Một số vấn đề về lý thuyết xấp xỉ đều tốt nhất và ứng dụng trong toán sơ cấp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ HẢI MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT XẤP XỈ ĐỀU TỐT NHẤT VÀ ỨNG DỤNG TRONG TOÁN SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2012 Mục lục Mở đầu Lời cam đoan Một số kiến thức 1.1 Không gian mêtric 1.2 Không gian Banach 1.3 Không gian Hilbert Lý 2.1 2.2 2.3 2.4 thuyết xấp xỉ tốt Đặt toán Xấp xỉ tốt không gian Banach Xấp xỉ tốt không gian C[a,b] Một số trường hợp đặc biệt 2.4.1 Xấp xỉ đa thức bậc không 2.4.2 Xấp xỉ đa thức bậc Một số ứng dụng lý thuyết xấp xỉ vào giải lớp toán sơ cấp 3.1 Lời giải tổng quát 3.1.1 Ứng dụng xấp xỉ đa thức bậc không cho lớp toán 3.1.2 Ứng dụng xấp xỉ đa thức bậc cho lớp toán dạng: 3.2 Lớp toán cụ thể 5 9 10 11 17 17 18 20 20 20 23 26 Kết luận 64 Tài liệu tham khảo 65 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Chúng ta biết Lý thuyết xấp xỉ tốt nhánh lý thuyết xấp xỉ hàm, có vai trị đặc biệt quan trọng toán lý thuyết tốn ứng dụng Đặc biệt, dùng để tìm đa thức có "độ lệch" nhỏ so với hàm số cho trước đoạn xác định Từ việc nghiên cứu kĩ lý thuyết xấp xỉ tốt giải số dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ Và hướng dẫn TS Nguyễn Văn Khải, tác giả nghiên cứu đề tài "Một số vấn đề lý thuyết xấp xỉ tốt ứng dụng toán sơ cấp" Nội dung luận văn trình bày lý thuyết xấp xỉ tốt từ xây dựng lên tập toán sơ cấp áp dụng phần lý thuyết xấp xỉ tốt vào giải toán Luận văn gồm chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số định nghĩa không gian Mêtric, không gian Banach, không gian Hilbert Chương 2: Lý thuyết xấp xỉ tốt Chương giới thiệu số định nghĩa, định lý lý thuyết xấp xỉ tốt nhất, trường hợp đặc biệt xấp xỉ đa thức đa thức bậc không, đa thức bậc Chương 3: Một số ứng dụng lý thuyết xấp xỉ tốt vào giải số toán sơ cấp Phần đầu Chương trình bày lời giải tổng quát lớp tốn sơ cấp, thơng qua lời giải dựa lý thuyết xấp xỉ tốt để hình thành lên lời giải sơ cấp Phần áp dụng lời giải tổng quát vào giải số tập sơ cấp cụ thể Và từ đưa dạng tập có đề tương tự Kết luận văn tham khảo Numerical methods Bakhvalov N.S Luận văn hoàn thành trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên Tác giả xin bầy tỏ lòng biết ơn trân trọng tới thầy TS Nguyễn Văn Khải, thầy trực tiếp hướng dẫn tận tình động viên tác giả suốt thời gian nghiên cứu viết luận văn vừa qua 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Trong suốt trình học tập làm luận văn, thông qua giảng, tác giả nhận quan tâm giúp đỡ giáo sư công tác