Khử phân kỳ hồng ngoại trong lý thuyết trường lượng tử

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ====== ====== TRẦN VĂN QUANG KHỬ PHÂN KỲ HỒNG NGOẠI TRONG LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội -2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ====== ====== TRẦN VĂN QUANG KHỬ PHÂN KỲ HỒNG NGOẠI TRONG LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Vật lý toán Mã số: 60 44.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Cán hướng dẫn: GS TSKH Toán-lý Nguyễn Xuân Hãn Hà Nội -2011 MỤC LỤC MỤC LỤC MỞ ĐẦU Trang CHƢƠNG 1: QUÁ TRÌNH TÁN XẠ ELECTRON Ở TRƢỜNG ĐIỆN TỪ NGOÀI 1.1 Tán xạ electron trường điện từ gần bậc 1.2 Bổ photon ảo cho biên độ tán xạ gần bậc 18 CHƢƠNG 2: TIẾT DIỆN TÁN XẠ ĐỘC LẬP VỚI PHÂN KỲ HỒNG NGOẠI 28 2.1 Bổ photon thực cho biên độ tán xạ gần bậc 28 2.2 Phương pháp λmin ……………………………… …….………………… 33 2.3 Tiết diện tán xạ vi phân .43 KẾT LUẬN .45 TÀI LIỆU THAM KHẢO .47 PHỤ LỤC A: KHỬ PHÂN KỲ BẰNG ĐIỀU CHỈNH THỨ NGUYÊN 48 PHỤ LỤC B: CÁC QUÁ TRÌNH TÁN XẠ ELECTRON Ở TRƯỜNG NGOÀI .54 -3- MỞ ĐẦU Lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến tái chuẩn hố khối lượng điện tích electron điện động lực học lượng tử (QED) kết hợp lại cho phép ta tính tốn q trình tương tác điện từ với kết phù hợp tốt với số liệu thực nghiệm /1-4/ Sự tái chuẩn hoá đại lượng vật lý (ví dụ: Trong QED tái chuẩn hố khối lượng điện tích electron) địi hỏi để loại bỏ tích phân phân kỳ giản đồ Feynman vùng xung lượng hạt ảo lớn thuộc đường /1-4/ Các phân kỳ loại gọi phân kỳ tử ngoại Để giải khó khăn đến tồn ba phương pháp khử phân kỳ chủ yếu lý thuyết trường lượng tử /2/: Phương pháp Pauli-Vallars, phương pháp điều chỉnh thứ nguyên, phương pháp cắt xung lượng lớn Các phương pháp giúp biểu diễn biểu thức cho yếu tố S-ma trận thành tổng: phần hữu hạn có ý nghĩa vật lý phần vô hạn riêng biệt mà sau ta gộp vào đại lượng cần tái chuẩn hóa thành đại lượng vật lý Khối lượng điện tích phương trình trường tụ electron photon QED chưa tương tác người ta gọi khối lượng “trần” m0 điện tích “trần” e0 Khi tương tác khối lượng điện tích thay đổi Các phân kỳ QED bậc lý thuyết nhiễu loạn tách thành phần riêng biệt δ m δ e Các phần phân kỳ δ m δ e gộp với khối lượng “trần” m0 điện tích “trần” e0 Các giá trị thu mvật lý = m0 + δ m, evật lý = e0 + δ đồng với khối lượng vật lý e điện tích vật lý, mà người ta đo thực nghiệm Việc gộp giá trị “trần” với phần phân kỳ tính tốn giản đồ Feynman, gọi q trình tái chuẩn hố /1,2,3/ Ngồi phân kỳ tử ngoại lý thuyết trường nói chung cịn tồn loại phân kỳ khác, phân kỳ hồng ngoại vùng