Luận văn thạc sĩ phương pháp giải tích hàm trong lý thuyết xác suất

Phương pháp giải tích hàm lý thuyết xác suất La Văn Thịnh Page Phương pháp giải tích hàm lý thuyết xác suất La Văn Thịnh ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HÀ NỘI KHOA TOÁN – CƠ – TIN La Văn Thịnh PHƢƠNG PHÁP GIẢI TÍCH HÀM TRONG LÝ THUYẾT XÁC SUẤT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – 2013 Page ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HÀ NỘI KHOA TOÁN – CƠ – TIN La Văn Thịnh PHƢƠNG PHÁP GIẢI TÍCH HÀM TRONG LÝ THUYẾT XÁC SUẤT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán Mã số: 60 46 15 NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC GS TSKH Đặng Hùng Thắng Phương pháp giải tích hàm lý thuyết xác suất La Văn Thịnh MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU BẢNG KÍ HIỆU CÁC KHƠNG GIAN Chƣơng 1: CHUYỂN ĐỘNG BROWN VÀ KHÔNG GIAN HILBERT 1.1 1.1.1 1.1.2 1.1.3 Một số kết giải tích hàm khơng gian Hilbert Khái niệm không gian Hilbert Tính trực giao hình chiếu Hệ trực chuẩn đầy đủ 1.2 Chuyển động Brown 1.2.1 Định nghĩa tính chất chuyển động Brown 1.2.2 Tích phân ngẫu nhiên 14 Chƣơng 2: KHÔNG GIAN ĐỐI NGẪU VÀ SỰ HỘI TỤ THEO XÁC SUẤT 2.1 Một số kết giải tích hàm 18 2.1.1 Định lý Hahn – Banach 18 2.1.2 Toán tử đối ngẫu 22 2.1.3 Tôpô yếu Tôpô yếu* 22 2.1.4 Tính compact không gian .28 2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3 Sự hội tụ dãy độ đo xác suất 32 Định lý giới hạn trung tâm 32 Sự hội tụ yếu dãy độ đo xác suất không gian Metric 35 Ứng dụng tính compact xác suất 38 2.2.4 Các dạng hội tụ khác biến ngẫu nhiên 41 Chƣơng 3: NỬA NHĨM TỐN TỬ VÀ MỘT SỐ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN 3.1 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5 Lý thuyết nửa nhóm 43 Định lý Banach – Steinhaus 43 Các phép tốn khơng gian Banach với phiếm hàm liên tục 44 Các toán tử đóng 46 Nửa nhóm tốn tử 51 Định lý Hille – Yosida 61 3.2 Ứng dụng xác suất 67 Page Phương pháp giải tích hàm lý thuyết xác suất 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4 La Văn Thịnh Nửa nhóm với chuyển động Brown 67 Nửa nhóm với trình Poisson 69 Nửa nhóm với q trình Levy .70 Nửa nhóm với trình Markov 78 TÀI LIỆU THAM KHẢO 87 Page LỜI NĨI ĐẦU Giải tích hàm lâu đài đồ sộ tốn học, chứa đựng nhiều kết đẹp đẽ sâu sắc Rất nhiều tốn khó lý thuyết xác suất tiếp cận thành công cách đưa chúng ngơn ngữ giải tích hàm, sau sử dụng cơng cụ vơ phong phú giải tích hàm để xử lý Phương pháp giải tích hàm phương pháp quan trọng có hiệu việc nghiên cứu lý thuyết xác suất Đề tài luận văn thạc sĩ tìm hiểu số cơng cụ giải tích hàm như: phương pháp không gian Hilbert, lý thuyết không gian đối ngẫu lý thuyết toán tử để nghiên cứu số vấn đề lý thuyết trình ngẫu nhiên định lý giới hạn lý thuyết xác suất Cụ thể, luận văn tôigồm chương sau: Chƣơng 1: Chuyển động Brown không gian Hilbert Chương nàytrình bày số kết giải tích hàm khơng gian Hilbert khái niệm chuyển động Brown; sau