Luận văn thạc sĩ phương pháp sai phân giải gần đúng bài toán biên giá trị ban đầu cho phương trình parabolic tuyến tính cấp hai

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN ĐŐ TH± THU HÀ PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIAI GAN ĐÚNG BÀI TOÁN BIÊN GIÁ TR±-BAN ĐAU CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TUYEN TÍNH CAP HAI LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN HOC Hà N®i - Năm 2012 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN ĐŐ TH± THU HÀ PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIAI GAN ĐÚNG BÀI TỐN BIÊN GIÁ TR±-BAN ĐAU CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TUYEN TÍNH CAP HAI Chun ngành: TỐN GIAI TÍCH Mã so : 60 46 01 LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC PGS.TS HÀ TIEN NGOAN Mnc lnc Ma đau Bài toán biên-giá tr% ban đau thÉ nhat đoi vái phương trình parabolic tuyen tính cap hai tong quát , 1,0 1.1 Không gian W (QT ) W˚ (QT ) 2 1.1.1 Không gian L2(Ω) 1.1.2 Đao hàm suy r®ng 10 ,0 1.1.3 Không gian W 1,0 (QT ) W˚ (QT ) 12 2 1.2 Nghiắm suy rđng cna bi toỏn biờn-giỏ tr% ban au thú nhat đoi vói phương trình parabolic tuyen tính cap hai tőng quát .14 1.2.1 Phương trình parabolic 14 1.2.2 Nghiắm suy rđng cna toán biên-giá tr% ban đau thú nhat đoi vói phương trình parabolic tuyen tính cap hai tőng qt 17 M®t so sơ đo sai phân giai gan tốn biên-giá tr% ban đau 26 2.1 Hàm lưói Ti so sai phân 26 2.2 N®i suy cna hàm lưói Các đ%nh lý nhúng 31 2.3 M®t so sơ đo sai phân 39 2.3.1 Sơ đo sai phân an thú nhat 40 2.3.2 Sơ đo sai phân an thú hai 44 2.3.3 Sơ đo hi¾n 50 Ket lu¾n 54 Tài li¾u tham khao 55 Ma đau Trong thnc te, nhieu hi¾n tưong khoa HQc ky thu¾t dan đen tốn biờn cna phng trỡnh vắt lý-toỏn Mđt so ớt trũng hop có the tìm đưoc nghi¾m cna tốn Cịn đai đa so trưịng hop vi¾c tìm nghi¾m cna tốn het súc khó khăn Khi đó, vi¾c tìm nghi¾m phai dna vào phương pháp giai gan Vói đe tài "Phương pháp sai phân giai gan toán biên-giá tr% ban đau cho phương trình parabolic tuyen tính cap hai", lu¾n văn trình bày phương pháp sai phân đe đưa toán biên-giá tr% ban đau cho phương trình parabolic tuyen tính cap hai ve m®t tốn đai so gom nhieu phương trình đai so tuyen tính Bài tốn đai so có phương pháp giai có the tìm đưoc nghi¾m gan cho tốn ban đau Lu¾n văn chn yeu trình bày ket qua đưoc đưa o chương III, VI cna [9] Ngoài phan mo đau, ket lu¾n tài li¾u tham khao, lu¾n văn đưoc chia thành hai chương: Chương 1: Bài toán biên-giá tr% ban đau thÉ nhat đoi vái phương trình parabolic