hạt thực hạt ảo nhỏ so với xung lượng hạt xung lượng truyền hạt /3/ Photon người ta gọi photon “mềm” Phân kỳ liên quan đến trường mà lượng tử có khối lượng nghỉ khơng, ví dụ photon QED, graviton trường hấp dẫn lượng tử…Các đặc trưng cho kỳ dị hồng ngoại xuất không cho hàm Green, mà yếu tố ma trận chúng xác định phương trình lý thuyết trường Những khó khăn phân kỳ hồng ngoại, mà gặp phải nghiên cứu toán xạ hấp thụ photon với lượng nhỏ điện động lực học cổ điển /3/ Ví dụ, xác xuất xạ photon vùng lượng thấp tỷ lệ nghịch dω dW ≈ , tổng xác xuất xạ photon phân kỳ dạng loga với tần số ω ω → /3/ Nguyên nhân phân kỳ hồng ngoại xuất do: việc sử dụng lý thuyết nhiễu loạn thông thường dựa vào khái niệm S- ma trận theo chuỗi luỹ thừa theo điện tích e khơng hợp lý cho q trình vật lý có photon với bước sóng dài hay photon mềm tham gia Sự khơng hợp lý việc áp dụng lý thuyết nhiễu loạn lý giải sau: Số lượng photon electron xạ khoảng đơn vị lượng ω→ tiến tới vơ Khi đó, lý thuyết nhiễu loạn người ta lại giả thiết rằng: xạ photon có xác xuất lớn xạ hai hay lượng lớn photon /3/ Trong QED phân kỳ hồng ngoại xuất tính lượng bổ bậc cao cho trình vật lý dựa vào lý thuyết nhiễu loạn Thông thường để vượt qua trở ngại này, người ta phải điều chỉnh lại kỳ dị hồng ngoại cho S-ma trận cách cho photon khối lượng nhỏ λmi /3/ Các n kỳ di hồng ngoại xuất cho photon ảo photon thực trình xạ hãm Đáng ý, đóng góp hai loại photon ảo photon thực sau lấy tổng cho kết quả, kỳ dị hồng ngoại bị triệt tiêu lẫn bậc lý thuyết nhiễu loạn, tham số điều chỉnh đưa vào đặt khơng biểu thức cuối Sự giải thích vật lý lập luận loại trừ kỳ dị hồng ngoại lẫn tìm thấy nhiều tài liệu tham khảo đại /1,2,3,4/ Vấn đề kỳ dị hồng ngoại tách khỏi khai triển nhiễu loạn thông thường viết dạng nhân tử hàm mũ Sự loại trừ lẫn kỳ dị hồng ngoại bậc thấp đảm bảo cho loại trừ lẫn tất bậc khác tiếp theo, tương đương hai phương pháp khác khử phân kỳ hồng ngoại bậc thấp có ý nghĩa tương đương bậc khai triển nhiễu loạn /5,6/ Vấn đề đặt liên hệ phân kỳ hồng ngoại phân kỳ tử ngoại nào? Liệu sử dụng phương pháp điều chỉnh phân kỳ tử ngoại, áp dụng tiếp tục cho phân kỳ hồng ngoại khơng? Vấn đề có ý nghĩa cho nghiên cứu lý thuyết chuẩn, lý thuyết điện yếu GlashowSalam-Weinberg, lý thuyết thống tương tác kể tương tác hấp dẫn /4/ Muc đích Bản Luận văn Thạc sĩ khoa học nghiên cứu khử phân kỳ hồng ngoại lý thuyết trường lượng tử cho toán tán xạ trường điện từ Bản Luận văn gồm: phần mở đầu, hai chương phần kết luận Phần mở đầu vắn tắt nêu tổng quan vấn đề liên quan đến loại phân kỳ thường gặp lý thuyết trường