Phương trình sai phân một số ứng dụng và định tính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ———- * ——— NGUYỄN THỊ MỸ HẰNG PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN MỘT SỐ ỨNG DỤNG VÀ ĐỊNH TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2011 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN o0o NGUYỄN THỊ MỸ HẰNG PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN MỘT SỐ ỨNG DỤNG VÀ ĐỊNH TÍNH Chuyên ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN SINH BẢY Hà Nội - Năm 2011 Mục lục Mở đầu 1 Phương trình sai phân vài ứng dụng 1.1 1.2 1.3 Sai phân phương trình sai phân 1.1.1 Thang thời gian Z sai phân 1.1.2 Khái niệm phương trình sai phân Phương trình sai phân R1 vài ứng dụng 1.2.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp k hệ số 1.2.2 Một vài ứng dụng Phương trình sai phân tuyến tính Rp 13 1.3.1 Nghiệm tổng quát hệ 14 1.3.2 Nghiệm tổng quát hệ không 16 1.3.3 Ứng dụng kết R1 cho phương trình Rp 18 1.3.4 Nghiệm hệ dừng qua vector riêng 22 Nghiên cứu định tính phương trình sai phân 26 2.1 Khái niệm ổn định nghiệm phương trình sai phân 26 2.2 Phương pháp nghiên cứu định tính 28 2.2.1 Phương pháp thứ Lyapunov 2.2.2 Phương pháp hàm Lyapunov 38 2.2.3 Phương pháp bất đẳng thức 43 i 28 MỤC LỤC Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 ii Bảng ký hiệu ρ(A) - tập giải tốn tử tuyến tính A σ(A) - tập phổ tốn tử tuyến tính A Φ(n, m) - ma trận hệ K - lớp hàm Hahn iii Mở đầu Các trình với thời gian liên tục (t ∈ R) Toán học lĩnh vực khác nghiên cứu nhiều Gần đây, thang thời gian tổng quát ý nghiên cứu lý thuyết khai thác ứng dụng Thang thời gian rời rạc cách đều, thường quy tập số nguyên loại thang thời gian rời rạc đơn giản tiện lợi, sử dụng nhiều việc thu thập, xử lý số liệu Luận văn nghiên cứu đối tượng thay đổi thang thời gian này, chúng gọi hệ động lực dạng sai phân Việc giải tường phương trình vi phân (các lớp thơng dụng) nói chung đơn giản nhiều so với phương trình sai phân có dạng tương tự Việc nghiên cứu tính chất nghiệm phương trình sai phân khó hơn, cơng cụ so với phương trình vi phân dạng Một số cơng thức hồn tồn xác đinh, có biểu thức để tính tốn khó thực thực tế Ví dụ, nghiệm phương trình x(n + 1) = f (n, x(n), x(n − 1), , x(n − k + 1)) với điều kiện ban đầu (n0 , x0 ), x0 = (x00 , x0−1 , x0−2 , , x0−k+1 )(x0i ∈ Rp ) thiết lập cách dễ dàng phương pháp truy hồi (xem [2]) Tuy nhiên công thức nghiệm nói chung khó tính tốn thực hành Khi số bước lớn biểu thức truy hồi cồng