sử dụng lý thuyết không gian Hilbert tồn chuyển động Brown Cuối cùng, ta đề cập đến khái niệm tích phân Ito Chƣơng 2: Khơng gian đối ngẫu hội tụ độ đo xác suất Trong chương này, ta nói phiếm hàm tuyến tính Trình bày định lý tiếng định lý Hahn – Banach, giới thiệu ứng dụng khái niệm giới hạn Banach Sau đó, ta tiếp tục nghiên cứu tốn tử đối ngẫu, tơpơ không gian Banach đối ngẫu Cuối cùng, ta nghiên cứu tập compact tôpô yếu tiếp cận giải vấn đề tồn chuyển động Brown Chƣơng 3: Nửa nhóm tốn tử số q trình ngẫu nhiên.Chương tập chung nghiên cứu lý thuyết nửa nhóm tốn tử, định lý tiếng giải tích hàm định lý Banach – Steinhaus định lý Hille – Yosida Sau đó, ta ứng dụng vào giải vấn đề liên quan đến số trình ngẫu nhiên như: chuyển động Brown, trình Poisson, q trình Levy, q trình Markov Để hồn thành luận văn này, trước hết xin cảm ơn sâu sắc tới người thầy hướng dẫn trực tiếp GS TSKH Đặng Hùng Thắng, thầy bảo tận tình giúp đỡ tạo điều kiện cho nhiều việc, không trình làm luận văn mà trình học tập, làm việc tơi Cũng xin gửi lời cảm ơn tới thầy cô giáo mơn Tốn, Khoa Cơ bản, Trường Học viện Tài – nơi tơi cơng tác, người bạn giúp đỡ tơi nhiều q trình làm luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn tới ban giám hiệu, phịng sau Đại học, Khoa Tốn – Cơ – Tin trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi tối đa suốt trình học tập nghiên cứu trường Tuy cố gắng thời gian khả có hạn nên vấn đề khóa luận chưa trình bày cách sâu sắc tránh khỏi sai sót cách trình bày Rất mong nhận góp ý xây dựng thầy cơ, bạn Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 21 tháng 10 năm 2013 Học viên La Văn Thịnh KÍ HIỆU CÁC KHƠNG GIAN (Ω, F, µ ) : Không gian độ đo, (Ω, F, P ) :Không gian xác suất BM (Ω) :Không gian gồm hàm đo được, bị chặntrên Ω L p (Ω, F, µ ), p > 1:Không gian gồm hàm đo Ω thỏa mãn  p p  x d µ  :Không gian gồm dãy x = ( xn thỏa mãn )n≥1 ∑ n=1 p xn s (3.2.19) P ( X (t ) ∈ B X ( s ) ) (s), B), Ví dụ 3.16: Nếu S= N = K (t − s, X B ∈B (R) n≥1 độ đo µ S đồng với dãy x = (ξn ) ξn = µ ({n}) Tương tự, cho hàm chuyển K pn,m (t ) = K (t, n,{m}), n, m ≥ 1,t ≥ Khi pn,m (t ) ≥ có ta có ∑p m≥1 n,m N xác định cơng thức pn,n (0) = 1, pn,m (0 ) = 0,∀n ≠ m, = Hơn nữa, theo phương trình Chapman – Kolmogorov ta pn,m ( s + t ) = K ( s + t, n,{m}) = ∫ K ( s, m,{n})K (t, n, dm) = ∑ pn,m ( s ) pn,m (t ) Mặt m≥1 N khác, P ( s ) P ( t ) = P ( s + P (t ) = ( pn,m (t n,m≥ )) theo phép nhân ma trận t) Họ ma trận gọi nửa nhóm ma trận chuyển vị Ngược lại, cho trước {P (t ) ,t ≥ 0} nửa nhóm ma trận chuyển vị, với P (t ) = ( pn,m (t )) ,t ≥ ta xác định hàm chuyển cho n,m≥ K (s, n, B) = ∑ pn,m (s), B ⊂ N m∈B Ví dụ 3.17 (Quá trình Ornstein – Uhlenbeck): Cho α,γ > trình Wiener w(t ) ,t ≥ , ta xác định trình Ornstein – Uhlenbeck bắt đầu sau t Page 164 Phương pháp giải tích hàm lý thuyết xác suất La Văn Thịnh X (t ) = γ e−αt ∫eαsdw(s) Ta chứng minh q trình Gauss q trình Markov nhất, tìm hàm chuyển Cho k ∈ N ∆w = w(s i, j,n cho trước = t0 < t1 < < tk Xác định ) − w (s ), s i+1, j,n i, j,n i, j,n =t + j−1 i (t − t ),i = 0, , n −1; j = 1, , k;n ∈ N n Khi đó, ((3.2.20 )X t j ) =γe −α t j j tl ∑∫ l =1 t seα ) sdw ( =limγ e−α t j n→∞ j j −1 j n−1 l =1 i=0 ∑∑ α si ,l ,n e ∆wi,l ,n l−1 Page 165 với giới hạn ,i = 1, 2, , ∑ a j X ( t j ) j=1 k L2 ( Ω ) Do đó, với hệ số k giới hạn k k n−1 b = ∑ a e−α t j Theo định lý, tổng α si ,l ,n γ ∑b ∑ e ∆w l ,n l =1 i=0 i,l l j j=1 biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối chuẩn xấp xỉ phân phối chuẩn nên k ∑ a X (t ) có phân phối chuẩn j=1 j j Sử dụng (3.2.20) , theo tính độc lập gia số chuyển động Brown E (∆ i,1, n EX (t ) nên ta có t = n ) EX ( t ) =( lim γ 2e ∑n1 e −α ( t + t ) s ) ∑n1 E∆ ∆ s 2 −α ( t +t +αlim (s γ e e n→∞ ) n −1 i ,1,n l ,1,n i,1,n l ,1,n i=0 l =0 n −1 ) ∑ ∑ ∆ E∆ +s i ,1,n l ,2,n 12 n→∞ i,1,n l ,2,n i=0 l =0 t n−1 −α ( t1 +t2 ) lim γ e = n→∞ Với ∑e 2α si ,1,n i=0 n t1 −α ( t1+t2 ) =γ e ∫e 2α s s > t , cho Z = Z ( s,t ) = X ( s ) − e−α(s ds −t ) X biến ngẫu nhiên chuẩn với kỳ (t ) vọng EZ = Với r ≤ t ta có r EZX ( r ) = γ 2e suy Z −α ( r +s ) độc lập với X ( r ) Do có varian Z ∫e r 2α u du − γ 2e −α ( s−t ) −α ( t +r ) Z độc lập với e ∫e 2α u du = 0, Ft = σ ( X ( r ) , r ≤ t ) Hơn nữa, ta s 2− α s = γ 2e α EZ = EZX ( s ) = γ 2e −2α s e2α u du − γ 2e ∫ 2α Tương tự với f ∈ C (1− e ∫ e 2α u du ) ( ( X ( s )) F ) = f (Z + e−α( ( ta có (R ) E e −2α (s−t ) du e ∫t = E f −α ( s−t ) −α ( s+t ) γ u s t t ) =∫ s−t ) X (t ) ) F f (τ + e−α( ) )P s−t ) ( dτ ) X (t t R Z ( f ( X ( s ) ) F ) = E( f ( X ( s ) ) X ( t )) Như trên, E t ta mở rộng đẳng thức v ∀f ∈ BM ( R ) Điều chứng tỏ i trình Ornstein – Uhlenbeck trình Markov Tuy nhiên, lấy P (Bts(X) ∈X (= )) f = 1B, B ∈B ( R ) ta có ( )) ( 1e−ατ(s+−t ) (ds τ ∈) = P X(s−t ) α B e− ( ) X (Pt X (t ) ∫ ) B Z R Z    Mặt c,  −2 ( ) ( γ ) α  xác định nên với ∀t > 0,∀τ ∈ R s− − Ne 0,  t , hà m K  α γ phân phối biến −2αt e vari ) ngẫu nhiên chuẩn với − anc α 1− kỳ vọng e t e τ( 2α hàm chuyển trình Rõ ràng, trình Ornstein – Uhlenbeck trình Markov + Nửa nhóm tốn tử liên quan đến hàm chuyển trình Markov: Với hàm chuyển cho trước, người ta xây dựng họ tốn tử BM(S )theo cơng thức (3.2.21) (Utµ )( B ) = ∫ K (t, p, B) µ (dp) S R õ r àng Ut µ l µ t Uc ánh độ đo không âm vào àĐ h t ũ xạ từ độ đo không âm ặ ì µn đ Cơng thức X q trình m c t g ộ 3.2.21) ( ộ Markov với ,t l đ tb cho ta ≥ hàm chuyển o i thấy: đ x đệ ộ K µ U phân phối ột đ phân c t trình , o phối ban s µ t thời đn u đầu h oế ất ì u điểm t Tuy nhiên, thay xét trực xác l tiếp nửa nhóm này, ta xét nửa nhóm { suất Uà Mặt (3.2.22) Tt x ( p) = ∫ x ( q ) K (t, p, khác, t n dq µ dq , t ≥ ) ( ) theo ,ử S phươn ta xác g trình BM ( S ) Nửa { t B mà Chap ≥ định r M ta tron nhóm đối Ut man – ngẫu với ,t ≥ o ( Kolmo g n gorov 0} g S } ) nh ó m to án tử Để ch ứn g mi nh Ut =ta có 1thể , sử t dụn g ≥biểu diễn 0cực tiểu xử B B lý phần M M ch µ  ∫ hàm o tử ( ( bở