tuyen tính cap hai tong qt Trong chương này, lu¾n văn trỡnh by mđt so khỏi niắm v tớnh chat c ban 1,0 ve m®t so khơng gian: L2 (Ω), W 1,0 (QT ), W˚ (QT ) đao hàm suy r®ng Đây 2 kien thúc ban e nghiờn cỳu nghiắm suy rđng cna bi toỏn biờn-giỏ tr% ban đau thú nhat đoi vói phương trình parabolic tuyen tính cap hai tőng qt Bài tốn se cú nghiắm suy rđng nhat W (QT ) Ngồi 1,0 ket qua cna [9], lu¾n văn su dung thêm ket qua cna [4] [6] Chương 2: M®t so sơ đo sai phân giai gan toán biên-giá tr % ban đau Đe tiep c¾n vói sơ đo sai phân, lu¾n văn se trình bày ve hàm lưói, hàm n®i suy cna hàm lưói moi quan h¾ giua giua hàm lưói n®i suy cna chúng Xét hai sn thay the cho đao hàm ∂u/∂t là: ut ut Sn thay the thú nhat cho ta hai sơ đo an: sơ đo sai phân an thú nhat thú hai, sn thay the thú hai cho ta sơ đo hi¾n Lu¾n văn se nghiên cúu sn őn đ%nh tính nhat nghi¾m cna sơ đo sai phân Ca ba sơ đo sai phân nh¾n đưoc se có nhat nghiắm v n %nh, nhng sn hđi o sơ đo an thú hai xay vói chuan yeu so vói sơ đo an thú nhat Các ket qua dna vào [9] Ban lu¾n văn đưoc hồn thành dưói sn hưóng dan chi bao t¾n tình cna PGS.TS Hà Tien Ngoan (Vi¾n Tốn HQc Vi¾t Nam) Thay dành nhieu thịi gian hưóng dan giai đáp thac mac cna suot trình làm lu¾n văn Tơi muon bày to lịng biet ơn sâu sac đen ngưịi Thay cna Qua đây, tơi xin gui tói Ban Giám Hi¾u, Phịng Sau Đai HQc, Khoa Tốn Cơ - Tin HQc trưịng Đai HQ c Khoa HQc Tn Nhiên, Đai HQc Quoc Gia Hà N®i lịi cam ơn sâu sac nhat đoi vói cơng lao day suot trình giáo duc đào tao cna Nhà trưịng Hà N®i, tháng 12 năm 2012 Chương Bài toán biên-giá tr% ban đau thÉ nhat đoi vái phương trình parabolic tuyen tính cap hai tong quát Không gian W 1,0 (QT ) W˚ 1.1 1.1.1 Không gian L2(Ω) 1,0 (QT ) Đ%nh ngha 1.1.1 [9] Mđt E cỏc phan tu trựu tưang đưac GQI m®t khơng gian tuyen tính đ%nh chuan thnc (hoắc phỳc) neu: E l mđt khụng gian tuyen tính vái phép nhân vái so thnc (ho¾c phúc); Vái MQI phan tu u ∈ E có m®t so thnc (đưac GQI chuan cua phan tu kí hi¾u ǁuǁ) thóa mãn tiên đe sau: (a) ǁuǁ ≥ 0, ǁuǁ = chs vái phan tu không; (b) ǁu + vǁ ≤ ǁuǁ + ǁvǁ, bat thúc tam giác; (c) ǁλuǁ ≤ |λ| · ǁuǁ Ta đưa vào khơng gian v¾y m®t metric tn nhiên: khoang cách ρ(u, v) giua hai phan tu u v đưoc xác đ%nh boi ρ(u, v) = ǁu − vǁ Đ%nh nghĩa 1.1.2 [9] Dãy {un } phan tu cua E GQI h®i tn tái u ∈ E (hay, h®i tn manh E ) neu ǁun − uǁ → n → ∞, kí hi¾u un → u Đ%nh nghĩa 1.1.3 [9] T¾p E J ⊂ E đưac GQI trù m¾t khap nơi E neu bat kì phan tu cua E giái han theo chuan E cua phan tu cua E J Neu E chỳa mđt hop em oc trự m¾t