Luận văn thạc sĩ phương trình sai phân một số ứng dụng và định tính

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN ———- * ——— NGUYEN TH± MY HANG PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN M®T SO ÚNG DUNG VÀ бNH TÍNH LUắN VN THAC S TON HOC H Nđi - Nm 2011 o0o NGUYEN TH± MY HANG PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN M®T SO ÚNG DUNG VÀ бNH TÍNH Chun ngành: TỐN GIAI Mã so : 60 46 01 TÍCH LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC PGS.TS NGUYEN SINH BAY Mnc lnc Ma đau 1 Phương trình sai phân m®t vài Éng dnng 1.1 Sai phân phương trình sai phân 1.1.1 Thang thòi gian Z sai phân 1.1.2 Khái ni¾m phương trình sai phân 1.2 Phương trình sai phân R1 m®t vài úng dung 1.2.1 Phương trình sai phân tuyen tính cap k h¾ so hang 1.2.2 M®t vài úng dung 1.3 Phương trình sai phân tuyen tính 13 1.3.1 Nghi¾m tőng quát cna h¾ thuan nhat 14 1.3.2 1.3.3 Nghi¾m tőng qt cna h¾ khơng thuan nhat 16 Úng dung ket qua R1 cho phương trình Rp 18 1.3.4 Nghi¾m cna h¾ thuan nhat dùng qua vector Nghiên cÉu đ%nh tính cua phương trình sai phân 22 26 2.1 Khái ni¾m őn đ%nh nghi¾m phương trình sai phân 26 2.2 Phương pháp nghiên cúu đ%nh tính 28 28 2.2.1 Phương pháp thú nhat Lyapunov 2.2.2 Phương pháp hàm Lyapunov 38 2.2.3 Phương pháp bat thúc 43 iii MUC LUC Ket 49 Tài li¾u tham khao 50 iv Bang ký hi¾u ρ(A) - t¾p giai cna tốn tu tuyen tính A σ(A) - t¾p phő cna tốn tu tuyen tính A Φ(n, m) - ma tr¾n ban cna h¾ thuan nhat K - lóp hàm Hahn v Ma đau Các q trình vói thịi gian liên tuc (t ∈ R) Toán HQc lĩnh vnc khác đưoc nghiên cúu nhieu Gan đây, thang thòi gian tőng quát rat đưoc ý nghiên cúu lý thuyet khai thác úng dung Thang thòi gian ròi rac cách đeu, thưịng đưoc quy ve t¾p so ngun loai thang thịi gian rịi rac đơn gian ti¾n loi, đưoc su dung nhieu vi¾c thu th¾p, xu lý so li¾u Lu¾n văn nghiên cúu đoi tưong thay đői thang thòi gian này, chúng đưoc GQI cỏc hắ đng lnc dang sai phõn Viắc giai tũng phương trình vi phân (các lóp thơng dung) nói chung đơn gian nhieu so vói phương trình sai phân có dang tương tn Vi¾c nghiên cúu tính chat nghi¾m cna phương trình sai phân khó hơn, cơng cu so vói phương trình vi phân dang M®t so cơng thúc hồn tồn xác đinh, có bieu thúc đe tính tốn rat khó thnc hi¾n thnc te Ví du, nghi¾m cna phương trình x(n + 1) = f (n, x(n), x(n − 1), , x(n − k + 1)) vói đieu ki¾n ban đau (n0, x0), x0 = (x00, x0− , x0− , , x0−k+ )(x0i ∈ Rp) đưoc thiet lắp mđt cỏch de dng bang phng phỏp truy hoi (xem [2]) Tuy nhiên cơng thúc nghi¾m v¾y nói chung rat khó tính tốn thnc hành Khi