xd µ , S S i ta ) có ) ( S v ( x, µ ) = ∫ xd µ trùng với x,Ut ) Đặc biệt hơn, đối Tt i = (Tt x, ngẫu Ut µ) S t BM S ( đ dấu r ộ Ut ê ) Rõ n ràng Tt đ o = Tt1S = 1S ,t ≥ v Chú ý trường hợp q trình Levy, S = R ta không khẳng định C h B vào nửa o U nhóm ặ C ( c Tổng ánh xạ R ( quát, ta từ ) R ) khẳng định ánh xạ từ BM ( S ) vào Cũng vậy, tốn tử khơng âm bất biến với lõi hàm không âm Nếu S compact địa phương nửa nhóm Cbất biến nửa nhóm liên tục mạnh hạn chế ( khơng gian S ) ta nói {Tt , t≥ nửa nhóm Feller, q trình liên quan đến q trình Feller 0} ho ặc nh ân K Fe lle r gọi nhân Feller Ta ý trình Levy trình Định lý 3.2.3 (Nửa nhóm C nhân ( S chuyển): Cho S không gian ) compa ct {Tt , t≥ C nửa nhóm tốn tử co rút, không âm ( S cho ) 0} Tt1S = 1S Khi tồn hàm chuyển K cho (3.2.22) với ∀x ∈C (S ) Chứng p ∈ t minh: Với S ≥ ánh xạ x  Tt ánh xạ tuyến x ( p) tính khơng âm, x suy Tt x ( p) ≥ Ánh xạ bị chặn với mà ≥ chuẩn không vượt Tt = Theo định lý Riesz, tồn độ đo Borel K ( t, cho p,) (3.2.22) Tt S n K ( t, độ đo xác suất = 1S ê p,) n Ta chứng tỏ Vì l x nh ặ ác, i k t the ê , tr o ) n k on k (3.2 g h ≥ t ch ụ ứ giới hạn c 1ng theo t m điểm h in hàm e h liên tục o đị nh lý 2 K đ hi i ể m , t a n ó i l t n g K, p, B) ( t T t x k ( nên đo Điều p ) c h ứ n g t ỏ ( đú c ng ) vớ i tậ p π − syste m Vì σ− B B K tr (t, o , đóng Bây giờ, họ n B tập g ) đ đo ó đại số Borel sinh π− system tập đóng , nên th K tron đ S K hK e π t đo với h tập Borel B ó∫ a (b) g ộ o − , ì( ) i ( đị ( t n λ t, định nghĩa 3.16 thỏa mãn, điều kiện sau thỏa mãn x  t, h t T0 x = x Ta cần , k ụ lý B điều kiện , p thỏa mãn đ, ) ( c ) ( d ) p ( ế Chú ý rằng, theo Ta đề cập chứng minh trường hợp không gian , nB q metric Chứng minh trường hợp tổng quát hồn ) tính chất nửa nhóm d ta có tồn tương tự, cần đòi hỏi kỹ thuật cao Nếu ) q S không gian B tập xấp xỉ giới metric đóng 1B hạn hàm ) M K (t, hàm chuyển Rõ ràng, điều kiện p,) ( x ∈C (S ) ∫ ∫ x (r ) K (s, q, dr ) K (t, p, dq) =∫ x (r ) K (t + s, p,dq ), S S S X ấ p x ỉ x ta hà k thu m , phương trình liên k Chapman – tục ≥ B Kolmogorov với tập đóng B , mở rộng kết tập Borel Tính định lý Reisz suy từ (3.2.22 ) Định lý C 3.2.4 hàm (Nửa chuyể nhóm ( n): S Cho S khô ng gia n ) compact địa phương (nhưng không không gian compact) S∆ bằn g1 điể m S C h o com pac t hóa {Tt ,t ≥ 0} nửa nhóm tốn tử co khôn g âm rút, C0 ( S ) Khi tồn hàm chuyển K cho S∆ (3.2.22) với ∀x ∈C0 (S ) K (t, ∆,) = δ∆ Chứng minh: Ta chứng tỏ toán tử T ∆x = x (∆ ) t ( t S∆ cấu tạo nên nửa nhóm tốn tử co rút, khơng âm {Tt ∆ y+ = max( x,0) y = y+ − y− Vì max ( −x,0 ) Cả T y = T y+ t tử − T y− t phần t y+ y− thuộc Điều v x ∈C0 (S ) , suy i lấy tích phân (3.2.2 S∆ T T không âm y+ , y− nên 2) t t ∆ (∆) ∆ suy a1S + Tt y ≥ Từ bất S đẳng thức y ≤ a Tt ,t tốn tử co Vì ≥ rút nên − Do a1 + Tt y + T y + − T (đpcm) y− ≥ = a1S S∆ Sử dụng tính khơng âm t ∆ t S∆ ∆ = 1T 1x ≤ x , Tt x ≤ Tt x t nên ta có S ∆ S ∆ ∆ =S x ⇒ T S ∆ t Ty ≤a − v S