Luận văn thạc sĩ phương pháp sai phân giải gần đúng bài toán biên cho phương trình eliptic tuyến tính cấp hai

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN HOÀNG LÊ TIEN DŨNG PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIAI GAN ĐÚNG BÀI TỐN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYEN TÍNH CAP HAI LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN HOC Hà N®i - Năm 2012 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN HỒNG LÊ TIEN DŨNG PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIAI GAN ĐÚNG BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYEN TÍNH CAP HAI Chun ngành: TỐN GIAI TÍCH Mã so : 60 46 01 LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC PGS.TS HÀ TIEN NGOAN Mnc lnc Ma đau Bài tốn biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuyen tính cap hai 1.1 1.2 Khơng gian W (Ω), W˚ (Ω) tính chat ban 2 1.1.1 1.1.2 Đao hàm suy r®ng .4 Không gian W (Ω) W˚ (Ω) 1.1.3 Các tính chat ban 2 Nghiắm suy rđng cna bi tốn biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuyen tính cap hai 18 1.2.1 Nghiắm suy rđng W2 1() Bat ang thỳc thú nhat .18 1.2.2 Tính giai đưoc cna tốn Dirichlet không gian W 21(Ω) Ba đ%nh lý Fredholm 22 Phương pháp sai phân giai gan toán biên Dirichlet 33 2.1 Hàm lưói Ti so sai phân .33 2.2 N®i suy cna hàm lưói Các đ%nh lý nhúng 38 2.3 Phương trình sai phân đoi vói tốn biên Dirichlet 45 Ket lu¾n 52 Tài li¾u tham khao 53 Ma đau Bài tốn biên Dirichlet thưịng xuat hi¾n nhieu nhung tốn úng dung cna lý thuyet HQc chat long, đi¾n-tù trưịng v v Đa so toán tương đoi phúc tap thưịng khơng có phương pháp giai Chúng ta thưòng chi sn ton tai nhat nghiắm theo ngha nghiắm suy rđng Nghiắm ny chi cú ý nghĩa ve m¾t lý thuyet mà khơng áp dung đưoc vào thnc tien Do v¾y thnc te đe su dung nghi¾m phai tìm nghi¾m xap xi cna chúng Đe đáp úng m®t phan nho yêu cau cna vi¾c tìm nghi¾m gan cna tốn biên Trong lu¾n văn trình bày "phương pháp sai phân giai gan tốn biên cho phương trình elliptic tuyen tớnh cap hai" Nđi dung luắn chn yeu dna theo tài li¾u tham khao [8] cna O.A Ladyzhenskaya Lu¾n văn vói đe tài "Phương pháp sai phân giai gan tốn biên cho phương trình elliptic tuyen tính cap hai" trình bày ve phương pháp sai phân đe đưa tốn biên ve m®t tốn đai so (h¾ đai so tuyen tính) Bài tốn đai so có phương pháp giai có the tìm đưoc nghi¾m gan cho tốn ban đau cna phương trình elliptic tuyen tính cap hai Lu¾n văn đưoc chia thành hai chương: Chương 1: Bài toán biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuyen tính cap hai Trong chương ny trỡnh by mđt so khỏi niắm, tớnh chat c ban ve ao hm suy rđng dna trờn ti liắu tham khao [3] cna Nguyen Manh Hùng, khái ni¾m khơng gian W (Ω) W˚ (Ω) dna tài li¾u [8] cna O.A Ladyzhenskaya Đây 2 kien thúc ban đe nghiên cúu nghi¾m suy r®ng cna tốn biên Dirich- let cho phương trình elliptic tuyen tính cap hai Bài tốn se có nghiắm suy rđng nhat W 1() Chng 2: Phương pháp sai phân giai gan toán biên Dirichlet Trong chương trình bày ve hàm lưói, cỏc hm nđi suy cna nú v moi quan hắ giua chúng dna tài li¾u [8] cna O.A Ladyzhenskaya Phương trình sai phân đoi vói tốn biên Dirichlet dna theo tài li¾u [8] đưoc thnc hi¾n sau: Bưóc thú nhat xây dnng hàm lưói, n®i suy hàm lưói Bưóc hai chuyen tù tốn vi phân sang tốn sai phân Bưóc ba khao sát sn őn đ%nh h®i tu cna sơ đo sai phân Ban lu¾n văn đưoc hồn thành dưói sn hưóng dan chi bao t¾n tình cna PGS.TS Hà Tien Ngoan (Vi¾n Tốn HQ c Vi¾t Nam) Thay dành nhieu thịi gian hưóng dan giai đáp thac mac cna suot q trình làm lu¾n văn Tơi trân thành bày to lòng biet ơn sâu sac đen ngưòi thay cna Qua đây, tơi xin gui tói Ban Giám Hi¾u, Phịng Sau Đai HQc, Khoa Tốn- Cơ-Tin HQc trưịng Đai HQc Khoa HQc Tn Nhiên, Đai HQc Quoc Gia Hà N®i lịi cam ơn sâu sac nhat đoi vói cơng lao day suot trình giáo duc đào tao cna Nhà trưịng Hà N®i, tháng 12 năm 2012 Chương Bài tốn biên Dirichlet cho phương trình elliptic tuyen tính cap hai 1.1 Khơng gian W W˚ (Ω) tính chat (Ω), ban 1.1.1 Đao hàm suy r®ng Vói hai hàm so u(x) v(x) tùy ý, kha vi vô han mien Rn v v(x) triắt tiờu trờn mđt mien biên (nghĩa là, v ∈ C˙ ∞(Ω)), bang cách tích phân tùng phan k lan ta có: ∂kv + (−1) k1 ∂x ∂xkn ∫ Σu Ω k+ ∂ku n v ∂xk1 ∂xkn Σ dx = n Đ%nh nghĩa 1.1.1 [3]Cho Ω m®t mien khơng gian Rn M®t hàm so ωk1 kn ∈ L1 (Ω) đưac GQI đao hàm suy r®ng cap k cua u(x) ∈ L1 (Ω) neu: ∫ Σu ∂kv + (−1) ∂x ∂xkn Ω k1 k+ vωk1 kn Σ dx = 0, n vái MQI v ∈ C˙ ∞ (Ω), k = (k1 , , kn ), |k| = k1 + · · · + kn Kí hi¾u hàm ωk k ∂ku/∂xk1 ∂xkn , ho¾c Dku Cách kí hi¾u thú nhat se n n không gây sn hieu lam neu u ∈ Ck(Ω) ωk k n = ∂ku/∂xk11 ∂xknn Rõ ràng khỏi niắm ny l mđt phan mo rđng cna khỏi ni¾m cő đien ve đao hàm riêng liên tuc cna dang ∂ku/∂x k1 ∂xkn n Neu hàm u(x) có đao hàm thơng thưịng liên tuc cap k có đao hàm suy r®ng cap k Tù đ%nh nghĩa đao hàm suy r®ng ta thay hàm u(x) có khơng q m®t đao hàm suy r®ng M®t hàm có đao hàm suy r®ng có the