn
∂xg(f(x0)) tại f(x0). Với mỗi i = 1, m nếu ∂xfi là u.s.c tại x0 và ∂xg là u.s.c tại f(x0) thì tập hợp
∂x(g◦f) := ∂xg(f(x0))(∂xf1(x0), ∂xf2(x0), ..., ∂xfm(x0)) (2.2) là một Jacobian xấp xỉ của g◦f tại x0.
(Vế phải của (2.2) là tập hợp có dạng:
( m X
i=1
aiξi : a = (a1, a2, ..., am) ∈ ∂xg(f(x0)), ξi ∈ ∂xfi(x0), i= 1, m )
).
Chứng minh: Lấy u bất kì thuộc Rn. Khi đó:
(g◦f)−d = lim inf
t↓0
(g◦f)(x0 +tu)−(g◦f)(x0) t
= lim inf
t↓0
g(f(x0 +tu))−g(f(x0))
t .
Với mỗi i = 1, m do fi : Rn →R liên tục nên theo định lí về giá trị trung bình tồn tại xti ∈ (x0, x0 +tu) sao cho:
fi(x0 +tu)−fi(x0) ∈ co
∂xfi(xti), tu .
Vì g : Rm →R liên tục nên tồn tại ct ∈ (f(x0), f(x0 +tu)) sao cho:
g(f(x0 +tu))−g(f(x0)) ∈ co
∂xg(ct), f(x0 +tu)−f(x0) .
Từ giả thiết ∀i = 1, m , ∂xfi là u.s.c tại x0 và ∂xg là u.s.c tại f(x0) nên với mọi ε > 0, tồn tại δ >0 sao cho
∂xfi(x) ⊂∂xfi(x0) + εBn ∀x ∈ x0 +δBn và
∂xg(y) ⊂ ∂xg(f(x0)) +εBm ∀y ∈ f(x0) +δBm. Mặt khác với ε > 0, tồn tại t0 > 0 sao cho
[x0, x0 +tu]⊂ x0+δBn và [f(x0), f(x0+ tu)] ⊂ f(x0) +δBm với t ∈ [0, t0].
Do đó với t ∈ [0, t0] thì xti ∈ x0 +δBn và ct ∈ f(x0) +δBm. Vậy với mọi ε > 0, tồn tại t0 > 0 sao cho:
∂xfi(xti) ⊂∂xfi(x0) +εBn và ∂xg(ct) ⊂ ∂xg(f(x0)) +εBm với mọi i = 1, m và t∈ [0, t0].
Suy ra, với t ∈ [0, t0] ta có
g(f(x0 +tu))−g(f(x0))
t ∈ co(hA, ui), trong đó A :=
m P
i=1
(ai +εbi) (ξi +εηi) : a ∈ ∂xg(f(x0)), b ∈ Bm, ξi ∈ ∂xfi(x0), ηi ∈ Bn
. Vì ∂xfi(x0) và ∂xg(f(x0)) là các Jacobian xấp xỉ bị chặn nên tồn tạiM > 0
không phụ thuộc ε sao cho với mỗi
a ∈ ∂xg(f(x0)), b ∈ Bm, ξi ∈ ∂xfi(x0), ηi ∈ Bn, i = 1, m có kaiηi+biξik ≤ M và kbiηik ≤ M.
Do đó (g◦f)−d (x0, u) ≤
≤ sup{hx∗, ui : x∗ ∈ ∂xg(f(x0)) (∂xf1(x0), ∂xf2(x0), ..., ∂xfm(x0))}+ + ε+ε2
M.
Vì ε tùy ý nên cho ε →0 ta nhận được (g◦f)−d (x0, u) ≤
≤ sup{hx∗, ui : x∗ ∈ ∂xg(f(x0)) (∂xf1(x0), ∂xf2(x0), ..., ∂xfm(x0))}.
Mặt khác tập ∂xg(f(x0)) (∂xf1(x0), ∂xf2(x0), ..., ∂xfm(x0)) là tập đóng nên theo định nghĩa ∂xg(f(x0)) (∂xf1(x0), ∂xf2(x0), ..., ∂xfm(x0)) là một Jaco- bian xấp xỉ trên của g◦f tại x0.
Bằng cách chứng minh tương tự ta nhận được kết quả:
Tập hợp ∂xg(f(x0)) (∂xf1(x0), ∂xf2(x0), ..., ∂xfm(x0)) là một Jacobian xấp xỉ dưới của g◦f tại x0.
Vậy ∂xg(f(x0)) (∂xf1(x0), ∂xf2(x0), ..., ∂xfm(x0)) là một Jacobian xấp xỉ của g◦f tại x0. Định lí được chứng minh.