so bưóc lón bieu thúc truy hoi l rat cong kenh Luắn muon tỡm mđt so trũng hop riờng hoắc mđt so vớ du cu the mà cơng thúc tőng qt có the viet đưoc chi tiet đen thành phan cna vector ho¾c phan tu cna ma tr¾n, Lu¾n văn Me đAu giành m®t phan đe tìm hieu dỏng iắu tiắm cắn cỏc nghiắm cna mđt vi loai phương trình sai phân Cau trúc cna lu¾n văn sau: Chương trình bày kien thúc tőng quan, ban nhat ve phương trình sai phân m®t vài úng dung Chương trình bày m®t so đ%nh tính, chn yeu tính őn đ%nh cna phương trình sai phân, phương pháp nghiên cúu tính őn đ%nh Do em mói bat đau làm quen vói cơng vi¾c nghiên cúu nên ban lu¾n văn khơng tránh khoi nhieu thieu sót Kính mong thay đong nghi¾p chi bao lưong thú Lu¾n văn đưoc thnc hi¾n dưói sn hưóng dan cna PGS TS Nguyen Sinh Bay Nhân d%p em xin cam ơn thay giúp đõ em vi¾c nam bat kien thúc chuyên ngành vi¾c đ%nh hình, hồn thi¾n ban lu¾n văn Em xin bày to lòng biet ơn sâu sac đen lãnh đao thay Khoa Tốn-Cơ-Tin HQc, phòng Sau Đai HQc, trưòng ĐHKHTN, ĐHQGHN ve kien thúc q em nh¾n đưoc thịi gian HQ c t¾p tai trưịng Xin chân thành cam ơn thay cô, ban Xem- ina cna tő Giai tích, ĐHKHTN Cam ơn ban t¾p the lóp Cao HQc giai tích Cám ơn gia đình, ngưịi thõn ve nhung lũi đng viờn, khớch lắ H Nđi tháng 12 năm 2011 Nguyen Th% My Hang Chương Phương trình sai phân m®t vài Éng dnng 1.1 Sai phân phương trình sai phân 1.1.1 Thang thài gian Z sai phân Ta làm vi¾c nhieu vói q trình vói thịi gian liên tuc (t ∈ R) Nhưng thnc te so li¾u thu th¾p đưoc can xu lý lai thưịng tù điem thòi gian ròi rac (xem [3, 4, 5, 7, 8, 9, 10]) Q trình thịi gian rịi rac đơn gian nhat q trình bao gom thịi điem cách đeu m®t khoang h > 0, bat đau tai thòi điem t0: I = {t0 + nh : n = 0, ±1, ±2, } Khi ta nói I m®t lưói thịi gian rịi rac cách đeu vói bưóc lưói h > 0, bat đau tù thịi điem t0 ∈ R Trưịng hop đ¾c bi¾t: Neu lay t0 = coi h = mđt n v% thũi gian thỡ I tro thnh t¾p so nguyên Z I = {0 + n : n = 0, ±1, ±2, .} := Z Chương Phương trình sai phân m®t vài úng dnng Neu chi lay n = 0, 1, 2, ta có I = {0, 1, 2, 3, } = Z+-t¾p so ngun khơng âm Ta đưa thờm mđt so ký hiắu se dựng ve sau: R+ = [0, +∞) N(n0) = {n0, n0 + 1, n0 + 2, , } (n0 ∈ Z) N(n, m) = {m, m + 1, m + 2, , n − 1, n} (m < n) Gia su f m®t ánh xa tù Z vào Rp (ho¾c tù Z+ vào Rp) f :Z → Rp Z sn −→ f (n) ∈ Rp Khi ta nói f (·) m®t hàm có đoi so nguyên Đ%nh nghĩa 1.1.1 Gia su f (Ã) l mđt hm so xỏc %nh trờn Z, nh¾n giá tr% Rp Khi đó, sai phân cap m®t cna hàm f (·) tai n ∈ Z hi¾u sau đây: ∆f (n) = f (n + 1) − f (n) (1.1) Sai phân cap hai là: ∆2f (n) = ∆(∆f (n)) = f (n + 2) − 2f (n + 1) + f (n) (1.2) Sai phân cap k là: k Σ k k−1 ∆ f (n) = ∆(∆ f (n)) = Cki (−1)i f (n + i) (1.3) i=0 Sai phân cap có tính chat (xem [3]): ∆c = (c hang so)  k m  k > m ∆ x = đa thúc b¾c m − k k ≤ ∆k[αx(n)m + βy(n)] = α∆kx(n) + β∆ky(n) (α, β ∈ R) N Σ ∆kx(n) = ∆k−1x(N + 1) − ∆k−1x(M ) n=M 1.1.2 Khái ni¾m phương trình sai phân Đ%nh nghĩa 1.1.2 Gia su x(n) m®t hàm đoi so nguyên n ∈ Z chưa biet, can tìm tù thúc: F (n, ∆kx(n), ∆k−1x(n), , ∆x(n), x(n)) = (1.4) k khơng đưoc khuyet ∆ x(n) Khi đó, thúc (1.4) đưoc GQI m®t phương trình sai phân cap k Tù đ%nh nghĩa 1.1.1, ta thay MQi phương trình sai phân cap k có the đưa ve dang tương đương sau F1(n, x(n + k), x(n + k − 1), , x(n + 1), x(n)) = (1.5) Trưịng hop riêng sau cna (1.5) GQI m®t phương trình sai phân cap k dang tac x(n + k) = f (n, x(n + k − 1), x(n + k − 2), , x(n + 1), x(n)).(1.6) Trưịng hop đ¾c bi¾t sau cna (1.6) đưoc GQI phương trình sai phân tuyen tính cap k x(n + k) + ak−1(k)x(n + k − 1) + · · · + a1(k)x(k + 1) + a0(k)x(k) = f (k) (1.7) Neu f (k) ≡ ta có phương trình sai phân tuyen tính thuan nhat x(n+k)+ak−1(k)x(n+k−1)+· · ·+a1(k)x(k +1)+a0(k)x(k) = (1.8) Neu h¾ so ai(k) đeu khơng phu thu®c vào k ta có phương trình sai phân h¾ so hang Tính chat cua phương trình sai phân tuyen tính 1/ Neu x1(n) x2(n) nghi¾m cna (1.8) vói x(n) = αx1(n) + βx2(n) nghi¾m cna (1.8) MQI hang so α, β có hàm Hahn): K = {a(·) : R+ → R cho a(0) = 0, liên tuc, đơn đi¾u tăng} Đ%nh lý 2.2.10 Xét h¾ sai phân Rp: xn+1 = f (n, xn) f (n, 0) = 0, vái MQI n + Neu ton tai hàm V : Z × Rp → R+, cho 1) V (n, 0) = 0, V (n, x) > 0, vái (2.6) (2.7) MQI x khác (2.8) 2) V (n, x) liờn tnc theo x (trong mđt lõn cắn U cua x = 0) 3) Ton tai hàm a(·) ∈ K cho a(||x||) ≤ V (n, x), (∀ n ∈ Z+, ∀ x ∈ U ), (2.9) 4) ∆Vx(n, V (n 1, xn+1 )Khi −nua: Vđó, (n, nghi¾m xn) ≤ 0,tam (∀ nthưàng ∈ Z+) x(2.10) n) =đ%nh xác (2.6) n+1 n ≡ cua (2.6) x(2.7) őná+đ%nh Hơn 5) Neu ton tai thêm hàm c(·) : R+ → R+ đơn đi¾u tăng c(0) = cho ∆V (n, xn) ≤ −c(||xn||) (2.11) xn ≡ őn đ%nh ti¾m c¾n Chúng minh Ta chi se trình bày cách chúng minh ý đau Phan chúng minh sn őn đ%nh ti¾m c¾n có the xem o [7] Gia su có 1) 2) 3) 4), ta can chúng ∈ Khơng Z+mat tőng choqt coitrưóc, de ε > thay minh U = Rp Vói cho trưóc h¾n0őn đ%nh a(ε) > Do V (n0, 0) = 0, V (n0, ·) liên tuc theo bien thú hai, V (n0, x) > vói MQI x khác nên ton tai m®t hình cau mo Bδ (0) cna x = cho x ∈ Bδ (0) kéo theo V (n0, x) < a(ε) Lay xn0 ∈ Bδ (0), ta se có vói MQI n ≥ n0, tù 3) 4): a(||xn||) ≤ V (n, xn) ≤ V (n0, xn0 ) < a(ε) xuChú