kềnh Luận văn muốn tìm số trường hợp riêng số ví dụ cụ thể mà cơng thức tổng quát viết chi tiết đến thành phần vector phần tử ma trận, Luận văn Mở đầu giành phần để tìm hiểu dáng điệu tiệm cận nghiệm vài loại phương trình sai phân Cấu trúc luận văn sau: Chương trình bày kiến thức tổng quan, phương trình sai phân vài ứng dụng Chương trình bày số định tính, chủ yếu tính ổn định phương trình sai phân, phương pháp nghiên cứu tính ổn định Do em bắt đầu làm quen với công việc nghiên cứu nên luận văn không tránh khỏi nhiều thiếu sót Kính mong thầy đồng nghiệp bảo lượng thứ Luận văn thực hướng dẫn PGS TS Nguyễn Sinh Bảy Nhân dịp em xin cảm ơn thầy giúp đỡ em việc nắm bắt kiến thức chun ngành việc định hình, hồn thiện luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến lãnh đạo thầy cô Khoa Tốn-Cơ-Tin học, phịng Sau Đại Học, trường ĐHKHTN, ĐHQGHN kiến thức quý em nhận thời gian học tập trường Xin chân thành cảm ơn thầy cô, bạn Xemina tổ Giải tích, ĐHKHTN Cảm ơn bạn tập thể lớp Cao học giải tích Cám ơn gia đình, người thân lời động viên, khích lệ Hà Nội tháng 12 năm 2011 Nguyễn Thị Mỹ Hằng Chương Phương trình sai phân vài ứng dụng 1.1 1.1.1 Sai phân phương trình sai phân Thang thời gian Z sai phân Ta làm việc nhiều với trình với thời gian liên tục (t ∈ R) Nhưng thực tế số liệu thu thập cần xử lý lại thường từ điểm thời gian rời rạc (xem [3, 4, 5, 7, 8, 9, 10]) Quá trình thời gian rời rạc đơn giản trình bao gồm thời điểm cách khoảng h > 0, bắt đầu thời điểm t0 : I = {t0 + nh : n = 0, ±1, ±2, } Khi ta nói I lưới thời gian rời rạc cách với bước lưới h > 0, thời điểm t0 ∈ R Trường hợp đặc biệt: Nếu lấy t0 = coi h = đơn vị thời gian tập I trở thành tập số nguyên Z I = {0 + n : n = 0, ±1, ±2, } := Z Chương Phương trình sai phân vài ứng dụng Nếu lấy n = 0, 1, 2, ta có I = {0, 1, 2, 3, } = Z+ -tập số nguyên không âm Ta đưa thêm số ký hiệu dùng sau: R+ = [0, +∞) N(n0 ) = {n0 , n0 + 1, n0 + 2, , } (n0 ∈ Z) N(n, m) = {m, m + 1, m + 2, , n − 1, n} (m < n) Giả sử f ánh xạ từ Z vào Rp (hoặc từ Z+ vào Rp ) f :Z → Rp Z n −→ f (n) ∈ Rp Khi ta nói f (·) hàm có đối số nguyên Định nghĩa 1.1.1 Giả sử f (·) hàm số xác định tập Z, nhận giá trị Rp Khi đó, sai phân cấp hàm f (·) n ∈ Z hiệu sau đây: ∆f (n) = f (n + 1) − f (n) (1.1) Sai phân cấp hai là: ∆2 f (n) = ∆(∆f (n)) = f (n + 2) − 2f (n + 1) + f (n) (1.2) Sai phân cấp k là: k k ∆ f (n) = ∆(∆ k−1 Cki (−1)i f (n + i) f (n)) = i=0 Sai phân cấp có tính chất (xem [3]): ∆c = (c số)  0 k m ∆ x = đa thức bậc