lượng tử, giải pháp nhiệm vụ Luận văn cần thực Trong Chương I chúng tơi xem xét tốn tán xạ electron trường điện từ Lagrangian tương tác điện từ Lint = ieψγ µψ Aµ , ψ trường spinơ-electron-positron, cịn Aµ trường điện từ Mục $1.1 chúng tơi nghiên cứu giản đồ Feynman trình tán xạ đàn tính electron trường điện từ ngồi gần bậc lý thuyết nhiễu loạn, tính tiết diện tán xạ vi phân tương ứng với giản đồ Trong mục $1.2 nghiên cứu đóng góp bổ photon ảo gần bậc nhât Trong q trình tính tốn giản đồ Feynman sử dụng phương pháp khử phân kỳ điều chỉnh thứ nguyên Chương II: Bổ photon thực cho trình tán xạ electron trường điện từ ngồi Trong mục $2.1 chúng tơi xem xét đóng góp photon thực cho q trình tán xạ kể Việc tính tốn đóng góp phương pháp λmin trình bày mục $2.2 Mục $ 2.3 dành cho việc lấy tổng đóng góp photon thực photon ảo, kết cuối tiết diện tán xạ độc lập với phần kỳ hồng ngoại Phần kết luận tóm tắt kết nhận luận văn, thảo luận vai trò, triển vọng phương pháp khử phân kỳ việc nghiên cứu lý thuyết trường đại ngày Trong Phụ lục A nêu vắn tắt luận điểm phương pháp khử phân kỳ điều chỉnh thứ ngun, dẫn cơng thức tích phân cần thiết cho tính tốn hiệu ứng vật lý sau Ở ta xét mơ hình trường vô hướng tự tương tác Lin = t gϕ3 (ϕ trường vô hướng) mục 1.1, tiến hành phép chia tách phần hữu hạn, phần phân kỳ tử ngoại cho giản đồ lượng riêng hạt thực vơ hướng mục 1.2 Mơ hình tương tác đơn giản Lin = t gϕ3 cho phép thực tính tốn cụ thể chi tiết, dễ hiểu chất vấn đề Để nghiên cứu trình tương tác điện từ thực QED phải dẫn thêm tổng qt hố số cơng thức thơng dụng bao gồm ma trận Dirac γ cho hạt có spin µ kn kn p p' p p' e d  kn p p' f m p' p g Hình B.2: Mô tả cách để thêm photon ảo vào giản đồ hình B.1 Bây giờ, coi ρn hàm k Hình B.1 mơ tả giản đồ n liên quan đến (n-1) photon số lượng trường tương tác tuỳ ý Hình B.2 mơ tả cách khác để đưa n photon ảo vào giản đồ Các giản đồ hai đầu photon ảo thứ n kết thúc trường ngồi (hình a,b,c) Các giản đồ cịn lại, có đầu photon thứ n kết thúc đường (hình B.2.d,e,f), hữu hạn kn → tất xung lượng ki photon ảo khác không Nếu k → k → đồng thời, phân kỳ chồng n i chéo kn k phát sinh Khi đó, ta viết: i ρ (k k ) = S ( k ) ρ (k ) + β (1) (k k .k n n n n−1 n−1 n n−1 , k ), n (B.5) Trong S (kn chứa đóng góp phân kỳ kn từ hình Phần ) (1 ) βn phần không chứa phân kỳ Lặp lại cách làm (B.5) ta thu được: ρn ( k1 = S ( kn ( kn−1 ) ρ ( k1 kn− n n−1 +S (k n, )− βk n − ( ) ) ( k k +S (k n kn−2 ) − β ( ) ( (B.6) , kn ) { + −S (k , , k k ) β ) ) } ( + ) β ( ( k ) ( k k k Biểu thức dấu { } (B.6) không chứa phân kỳ hồng ngoại kn , ( k )B) k, k n−1 Tiế p tục lặp lại qu trì nh nh (B 6), dẫ n tới : {−S (k ) β ( ) ( k k + β ( ) ( k n−2 r =0 ) ) } = β ( ) ( k n−1 ∑ ( ) ( S n−1 + + n ( ( ) ( ) n n−1 S , k , k k ) i=1 ρ nên ta đặt: (ki+1 ) S (kn ) β1 n−1 (ki ) i=1 n (n−2 B ) n ( ∑ n ρ n S ( B 1 ) ( r k i → k1(kn )=∑ n!Sn ki− r(β ∏ n!)kr− r(+ k1n n ) β n − ) Đặt (B.9) vào (B.4) ta thu được: ( k n−1 k i − 1, k i + k n−1 n−2 n−1 1 dr 4kS ( k ) n n n−r M n ∫2 k − λ ∫ n − r =  Cu ối cù ng, ta đặt : d k S ( αk p ≡∫ ) k2 d 4k(k ∏k β k 2n r1 ) n−r n Và m  p, p '(ε ) ≡ r   d 4k2 i=1 ki n−r ∏ r! ∫ β n−r (k k ) (B.12) n−r Ta thu biểu thức (B.2) Chú ý B mr phụ thuộc vào ε thông qua lượng chuyển đổi E ' = E − ε Các khả xuất photon thực Phương trình (B.3) dẫn tới tiết diện tán xạ tỷ lệ với exp(2α B) Tiết diện tán xạ n photon thực với tổng lượng ε có dạng: dσ n n ∫ k∏) = exp(2α B)  dε đại lượng n! ρ  m=1 dk (k m2 n   δ  ε − ∑ k  ρ n ( p, p ', k m + λ2 )  đóng vai trị i=1  (B.13) n photon ảo Cần ý, ρn n E ' = E − ∑ km không thiết phải trùng E ' = E − ε , nhiên, hàm δ đảm với bảo E ' = E − ε Khi đó: ρ có đóng góp tới (B.13)  n dσ dε ∞ = lim λ →0 dσ ∑n n=0 dε (B.14) Đại lượng ρ thu phương pháp tương tự  n đại lượng ρn (từ (B.5 đến B.9) ρ có tính chất đối xứng  n photon thực chồng chéo phân kỳ hồng ngoại huỷ bỏ cách thức cho photon thực ảo k p p' a k p p' b k p p' c Hình B.3 Mơ tả cách khác để thêm photon thực vào giản đồ Chúng ta thu biểu thức tương tự (B.8): n ρ n ( k1 kn ) = S ( k1 ) S ( kn ) + ∑ S ( k1 ) S ( ki−1 ) S ( ki+1 ) S ( kn ) β ( ki ) i=1 + + ∑ S ( ki ) β n−1 ( k1 ki−1, ki+1 kn ) + β (k1 kn ) n Tương tự trước, i=1  S (B.15) chứa phân kỳ hồng ngoại (hình 6a,b) cịn β khơng có Chúng ta phải đánh giá S E ' = E − ε Mặt khác, β i ( km ) xác định miền E ' = E − ∑ km , nghĩa là, β  xác định E ' = E β , xác g n đị δ ∏ S nh góp tạ  (k) tớ i( i B E ε )β  3) '= ( k1 ) E ( − − k ,… k B i∑ n  , k i j m c hỉ k hi ε = ∑ ki + ∑ km T a c ó t h ể c h u m=1 n yển hàm δ (B.13) dạng: k  δ ε − ∑ n  ∞   (B.16) −∞ Thay (B.16), (B.15) (B.13) vào (B.14) ta thu được: ngoại photon thực, tương tự, ≤ε 2 ( α B=) limεexp dy.eiy exp k, S e−iyk p, p '(ε ) dε λ→ ∫ (  )1   k +λ −∞    ∞ −iyk n  m  m × β + ∏(np,p' ,.k k ) ∫ n!  n=1 2 β  tổng d  S  k    12 khôn ∫ g π hồng ε βlà tổng không hồng ngoại n photon ảo Các hồng ngoại photon thực hàm mũ chứa S liên quan đến d  3k k Se B Trong (B.17), biểu thức thứ + mô tả D tổng hồng ngoại photon k ảo, mô tả tổng hồng m ngoại photon thực, S = dexp iy − k y   m       m   m ∫    12 hà m m ũ ch ứa n d 1 ,18) (B = m π e vớ photon thực khác − i y k ∑k = ε i Khi