lý nhưLay sau:δcác G≤QIđieu (0) cau mo bán nhat δ0ki¾n 0≡là0 chúa chihình choton m®t xlón = 0điem ta δB đưoc Sn tai δ0có>lân c¾n làkính doU xδcna là cnatrong U Uý Neu p hắ (2.6) n lý %nh euieu l tonkiắn tai mđt hm Ve(Ã,nghiắm Ã) : Z+ ì Rthng R+xsao cho: Đ%nh 2.2.11 can đu tam n ≡ cua a) a(||x||) ≤ V (n, x) ≤ b(||x||) vái a, b K, x tựy ý thuđc mđt lõn cắn cua Rp b) ∆V (n, xn) = V (n + 1, xn+1) − V (n, xn) ≤ vái MQI xn Chúng minh Đieu ki¾n đu: Vói ε > Do a(0) = a(·) đơn đi¾u tăng, liên tuc nên a(ε) > Do b(·) liên tuc, đơn đi¾u tăng nên kha ngh%ch Đ¾t δ(ε) = b−1[a(ε)] Vì b(0) = b(·) liên tuc, đơn đi¾u tăng nên δ(ε) = b−1[a(ε)] > G xnn0n:là nghi¾m cna (2.6) thoa mãn đieu ki¾n ban đau (n0, xn0 ).taKhi có vói neu nQI ≥||x || < δ(ε) tù ∆V (n, xn ) ≤ vói MQI n ≥ n0 (o b)), V (n, xn) ≤ V (n0, xn0 ) Lai theo a), ta có a(||xn||) ≤ V (n, xn) ≤ V (n0, xn ) ≤ b(||xn ||) < b(δ(ε)) = b[b−1a(ε)] = a(ε) Do a(·) đơn đi¾u tăng nên tù a(||xn||) < a(ε), ta suy ||xn|| < ε (2.12) Đây đieu ki¾n can chúng minh Do (2.12) thoa mãn vói bieu thúc δ(ε) = b−1[a(ε)] MQI n ≥ n0 (2.13) khụng phu thuđc vo n0 Vắy n %nh o őn đ%nh đeu Đieu ki¾n can: Vói moi điem ban đau ta GQI (n, x) ∈ Z+ × Rp, nghi¾m cna (2.6) qua điem xk(n, x), (k ≥ n) (2.14) (2.15) Ta cHQN hàm V (n, x) sau V (n, x) = sup ||xk (n, x)|| Ta can chi k≥ sn ton tai cna hàm a(·), b(·) ∈ K thoanmãn a) ∆(Vn ) ≤ C +/ Chi sn ton tai a(·) ∈ K: Ta có k≥ n V (n, x) = sup ||xk(n, x)|| ≥ ||xn(n, x)|| = ||x|| Lay := ||x||, a(·) ∈ tù K.điem etrên đây, lưu (n ýđiem ký hi¾u xn(nxx0n,(n, xn x)) xuat phát khoi tao cịn 0, xnn haynghi¾m xn(n,a(||x||) xncna ) (2.6) vector nghi¾m nói taitathịi ) Cịn k(n, 0x) fhay (Ã)xl(n, mđt xa n) n tr% nờn nghiắm xuat phỏt tù khoi (n , xn0 ) (n, cùngn) trùng x+n)ánh (kphát ≥ cna (2.6) vói điem Do xnghi¾m 1, tù l(n, xnghiắm chix) cựng mđt0 xktao vúi k+1(kk n+1 xuat xn)) ≡ (n, Nói cách khác (n,nghi¾m xn) xvà +/ Chi sn ton tai hàm b(·) ∈ K: H¾ (2.6) őn đ%nh đeu nên vói MQI ε > ton tai δ = δ(ε) (chú không phai δ = δ(ε, n0)) cho: ||xn0 || < δ ⇒ ||xk(n0, xn0 )|| < ε + Ta the HQN hàm δ(·) bien \ {0}) cho őn δ(·)đ hàm liên tuc, đơn đi¾u tăng Gia suε0> 0,ε(·) ||x|| < δ ⇒ ||xk(n, x)|| < δ, ∀ k ≥ n ⇒ V (n, x) = sup ||ck(n, x)|| < ε k≥ n ∗ s−1˛¸ δ ||x|| ≤ δ−1[δ(ε)] = ε x ε||x|| k≥ ⇒V (n, x) = sup ||xk(n, x)|| < ε = δ−1(||x||) = b(||x||) n Do δ liên tuc, đơn đi¾u tăng R+∗ nên b(·) = δ−1(·) v¾y V¾y vi¾c ton tai hàm b(·) ∈ K thoa mãn a) đưoc chúng minh Tiep theo, ta can kiem tra ∆V (n, x) ≤ vói MQI x Nhac lai: xk(n, xn), xk(n + 1, xn+1), xk(n0, xn0 ) chi