Ứng dụng phương pháp tích phân phiếm hàm để nghiên cứu một số vấn đề tương tác của lý thuyết trường lượng tử

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN  NGUYỄN NHƯ XUÂN ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM ĐỂ NGHIÊN CỨU MỘT SỐ VẤN ĐỀ TƯƠNG TÁC CỦA LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ Hà Nội - 2008 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN  NGUYỄN NHƯ XUÂN ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM ĐỂ NGHIÊN CỨU MỘT SỐ VẤN ĐỀ TƯƠNG TÁC CỦA LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Vật lý toán Mã số: 62.44.01.01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ VẬT LÝ NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: Giáo sư – Tiến sĩ Khoa học Nguyễn Xuân Hãn Hà Nội – 2008 MỤC LỤC Trang A MỞ ĐẦU  Phương pháp phân tích phiếm hàm  Cấu trúc luận văn B NỘI DUNG 13 CHƯƠNG I: HÀM GREEN CỦA HẠT TƯƠNG TÁC 13 1.1 Các phương trình cho hàm Green hạt trường 13 1.2 Biểu diễn tổng quát hàm Green trường 16 dạng tích phân phiếm hàm CHƯƠNG II: TÁN XẠ NĂNG LƯỢNG PLANCK 21 TRONG CÁCH TIẾP CẬN PHIẾM HÀM 2.1 Biểu diễn biên độ tán xạ hai hạt vô hướng 21 2.1.1 Hàm Green hai hạt vô hướng trường vô hướng 21 2.1.2 Biên độ tán xạ hai hạt vô hướng trường vô hướng 25 2.2 Tán xạ lượng cao 2.2.1 Biểu diễn Eikonal cho biên độ tán xạ hai hạt vô hướng 28 29 trường vơ hướng 36 2.2.2 Tính chất tiệm cận biên độ tán xạ hai hạt vô hướng lượng cao 39 2.3 Tán xạ hai hạt với tương tác hấp dẫn vùng lượng Planck 40 2.3.1 Biên độ tán xạ đàn tính hai hạt tương tác hấp dẫn 44 2.3.2 Biên độ tán xạ không đàn tính hai hạt tương tác hấp dẫn 2.3.3 Đóng góp bổ cho biên độ tán xạ đàn tính vùng 46 lượng Planck CHƯƠNG III: TÁN XẠ NĂNG LƯỢNG PLANCK TRONG CÁCH TIẾP CẬN CHUẨN THẾ 3.1 Nghiệm phương trình chuẩn Logunov-Tavkelidze cho tán 50 51 xạ hai hạt vô hướng 3.2 Trạng thái tiệm cận tán xạ lượng cao 56 3.3 Biên độ tán xạ trường chuẩn Yukawa 60 3.4 Mối liên hệ phương pháp chuẩn phương pháp tích 65 phân quỹ đạo Feynman CHƯƠNG IV: KHỬ PHÂN KỲ VÀ TÁI CHUẨN HOÁ HÀM GREEN 69 TRONG MƠ HÌNH BLOCH- NORSIECK CHO QED3 VÀ QED4 Hàm Green lượng tử G(x,y) mơ hình Bloch-Norsieck 4.1 70 4.2 Phương pháp chỉnh Pauli-Villar 4.3 Phương pháp chỉnh thứ nguyên 4.4 Đánh giá phân kỳ giản đồ lượng riêng photon 72 74 77 QED3 KẾT LUẬN 85 CÁC BÀI BÁO LIÊN QUAN TRỰC TIẾP ĐẾN LUẬN ÁN 87 Tài liệu tham khảo 89 Phụ lục A 97 Phụ lục B 107 Phụ lục 113 C Phụ lục 121 D Phụ lục 123 E HÀM GREEN CỦA HẠT TƯƠNG TÁC Trong chương này, trình bày cách tìm hàm Green mơ hình tự tương tác “nucleon” vơ hướng Sau đó, kết thu mơ hình tổng qt hố cho trường hợp điện động lực học vơ hướng, “nucleon” vơ hướng phức tương tác với trường điện từ (trường véc tơ) tương tác “nucleon” vô hướng với trường hấp dẫn (trường tenxơ) Kết thúc chương xét toán đơn giản tìm hàm Green lượng tử hạt vơ hướng trường sóng phẳng điện từ Biểu diễn tổng quát hàm Green trường ngồi dạng tích phân phiếm hàm Phương trình cho hàm Green trường ngồi mơ hình tự tương tác “nucleon” vơ hướng mơ tả trường (x) có Lagrangian tương tác: Lin  g3 , có dạng: t  i 22  g (x)  m2  G(x, y |  )   (x  y)   (1.1) Lời giải phương trình (1.1) tìm nhiều phương pháp