khơng có đao hàm theo thơng thưịng Tính chat 1.1.1 M®t hàm có đao hàm suy r®ng cap k mien Ω có đao hàm suy r®ng cap k mien ΩJ ⊂ Ω Tính chat 1.1.2 Neu u1 u2 có đao hàm suy r®ng Ω c1u1 + c2u2 có đao hàm suy r®ng Ω và: ∂k(c1u1 + c2u2) ∂xk1 ∂xkn n ∂ku1 ∂ku2 = c1 ∂xk1 ∂xkn + c2 ∂xk1 ∂xkn n 1 n Tù đ%nh nghĩa cna đao hàm suy rđng ta thay k/xk1 xkn đc lắp vói thú n tn lay đao hàm Đao hàm suy r®ng bao ton nhieu tính chat cna đao hàm cő đien Tuy nhiên không phai bao ton tat ca, chang han tù sn ton tai đao hàm suy r®ng cap k khơng suy đưoc sn ton tai đao hàm suy r®ng cap nho k 1.1.2 Khơng gian W 1(Ω) W˚ (Ω) Đ%nh nghĩa 1.1.2 [3] Không gian W 21 (Ω) không gian bao gom tat ca hàm u(x) ∈ L2 (Ω) cho ton tai đao hàm suy r®ng MQI cap α, |α| ™ 1, thu®c L2 (Ω) đưac trang b% chuan: Σ∫ (1) ||u||2,Ω = Ω Σ1/2 (u + ux)dx Đ%nh nghĩa 1.1.3 [3] Không gian W2˚ (Ω) bao đóng cua C˙ ∞ (Ω) chuan cua không gian W 12(Ω) Không gian Hilbert W˚ (Ω) đóng vai trị ban vi¾c nghiên cúu tốn biên thú nhat vói phương trình cap hai cna dang khác Tích vơ hưóng khơng gian W (Ω) W˚ (Ω) đưoc xác đ%nh boi: ∫ (u, v)(1) = Qui ưóc: uxvx = Σn k= (uv + uxvx)dx Ω ux k vx k , u2x = Σn i= u2x i 2, (1.1.1) Gia su Ω mien b% ch¾n Rn Trong W˚ (Ω) ta có the đưa vào tích vơ hàm n®i suy khác cua uhα se h®i tn L2(Ω) tái u(x) hàm so ux (x), (ux ) ˜ (x) (ux )J α (x) đưac hình thành tù uhα se h®i tn yeu L2 (Ω) (m) i i h i tái ∂u/∂xi (đe chúng minh khang đ%nh cuoi cùng, can phai dùng (2.2.4)) Đ%nh lý 2.2.1 có the tőng qt cho trưịng hop hàm uh khơng tri¾t tiêu Sh theo cách sau Gia su có m®t dãy mien Ω ∗ h (giong bő đe SN 2.2.2) chúa Ω thoa mãn đieu ki¾n: Ω có the bieu dien dưói dang: i= Ωi, Ωi m®t mien cna Ω cho phép m®t sn mo r®ng cna W (Ωi)2 Gia ∗ su thêm rang hàm so uh xác đ%nh t¾p lưói Ω h (túc là, đinh ∗ cna ô ω(kh) cna Ω h ) Ta có đ%nh lý sau: Đ%nh lý 2.2.2 [8] Cho dãy hàm {uh} xỏc %nh trờn mđt dóy cỏc lỏi h , thóa mãn đieu ki¾n đưac miêu ta trên, cho (1) ǁuh ǁ Khi hàm n®i suy cua hu J Σ (x) ≤ c h (2.2.18)∗2,Ω b% ch¾n đeu theo chuan cua 2W (Ω) tien compact L2(Ω) T¾p hàm n®i suy tien compact L2(∂Ω) neu ∂Ω trơn Chúng minh cna đ%nh lý đưoc suy tù sn so sánh so hang o ve trái cna (2.2.18) vói chuan cna uJ (x) L2 (Ω) W (Ω) đưoc thnc hi¾n bien đői h tương tn (2.2.15)-(2.2.17) chúng minh cna đ%nh lý 2.2.1 2.3 Phương trình sai phân đoi vái toán biên Dirichlet Bài toán: Cho toán biên Dirichlet ∂x ∂i L u ≡ a (x) ∂u + a (x)uΣ + b (x) ∂u i i ∂xi + a(x)u = f (x) + ∂fi(x) ∂xi (2.3.1) u|S = i j ∂xj Su dung phương pháp sai phân huu han giai gan toán biên Dirichlet, trờn mđt mien b% chắn tựy ý Rn Gia su h¾ so cna phương trình hàm so b% ch¾n, đo đưoc thoa mãn đieu ki¾n aijξiξj + (ai − bi)ξiξ0 − aξ0 ≥ v1 nΣ i ξ2 (2.3.2) i= Trong v1 m®t hang so dương ξ0, ξ1, , ξn so thnc tùy ý Gia su f fi rang hàm thu®c L2(Ω) Chia nho Rn thành ω(kh) m¾t phang : xk = mhk, k = 1, , n, hk > su dung kí hi¾u phan 2.1, 2.2 cna chương Ta se xây dnng sơ đo sai phân őn đ%nh cho tốn (2.3.1) Dna so khơng gian W 21(Ω) bat thúc lưong (1 ≤ c (||f || + ||f || ), ||u||2,Ω 2, i 2, ) (2.3.3) cho nghiắm suy rđng u(x) cna toán (2.3.1) W21(Ω) Đieu đam bao tính őn đ%nh cna tốn (2.3.1), đ¾c bi¾t thoa mãn tính nhat nghi¾m cna tốn (2.3.1) lúp cỏc nghiắm suy rđng W 1() Ta nhú lai rang mđt nghiắm tng quỏt cna (2.3.1) W 1(Ω) đưoc xác đ%nh m®t phan tu cna W˚ (Ω) thoa mãn đong nhat tích phân : L(u, η) ≡ Σ.a − b ∂u Σ ∫ ∂u ∂η + a iu ∂x i ∂xj − fη Σ dx, ∂η ij = ∫ Ω fi Ω + auΣ ηΣ dx i ∂xi (2.3.4) ∂xi vói MQI η ∈ W2˚ (Ω) Đieu ki¾n b% ch¾n (2.3.3) de dàng tìm thay tù (2.3.4) neu ta thay η = u (2.3.4) su dung (2.3.2) Ta se xây dnng m®t sơ đo sai phân vói (2.3.3) Đe làm đieu này, ta bat đau tù (2.3.4) xây dnng m®t xap xi cna Tích phân Ω đưoc thay the boi tőng cna tích phân ω(kh) chúa Ω bên moi ô, u η đưoc thay the boi hàm hang so tùng manh u˜h ηh, đao hàm ∂u/∂xi ∂η/∂xi đưoc thay the boi hàm n®i suy hang ˜ so tùng manh tương úng cna dang ti sai phân dang mà xap xi chúng; ví du ux i ηx i Yêu cau u, η ∈ W2˚ (Ω) đưoc thay the boi hàm lưói uh, ηh tri¾t tiêu o biên Sh Do v¾y (2.3.4) đưoc thay the boi Lu(uh, ηh) ≡ ∫ = ∫Ω [(a u˜ + a u˜ )η˜ − (b u˜ + au˜ )η˜ ]dx ij i i xj h xi xi h h (fi η˜xi − f η˜h )dx (2.3.5) Ωh ho¾c Lh(uh, ηh) = ∆h Σ [(aijhuxj aihuh) − (bihuxi + ahuh)ηh] Ωh+ = ∆h Σ (2.3.6) (fihηxi − fhηh), + Ωh Trong Ω+h t¾p hop đinh x = (kh) cna nhung ω(kh) thu®c vào Ω (chú ý ω(kh) = {x : kihi < xi < (ki + 1)hi} moi ω(kh) liên kiet chi vói m®t đinh x = (kh) cna nó, v¾y t¾p Ω+ m®t phan cna Ωh) h Σ Các tőng ∆ có the đưoc mo r®ng cho tat ca Ω h h neu đ¾t đieu ki¾n rang uh ηh đưoc đ%nh nghĩa bang bên Ωh (chúng bang Sh) tat ca nhung hàm so cịn lai aijh, , fk đưoc đ¾t bang tai nhung điem cna Sh mà chúng không xác đ%nh, bang cách mơ ta dưói Các hàm lưói aijh có giá tr% tai nút (kh) = (k1h1, , knhn) bang vói giá tr% trung bình ∆h−1 ∫ ω(kh) aij (x)dx lay ô ω(kh) đieu lay cho MQI trưịng hop h¾ so so hang tn (2.3.1) "đ lắch" cna