m − k k > m k ≤ m ∆k [αx(n) + βy(n)] = α∆k x(n) + β∆k y(n) (α, β ∈ R) N ∆k x(n) = ∆k−1 x(N + 1) − ∆k−1 x(M ) n=M (1.3) Chương Phương trình sai phân vài ứng dụng 1.1.2 Khái niệm phương trình sai phân Định nghĩa 1.1.2 Giả sử x(n) hàm đối số nguyên n ∈ Z chưa biết, cần tìm từ đẳng thức: F (n, ∆k x(n), ∆k−1 x(n), , ∆x(n), x(n)) = (1.4) khơng khuyết ∆k x(n) Khi đó, đẳng thức (1.4) gọi phương trình sai phân cấp k Từ định nghĩa 1.1.1, ta thấy phương trình sai phân cấp k đưa dạng tương đương sau F1 (n, x(n + k), x(n + k − 1), , x(n + 1), x(n)) = (1.5) Trường hợp riêng sau (1.5) gọi phương trình sai phân cấp k dạng tắc x(n + k) = f (n, x(n + k − 1), x(n + k − 2), , x(n + 1), x(n)) (1.6) Trường hợp đặc biệt sau (1.6) gọi phương trình sai phân tuyến tính cấp k x(n + k) + ak−1 (k)x(n + k − 1) + · · · + a1 (k)x(k + 1) + a0 (k)x(k) = f (k) (1.7) Nếu f (k) ≡ ta có phương trình sai phân tuyến tính x(n+k)+ak−1 (k)x(n+k −1)+· · ·+a1 (k)x(k +1)+a0 (k)x(k) = (1.8) Nếu hệ số (k) không phụ thuộc vào k ta có phương trình sai phân hệ số Tính chất phương trình sai phân tuyến tính 1/ Nếu x1 (n) x2 (n) nghiệm (1.8) với số α, β có x(n) = αx1 (n) + βx2 (n) nghiệm (1.8) Chương Nghiên cứu định tính phương trình sai phân  k ≥ k(ε) Với k ≥ k tồn số nguyên dương m (m ∈ N(n0 )) cho k1 + mk(ε) ≤ k ≤ k1 + (m + 1)k(ε) (Điều khơng ảnh hưởng đến q trình k → +∞ m dương tùy ý, cho m → +∞ ) Khi với k ∈ N(k1 + mk(ε), k1 + (m + 1)k(ε)), m ∈ N(0), ta có ||G(k, k1 )|| ≤ ||G(k, k1 + mk(ε))|| · ||G(k1 + mk(ε), k1 + (m − 1)k(ε))|| ≤n η ||G(k1 + k(ε), k1 )|| ≤C ≤ Cη m = Cη −1 (m ∈ N(0)) m+1 k(ε) η k(ε) ≤ Cη −1 k−k1 η k(ε) (**) (do k ≤ k1 + (m + 1)k(ε) ⇒ (m + 1)k(ε) ≥ k − k1 Lại < η < nên ln η Khi từ η (m + 1)k(ε) < η k−k1 ) Đặt C1 = Cη −1 , λ = − k(ε) (**) trở thành ||G(k, k1 )|| ≤ C1 e−λ(k−k1 ) , ∀ k ≥ k1 Nhận xét: Như với hệ tuyến tính Rp , ổn định tiệm cận kéo theo ổn định mũ k Định lý 2.2.9 Xét hệ (2.5) Nếu lim k→∞ λmax A(l) = hệ (2.5) ổn l=0 định tiệm cận Chứng minh Nếu có k ≥ n0 cho A(k) = ta có x(n) = 0, ∀n ≥ k với giá trị ban đầu Hệ ổn định tiệm cận Giả sử A(k) khác với 37 Chương Nghiên cứu định tính phương trình sai phân k Khi đó, ma trận A(k) = AT (k)A(k) đối xứng xác định dương với k Ta có ||x(k + 1)||2 = xT (k + 1)x(k + 1) = xT (k)AT (k)A(k)x(k) ≤ λmax [AT (k)A(k)]||x(k)||2 Để cho gọn, ta ký hiệu M (k) = λmax (AT (k)A(k)) Như ||x(k + 1)||2 ≤ M (k)||x(k)||2 Thay k 0, 1, 2, ||x(1)||2 ≤ M (0)||x(0)||2 ||x(2)||2 ≤ M (1)||x(1)||2 ||x(3)||2 ≤ M (2)||x(2)||2 ||x(k)||2 ≤ M (k − 1)||x(k − 1)||2 k−1 M (l)||x(0)||2 ⇒||x(k)|| ≤ l=0 k−1 Do ||x(0)|| cố định nên M (l) → k → ∞, ta có ||x(k)|| → l=0 Từ suy ra, hệ hút Do hệ tuyến tính nên tính chất hút kéo theo tính ổn định tiệm cận 2.2.2 Phương pháp hàm Lyapunov Phương pháp nghiên cứu tính ổn định dựa vào loại hàm bổ trợ, gọi hàm Lyapunov Hầu hết dấu hiệu ổn định phát biểu dạng điều kiện đủ Trong vài trường hợp đặc biệt có điều kiện cần, nghĩa xây dựng hàm Lyapunov cho hệ Trước tiên ta ký hiệu lớp hàm số R sau (gọi lớp 38 Chương Nghiên cứu định tính phương trình sai phân hàm Hahn): K = {a(·) : R+ → R+ cho a(0) = 0, liên tục, đơn điệu tăng} Định lý 2.2.10 Xét hệ sai phân Rp : xn+1 = f (n, xn ) (2.6) f (n, 0) = 0, với n (2.7) Nếu tồn hàm V : Z+ × Rp → R+ , cho 1) V (n, 0) = 0, V (n, x) > 0, với x khác (2.8) 2) V (n, x) liên tục theo x (trong lân cận U x = 0) 3) Tồn hàm a(·) ∈ K cho (∀ n ∈ Z+ , ∀ x ∈ U ), a(||x||) ≤ V (n, x), (2.9) 4) ∆V (n, xn ) = V (n + 1, xn+1 ) − V (n, xn ) ≤ 0, (∀ n ∈ Z+ ) (2.10) xn+1 xác định (2.6) Khi đó, nghiệm tầm thường xn ≡ (2.6) (2.7) ổn định Hơn nữa: 5) Nếu tồn thêm hàm c(·) : R+ → R+ đơn điệu tăng c(0) = cho ∆V (n, xn ) ≤ −c(||xn ||) (2.11) xn ≡ ổn định tiệm cận Chứng minh Ta trình bày cách chứng minh ý đầu Phần chứng minh ổn định tiệm cận xem [7] Giả sử có 1) 2) 3) 4), ta cần chứng 39 Chương Nghiên cứu định tính phương trình sai phân minh hệ ổn định Không tổng quát coi U = Rp Với ε > cho trước n0 ∈ Z+ cho trước, dễ thấy a(ε) > Do V (n0 , 0) = 0, V (n0 , ·) liên tục theo biến thứ hai, V (n0 , x) > với x khác nên tồn hình cầu mở Bδ (0) x = cho x ∈ Bδ (0) kéo theo V (n0 , x) < a(ε) Lấy xn0 ∈ Bδ (0), ta có với n ≥ n0 , từ 3) 4): a(||xn ||) ≤ V (n, xn ) ≤ V (n0 , xn0 ) < a(ε) Chú ý Nếu điều kiện cho lân cận U x = ta xử lý sau: Gọi Bδ0 (0) hình cầu mở có bán kính δ0 lớn chứa U Lấy δ ≤ δ0 Sự tồn δ0 > x ≡ điểm U Định lý 2.2.11 Điều kiện cần đủ để nghiệm tầm thường xn ≡ hệ (2.6) ổn định tồn hàm V (·, ·) : Z+ × Rp → R+ cho: a) a(||x||) ≤ V (n, x) ≤ b(||x||) với a, b ∈ K, x tùy ý thuộc lân cận Rp b) ∆V (n, xn ) = V (n + 1, xn+1 ) − V (n, xn ) ≤ với xn Chứng minh Điều kiện đủ: Với ε > Do a(0) = a(·) đơn điệu tăng, liên tục nên a(ε) > Do b(·) liên tục, đơn điệu tăng nên khả nghịch Đặt δ(ε) = b−1 [a(ε)] Vì b(0) = b(·) liên tục, đơn điệu tăng nên δ(ε) = b−1 [a(ε)] > Gọi xn nghiệm (2.6) thỏa mãn điều kiện ban đầu (n0 , xn0 ) Khi ||xn0 || < δ(ε) từ ∆V (n, xn ) ≤ với n ≥ n0 (ở b)), ta có với n ≥ n0 : V (n, xn ) ≤ V (n0 , xn0 ) 40 Chương Nghiên cứu