ta ều ki ện   (B.17) thừa số  viết: k ≤ε d k  − iyk α k ≤ε Và (ε ) ( d 3k  −iyk ) (B.20) Dp,pk,' S e≡  −1 ∫k Thừa số2 phụ thuộc α vào y, B  tích phân D xác định λ → Từ (B.18) tới (B.20), ta đặt: d σ ∞ n  ∞ 3k d − +  (B 1) ≡ d ∑ ∏ eβ m iyk m  −∞ dε 2π ∫  n!m=1 km n ∫ phần khơng hồng ngoại (B.17) Khi đó, từ (B.17) viết: dσ 2α dσ (B.22) dε λ →0 dε từ a số h d σ  thuộc vào giới λ → mô p hạn photon dε ), tả h mềm (khi B ụ p.k − k2  B đóng góp hồng ngoại bậc thấp hiệu chỉnh tán xạ Hệ số hồng ngoại Như trình bày trên, B phát sinh từ giản đồ 5(a), (b), (c), B từ giản đồ 6(a), (b) Trong giản đồ có tính chất đặc biệt photon đóng góp tới B B có liên quan đến trường hoàn toàn độc lập với phần bên giản đồ (phần gạch chéo) Biểu thức B B có dạng: i d  p − k 2 B= ( − '  µ −  (B.23) Và −1 ε ∫ k  p' dk    12 p 2 B = ( B ) µ µ −  8π   k p ' k p  Trong (B.24) pµ − kµ → λ → pµ ,…khi xét p.k − λ2 → đặt p.k Ngồi ra, ta đặt: = − iπδ k − (k ( B ) − λ2 ) λ2 Khi hiệu ứng photon ảo trở thành hiệu ứng photon thực Các đóng góp cực thành phần: k     12 µ ∫ − d 3k µ  2p'−k  8π 2 p − k 2 (B.26)  p '.k − λ p.k − λ  Khi k → , phần phân kỳ huỷ bỏ Các đóng góp (B.26) B cực hàm truyền electron ( p.k − k )1 ( p '.k − k ) 1 hữu hạn λ2 → Khi p ' triệt tiêu thành kết → cổ điển p , hạt không tăng tốc p đk thay cho khối lượng m h ưin B oợ khơng có t c: p thể ' → lượng xạ Tương tự, B triệt o khử n hố hàm sóng Khi xét lượng cao ε nhỏ, B B viết dạng gần đúng: c p tiêu tái chuẩn =− ủ a 1 p 2 m + p p p' p − − '    Và  o t  lnln   2 2λ 2m E.E ' E 2  m E (B.2 8) '  =1 ( B 27) h m m + p p p' − p o n λ − '  , m ln ε ln  ε   ln λ    Nếu sử n ỏ dụng xung lượng h t a t h u B=−  p p '  E.E '  E.E '  ln ln − − ln 2π   k  k  (B.29)    m2  Và =1 B ε p p '  − 2π , (B.30)  ln m 1ln   Khi B λ + giống ( ) tổng B ( λ ) ( k B ( kmin ) + B ( kmin ) : ) 2α B + B = − ln p.p ' , α A E.E ' α ln + (B.31) m2 ε2 đâ y: 2π αA≡− k 2α p 2 dΩ ≅∫ 2α  p.p '   p' µ µ −   ln −1 (B.32) 4π  p '.k p.k  π  m  ...TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ====== ====== TRẦN VĂN QUANG KHỬ PHÂN KỲ HỒNG NGOẠI TRONG LÝ THUYẾT TRƯỜNG LƯỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Vật lý toán Mã số: 60... trị “trần” với phần phân kỳ tính tốn giản đồ Feynman, gọi q trình tái chuẩn hố /1,2,3/ Ngồi phân kỳ tử ngoại lý thuyết trường nói chung cịn tồn loại phân kỳ khác, phân kỳ hồng ngoại vùng hạt thực... vật lý đặc trưng vô quan trọng giai đoạn phát triển đại lý thuyết trường lượng tử Nhờ có khái niệm chân khơng vật lý mà tương tác hạt lý thuyết trường lượng tử coi kết việc trao đổi lượng tử trường