khap nơi E đưoc GQI tách đưoc ∞ Đ%nh nghĩa 1.1.4 [9] Dãy {un } n=1 GQI h®i tn (hay dãy Cauchy, dãy ban) neu ǁup − uq ǁ → p, q → ∞ Đ%nh nghĩa 1.1.5 [9] Neu MQI dãy Cauchy {un } ∞ n=1 có giái han phan tu u ∈ E E GQI khơng gian đu (trong trưàng hap ǁun − uǁ → n → ∞) M®t khơng gian tuyen tính đ%nh chuan đay đn đưoc GQI khơng gian Banach, ta kí hi¾u B MQI không gian ta xét tù tro đay đn trù m¾t Ve ban se nghiên cúu m®t trưịng hop cu the cna không gian Banach: không gian Hilbert, ta kí hi¾u H Đ%nh nghĩa 1.1.6 [6] Khơng gian tuyen tính X xác đ%nh trưàng so thnc đưac GQI không gian tien Hilbert neu vái MQI u, v ∈ X xác đ%nh m®t so GQI tích vơ hưáng cua u v) thóa mãn tiên đe sau: (u, v) = (v, u); (u1 + u2, v) = (u1, v) + (u2, v); (λu, v) = λ(u, v); (u, u) ≥ 0, (u, u) = chs vái phan tu không u = Đ%nh nghĩa 1.1.7 [6] Không gian tien Hilbert đu GQI không gian Hilbert √ Chuan cna phan tu u, kí hi¾u ǁuǁ đưoc xác đ%nh boi: ǁuǁ = (u, u) Ta thay đ%nh nghĩa cna m®t khơng gian Hilbert, bao gom u cau đay đn trù m¾t Xuyên suot lu¾n văn, se su dung không gian B H thnc Vói hai phan tu u, v bat kì H , ta có bat thúc Cauchy, Bunhiacopski, Schwarz (ta se GQI đơn gian bat thúc Cauchy): |(u, v)| ≤ ǁuǁ · ǁvǁ Ngoài ra, đe xét sn h®i tu theo chuan (sn h®i tu manh) không gian H , phai xem xét h®i tu yeu Đ%nh nghĩa 1.1.8 [9] Dãy {un } GQI h®i tn yeu đen phan tu u H neu (un − u, v) → n → ∞, vái ∀v ∈ H Kí hi¾u: un ~ u Ta thay rang, neu chuan cna un b% chắn eu thỡ e chỳng minh sn hđi tu yeu cna {un} đen u, ta chi can chúng minh (un − u, v) → n → ∞ t¾p V trù m¾t khap nơi H M®t dãy {un} khơng the h®i tu yeu đen hai phan tu cna H Neu {un} h®i tu đen u theo chuan H se h®i tu yeu đen u Đieu ngưoc lai khơng Tuy v¾y, neu {un} h®i tu yeu đen u ǁunǁ → ǁuǁ {un} h®i tu manh đen u Đ%nh lý 1.1.1 [9] Neu {un} h®i tn yeu đen u H, ǁunǁ ≤ lim ǁunǁ ≤ n→∞ lim ǁunǁ , n→ ∞ vái ve phai cua bat thúc huu han M®t khơng gian Hilbert bat kỳ khơng gian đóng cna nó, đn đoi vúi sn hđi tu yeu %nh ngha 1.1.9 [9] Tắp M không gian Banach B đưac GQI tien compact (hay tien compact B ) neu MQI dãy vơ han phan tu cua M có chúa m®t dãy h®i tn Neu giái han cua tat ca dãy thu®c ve M, M đưac GQI compact c1 đưoc xác đ%nh boi , à, n v T Ta nhắn oc mđt rng buđc tng tn cho cỏc bắc khụng nguyờn tự (2.3.21), (2.3.22), (2.3.19): u∆ p m + n ≤ c2 Σ Σ k Σǁϕhǁ + τ + f∆ p Σ 2Σ ≡ c2F(m + 1), (2.3.23) k=0 p=1 m = 0, 1, , N + 1, p = 1, , n Lay tőng bat thúc (2.3.16) su dung (2.3.23) ta đưoc giói han muon tìm: Σ m Σ Σ n ǁu∆(m + 1)ǁ p k=0 Σ2 n u∆ k + + p−1 − u∆ k + n n p=1 + k + p Σ Σ Σ n ντ k=0 uxp ≤ c 3F(m + 1), p=1 (2.3.24) vói m = 0, 1, , N − 1, F(m + 1) đưoc xác đ%nh o (2.3.23) Ve phai cna (2.3.24) khơng vưot q m®t hang so nhat đ%nh đưoc xác đ%nh boi ϕ(x) f (x, t) Đieu ki¾n b% ch¾n cho thay sn őn đ%nh cna h¾ (2.3.11), (2.3.12) có moi quan h¾ vói ϕ f Sn őn đ%nh giúp ta de dàng chúng minh sn h®i tu yeu L2(QT −δ ) vói ∀δ > cna hàm n®i suy˜ hang so-tùng manh u∆ cna hàm lưói u∆ đưoc tính theo (2.3.11), (2.3.12) đen nghi¾m u(x, t) cna tốn (2.3.1), (2.3.2) Sn h®i tu tot nhat cna u∆ đen u(x, t) có the chúng minh sau: Vói u(x, t) ta xây dnng m®t hàm lưói uˆ∆ (neu u(x, t) nghi¾m cő đien h¾ so cna L hàm so trơn đơn gian ta có the lay uˆ∆ giá tr% cna u(x, t) tai điem lưói), ta áp dung (2.3.11) cho uˆ∆ vói so dư r∆ (k + p/n) o ve phai, sau trù (2.3.11) áp dung cho u∆ Do đó, vói v∆ = uˆ∆ − u∆ ta nh¾n đưoc (2.3.11) có ve phai se có so dư r∆(k + p/n) thay cho (1/n)f∆(k + p/n) So Σn dư không can nho, tőng p=1 r∆(k + p/n) → τ → hi → Đieu cho ta m®t giói han cna dang (2.3.24) cho v∆ có ve phai tien đen τ → hi → Do vắy ta chỳng minh oc sn hđi tu cna u∆ đen u theo chuan tương úng vói ve trái cna (2.3.24) 2.3.3 Sơ đo hi¾n Sơ đo sai phân hi¾n cna (2.3.1), (2.3.2) khác vói dang (2.3.3) o sn thay the ut bang ut, nghĩa là: ut (k) − (aij∆ (k)uxj (k))xi + bi∆ (k)uxi (k) + a∆ (k)u∆ (k) = f∆ (k), u∆(k) |Sh=0= 0, k = 0, 1, , N, (2.3.25) (2.3.26) u∆ |t=0= ϕh Không gian Rn+1 đưoc chia thành ô ban o đau muc 2.3 Phương trình (2.3.25) phai thoa mãn vói t = tk = kτ , k = 0, 1, , N − 1, vói x ∈ Ω h Đe thu¾n ti¾n kí hi¾u hàm lưói aij∆, , f∆ tù aij, , f sau: ∫ (k0+1)τ ∫ aij∆ |(kh,k τ )= ∆−1τ−1 a h ij(x, t)dxdt k0 τ ω(kh) tương tn vói hàm khác Tính nhat Neu lay (2.3.25) tai moi điem (x, tk) ta có the xác đ%nh đưoc u∆ tai điem (x, tk + τ ) tù (2.3.25) neu giá tr% cna u∆ biet tai lóp t = tk Do nghi¾m xap xi u∆ có the xác đ%nh nhat đơn gian tù (2.3.25), (2.3.26) SE on đ%nh Đe nghi¾m u∆ qua giúi han cho mđt nghiắm u(x, t) cna (2.3.1), (2.3.2), can thiet phai đ¾t bưóc lưói cna t m®t han che có dang τ ≤ ci h2 i vói ci co đ%nh (sn can thiet phai han che v¾y đưoc the hi¾n 6.2 chương VI cna [9] trang 249, 250 xét m®t phương trình parabolic m®t chieu dang (2.3.1)) Đe đơn gian, gia su hi = h chi τ = ch2 vói c < (4nà)1, ú oc lay tự ieu kiắn (1.2.5) chương 1, nghi¾m u∆ lay giói han h → cho nghi¾m u(x, t) cna (2.3.1), (2.3.2) Cho đieu ki¾n (1.2.3)-(1.2.5) chương đưoc thoa mãn, ϕ ∈ L2(Ω), f (·, ·) ∈ L2,1(QT ) Ta nhân (2.3.25) vói 2τhnu∆(k + 1) lay tőng ket qua