định tính phương trình sai phân Lại theo a), ta có a(||xn ||) ≤ V (n, xn ) ≤ V (n0 , xn0 ) ≤ b(||xn0 ||) < b(δ(ε)) = b[b−1 a(ε)] = a(ε) Do a(·) đơn điệu tăng nên từ a(||xn ||) < a(ε), ta suy ||xn || < ε (2.12) Đây điều kiện cần chứng minh Do (2.12) thỏa mãn với n ≥ n0 biểu thức δ(ε) = b−1 [a(ε)] (2.13) không phụ thuộc vào n0 Vậy ổn định ổn định Điều kiện cần: Với điểm ban đầu (n, x) ∈ Z+ × Rp , (2.14) ta gọi nghiệm (2.6) qua điểm (k ≥ n) xk (n, x), (2.15) Ta chọn hàm V (n, x) sau V (n, x) = sup ||xk (n, x)|| Ta cần k≥n tồn hàm a(·), b(·) ∈ K thỏa mãn a) ∆(Vn ) ≤ C +/ Chỉ tồn a(·) ∈ K: Ta có V (n, x) = sup ||xk (n, x)|| ≥ ||xn (n, x)|| = ||x|| k≥n Lấy a(||x||) := ||x||, a(·) ∈ K Ở đây, ta lưu ý ký hiệu xn (n0 , xn0 ) nghiệm (2.6) xuất phát từ điểm khởi tạo (n0 , xn0 ) xn (n, x) hay xn (n, xn ) vector nghiệm nói thời điểm n Cịn xk (n, x) hay xk (n, xn ) (k ≥ n) nghiệm (2.6) với điểm khởi tạo (n, xn ) Do f (·) ánh xạ đơn trị nên nghiệm xuất phát từ (n0 , xn0 ) trùng với nghiệm xuất phát từ (n, xn ) ≡ (n, x) Nói cách khác xk (n, xn ) xk+1 (k + 1, xn+1 ) nghiệm 41 Chương Nghiên cứu định tính phương trình sai phân +/ Chỉ tồn hàm b(·) ∈ K: Hệ (2.6) ổn định nên với ε > tồn δ = δ(ε) (chứ δ = δ(ε, n0 )) cho: ||xn0 || < δ ⇒ ||xk (n0 , xn0 )|| < ε Ta chọn hàm δ(·) biến ε > (trên R+ \ {0}) cho δ(·) hàm liên tục, đơn điệu tăng Giả sử < ε1 < ε2 , theo định nghĩa ổn định đều, với εi ta chọn δi = δ(εi ) (i = 1, 2) Xây dựng hàm δ(ε1 ) = max{δ1 , δ2 } δ(ε) = max{δi (εi )} εi ≤ε Khi δ(·) đơn điệu tăng, liên tục (do max hàm liên tục) + Do δ : R+ ∗ → R∗ đơn điệu tăng nên khả nghịch, nghĩa tồn hàm ngược ∗ −1 liên tục đơn điệu tăng Nhắc lại: δ = δ(ε), δ −1 : R+ ∗ → R δ δ −1 (δ) = δ −1 [δ(ε)] = ε Vậy ε = ε(δ) hàm dương, liên tục, đơn điệu tăng R+ ∗ Theo định nghĩa ổn định đều, với điều kiện ban đầu (n, x), với ε > 0, tồn δ = δ(ε), ký hiệu δ −1 (·) = ε(·) ||x|| < δ ⇒ ||xk (n, x)|| < δ, ∀ k ≥ n ⇒ V (n, x) = sup ||ck (n, x)|| < ε k≥n δ −1 ||x|| ≤ δ −1 [δ(ε)] = ε ε||x|| ⇒V (n, x) = sup ||xk (n, x)|| < ε = δ −1 (||x||) = b(||x||) k≥n −1 Do δ liên tục, đơn điệu tăng R+ ∗ nên b(·) = δ (·) Vậy việc tồn hàm b(·) ∈ K thỏa mãn a) chứng minh Tiếp theo, ta cần kiểm tra ∆V (n, x) ≤ với x Nhắc lại: xk (n, xn ), xk (n + 1, xn+1 ), xk (n0 , xn0 ) 42 Chương Nghiên cứu định tính phương trình sai phân (do vector nghiệm xuất phát từ (n0 , xn0 ) t = ε) Do đó, ta có V (n + 1, xn+1 ) = sup ||xk (n + 1, xn+1 )|| = sup ||xk (n, xn )|| k≥n+1 k≥n+1 ≤ sup ||xk (n, xn )|| = V (n, xn ) k≥n ⇒∆V (n, xn ) = V (n + 1, xn+1 ) − V (n, xn ) ≤ Tóm lại V (n, x) xây dựng hàm Lyapunov không chặt Việc xây dựng hàm Lyapunov chăt thực cho trường hợp hệ ổn định tiệm cận Kết nhận cho trường hợp hàm f (·, ·) Lipschitz Ta nêu mà không chứng minh kết này: Định lý 2.2.12 Giả sử hệ xn+1 = f (n, xn ) (2.16) f (n, 0) = ổn định tiệm cận với (n, x), (n, y) ∈ Z+ × Sρ có tồn L > cho: ||f (n, x) − f (n, y)|| ≤ L||x − y|| (2.17) Khi đó, tồn hàm Lyapunov chặt (theo nghĩa ∃c(.) ∈ K : ∆V (n, x) ≤ c(||x||) V (·, ·) thỏa mãn điều kiện Lipschitz (với số Lípchitz khác L) 2.2.3 Phương pháp bất đẳng thức Bất đẳng thức Growall dạng sai phân Mệnh đề 2.2.13 Giả sử x(k), y(k) hàm dương N(a), C số dương Khi k−1 x(k) ≤ C + x(l)y(l) l=a 43 (2.18) Chương Nghiên cứu định tính phương trình sai phân k−1 x(k) ≤ C (1 + y(l)) (2.19) l=a Việc chứng minh bổ đề dễ, thực theo nhiều cách Sau đây, ta chứng minh quy nạp Từ (2.18), thay k = a ta có x(a) ≤ C (2.20) Với k = a + 1: có x(a + 1) ≤ C + x(a)y(a), cần x(a + 1) ≤ C + x(a)y(a) ≤ C(1 + y(a)) ⇔ C + x(a)y(a) ≤ C + Cy(a) ⇔ x(a) ≤ C (đúng (2.20)) Giả sử mệnh đề bước k , ta cần mệnh đề bước k + Có k x(k + 1) ≤ C + k−1 x(l)y(l) = C + l=a x(l)y(l) + x(k)y(k) l=a Ta cần k−1 k k−1 x(l)y(l) + x(k)y(k) ≤ C C+ l=a (1 + y(l)) = C l=a (1 + y(l))(1 + y(k)) l=a Do mệnh đề bước k , nghĩa k−1 k−1 x(k)y(k) ≤ C C+ l=a (1 + y(l)) l=a 44 Chương Nghiên cứu định tính phương trình sai phân nên ta cần bất đẳng thức sau đủ: k−1 k−1 (1 + y(l)) + x(k)y(k) ≤ C C (1 + y(l))(1 + y(k)) (2.21) l=a k−1 l=a ⇔ x(k)y(k) ≤ C (1 + y(l))y(k) l=a k−1 ⇔ x(k) ≤ C (1 + y(l)) (2.22) l=a Bất đẳng thức lại thỏa mãn mệnh đề bước k Vậy mệnh đề chứng minh Xét hai phương trình sai phân ∆u(k) = f (k, u(k)), u(a) = u0 v(a) = v ∆v(k) = f (k, v(k)) + g(k, v(k)), (2.23) (2.24) Giả sử: Giả sử tồn hàm λ(k) ≥ với k ∈ N(a) cho ||f (k, u) − f (k, v)|| ≤ λ(k)||u − v|| (2.25) với (k, u), (k, v) ∈ N(a) × Rp (hoặc N(a) × Ω, với Ω mở Rp ∈ Ω) Giả sử tồn hàm µ(k) ≥ với k ∈ N(a) cho ||g(k, u)|| ≤ µ(k) (2.26) với (k, u) ∈ N(a) × Rp Định lý 2.2.14 Nếu điều kiện (2.25) (2.26) thỏa mãn nghiệm u(k), v(k) với điều kiện ban đầu tương ứng u0 , v phương trình (2.23), (2.24) thỏa mãn bất đẳng thức sau: k−1 0 ||µ(k) − v(k)|| ≤ ||u − v || + k−1 (1 + λ(l)), ∀k ≥ a µ(l) l=a 45 l=a (2.27) Chương Nghiên cứu định tính phương trình sai phân Chứng minh Từ (2.23): ∆u(k) = f (k, u(k)) có u(k + 1) = u(k) + f (k, u(k)) (2.28) Thay k a, a + 1, a + 2, vào (2.28), ta có u(a + 1) = u(a) + f (a, u(a)) u(a + 