khác Cách thứ nhất, sử dụng lý thuyết nhiễu loạn cải biến Trong phương pháp này, hàm Green hạt vơ hướng trường ngồi tìm dạng tổng chuỗi lý thuyết nhiễu loạn theo số tương tác g Tuy nhiên kết tính tốn đưa số hạng gần bậc bậc hai lý thuyết nhiễu loạn Q trình tính tốn bậc nhiễu loạn khó khăn, biểu thức, thu được, phức tạp (vì chứa toán tử trường bậc cao) Điều gây khó khăn cho việc tìm hàm Green lượng tử lấy trung bình phiếm hàm hàm G(x, y | theo trường ) Green Cách thứ hai thêm tương tác bổ sung với nguồn t   Hàm Green thu theo phương pháp chứa tốn tử trường có dạng bậc mà ưu điểm là: Phép lấy trung bình phiếm hàm theo trường ngồi (khi tìm hàm Green lượng tử phiếm hàm sinh) tiến hành đơn giản trường ngồi cổ điển (x) có hàm luỹ thừa dạng tuyến tính Cần ý rằng, chuyển sang biểu diễn xung lượng không gian phiếm hàm t , hàm Green G(x, y | biểu diễn dạng tích phân phiếm ) hàm, mà xem xét phép biến đổi Lagrange Feynman tổng quát hoá cho phương trình Klein-Gordon hàm Green phương trình Hơn nữa, lời giải tốn tử sau khai triển nhiễu loạn thông thường theo số tương tác, hàm Green G(x, y |  ) tìm lại theo lý thuyết nhiễu loạn cải biến Tuy vậy, biểu thức hàm Green lại chứa tích phân phiếm hàm nguồn tương tác dạng bậc hai Hàm Green thu kín kết tính toán phức tạp Với cách viết (1.2), thừa số mũ, mà hệ số có đại lượng khơng giao hốn   ,   theo Feynman, coi T exponent (T-tích) Biến số  có ý nghĩa x,  thời gian riêng chia cho khối lượng hạt đóng vai trị tích thứ tự (1.2) Chỉ số s có nghĩa thời gian riêng Tất toán tử xem hàm giao hoán biến  Sử dụng phép biến đổi Weierstrass không gian hàm số 4-chiều, tốn tử vi phân bậc cao biểu diễn thành tích tốn tử bậc thấp Sau tiến hành gỡ rối tốn tử theo quy tắc Feynman, thực phép thay biến:  ( )  ( )  p , nghiệm phương trình (1.1) biểu diễn dạng tích phân phiếm hàm strong biểu diễn xung lượng:        ( )d  G( p, q |  )  i d ye dsei ( p m ) sC   exp pq) y (1.3) i  s       exp ig   y  p  2 ()d d        i(  2  Ưu điểm phương pháp cho ta biểu thức tổng quát hàm Green dạng tích phân phiếm hàm, từ biểu thức ta dễ dàng lấy giá trị trung bình hàm Green hạt theo trường (x) để thu hàm Green lượng tử hạt trường Khi g = 0, tức khơng có tương tác, suy hàm Green hạt tự Khai triển biểu thức hàm Green theo số tương tác g tương ứng với tập hợp giản đồ Feynman sau: = + (a) (b) + + (c) + + + (d) + Hình 1.1: Giản đồ Feynman cho khai triển hàm Green electron theo số tương tác a) Giản đồ bậc khơng ứng với q trình không tương tác b) Giản đồ đỉnh bậc c) Giản đồ đỉnh bậc hai d) Giản đồ đỉnh bậc ba Phần cuối mục này, xét tốn đơn giản tìm hàm Green lượng tử hạt vơ hướng trường sóng phẳng điện từ Trường lý thú chỗ hàm Green G(x, y | hạt tính cách xác Trường sóng phẳng điện từ có dạng: A) A (x)  a (kx) , hướng a (kx) trường sóng phẳng điện từ, với véctơ sóng đẳng k 0 Giả thiết trường sóng phẳng sóng ngang k a (kx)  Thay trường sóng phẳng vào biểu thức tương ứng cho hàm Green, Kết thu là: i  G(x, y | A)  (2 )  d p dseis ( p  m2 ) ip( x y ) e (1.4)  s  s 2 exp i d e a kx  2kp(s   )  ie d p a kx  2kp(s   )       chỉnh Pauli-Vilars chỉnh thứ nguyên xác định hàm Green QED3 , QED4 sau tái chuẩn hoá khối