tat ca nút cna Ωh (hay, nút cna Ωh) Tù moi quan h¾ 2τu∆(k)δu∆(k − 1) = u2 ∆(k) − u∆ (k − 1) + δ2∆ u2 (k), nói đen o muc 2.3.1, (2.1.11) ta bien đői thúc ve dang ǁu∆(k + 1)ǁ2 − ǁu∆(k)ǁ2 + ǁδu∆(k)ǁ2 j i Ω+ h + 2τ hn i Σ Σ [aij∆ (k)ux (k)ux (k + 1) + bi∆ (k)ux (k)uµ (k + 1) + a∆(k)u∆(k)u∆(k + 1)] − 2τh n f∆(k)u∆(k + 1), (2.3.27) Ω h+ vói δu∆(k) = u∆(k + 1) − u∆(k) Viet tőng j1 (k) ≡ 2aij∆ (k)uxj (k)uxi (k + 1) thành: j1 (k) = aij∆ (k)uxj (k)[uxi (k) + δuxi (k)] + aij∆ (k)uxi (k + 1)[uxj (k + 1) − δuxj (k)] = aij∆ (k)uxj (k)uxi (k) + aij∆ (k)uxj (k + 1)uxi (k + 1) − aij∆ (k)δuxj (k)δuxi (k), vói δuxt (k) = uxt (k + 1) − uxt (k) Thay bieu thúc j1 (k) vào (3.2.27), chuyen ve so hang thú ba cna j1 (k) so hang vói bi∆ a∆ sang ve phai, sau ta ch¾n ch¾n dưói ca ve trái ve phai thúc, su dung đieu ki¾n (1.2.3)-(1.2.5) cna chương 2 2 Σ ǁux(k)ǁ + ǁux(k + 1)ǁ ǁu∆(k + 1)ǁ − ǁu∆(k)ǁ + ǁδu∆(k)ǁ + ντ Σ 2 ≤ µτ ǁδu∆(k)ǁ + ǁux(k)ǁ ǁu∆(k + 1)ǁ + ǁu∆(k)ǁ ǁu∆(k + 1)ǁ Σ (2.3.28) + 2τ ǁf∆(k)ǁ ǁu∆(k + 1)ǁ Ta viet m®t cách rõ ràng δuxi tai m®t nút (x, tk) tùy ý cna lưói giói han modul cna nó: |δu∆ (x + hei , k) − δu∆ (x, k)| h1 ≤ (|δu∆(x + hei, k)| + |δu∆(x, k)|) , h |δuxi (x, k)| = tù thay rang: n ǁδu x (k)ǁ ≤ h Σ Σ n h |δu∆ (x + hei, k)|2 + |δu∆ + h (x, k)|2 i=1 4n ≤ ǁδu∆2(k)ǁ h Σ (2.3.29) Thay the ràng bu®c vào ve phai cna (2.3.28) thay 2µ ǁux (k)ǁ ǁu∆ (k 2 + 1)ǁ (2.3.28) boi lưong lón (ν/2) ǁux (k)ǁ +(2µ2 /ν) ǁu∆ (k + 1)ǁ Tù ket qua sn rút GQN so hang giong (2.3.28), ta có: ν − ǁu∆(k)ǁ + τ ǁu2x(k)ǁ 2+ εǁδu ∆(k)ǁ 2µ 2 ≤ µτ Σ.1 + Σ ǁu (k + 1)ǁ + ǁu (k)ǁ Σ ∆ ∆ ν ǁu∆(k + 1)ǁ2 2 + ντ ǁux(k + 1)ǁ (2.3.30) + 2τ ǁf∆(k)ǁ ǁu∆(k + 1)ǁ , ε = − 4nµh−2τ Đ¾t vào ti so h−2τ đieu ki¾n (2.3.31) 4nàh2 , o õy l mđt so (0, 1) Tù (2.3.30) ta suy bat thúc mong muon m ǁu∆(m)ǁ + ντ Σ m ǁux(k)ǁ + ε k=0 Σ ǁδu∆(k)ǁ k=0  Σ2  n Σ τ ǁf∆(k)  , ≤ + c ǁu∆(0)ǁ k=1 ǁ (2.3.32) c đưoc xác đ%nh boi ν, µ T khơng phu thu®c vào u∆ (k) sn lna cHQN lưói Bat thúc cho thay sn őn đ%nh cna sơ đo sai phân cho phép ta chúng minh nghi¾m u∆ cna phương trình sai phõn (2.3.25), (2.3.26) hđi tu en nghiắm cna (2.3.1), (2.3.2) dúi ieu kiắn (2.3.31) ieu ny buđc ta lay búc lưói thịi gian τ nho, đieu dan đen sn can thiet đe tính tốn lâu dài cho sn xác đ%nh u∆ tai t1 l¾p túc neu h nho Chúng minh tương tn o muc 2.3.1 ta cú cỏc nđi suy uJ cna cỏc nghiắm xap xi u hđi tu túi nghiắm u(x, t) cna tốn (2.3.1), (2.3.2) Phương pháp đ¾t o trưóc đe nghiên cúu sơ đo sai phân có the áp dung cho nhieu sơ đo an khác Bang cách su dung nó, ta có the tiên đốn sn