2) = u(a) + f (a, u(a)) + f (a + 1, u(a + 1)) u(k) = u(a) + f (a, u(a)) + f (a + 1, u(a + 1)) + · · · + f (k − 1, u(k − 1)) k−1 ⇔ u(k) = u + f (l, u(l)) (2.29) l=0 Tương tự k−1 v(k) = v + [f (l, v(l)) + g(l, v(l))] (2.30) l=0 Từ (2.29) (2.30) suy k−1 0 u(k) − v(k) = (u − v ) + k−1 [f (l, u(l)) − f (l, v(l))] − l=0 g(l, v(l)) l=0 Suy k−1 0 ||u(k) − v(k)|| ≤ ||u − v || + k−1 ||f (l, u(l)) − f (l, v(l))|| + l=0 k−1 ≤ ||u0 − v || + ||g(l, v(l))|| l=0 k−1 λ(l)||u(l) − v(l)|| + l=0 µ(l) l=0 Hay k−1 0 ||u(k) − v(k)|| ≤ (||u − v || + k−1 λ(l)||u(l) − v(l)|| (2.31) µ(l)) + l=0 l=0 k−1 0 Đặt C = ||u − v || + µ(l), x(k) = ||u(k) − v(k)||, y(k) = λ(k) l=0 sử dụng bất đẳng thức Growall với 46 Chương Nghiên cứu định tính phương trình sai phân k−1 0 C = ||u − v || + µ(l), x(k) = ||u(k) − v(k)||, y(k) = λ(k) Dễ thấy l=0 0 x(a) = ||u − v || ≤ C Khi đó, ta có k−1 k−1 0 ||u(k) − v(k)|| ≤ ||u − v || + l=a Tính giới nội nghiệm (1 + λ(l)) µ(l) l=a Xét hai phương trình sai phân nhất: u(k + 1) = Au(k) (2.32) v(k + 1) = [A + B(k)]v(k) (2.33) Định lý 2.2.15 Giả sử nghiệm hệ (2.32) bị chặn Z+ Khi đó, nghiệm (2.33) bị chặn ∞ ||B(l)|| < ∞ (2.34) l=0 Chứng minh Giả sử N số dương cho ∞ ||B(l)|| ≤ N < ∞ l=0 Nghiệm thỏa mãn điều kiện ban đầu v(0) = v (2.33) k k Ak−l B(l − 1)v(l − 1) v(k) = A v + (2.35) l=1 Do nghiệm (2.32) bị chặn nên tồn số dương C cho sup ||Ak || = C k∈N 47 Chương Nghiên cứu định tính phương trình sai phân Suy k k ||Ak−l ||||B(k − l)||||v(k − l)|| ||v(k)|| ≤ ||A ||||v || + l=1 k ||||B(k − l)||||v(k − l)|| ≤ C||v || +C l=1 =C0 k−1 ||||B(l)||||v(l)|| = C0 + C l=0 Sử dụng bất đẳng thức Growall, ta có k−1 k−1 ||v(k)|| ≤ C0 ||B(l)|| C [1 + C||B(l)||] ≤ C0 e l=0 ≤ C0 eCN l=0 Vế phải hữu hạn Ta có điều cần chứng minh Tóm tắt chương Chương trình bày số nét khái niệm ổn định nghiệm phương trình sai phân Một số phương pháp khảo sát định tính trình bày lại Một vài kết quan trọng chứng minh Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz cho hệ dừng dạng vi phân "biên tập" lại để sử dụng cho hệ sai phân Chương trình bày trường hợp xây dựng hàm Lyapunov 48 Kết luận Luận văn hồn thành số cơng việc: - Trình bày số kiến thức mở đầu phương trình sai phân - Tìm cách ứng dụng kết phương trình sai phân vào việc giải số toán Số học, Đại số, Giải tích - Tìm hiểu lý thuyết định tính phương trình vi phân, tập trung chủ yếu vào tính ổn định Nêu cách tìm hàm Lyapunov cho hệ sai phân ổn định đều, thỏa mãn điều kiện Lipschitz - Luận văn trình bày cách cụ thể hóa cơng