cỏc hm so đưoc lay (nghĩa h¾ so so hang tn do) lưói đưoc thnc hi¾n nhat Ví du nhung hàm so liên tuc vi¾c tính tốn đơn gian lay giá tr% chúng tai nút lưói Neu chúng khơng liờn tuc ta phai lay mđt hoắc vi giỏ tr% trung bình khác cna chúng Đong nhat thúc (2.3.6) phai đưoc thoa mãn tat ca hàm lưói ηh xác đ%nh Ωh bang Sh bờn ngoi h vắy (2.3.6) chỳa so hang đc l¾p, bien thiên tn bang điem "o phía trong" cna lưói Ωh, túc bang so đinh cna Ωh = Ωh \ Sh Ta bien đői (2.3.6) boi công thúc "tőng tùng phan" (2.1.11) ve dang: Σ ∆h Σ [(aijh uxi + aih uh )xi + (bih uxi + ah uh )]ηh = ∆h (2.3.7) (fihxi + fh )ηh , Ω Ω su dung ηh tùy ý tai điem cna Ωh Đieu cho ta h¾ phương trình sai phân (2.3.8) Lhuh ≡ (aijhuxi + aihuh)xi + bihuxi + ahuh = fihxi + fh, thoa mãn tai điem lưói cna Ωh Ta phai xét (2.3.8) vói đieu ki¾n biên (2.3.9) uh|Sh = Phương trình (2.3.8), (2.3.9) ho¾c (2.3.6), (2.3.9) cho ta sơ đo sai phân mong muon Nhung phương trình tao thnh mđt hắ so tuyen tớnh chỳa nhieu an (các giá tr% cna uh) bang so phương trình Tính giai đưoc nhat cna h¾ tính őn đ%nh cna sơ đo đưoc suy tù tiên đốn giói han cho uh, ta thnc hi¾n sau: Ta đ¾t ηh = uh (2.3.6) tính tốn, theo (2.3.2) cách xây dnng hàm lưói aijh, tai điem cna Ω+,h aijhuxj ux i + (aih − bih)ux uh − ahu2 ≥ v1 i h u2 n Σ x ≡ v1u x i i= Do v¾y Σ v1 ∆h Ω + h u2 ≤ Lh (uh , uh ) = ∆h Σ (fih ux + fh uh ) x i Ω + h ≤ ǁfhǁ2,Ω+ ǁuxǁ2,Ω+ + ǁfhǁ2,Ω+ ǁuhǁ |2,Ω+ , h h h h (2.3.10) ǁfh ǁ  1/2 Σ nΣ + = ∆h f2 , i= Ω+ h 2,Ω h ǁvh ǁ i h + 2,Ω = ∆h 1/2 v2  Σ Ω+ h h h M¾t khác vói bat kỳ hàm lưói uh bang Sh ta có: Σ ∆h uh ≤ c ∆h 2 Ω+ h Σ xu (2.3.11) Ω+ h Đây trưòng hop sai phân tương tn bat thúc Poincare-Friedrichs (2.2.19) Neu h¾ (2.3.9), (2.3.8) thuan nhat, nghĩa ve phai cna (2.3.8) bang tai MQI điem cna Ωh , hien nhiên tù (2.3.10), (2.3.11) chi có nghi¾m uh = Nói cách khác o õy hắ (2.3.8), (2.3.9) khụng the nhieu hn mđt nghiắm Nhưng theo đ%nh lý đai so tuyen tính h¾ ny cú mđt nghiắm uh vúi fih v fh tựy ý bat thúc (2.3.10), (2.3.11) cho uh Ta có: Σ v ∆h túc là: Ω u2 ≤ ||fh || x + + c||fh || + Σ ||ux || + 2,Ωh + h 2,Ωh 2,Ωh ||ux||2,Ω+ ≤ h v (2.3.12) (||fh ||2,Ω+ + ||fh ||2,Ω+ ) h h Tù đ%nh nghĩa cna fh bat thúc Cauchy ta có: f h2 = Σ ∆h ||fh ||2,Ω+ = ∆h Ω+ h h ω(kΣh) ∈ ∫ ∫ ω(kh) (kh) tương tn: f=2dx h fdx 2, Ω f dx ≤ ||f ||2 h (kh) ω Ωh ≤ Σω Σ2 ∫ ∆h ∫ Σ Ω ||fh||2,Ω+ ≤ ||f || 2,Ω = , n (2.3.13) Ω i=1 fi dx (2.3.14) Các bat thúc (2.3.12), (2.3.11) chúng to tính őn đ%nh cna sơ đo