l mđt (do l vector nghiắm xuat phỏt tự (n0, xn0 ) tai t = ε) Do đó, ta có V (n + 1, xn+1) = sup ||xk(n + 1, xn+1)| = sup ||xk(n, xn)|| k≥n+1 | k≥n+1 ≤ sup ||xk(n, xn)|| = V (n, xn) k≥ n ⇒∆V (n, xn) = V (n + 1, xn+1) − V (n, xn) ≤ Tóm lai V (n, x) xây dnng nh trờn l mđt hm Lyapunov khụng chắt Viắc xây dnng hàm Lyapunov chăt có the thnc hi¾n cho trưịng hop h¾ őn đ%nh ti¾m c¾n đeu Ket qua chi mói nh¾n đưoc cho trưịng hop hàm f (·, ·) Lipschitz Ta chi nêu mà không chúng minh ket qua này: Đ%nh lý 2.2.12 Gia su h¾ xn+1 = f (n, xn) f (n, 0) = őn đ%nh ti¾m c¾n đeu vái L > cho: MQI (2.16) (n, x), (n, y) ∈ Z+ × Sρ có ton tai ||f (n, x) − f (n, y)|| ≤ L||x − y|| (2.17) Khi đó, ton tai hàm Lyapunov ch¾t (theo nghĩa ∃c(.) ∈ K : ∆V (n, x) ≤ c(||x||) V (·, ·) thóa mãn đieu ki¾n Lipschitz (vái hang so Lípchitz có the khác L) 2.2.3 Phương pháp bat thÉc Bat thÉc Growall dang sai phân M¾nh đe 2.2.13 Gia su x(k), y(k) hàm dương N(a), C m®t hang so dương Khi neu Σ x(k) ≤ C + k−1 x(l)y(l) (2.18) l=a th ì k− Y x(k) ≤ C (1 + y(l)) (2.19) l=a Vi¾c chúng minh bő đe de, có the thnc hi¾n theo nhieu cách Sau đây, ta se chúng minh bang quy nap Tù (2.18), thay k = a ta có x(a) ≤ C (2.20) Vói k = a + 1: có x(a + 1) ≤ C + x(a)y(a), can chi x(a + 1) ≤ C + x(a)y(a) ≤ C(1 + y(a)) ⇔ C + x(a)y(a) ≤ C + Cy(a) ⇔ x(a) ≤ C (đúng (2.20)) Gia su m¾nh đe o bưóc k, ta can chi m¾nh đe o bưóc k + Có k x(k + 1) ≤ C + Σ k−1 x(l)y(l) = C + l= a Σ x(l)y(l) + x(k)y(k) l= a Ta can chi k−1 C+ Σ k x(l)y(l) + x(k)y(k) ≤ C l= a Y k−1 (1 + y(l)) = C l= a l= a Do m¾nh đe o bưóc k, nghĩa k−1 C+ Σ l= a Y k−1 x(k)y(k) ≤ C Y l= a (1 + y(l)) (1 + y(l))(1 + y(k)) nên ta chi can chi bat thúc sau đn: k−1 k−1 Y Y C (1 + y(l)) + x(k)y(k) ≤ C (1 + y(l))(1 + y(k)) ⇔ x(k)y(k) ≤ C k−1 (1 + y(l))y(k) al= l=a ⇔ x(k) ≤ C Y(1 + y(l)) l=a k− (2.21) (2.22) Y l=a Bat thúc lai đưoc thoa mãn m¾nh đe o bưóc k V¾y m¾nh đe đưoc chúng minh Xét hai phương trình sai phân u(a) = u0 ∆u(k) = f (k, u(k)), ∆v(k) = f (k, v(k)) + g(k, v(k)), v(a) = v0 (2.23) (2.24) Gia su: Gia su ton tai hàm λ(k) ≥ vói MQI k ∈ N(a) cho ||f (k, u) − f (k, v)|| ≤ λ(k)||u − v|| (2.25) vói MQI (k, u), (k, v) ∈ N(a) × Rp (ho¾c N(a) × Ω, vói Ω mo Rp ∈ Ω) Gia su ton tai hàm µ(k) ≥ vói MQI k ∈ N(a) cho ||g(k, u)|| ≤ µ(k) vói MQI (2.26) (k, u) ∈ N(a) × Rp Σ uđưac , v thóa cua mãn phương trình (2.23), (2.24) thóa mãn bat thúc sau: Y k−1 l=a −v (1 + λ(l)), ∀k ≥ a (2.27) µ( k− || + l= ||µ(k) − v(k)|| l) ≤ Σ MQI nghi¾mlý u(k), v(k)Neu váicác đieuđieu ki¾nki¾n ban(2.25) đau tương úng Đ%nh 2.2.14 (2.26) a ||u0 Chúng minh Tù (2.23): ∆u(k) = f (k, u(k)) có u(k + 1) = u(k) + f (k, u(k)) (2.28) Thay lan lưot k boi a, a + 1, a + 2, vào (2.28), ta có u(a + 1) = u(a) + f (a, u(a)) u(a + 2) = u(a) + f (a, u(a)) + f (a + 1, u(a + 1)) u(k) = u(a) + f (a, u(a)) + f (a + 1, u(a + 1)) + · · · + f (k − 1, u(k − 1)) k−1 ⇔ u(k) = u + Σ0 f (l, u(l)) (2.29) l=0 Tương tn v(k) = v + k−1 [f (l, v(l)) + g(l, v(l))] (2.30) Σ0l=0 Tù (2.29) (2.30) suy k− k−1 Σ Σ u(k) − v(k) = (u − v ) + [f (l, u(l)) − f (l, v(l))] − g(l, v(l)) 0 l=0 Suy l=0 k− k−1 0 ||u(k) − v(k)|| ≤ ||u − v || + Σ ||f (l, u(l)) − f (l, v(l))|| + l= k− 0 ≤ ||u − v || + Hay k−1 Σ λ(l)||u(l) − v(l)|| + l=0 k−1 k− Σ l=0 Σ l=0 µ(l) ||g(l, v(l))|| 0 ||u(k) − v(k)|| ≤ (||u − v || + Σ µ(l)) + Σ λ(l)||u(l) − v(l)|| (2.31) k−1 Σ l= l=0 0 Đ¾t C = ||u − v || + l=0 µ(l), x(k) = ||u(k) − v(k)||, y(k) = λ(k) su dung bat thúc Growall vói C = ||u Σ − v || + 0 k−1 l=0 µ(l), x(k) = ||u(k) − v(k)||, y(k) = λ(k) De thay x(a) = ||u0 − v0|| ≤ C Khi đó, ta có ||u(k) − v(k)|| ≤ − v || + k−1 Σ µ( l) k− Σ l=a ||u0 Tớnh giỏi nđi nghiắm (1 + (lYl=a )) Xột hai phương trình sai phân thuan nhat: u(k + 1) = Au(k) (2.32) v(k + 1) = [A + B(k)]v(k) (2.33) Đ%nh 2.2.15 cua Gia (2.33) su nghi¾m cuach¾n h¾ (2.32) đeu b% ch¾n Z+ Khi đó,lýnghi¾m se b% neu ∞ Σ ||B(l)|| < ∞ (2.34) l=0 Chúng minh Gia su N so dương cho ∞ Σ ||B(l)|| ≤ N < ∞ l=0 Nghi¾m thoa mãn đieu ki¾n ban đau v(0) = v0 cna (2.33) k v(k) = Akv0 + Σ Ak−lB(l − 1)v(l − 1) l=1 (2.35) Do nghi¾m cna (2.32) b% ch¾n nên ton tai hang so dương C cho sup ||Ak|| = C k∈ N Suy k ||v(k)|| ≤ ||Ak||||v0|| + Σ ||Ak−l||||B(k − l)||||v(k − l)|| kl=1 Σ ≤ C||v0|| +C ||||B(k − l)||||v(k − s =˛C¸0 x k− l=1 l)|| = C0 + C Σ ||||B(l)||||v(l)|| l=0 Su dung bat thúc Growall, ta có ||v(k)|| ≤ C Y [1 + C||B(l)||] ≤ k−1 l= C kΣ−1 C l=0 ||B(l)|| e ≤ eCN Ve phai huu han Ta có đieu can chúng minh Tóm tat chương Chương trình bày mđt so nột c ban ve khỏi niắm n %nh nghiắm cỏc phng trỡnh sai phõn Mđt so phng phỏp khao sát đ%nh tính đưoc trình bày lai M®t vài ket qua quan TRQNG đưoc chúng minh Tiêu chuan őn đ%nh Hurwitz cho h¾ dùng dang vi phân đưoc "biên t¾p" lai đe có the su dung cho h¾ sai phân Chương trình bày ve trưịng hop có the xây dnng đưoc hàm Lyapunov Ket lu¾n Luắn ó hon thnh mđt so cụng viắc: - Trình bày m®t so kien thúc mo đau ve phương trình sai phân - Tìm cách úng dung ket qua ve phng trỡnh sai phõn vo viắc giai quyet mđt so tốn So HQc, Đai so, Giai tích - Tìm hieu lý thuyet đ%nh tính cna phương trình vi phân, t¾p trung chn yeu vào tính őn đ%nh