lượng electron 4.1 Hàm Green lượng tử G(x,y) mơ hình Bloch-Norsieck Hàm Green lượng tử khơng gian xung lượng có dạng:  G( p)  i exp i(m  up  i )  f ( ) (4.1) với: d f ( )    1 ie2 n (2 )   d  d  0  n d k  k 2i (uk)   (1 a) (k  i )  2 e i(uk ) (4.2) Để xác định hàm Green lượng tử cần tìm cách tính tích phân biểu thức (4.2) Rõ ràng biểu thức chứa tích phân phân kỳ Xét mặt tốn học khó tính trực tiếp (4.2) được, mà cần định nghĩa lại đại lượng vật lý, cho kết thu phù hợp với tượng thực tiễn Để giải vấn đề ta tiến hành theo hai cách: phương pháp chỉnh Pauli-Villars phương pháp chỉnh thứ nguyên 4.2 Phương pháp chỉnh Pauli-Villars Dựa ý tưởng hàm Green photon tự thay hàm Green điều chỉnh: , khối lượng phụ trợ  đưa vào để khử phân kỳ hồng ngoại Kết cuối thu ta lấy giới hạn sau: M  ,   Bằng phương pháp ta có kết  Trong QED4: Hàm Green electron thay hàm Green điều chỉnh Kết là: e2 (a3) 1 G ( p)  Z G( p)  up 1 m1 m1  up 8 (4.3)  Trong QED3: Sau tái chuẩn hố khối lượng hàm Green điều chỉnh   (4.4) G( p)  G1 ( p)  i d exp i (m1  up  )  m  up  i i Chúng ta thấy rằng, việc điều chỉnh hàm Green QED 3, QED4 hình thức tiến hành theo cách khác Trong QED , nhân thêm vào hàm Green nghịch đảo hệ số nhân tái chuẩn hố, cịn QED3, tái chuẩn hoá khối lượng electron Lý QED4 chứa phân kỳ loga  M phân kỳ tuyến tính ln   , QED3 ln       có phân kỳ tuyến tính ( , 0) Sau điều chỉnh, biểu thức (4.3) phụ thuộc vào tham số chuẩn “a”, cịn biểu thức (4.4) khơng chứa tham số chuẩn 3.3 Phương pháp chỉnh thứ nguyên Để thu hàm Green cho QED3, QED4 ta phải tiến hành thay số chiều khơng gian tương ứng sau tái chuẩn hoá khồi lượng hàm Green (4.1)  Trong QED4 Thay lượng (đặt n4 i 2   ), thay   vào (4.2) sau lấy giới hạn m bằng: M m Khi đó, hàm Green G(p) thay e (3  a)   m1 8   , đồng thời tái chuẩn hoá khối M hàm Green G1(p) điều chỉnh cách nhân thêm hệ số nhân tái chuẩn hoá Z m1  ie2 (3a) 2 , thu được: G1 ( p) up 1  m1  up m1 ie2 (3a) 8  Trong QED3 Thay n=3- vào (4.4) lấy giới hạn được:  G( p)  G1 ( p)  i d  (4.5)   , sau tái chuẩn hoá khối lượng thu exp i (m1  up  )  m  up  i i (4.6) Rõ ràng kết thu hai phép khử phân kỳ khác đồng Tuy nhiên điều muốn đề cập đến với việc sử dụng chỉnh thứ nguyên cho phép khử phân kỳ tổng quát điện động lực học lượng tử chiều chiều Hơn so sánh kết thu hàm Green QED QED4 , ta thấy QED4 có phân kỳ hồng ngoại phân kỳ tử ngoại, QED xuất phân kỳ hồng ngoại (tham số  đóng vai trò khối lượng phụ trợ  điều chỉnh Pauli-Villars) Điều hoàn toàn dễ hiểu QED lý thuyết tái chuẩn hố cịn QED lý thuyết siêu tái chuẩn hố Kết cho thấy hàm Green QED sau tái chuẩn hố hồn tồn giống với hàm Green trường tự (chúng khác chỗ khử phân kỳ thứ nguyên f ( khơng phụ thuộc vào tham số chuẩn a, cịn phép khử phân kỳ ) phương pháp Pauli-Villars f ( ) lại phụ thuộc vào tham số chuẩn ta sử dụng khối lượng phụ trợ  làm cho lý thuyết tính bất biến chuẩn) cịn hàm Green QED4 khác hàm Green trường tự hệ số:  up  m1 (đặt:   ie (3  a) ) 8 Nếu ta khai triển hàm theo chuỗi  thu đươc số hạng lôga đặc trưng cho tai biến hồng ngoại mà phép xấp xỉ bậc khơng trở thành hàm Green trường tự 4.4 Đánh giá phân kỳ giản đồ lượng riêng photon QED3 Trong trình điều