nh t nha r u ê n Phần lại cần chứng minh T ∆x ( ∆ ) = x t a1 + y ≥ − y ≤a, S suy ∆ , tức T y− (t, dq), ), tử không âm, ta cần a1 + Tt y≥0 ∆ q p, y = x − a = x ( ∆ ) Để chứng (S∆ cho a1 ∆ minhS toán x ∈C p ∈ S∆ ∫ (K ) S∆ t T y+ ≥ T yt− Với ≤ a1 = C (S∆ ) Tính chất nửa nhóm y− = cho T ∆x ( p ) x ∆ 0} V y (S ), ới ∈ cho C0 (S )và Do đó, tồn hàm tịnh tiến S∆ suy trực tiếp từ tính chất nửa nhóm {Tt ,t ≥ ,t ≥ 0} C0 ) + Tt x − x ( ∆ )1S ≤1 (đpcm) + Quá trình Pseudo – Poisson: Cho K ( p, B) độ đo xác suất không gian đo đ ( vớ p ∈ S , B cố định i Ta xác hàm đo ợ S, ∈ m định c F F ỗi ) Kn, n ≥ theo quy nạp sau K ( B ( Kn+ ∫ Kn (q, B) K ( p ) ( p, dq) B S p, = B) = Đặ K = K Theo quy nạp c người ta chứng minh biệ t K n , n ≥ độ đo xác p cố định, B cố suất với ∈ định hàm đo ∈ F ∞ −at a nt n n S Bây a xá K (t, giờ, > c p, B ) cho địn = ∑e trước h n=0 điề u kiệ n (a )− (c) n! K ( p, B) Khi định nghĩa 3.19 Có lẽ cách đơn giản để chứng minh phương trình Chapman – Kolmogorov ý nửa nhóm t (St x ( q ) ∫ x)( K (t, p, p) dq) = R K liên quan đến S = độ đo e−ateatK cho Ở oán tử ( Kx )( p) = ∫ x ( q ) K ( p, dq) t T o n t {S nửa t ,t nhó ≥ m 0} S B – M khơ ( S ng tác động không gian ) K gian hàm đo bị chặn S Toán tử cực tiểu Bạn đọc tự viết tốn Cauchy x ∈ BM (S ) {St , a ( K t≥ −I 0} ) xt nghiệm = St với x Quá trình với hàm chuyển xác định sau: Giả sử q trình bắt đ p ∈ S Khi đó, có ầ ngẫu nhiên theo hàm u mũ với tham số tạ i a Tiế p theo, nhảy đến điểm ngẫu nhiên q hàm phân phối sau nhảy K ( p,) Quá trình liên tục, gọi trình Pseudo – Poisson Một điều thú trình Markov giới hạn trình Pseudo – Poisson: kết chứng minh định lý Hille – Yosida, giới thiệu phần phần trước TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Duy Tiến, Nguyễn Viết Phú (2004), Cơ sở lý thuyết xác suất, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Duy Tiến (2005), Các mơ hình xác suất ứng dụng, Phần III: Giải tích ngẫu nhiên, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Đặng Hùng Thắng (2006), Quá trình ngẫu nhiên tính tốn ngẫu nhiên, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Bernt Oksendal (1992), Stochastic Differentical equations, An introduction with Applications, Springer – Verlag, Berlin and New York [5] Adam Bobrowski (2005), Functional analysis for probability and Stochastic processes, Cambridge University ... phú giải tích hàm để xử lý Phương pháp giải tích hàm phương pháp quan trọng có hiệu việc nghiên cứu lý thuyết xác suất Đề tài luận văn thạc sĩ tơi tìm hiểu số cơng cụ giải tích hàm như: phương pháp. .. TRONG LÝ THUYẾT XÁC SUẤT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán Mã số: 60 46 15 NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC GS TSKH Đặng Hùng Thắng Phương pháp giải tích hàm lý thuyết. . .Phương pháp giải tích hàm lý thuyết xác suất La Văn Thịnh ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HÀ NỘI KHOA TOÁN – CƠ – TIN La Văn Thịnh PHƢƠNG PHÁP GIẢI TÍCH HÀM TRONG LÝ