Nêu cách tìm hàm Lyapunov cho h¾ sai phân őn đ%nh đeu, thoa mãn đieu ki¾n Lipschitz - Lu¾n văn trình bày cách cu the hóa cơng thúc tőng qt, tưịng minh hóa m®t so bieu thỳc cha thắt tũng minh mđt so trũng hop cu the ho¾c ví du Lu¾n văn nêu cách v¾n dung tiêu chuan Hurwitz quen biet vói h¾ vi phân cho h¾ sai phân 78 Tài li¾u tham khao [1] Nguyen The Hoàn Pham Phu, Cơ sá phương trình vi phân lý thuyet őn đ%nh, NXB Giáo duc, 2000 [2] Vũ NGQc Phát, Nh¾p mơn Lý thuyet đieu khien Toán Đai [3] HQc HQc, NXB Quoc gia Hà n®i (2001) Lê Đình Th%nh(chn biên), Phan Văn Hap, Đ¾ng Đình Châu , Lê Đình Đ%nh, Phương trình sai phân m®t so úng dnng NXB Giáo Duc (2001) [4] L C Loi, N H Du, and P K Anh, On linear implicit nonautonomous systems of difference equations, J Difference Equ Appl (2002), no 12, 1085–1105 [5] Nguyen Huu Du and Vu Hoang Linh, Stabily radii for linear time - varying differential - algebraic equations with respect to dynamic pertubations, Diff Eq., 230(2000.), 579 - 599 [6] B Aulback, N.V Minh and P Zabreiko, Structural stability of linear difference equations in Hilbert spaces, Comp Math Appl 79 TÀI LIfiU THAM KHÁO (1998) 36, No 10 - 12, 71 - 76 [7] R.P Agarwal, Diference Equation and Inequalities, Theory, Methods and Applications, Marcel Dekker New York (2000) [8] J G Brida and J S Pareyra, The Solow model in discrete time and decreasing population growth rate, Economic bulletin , vol 3, no (2008), 1-14 [9] M.I Gil, Diference Equations in Normed Spaces, Stability and Oscilations, North Holland (2006) [10] N S Bay and V N Phat, Stability analysis of nonlinear retarded difference equations in Banach spaces, J Comp and Math with Appl., 45 (2003), pp 951-960 [11] N S Bay, Stability and stabilization of nonlinear time-varying delay systems with non-autonomous kernels, Adv in Nonl Var Ineq., Volume 13, 2, (2010), p.p 59-69 [12] E Liz and J.B Ferreiro, Global stability of Generallized Difference Equations, Appl Math Letters (2002), 15, 655-659 80 ... Phương trình sai phân m®t vài Éng dnng 1.1 Sai phân phương trình sai phân 1.1.1 Thang thòi gian Z sai phân 1.1.2 Khái ni¾m phương trình sai phân 1.2 Phương trình. .. MQI phương trình sai phân tuyen tính cap k ve cap m®t Trưịng hop đơn gian nhat: Đưa phương trình sai phân cap k R1 ve m®t phương trình sai phân cap m®t Rk Xét phương trình sai phân tuyen tính. .. ni¾m phân, phương trình sai phân, Tóm tat chương trình sai bày ni¾m tính ban ve cơng thúc nghi¾m tőng qt cna phương trìnhcácsaikhái phân tuyen  p R , Rso M®t dung cna phương trình sai phân