chỉnh loop mâu thuẩn nảy sinh sử dụng phép chỉnh thứ nguyên để xác định phân kỳ tử ngoại photon xuất khối lượng hình học dùng phép chỉnh Pauli – Villars khối lượng photon không khối lượng phụ trợ tiến đến vô Chúng ta mâu thuẫn khơng xuất QED3 q trình tính tốn đảm bảo cho lý thuyết bảo tồn tính bất biến chuẩn Q trình tính toán áp dụng cho giản đồ phân cực photon QED3 p k k   p-k Giản đồ lượng riêng photon 4.4.1 Chỉnh thứ nguyên cho giản đồ lượng riêng photon Theo quy2 tắc Feynman giản đồ phân cực chân không QED3 tương ứng với biểu  ie pˆ  m pˆ  kˆ  m  thức:    (k)  32 (2 )  d pTr   p2  m2  i  ( p  k)  m  i  Sử dụng phép chỉnh thứ nguyên, tiến hành tách có :  (k)  1 (k)   2  (k)   3  (k) k2 0  (k)  (4.7) thành ba số hạng Kết cuối  k2 0 0 (4.8) 3 Chúng ta thấy ý nghĩa biểu thức phương pháp chỉnh thứ nguyên photon nhận khối lượng khác không sinh ra, xung lượng khơng 4.4.2 Phương pháp chỉnh Pauli-Villars cho giản đồ lượng riêng photon Trên sở phương pháp chỉnh Pauli-Villars, biểu thức tensor cực chân không sau điều chỉnh k k   M M M M  (k)    (k )  kg  (k )   (k ) (4.9) g    im  k     3 (k )  M Sau lấy tích phân khơng gian xung lượng, nhận Điều hoàn toàn mong muốn có bất biến chuẩn Điểm cốt yếu ta đương nhiên lấy trường phụ trợ thường làm Việc chọn trường phụ trợ vi phạm điều kiện bất biến chuẩn đặt Mà phải chọn số lượng trường điều chỉnh phải hai Vì đặt: c1   1,c2  ,cj  j  , tham số  nhận giá trị tuỳ ý, trừ giá tri Cho 1 , 2  , M 0  có: M 0  1   s   (4.10)  với:  e2 s  sign 1 2m( )   Rõ ràng từ (4.10) có nhận xét rằng:  Nếu   1 s = -1 tương tác c1và c2 dấu, M (0)  ; trường hợp photon đòi hỏi khối lượng hình học, tỷ lệ với M2(0) , khối lượng đưa vào từ phần tensor cực chân không phản xứng hàm truyền photon tự  Nếu giả thiết  nằm khoảng (0,1) s =1 c1, c2 trái dấu M2 (0)  Như kết luận: với việc chọn tuỳ ý giá trị khác tham số  , phản ánh khối lượng photon khác Bây giờ, ta phải đối mặt với vấn đề khác là: giá trị  dẫn đến hiệu chỉnh khối lượng photon? Chúng ta nhận thấy M (k hữu hạn vùng tử ngoại (bằng cách ) tính theo chuỗi) Ta biết loop fermion phải điều chỉnh suốt q trình tính tốn để bảo đảm bất biến chuẩn Tuy nhiên, để làm điều đó, phải tác động vào phần hữu hạn tensor cực chân không phản xứng hệ sinh phần khối lượng photon điều chỉnh Sử dụng phương pháp chỉnh Pauli-Villars tính tốn kì dị mơ men từ electron Trái lại, không quan tâm tới bảo đảm bất biến chuẩn q trình tính tốn, kết vật lý thu khơng xác Để loại bỏ lo lắng này, cần tìm giá trị  cho làm thay đổi đóng góp trường điều chỉnh Từ biểu thức (4.10), dễ dàng nhận thấy điều xảy số tương tác c1 = c2 tương đương với   , suy ra:  (0)  M e2 2m( ) thu phù hợp với kết sử dụng phương pháp chỉnh thứ nguyên cho tensor phân cực chân không Cần lưu ý rằng: phép điều chỉnh Pauli-Villars phá vỡ đối xứng bình đẳng khơng gian (2+1) chiều Với lựa chọn  vậy, đối xứng khôi phục khối lượng sử dụng cách điều chỉnh lớn Như vậy, tùy thuộc vào việc chọn dấu c1 c2 mà phép chỉnh Pauli – Villars có xuất sinh khối lượng photon hay không Khi c  c ;   khối lượng photon 2 sinh hai phép chỉnh thứ nguyên Pauli – Villars giống 2 (0)  M e2 2m( ) Điều quan trọng trình khử