thức tổng qt, tường minh hóa số biểu thức chưa thật tường minh số trường hợp cụ thể ví dụ Luận văn nêu cách vận dụng tiêu chuẩn Hurwitz quen biết với hệ vi phân cho hệ sai phân 49 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thế Hoàn Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân lý thuyết ổn định, NXB Giáo dục, 2000 [2] Vũ Ngọc Phát, Nhập mơn Lý thuyết điều khiển Tốn học, NXB Đại học Quốc gia Hà nội (2001) [3] Lê Đình Thịnh(chủ biên), Phan Văn Hạp, Đặng Đình Châu , Lê Đình Định, Phương trình sai phân số ứng dụng NXB Giáo Dục (2001) [4] L C Loi, N H Du, and P K Anh, On linear implicit nonautonomous systems of difference equations, J Difference Equ Appl (2002), no 12, 1085–1105 [5] Nguyen Huu Du and Vu Hoang Linh, Stabily radii for linear time - varying differential - algebraic equations with respect to dynamic pertubations, Diff Eq., 230(2000.), 579 - 599 [6] B Aulback, N.V Minh and P Zabreiko, Structural stability of linear difference equations in Hilbert spaces, Comp Math Appl 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO (1998) 36, No 10 - 12, 71 - 76 [7] R.P Agarwal, Diference Equation and Inequalities, Theory, Methods and Applications, Marcel Dekker New York (2000) [8] J G Brida and J S Pareyra, The Solow model in discrete time and decreasing population growth rate, Economic bulletin , vol 3, no (2008), 1-14 [9] M.I Gil, Diference Equations in Normed Spaces, Stability and Oscilations, North Holland (2006) [10] N S Bay and V N Phat, Stability analysis of nonlinear retarded difference equations in Banach spaces, J Comp and Math with Appl., 45 (2003), pp 951-960 [11] N S Bay, Stability and stabilization of nonlinear time-varying delay systems with non-autonomous kernels, Adv in Nonl Var Ineq., Volume 13, 2, (2010), p.p 59-69 [12] E Liz and J.B Ferreiro, Global stability of Generallized Difference Equations, Appl Math Letters (2002), 15, 655-659 51 ... Phương trình sai phân R1 vài ứng dụng 1.2.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp k hệ số 1.2.2 Một vài ứng dụng Phương trình sai phân tuyến tính Rp ... nghiệm vài loại phương trình sai phân Cấu trúc luận văn sau: Chương trình bày kiến thức tổng quan, phương trình sai phân vài ứng dụng Chương trình bày số định tính, chủ yếu tính ổn định phương trình. .. Chương Phương trình sai phân vài ứng dụng 1.2.2 Một vài ứng dụng Ta tìm hiểu cách vận dụng kiến thức phương trình sai phân xét cho số toán Số học, Đại số, Giải tích 1.2.2.1 Tính tổng dãy số Ví