h®i tu cna sơ đo sai phân cho toán biên giá tr% ban đau thú hai thú ba neu phan elliptic cna có dang đưoc mơ ta §8, chương VI trang 266-270 cna [9], neu đao hàm tương úng vói t đưoc thay the theo m®t phương pháp mô ta o Ket lu¾n Lu¾n văn "Phương pháp sai phân giai gan tốn biên-giá tr% ban đau cho phương trình parabolic tuyen tính cap hai" trình bày ket qua oc a ve: Nghiắm suy rđng cna bi tốn biên giá tr%-ban đau thú nhat đoi vói phương trình parabolic tuyen tính cap hai M®t so khái niắm v tớnh chat cna hm lúi, nđi suy hm lưói Ba sơ đo sai phân giai gan tốn biên giá tr%-ban đau cho phương trình parabolic tuyen tính cap hai: tính nhat nghi¾m, sn őn đ %nh cna sơ đo M¾c dù rat co gang, van đe đưoc đe c¾p lu¾n văn tương đoi phúc tap thòi gian có han, v¾y lu¾n văn khơng tránh khoi nhung thieu sót Tác gia lu¾n văn mong muon nh¾n đưoc sn góp ý kien cna thay ban đong nghi¾p đe lu¾n văn đưoc hồn chinh Tài li¾u tham khao [1] Pham Kỳ Anh (1995), Giai tích so, Nhà xuat ban Đai HQc Quoc gia Hà N®i [2] Ta Văn Đĩnh (2002), Phương pháp sai phân phương pháp phan tu huu han, Nhà xuat ban Khoa HQc kĩ thu¾t [3] Nguyen Thùa Hop (1999), Giáo trình phương trình đao hàm riêng, Nhà xuat ban Đai HQc Quoc gia Hà N®i [4] Nguyen Manh Hùng (2008), Phương trình đao hàm riêng tuyen tính, Nhà xuat ban Đai HQc Sư pham [5] Đ¾ng Anh Tuan (2007), Giáo trình lý thuyet hàm suy r®ng [6] Hồng Tuy (2005), Hàm thnc Giai tích hàm, Nhà xuat ban Đai HQc Quoc gia Hà N®i [7] Godunov, S K Rjaben’kii, V S (1962), Introduction to the Theory of Difference Schemes, Gos Isdat Fiz Mat Lit., Moscow, tr 340 [8] Sobolev, S L (1950), Applications of Functional Analysis in Mathematical Physics, Izdat Leningrad Gos Univ, tr 255 [9] O.A Ladyzhenskaya (1985), The Boundary Value Problems of Mathematical physics, Springer- Verlag New York Berlin ... nghi¾m phai dna vào phương pháp giai gan Vói đe tài "Phương pháp sai phân giai gan toán biên- giá tr% ban đau cho phương trình parabolic tuyen tính cap hai" , lu¾n văn trình bày phương pháp sai phân. .. TH± THU HÀ PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIAI GAN ĐÚNG BÀI TOÁN BIÊN GIÁ TR± -BAN ĐAU CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TUYEN TÍNH CAP HAI Chun ngành: TỐN GIAI TÍCH Mã so : 60 46 01 LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN HOC NGƯèI... 2.1.3 [9] Toán tu sai phân đau tiên ta GQI ts so sai phân tien (hay ts so sai phân phai; ts sai phân nói tien) cua u tai nút xi Tốn tu trình sai sai phân thú hai GQI ts so phân nh¾n sai phân lùi