Viện Tốn học, Viện Cơng nghệ thơng tin thuộc Viện Khoa học Công nghệ Việt Nam, thầy Đại học Thái Ngun Từ đáy lịng mình, tác giả xin bầy tỏ lịng cảm ơn tới thầy cô Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, phịng Đào tạo, khoa Tốn - Tin Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện giúp đỡ tác giả suốt qua trình học tập nhà trường hồn thành luận văn thời gian qua Tác giả xin bầy tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình người thân, anh chị lớp cao học Toán K4C quan tâm, tạo điều kiện, động viên cổ vũ tác giả suốt trình học cao học viết luận văn để đạt kết tốt Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót hạn chế Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn đọc để luận văn hoàn thiện Và xin trân trọng cảm ơn! Quảng Ninh, ngày 10 tháng 10 năm 2012 Tác giả Phạm Thị Hải 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời cam đoan Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu Các số liệu kết nghiên cứu luận văn hoàn toàn trung thực chưa có cơng bố cơng trình khác Tác giả Phạm Thị Hải 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Một số kiến thức Trong chương này, ta trình bày kiến thức không gian mêtric, không gian Banach, không gian Hilbert Các kiến thức lấy từ tài liệu [1, 5, 8] Trong chương này, khơng gian tuyến tính xét trường số thực R 1.1 Không gian mêtric Định nghĩa 1.1 Tập X khác rỗng gọi không gian mêtric với cặp phần tử x, y xác định theo quy tắc đó, số thực ρ(x, y) gọi ” khoảng cách x y ” thỏa mãn tiên đề sau: 1) ρ(x, y) > x = y; ρ(x, y) = x = y 2) ρ(x, y) = ρ(y, x), ∀x, y ∈ X 3) ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z), ∀x, y, z ∈ X Hàm số ρ(x, y) gọi mêtric khơng gian X Ví dụ 1.1 Trong Rn , với x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn y = (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn ρ(x, y) = n (xi − yi )2 , mêtric Rn i=1 Định nghĩa 1.2 Cho không gian mêtric X Dãy {xn } dãy Cauchy ( hay dãy bản) lim ρ(xn , xm ) = tức là: ∀ε > cho trước, n,m→∞ ∗ ∃n0 ∈ N , cho ∀n ≥ n0 , ∀m ≥ n0 , ta có ρ (xn , xm ) < ε 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Dĩ nhiên dãy hội tụ dãy Cauchy ( dãy bản), xn → x theo bất đẳng thức tam giác, ta có: ρ (xn , xm ) ≤ ρ (xn , x) + ρ (x, xm ) → 0, (n, m → ∞) 1.2 Khơng gian Banach Định nghĩa 1.3 (Khơng gian tuyến tính) Một tập X gọi không gian tuyến tính ứng với cặp phần tử x, y X ta có, theo quy tắc đó, phần tử X , gọi tổng x với y kí hiệu x + y ; ứng với phần tử x X số thực α ta có, theo quy tắc đó, phần tử X , gọi tích x với α kí hiệu αx Các quy tắc nói