xây dnng theo chuan lưói, tương úng vói chuan lưong Chúng ta có cách khác xây dnng bat thúc (2.3.3) Bat đau tù nguyên tac xap xi đong nhat thúc (2.3.4), có the xây dnng sơ đo sai phân khác őn đ%nh theo (2.3.11), (2.3.12) Sơ đo khác (2.3.5) bang cách thay đao hàm ∂/∂xi boi ti sai phân bang cách cHQN hàm lưói aijh , , fh tù hàm aij , , f Ví du ta có the ˜ thay the boi uxj ηxi ˜ uxj ηxi (2.3.5) ˜ ˜ Ta se chúng minh sn h®i tu cna sơ đo (2.3.8), (2.3.9) vói MQI hi , i = 1, , n, tien tói 0, nghĩa ta chúng minh cỏc nđi suy cna cỏc nghiắm cna uh cna hắ (2.3.8), (2.3.9) đưoc mơ ta phan 2.2 h®i tu ve mđt hm u(x) l nghiắm suy rđng cna (2.3.1) Chúng ta se không su dung sn ton tai nghiắm suy rđng u(x) cna (2.3.1) Thay vo ú ta chúng minh ket qua bang cách su dung nghi¾m xap xi uh Theo Σ phan 2.2 (2.3.11), (2.3.12), (2.3.9) ta có n®i suy uJh (x) m®t t¾p b% ch¾n W2˚ (Ω) (o ta gia thiet uh = o bên Ωh ) Ta cHQN m®t Σ J dãy tùy ý u hα (x) mà h®i tu yeu L2 (Ω) vói đao hàm J ∂u hα /∂xi , i = 1, , n tói m®t hàm u(x) ∈ W2˚ (Ω) đao hàm cna Σ ∂u/∂x tương úng i Ta thay rang giói han cna hm so l mđt nghiắm suy rđng W 21(Ω) cna tốn (2.3.1) Tù (2.3.1) dưói đieu kiắn (2.3.2) cú the cú nhieu nhat mđt nghiắm suy r®ng W 1(Ω) Ta chúng minh sn ton tai nhat điem giói han W˚ (Ω) vói MQI t¾p Σ Σ Σ uJh(x) , hoắc hđi tu yeu L2 () cna uJ h(x) ∂uJ h/∂xi ve u ∈ W˚2 ∂u/∂xi tương úng (Ω) Theo đ%nh lý 1.1.1 chương 1, suy hàm uJh (x) h®i tu manh L2 (Ω) tói u(x) Do v¾y, ta can chi hàm giói han u(x) cna dãy uJhα (x) l nghiắm suy rđng cna (2.3.1), v e chỳng minh đieu taΣsu dung khang đ%nh đưoc chúng minh o phan 2.2 Áp dung Bő đe 2.2.1, Chú ý 2.2.1 Đ%nh lý 2.2.1 cho dãy {hα}, suy hàm n®i suy {u˜hα (x)} h®i tu manh tói u(x) L2 (Ω) hàm {u˜xi (x)} hđi tu yeu túi u/xi L2() Do vắy ta có the lay giói han (2.3.5) vói dãy {hα} vói đieu ki¾n ta lay chúng giá tr% cna ηh lưói Ωh cna m®t hàm co đ%nh η(x) tùy ý C˙ ∞(Ω) (boi vói hi đn nho hàm so ηh = Sh bên ngồi Ωh, hi tien tói dang n®i suy cna η ∂η/∂xi) η˜h (x) η˜xi (x) se h®i tu đeu Ω đen η(x) Mien lay tích phân Ωh (2.3.5) có the thay the bang mien Ω khơng phu thu®c vào h, vói η˜h , η˜xi bang o bên Ωh Ket qua cna vi¾c lay giói han (2.3.5) vói dãy hα ta chúng minh đưoc giói han cna u ∈ W˚ (Ω) thoa mãn (2.3.4) vói hàm η(x) ∈ C˙ ∞(Ω) mà ta lay Vì v¾y u(x) l nghiắm suy rđng cna (2.3.1) W 12() vói η m®t phan tu bat kỳ C˙ ∞ (Ω), C˙ ∞ (Ω) trù m¾t W2˚ (Ω) Do v¾y ta chúng minh đưoc đ%nh lý 2.3.1 Đ%nh lý 2.3.1 [8] H¾ phương trình sai phân (2.3.8), (2.3.9) őn đ%nh chuan lưang hàm n®i suy uJh (x) hình thành tù nghiắm u cua (2.3.8), (2.3.9) hđi tn manh L () en nghiắm suy rđng u W (Ω) h 2 cua toán (3.2.1) đao hàm ∂uhJ /∂xi h®i tn yeu L2 (Ω) tái Σ ∂u/∂xi , i = 1, , n Trong h¾ so cua (2.3.1) hàm so đo đưac b% ch¾n thóa mãn (2.3.2) f, fi ∈ L2 (Ω) vái mien Ω b% ch¾n Ket lu¾n Lu¾n văn "Phương pháp sai phân giai gan tốn biên cho phương trình elliptic tuyen tính cap hai" trình bày van đe sau: Nghi¾m suy r®ng cna tốn biên đoi vói phương trình elliptic tuyen tớnh cap hai Mđt so khỏi niắm tính chat cna hàm lưói, n®i suy hàm lưói Phương pháp sai phân đoi vói tốn biên Dirichlet: tính nhat nghi¾m, sn őn đ%nh cna sơ đo M¾c dù rat co gang, van đe đưoc đe c¾p lu¾n văn tương đoi phúc tap khan năng, thịi gian có han, v¾y lu¾n văn khơng tránh khoi nhung thieu sót Tác gia lu¾n văn mong muon nh¾n đưoc sn góp ý kien cna thay ban đong nghi¾p đe lu¾n văn đưoc hồn chinh Tài li¾u tham khao [1] Pham Kỳ Anh (1995), Giai tích so, Nhà xuat ban Đai HQc Quoc gia Hà N®i [2] Ta Văn Đĩnh (2002), Phương pháp sai phân phương pháp phan tu huu han, Nhà xuat ban Khoa HQc kĩ thu¾t [3] Nguyen Manh Hùng (2008), Phương trình đao hàm riêng tuyen tính, Nhà xuat ban Đai HQc Sư pham [4] Đ¾ng Anh Tuan (2007), Giáo trình lý thuyet hàm suy r®ng [5] Hồng Tuy (2005), Hàm thnc Giai tích hàm, Nhà xuat ban Đai HQc Quoc gia Hà N®i [6] Godunov, S K Rjaben’kii, V S (1962), Introduction to the Theory of Difference Schemes, Gos Isdat Fiz Mat Lit., Moscow, tr 340 [7] Sobolev, S L (1950), Applications of Functional Analysis in Mathematical Physics, Izdat Leningrad Gos Univ, tr 255 [8] O.A Ladyzhenskaya (1985), The Boundary Value Problems of Mathematical physics, Springer- Verlag New York Berlin ... NHIÊN HOÀNG LÊ TIEN DŨNG PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN GIAI GAN ĐÚNG BÀI TỐN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYEN TÍNH CAP HAI Chun ngành: TỐN GIAI TÍCH Mã so : 60 46 01 LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN HOC NGƯèI HƯéNG... cap hai" trình bày ve phương pháp sai phân đe đưa toán biờn ve mđt bi toỏn so (hắ so tuyen tính) Bài tốn đai so có phương pháp giai có the tìm đưoc nghi¾m gan cho tốn ban đau cna phương trình. .. tuyen tính cap hai" Nđi dung luắn chn yeu dna theo ti liắu tham khao [8] cna O.A Ladyzhenskaya Lu¾n văn vói đe tài "Phương pháp sai phân giai gan toán biên cho phương trình elliptic tuyen tính