phân kỳ phương pháp khác phải đảm bảo bảo tồn tính bất biến chuẩn KẾT LUẬN Những kết thu Luận án bao gồm : Đã thu biểu thức cho hàm Green hạt trường tuỳ ý cho nhiều dạng tương tác khác nhau, dạng tích phân phiếm hàm Đã tìm biểu thức tường minh cho hàm Green hạt vơ hướng trường sóng phẳng điện từ Việc tách cực điểm mặt khối lượng p2 = m2 từ hàm Green hai hạt phép chuyển giới hạn cách chặt chẽ mặt toán học tìm biểu thức tổng qt xác cho biên độ tán xạ hai hạt với qua loại tương tác kể tương hấp dẫn dạng tích phân phiếm hàm Sử dụng phép gần quỹ đạo thẳng cho tích phiếm hàm vùng lượng lớn, xung lượng truyền nhỏ chứng minh biên độ tán xạ hay biên độ tán xạ hai hạt có dạng biểu diễn Glauber, mà pha tương ứng với tương tác dạng Yukawa Biểu diễn cho biên độ tán xạ nhận việc khai triển eikonal hàm Green tương ứng mặt khối lượng, số hạng (leading term) chuỗi Trong khn khổ tích phân phiếm hàm phép gần eikonal, tìm số hạng bổ bậc cho biên độ tán xạ Planck Số hạng dẫn đến xuất hiệu ứng trễ, mà có bậc nhỏ số hạng mà ta nhận Số hạng bổ bậc lần tìm tán xạ Planck hai hạt qua việc trao đổi graviton phương pháp phiếm hàm Đã chưng minh rằng: số hạng bổ trùng với số hạng bổ theo tong bậc lý thuyết nhiễu loạn cải biến, sử dụng phương trình chuẩn Logunov-Tavkhelidze gần eikonal Thế Yukawa sử dụng để cụ thể hoá kết kể Từ hàm Green mơ hình Bloch-Norsieck, sau khử tích phân phân kỳ phương pháp chỉnh Pauli-Villars chỉnh thứ nguyên tiến hành tái chuẩn hoá khối lượng, thu hàm Green lượng tử electron QED3, QED4 hữu hạn Đã rằng: trình khử phân kỳ phương pháp chỉnh Pauli – Villars chỉnh thứ nguyên cho giản đồ lượng riêng photon QED sinh khối lượng photon nhau, q trình tính tốn, tính bất biến chuẩn lý thuyết đảm bảo Những kết thu chứng tỏ phương pháp tích phân phiếm hàm phương pháp tiếp cận hữu hiệu để nghiên cứu vấn vật lý lượng cao, đặc biệt tán xạ lượng Planck Ưu việt so với phương pháp lý thuyết nhiễu loạn thông thường hay việc tổng lớp giản đồ Feynman riêng biệt khả nghiên cứu dạng kín đại lượng hàm Green, biên độ tán xạ , đặc trưng trình tương tác hạt lý thuyết lượng tử, kể hấp dẫn lượng tử Việc nghiên cứu hiệu ứng lượng tử liên quan đến tán xạ lượng Planck tiếp tục nghiên cứu thời gian tới Các kết nghiên cứu trình bày Hội nghị Vật lý tồn quốc lần thứ VI Hà Nội (2005), Hội nghị Vật lý lý thuyết lần thứ lần thứ 32 Nha Trang - Khánh Hoà (2007), Hội nghị khoa học trường Đại học khoa học tự nhiên -ĐHQG Hà Nội tổ chức Hà Nội (2002, 2004), đồng thời công bố mạng Quốc tế, Tạp chí khoa học quốc gia quốc tế ... NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN  NGUYỄN NHƯ XUÂN ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN PHIẾM HÀM ĐỂ NGHIÊN CỨU MỘT SỐ VẤN ĐỀ TƯƠNG TÁC CỦA LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết. .. chuẩn xác so với phương pháp tích phân phiếm hàm phương pháp giản đồ Feyman Cụ thể vùng lượng nói phương pháp tích phân phiếm hàm biên độ xác tới gần bậc một, cịn phương pháp giản đồ Feyman dường... diễn tổng quát hàm Green trường ngồi dạng tích phân phiếm hàm Phương trình cho hàm Green trường ngồi mơ hình tự tương tác “nucleon” vơ hướng mơ tả trường (x) có Lagrangian tương tác: Lin  g3