thỏa mãn tiên đề sau: 1) x + y = y + x ( tính chất giao hốn phép cộng) 2) (x + y) + z = x + (y + z) (tính chất kết hợp phép cộng) 3) ∃ phần tử : x + = x, ∀x ∈ X 4) Với x ∈ X ta có phần tử −x ∈ X : x + (−x) = 5) 1.x = x 6) α(βx) = (αβ)x, với α, β số 7) (α + β)x = αx + βx 8) α(x + y) = αx + αy Trên định nghĩa khơng gian tuyến tính thực Nếu định nghĩa ta thay số thực số phức ta có khơng gian tuyến tính phức Khơng gian tuyến tính thường gọi không gian vectơ phần tử gọi vectơ Định nghĩa 1.4 (Khơng gian tuyến tính định chuẩn) Một khơng gian định chuẩn khơng gian tuyến tính X , ứng với phần tử x ∈ X ta có số x gọi chuẩn cho điều kiện sau thỏa mãn, với x, y ∈ X số thực α 1) x > x = 0; x = x = 2) αx = |α| x (tính chuẩn) 3) x + y ≤ x + y (bất đẳng thức tam giác ) 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn Ví dụ 1.2 Khơng gian mêtric Rn khơng gian tuyến tính định chuẩn với chuẩn tương ứng n n R : ξi2 x = i=0 Định nghĩa 1.5 (Không gian Banach) Cho không gian tuyến tính định chuẩn X, d : X × X −→ R xác định: d(x, y) = ||x − y|| d(x, y) gọi hàm khoảng cách, ta nói khoảng cách khoảng cách cảm sinh chuẩn Khơng gian Banach khơng gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ Ví dụ 1.3 Có thể chứng minh không gian C[a,b] = {f : [a, b] −→ R , f liên tục} với chuẩn Chebyshev: f = max |f (t)| không gian Banach t∈[a,b] Định nghĩa 1.6 Không gian Banach X gọi lồi thực nếu: ∀x, y = x+y = x + y ⇒ y = λx(λ > 0) Ví dụ 1.4 Khơng gian C[a,b] khơng lồi thực t−a Vì với x(t) ≡ 1; y(t) ≡ , ta có: x + y = x b−a y = λx 1.3 + y =2 Không gian Hilbert Trong phần ta xét X không gian Hilbert thực Định nghĩa 1.7 (Không gian tiền Hilbert) Một không gian tuyến tính thực X gọi khơng gian tiền Hilbert có xác định hàm hai biến (x, y) gọi tích vơ hướng hai vectơ (x, y) với tính chất sau: 1) (x, y) = (y, x) 2) (x + y, z) = (x, z) + (y, z) 3) (αx, y) = α(x, y) với α số thực 4) (x, x) > x = 0, (x, x) = x = Và thỏa mãn hệ thức 5) (x, x) = x tức x = (x, x) xác định chuẩn khơng gian X , nói cách khác không gian tiền Hilbert không gian định chuẩn 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Ví dụ 1.5 Không gian C[a,b] gồm tất hàm liên tục đoạn [a, b] với phép tốn thơng thường với tích vơ hướng cho bởi: b (x, y) = x(t)y(t)dt không gian tiền Hilbert a Định nghĩa 1.8 Không gian tiền Hilbert đầy đủ gọi khơng gian Hilbert b Ví dụ 1.6 Khơng gian L2[a,b] với chuẩn x = |x(t)|2 dt a không gian Hilbert Nhận xét 1.1 i) Không gian tiền Hilbert không gian định chuẩn với chuẩn x = (x, x) ii) Không gian tiền Hilbert ln có bất đẳng thức Schwars: (x, y) ≤ x y iii) Không gian tiền Hilbert ln thỏa mãn điều kiện bình hành: x+y 2+ x−y =2 x 2+ y iv) Tích vơ hướng (x, y) hàm số liên tục biến x y Ví dụ 1.7 Mọi không gian Hilbert lồi thực Thật vậy, ta có x + y = x + y Bình phương hai vế đẳng thức: x + y = x Mà x+y = = = = +2 x y + y x + y, x + y x + y, x + x + y, y x, x + x, y + y, y x + x, y + y Suy x, y = x y Từ bất đẳng thức Cauchy- Bunhiacovski- Schwartz, suy y = λx, (λ > 0) 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Lý thuyết xấp xỉ tốt Chương trình bày kết quan trọng lý thuyết xấp xỉ tốt tồn xấp xỉ tốt không gian Banach, xấp xỉ tốt không gian C[a,b] số trường hợp đặc biệt xấp xỉ đa thức bậc không hay xấp xỉ đa thức bậc Các kết chương tham khảo tài liệu [1, 2, 7,10] 2.1 Đặt toán Cho hàm số f ∈ C[a,b] Gọi Pn tập hợp đa thức có bậc khơng q n [a, b] Ta phải tìm đa thức P ∈ Pn có "độ lệch" nhỏ so với f [a, b] tức là: max | f (x) − P (x) |= max |f (x) − P (x)| Q∈Pn x∈[a,b] x∈[a,b] Nếu C[a,b] ta xét chuẩn (2.1) ϕ = max | ϕ(t) |, (ϕ ∈ C[a,b] ) tốn t∈[a,b] (2.1) có dạng: Tìm P ∈ Pn cho f − P = En (f ) := f −Q Phần tử đạt cực tiểu kí hiệu P = arg f −Q Q∈Pn Q∈Pn 9Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (2.2) http://www.lrc-tnu.edu.vn √ 3 = − ⇔ x = + ∈ [2, 6] o (xo − 1)2 √ 3+ ⇒ f (x0 ) = √ √ Phương trình tiếp tuyến x0 = + : y = − x + +√ 5 17 Từ ta có phương trình đường thẳng cần tìm: y = − x + +√ 5 f (x) = k ⇔ − Vậy đa thức xấp xỉ tốt bậc hàm số [1, 2] là: 17 17 3 Q(x) = − x + + √ Suy a = , b = − +√ 5 5 5 x+2 17 3 GTNN đạt : M0 = max + x−( + √ ) = − √ x∈[2,6] x − 5 5 * Hướng dẫn sơ cấp: x+2 Đặt g(x) = + ax + b , M = max |g(x)| 2≤x≤6 x−1 √ √ Ta có g(2) = + 2a + b, g(6) = + 6a + b, g(1 + 5) = (1 + 5)a + b Trường hợp 1: a > Ta có: √ 2M ≥ f (1 + 5) + |f (6)| √ √ 3 ≥ f (1 + 5) − f (6) = ( − 5)a + ( √ − ) 5 √ 3 = (5 − 5)a + ( − √ ) 5 √ 3 18 −√ > (5 − 5) + − √ = 5 5 Suy M > ( − √ ) = M0 5 Trường hợp 2: a < √ √ Ta có 2M ≥ f (1 + 5) − f (2) = ( − 1)a + √ − 51 51Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn √ 18 3 = −√ a+ 3− √ > 1− + 3− √ 5 5 Suy M > ( − √ ) = M0 5 Trường hợp 3: a = √ 26 Ta có: g(2) = + b = g(6) , g(1 + 5) = + √ + b 5 17 26 26 17 a) b > −( + √ ) ⇔ +b> − −√ = −√ 5 5 5 5 26 Suy + b > − √ = M0 5 26 Vậy M ≥ |g(2)| = + b > M0 17 b) b < −( + √ ) 5 8 17 Ta có + √ + b < + √ − − √ = −( − √ ) 5 5 5 5 Suy + √ + b > − √ = M0 5 5 √ + √ + b > M0 Vậy M ≥ g(1 + 5) = 5 17 x+2 17 c) b = −( + √ ) Khi g(x) = + x − ( + √ ) x−1 5 5 √ 3 + ∈ [2, 6] Ta có g (x) = − , g (x) = ⇔ x = + (x − 1)2 Bảng biến thiên: = 1− √ 52 52Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn x2 + 2x − Bài tốn 12: Tìm a, b để max − (ax + b) đạt x∈[0,1] x+1 * Lời giải nhờ lý thuyết xấp xỉ tốt nhất: Yêu cầu toán tương đương với : Tìm đa thức xấp xỉ tốt Q(x) = ax + b hàm số x2 + 2x − f (x) = [0, 1] Có f (0) = −1, f (1) = x+1 Ta thấy A(0, −1), B(1, 1) điểm thuộc đồ thị hàm số f (x) [0, 1] Khi phương trình AB là: y = 2x − 1, hệ số góc k = 2 Ta có: f (x) = + (x + 1)2 √ f (x0 ) = k ⇔ + = ⇔ x = −1 + ∈ [0, 1] (x0 + 1)2 f (x0 ) = √ là:y = 2x + − 2 √ Khi phương trình đường thẳng cần tìm là: y = 2x + − 2 Vậy đa thức xấp xỉ tốt hàm số [0, 1] : √ √ Q(x) = 2x + − Suy a = 2, b = − 2 √ x2 + 2x − 1 √ GTNN đạt được: M0 = max − 2x − + = − x∈[0,1] x+1 2 Phương trình tiếp tuyến f (x) x0 = −1 + √ * Hướng dẫn sơ cấp: x2 + 2x − − (ax + b), M = max |g(x)| x∈[0,1] x+1 √ √ Ta có g(0) = −1 − b, g(1) = − a − b , g(−1 + 2) = (1 − 2)a − b Trường hợp 1: a > √ Ta có 2M ≥ g(0) − g(−1 + 2) √ √ √ = −1 + ( − 1)a > −1 + ( − 1).2 = 2 − √ Suy M > − = M0 Đặt g(x) = 53 53Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Trường hợp 2: a < √ √ Ta có: 2M ≥ g(1) − g(−1 + 2) = + ( − 2)a √ √ > + ( − 2).2 = 2 − √ Suy M > − = M0 Trường hợp 3: a = √ √ Ta có g(0) = −1 − b = g(1), g(−1 + 2) = − 2 √ √ − ⇔ −b < − 2 √ √ √ √ 2− ⇔ (2 − 2) − b < − + (2 − 2) = − 2 √ √ √ Vậy M ≥ g(−1 + 2) = (2 − 2) − b > − = M0 √ √ √ √ 1 b) b < − ⇔ −b > − ⇔ −1 − b < − − = 2− 2 2 √ ⇔ |−1 − b| > − √ Vậy M ≥ |g(0)| = |−1 − b| > − = M0 √ √ x2 + 2x − − 2x − + c) b = − Ta có g(x) = x+1 2 −2= − Suy g (x) = + (x + 1)2 (x + 1)2 √ g (x) = ⇔ x = −1 + Bảng biến thiên: a) b > 54 54Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn √ Bài tốn 13: Tìm a, b cho max | x − (ax + b)| đạt x∈[0,1] * Lời giải nhờ lý thuyết xấp xỉ tốt nhất: u cầu tốn tương đương với: Tìm đa thức xấp xỉ tốt bậc Q(x) = ax + b hàm số √ f (x) = x [0, 1] Ta có f (x) = √ x 1 f (x) = − √ < 0, 2x x x ∈ [0, 1] Khi f (x) lồi [0, 1] O(0, 0), B(1, 1) điểm thuộc đồ thị hàm √ số f (x) = x Nên phương trình OB là: y = x, hệ số góc k = √ Giả sử C điểm thuộc đồ thị hàm số f (x) = x, mà tiếp tuyến với đồ thị C song song với OB , nên hoành độ điểm C nghiệm phương trình: 1 f (x0 ) = k Hay √ = ⇔ x0 = , f (x0 ) = x0 1 Phương trình tiếp tuyến C : y = (x − ) + ⇔ y = x + 4 Đường thẳng song song cách OB tiếp tuyến C là: y = x + Vậy đa thức xấp xỉ tốt bậc f (x) [0, 1] là: 1 Q(x) = x + Suy a = 1, b = 8 55 55Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn GTNN đạt M0 = max √ x−x− x∈[0,1] 1 = 8 * Hướng dẫn sơ cấp: Xét điểm O, B, C với hoành độ x = 0, x = , x = √ Cách : Đặt g(x) = x − (ax + b), M = max |g(x)| x∈[0,1] 1 a Ta có g(0) = −b, g(1) = − a − b g( ) = − − b 4 Trường hợp 1: a > Khi đó: 1 3a 2M ≥ g( ) − g(1) = − > − = ⇒ M > = M0 4 4 a − Trường hợp 2: a < Khi 2M ≥ g( ) − g(0) = 4 a 1 a < ⇔ −a > −1 ⇔ − > − = 4 a 1 Suy 2M ≥ − > ⇒ M > = M0 4 1 Trường hợp 3: a = ⇒ g(0) = −b = g(1), g( ) = − b 4 1 a)b > ⇔ |b| > 8 Vậy M ≥ |g(0)| = |−b| = |b| > = M0 1 1 1 b) b < ⇔ −b < − ⇔ − b > − = 8 4 8 1 Vậy M ≥ g( ) = − b > = M0 4 √ 1 c) b = , g(x) = x − x − 8 1 Nên g (x) = √ − 1, g (x) = ⇔ x = x Bảng biến thiên: 56 56Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Cách : √ Xét x = 0, x = , x = 1, đặt f (x) = | x − (ax + b)| 1 a Ta có f (0) = |b|, f (1) = |1 − a − b| = |a + b − 1|, f ( ) = − −b 4 Suy f (1) + 4f ( ) = |a + b − 1| + |2 − a − 4b| ≥ |1 − 3b| Dấu = xảy ⇔ (2 − a − 4b) (a + b − 1) ≥ Ta lại suy f (1) + 4f ( ) + 3f (0) ≥ |1 − 3b| + |b| ≥ (1 − 3b) 3b ≥ Dấu = xảy ⇔ (2 − a − 4b) (a + b − 1) ≥ Do đặt M = max |f (x)| 8M ≥ ⇒ M ≥ x∈[0,1] M=  1   f (1) = f ( ) = f (0) =      a=1 ⇔ (1 − 3b).3b ≥ ⇔    b=    (2 − a − 4b)(a + b − 1) ≥ Vậy a = 1, b = √ 1 M = max x − x − = = M0 x∈[0,1] 8 57 57Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn √ Bài tốn 14: Tìm a, b để max | x − (ax + b)| đạt x∈[0,1] * Lời giải nhờ lý thuyết xấp xỉ tốt nhất: u cầu tốn tương đương với: Tìm đa thức xấp xỉ tốt bậc Q(x) = ax + b hàm số √ f (x) = x [0, 1] Ta có f (0) = 0, f (1) = Dễ thấy A(0, 0), B(1, 1) điểm thuộc đồ thị hàm số f (x) = √ x Nên phương trình AB : y = x, hệ số góc k = 1 , f (x0 ) = k ⇔ √ = Ta có f (x) = √ 3 x0 x2 1 Suy x0 = √ ∈ [0, 1] , f (x0 ) = √ 3 Phương trình tiếp tuyến f (x) x0 = √ y = x + √ 3 3 Khi phương trình đường thẳng cần tìm là: y = x + √ 3 √ 1 GTNN đạt M0 = max x − x − √ = √ x∈[0,1] 3 3 * Hướng dẫn sơ cấp: Đặt g(x) = √ x − (ax + b), M = max |g(x)| x∈[0,1] 1 Ta có g(0) = −b, g(1) = − a − b, g( √ ) = √ − a √ − b 3 3 Trường hợp 1: a > √ (a − 1)(3 − 1) + 2 √ 2M ≥ g( √ ) − g(1) = > √ 3 3 3 Suy M > √ = M0 3 58 58Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Trường hợp 2: a < 3−1 3−a Ta có 2M ≥ g( √ ) − g(0) = √ > √ = √ 3 3 3 3 Suy M > √ = M0 3 Trường hợp 3: a = Ta có g(0) = −b = g(1), g( √ ) = √ − b 3 3 1 a) b > √ ⇔ |b| > √ 3 3 Khi M ≥ |g(0)| = |−b| = |b| > √ = M 3 2 1 b)b < √ ⇔ √ − b > √ − √ = √ 3 3 3 3 3 1 Khi M ≥ g( √ ) = √ − b > √ = M 3 3 3 √ 1 c) b = √ Ta có g(x) = x − x − √ , Suy g (x) = √ −1 33x 3 3 √ √ 1 3 g (x) = ⇔ − x2 = ⇔ x2 = ⇔ x2 = ⇒ x = √ ∈ [0, 1] 27 3 Bảng biến thiên: Chú ý: Ta biến dạng tốn sau: Tìm a, b để max at3 + t + b đạt GTNN t∈[0,1] (Nếu đặt t3 = x quay tốn tương tự trên) 59 59Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn √ Bài tốn 15:Tìm a,b để max | n x − (ax + b)| đạt x∈[0,1] * Lời giải nhờ lý thuyết xấp xỉ tốt nhất: Yêu cầu tốn tương đương với: Tìm đa thức xấp xỉ tốt bậc Q(x) = ax + b hàm số √ f (x) = n x [0, 1] Ta có f (0) = 0, f (1) = Dễ thấy A(0, 0), B(1, 1) điểm thuộc đồ thị hàm số f (x) = √ n x Khi phương trình AB : y = x, hệ số góc k = 1 1 1−n x n = n−1 n n x n 1 n−1 f (0) = k ⇔ n−1 = ⇔ = x0 n n x0 n n Ta có f (x) = n ⇔ n = x0 n−1 n n Suy f (x0 ) = n−1 ⇔ x0 = n = n n−1 n n n−1 Từ ta có phương trình tiếp tuyến f (x) x0 = n y =x− =x+ n n n−1 + n−1 n 1− n n−1 Hay y = x + n n n−1 =x− n 1+ n−1 n−1 =x+ n n + n n n−1 n là: n−1 n−1 n−1 n−1 Suy phương trình đường thẳng cần tìm : y = x + 2n n n−1 Vậy đa thức xấp xỉ tốt bậc f (x) [0, 1] 1 n − 1 n−1 n − 1 n−1 Q(x) = x + , nên ta có a = 1, b = 2n n 2n n 60 60Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn √ n GTNN đạt được: M0 = max x∈[0,1] n−1 n−1 x−x− 2n n n−1 = 2n n n−1 * Hướng dẫn sơ cấp: Đặt g(x) = √ n x − (ax + b), M = max |g(x)| x∈[0,1] n n−1 n Ta có g(0) = −b, g(1) = 1−a−b , g = n−1 n 1 −a n n n−1 Trường hợp 1: a > n n−1 n Ta có: 2M ≥ g − g (1) = 1 = n − a − n.n n −1 + a.n.n n−1 n.n n−1 n−1 n 1 − a n n −1 1 = n−1 a.n.n n−1 n − a − n.n n−1 + + n − 1 n.n n−1 1 a n.n n−1 − − n.n n−1 − + (n − 1) = n.n n−1 (a − 1) n.n n−1 − + (n − 1) = n.n Suy M > n−1 2n.n n−1 n−1 > n−1 n.n n−1 = M0 Trường hợp 2: a < Ta có: 2M ≥ g n n n−1 − g (0) = 1 Vì a < ⇔ −a > −1 ⇔ −a n n ⇔ n n n−1 1 − a n n n n−1 > n n n−1 n n−1 61 61Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên n n n−1 1 − a n n 1 >− n n 1 − n n n n−1 n−1 n n−1 n−1 = n n n n−1 http://www.lrc-tnu.edu.vn Nên ta có 2M ≥ n n−1 n 1 − a n n n n−1 n−1 > n n n n−1 n−1 n−1 Hay M > 2n n = M0 Trường hợp 3: a = 1 n ta có g(0) = −b = g(1) , g n−1 a) Nếu b > 2n n n−1 n−1 n−1 Khi : n n Vậy M ≥ g n n−1 n−1 = M0 n−1 ⇔ −b > − 2n n n−1 − b n−1 n−1 ⇔ |b| > 2n n n−1 Vậy M ≥ |g (0)| = |−b| = |b| > 2n n n−1 b) Nếu b < 2n n n−1 n−1 = n n −b> n−1 n n = n−1 2n n n−1 n−1 − n−1 2n n n−1 n−1 = M0 n−1 n−1 c) Nếu b = 2n n > M0 n−1 62 62Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn √ n n−1 Ta có g (x) = x − x − 2n n 1 g (x) = n−1 − n x n g (x) = ⇔ x n−1 n = ⇔x= n n n−1 n−1 n = n n n−1 Bảng biến thiên: Nhận xét: Qua toán 13, 14, 15 ta đưa lớp tập có lời giải tương tự: √ Bài tập 1: Tìm a, b để max | x − (ax + b)| đạt x∈[0,4] √ Bài tập 2: Tìm a, b để max2 | x − (ax + b)| đạt với k ∈ N x∈[0,k ] √ Bài tập 3: Tìm a, b để max | x − (ax + b)| đạt x∈[0,5] √ Bài tập 4: Tìm a, b để max | x − (ax + b)| với n ∈ N x∈[0,n] √ Bài tập 5: a, b để max | x − (ax + b)|, (với n số phương) x∈[0,n] √ Bài tập 6: Tìm a, b để max | n x − (ax + b)| đạt min, với k ∈ N x∈[0,k] 63 63Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Kết luận Trong luận văn này, tơi trình bầy số vấn đề lý thuyết xấp xỉ tốt ứng dụng toán sơ cấp Các kết thu cụ thể là: 1) Nhắc lại số khái niệm ví dụ giải tích khơng gian Metric, không gian Banach, không gian Hilbert 2) Nhắc lại định nghĩa, định lý lý thuyết xấp xỉ tốt nhất, trường hợp đặc biệt xấp xỉ đa thức bậc không, xấp xỉ đa thức bậc 3) Sử dụng lý thuyết xấp xỉ tốt để giải lớp toán sơ cấp với hàm số thường gặp 4) Áp dụng tập làm để đưa số dạng tập tương tự phục vụ cho trình ơn tập học sinh giỏi Trung học phổ thông Trong luận văn này, chưa xét đến việc tìm xấp xỉ tốt bậc cao bậc cho lớp hàm số phức tạp Đó tốn tương đối phức tạp địi hỏi nhiều kiến thức sâu rộng tính tốn tỉ mỉ Tơi mong nhận góp ý q thầy bạn để hồn thiện hơn, mở rộng luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn! 64 64Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tài liệu tham khảo [1] Phạm Kỳ Anh, Giải tích số, Nxb Đại học Quốc Gia Hà Nội, 2005 [2] Nguyễn Minh Chương(Chủ biên), Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Tường, Giải tích số, Nxb Giáo dục, Hà Nội, 2001 [3] Phan Huy Khải, Các phương pháp tìm giá trị lớn giá trị nhỏ nhất, Nxb Hà Nội, 2002 [4] Phan Huy Khải, Các phương pháp giải toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, Nxb Đại học sư phạm, Hà Nội, 2011 [5] Nguyễn Xuân Liêm, Giải tích hàm, Nxb Giáo dục, Hà Nội, 1997 [6] Nguyễn Vũ Thanh, 263 Bài toán bất đẳng thức chọn lọc, Nxb Giáo dục, Hà Nội, 1997 [7] Lê Đình Thịnh, Phương pháp tính, Nxb Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội, 1995 [8] Hồng Tụy, Hàm thực Giải tích hàm, Nxb Đại học Quốc Gia Hà Nội, 2003 [9] Báo toán học tuổi trẻ, năm 2000 đến [10] Bakhvalov N.S, Numerical methods (tiếng Nga), 1973 65 65Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... cứu kĩ lý thuyết xấp xỉ tốt giải số dạng tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ Và hướng dẫn TS Nguyễn Văn Khải, tác giả nghiên cứu đề tài "Một số vấn đề lý thuyết xấp xỉ tốt ứng dụng toán sơ cấp" Nội... 2: Lý thuyết xấp xỉ tốt Chương giới thiệu số định nghĩa, định lý lý thuyết xấp xỉ tốt nhất, trường hợp đặc biệt xấp xỉ đa thức đa thức bậc không, đa thức bậc Chương 3: Một số ứng dụng lý thuyết. .. Một số ứng dụng lý thuyết xấp xỉ vào giải lớp toán sơ cấp 3.1 Lời giải tổng quát 3.1.1 Ứng dụng xấp xỉ đa thức bậc khơng cho lớp tốn 3.1.2 Ứng dụng