Một số ứng dụng của định lý giá trị trung bình

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH Nguyễn Văn Hào 1 Lê Thị Huyền My 2 Trong bài báo này chúng tôi trình bày một số phương pháp xây dựng các bài toán từ Định lý giá trị tru

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH

Nguyễn Văn Hào 1

Lê Thị Huyền My 2

Trong bài báo này chúng tôi trình bày một số phương pháp xây dựng các bài toán từ Định lý giá trị trung bình với kỹ thuật tạo dựng hàm phụ.

1 Đặt vấn đề

Các định lý giá trị trung bình đóng vai trò quan trọng trong Toán học, cũng như nhiều lĩnh vực khoa học khác Trong Toán học, người ta có thể kể đến một số vấn đề như: bài toán tồn tại nghiệm của các phương trình đại số, ước lượng khoảng chứa nghiệm của các phương trình và toán tử trong việc giải gần đúng của lý thuyết số, bài toán tìm cực trị của hàm số… Khởi nguồn của các định lý giá trị trung bình là Định lý Rolle như sau:

Định lý Cho hàm y = f x( ) liên tục trên [ , ]a b , khả vi trên ( , )a b và f a( ) = f b( ) Khi đó, tồn tại ít nhất một số cÎ ( , )a b sao cho f c¢ ( ) = 0

Theo một khía cạnh, nhìn lại cách chứng minh của Định lý Lagrange và Định lý Cauchy, chúng ta thấy hai định lý đó là hệ quả của Định lý Rolle nhờ việc thiết lập hai hàm phụ tương ứng là

( ) ( ) ( )x f x( ) f a( ) f b f a (x a)

b a

-và

( ) ( ) ( )( ( ) )

với hàm f x( ) (mà ở đây chúng ta gọi nó là hàm “gốc”) liên tục trên đoạn é ùa b,

ë û và khả

vi trên khoảng ( )a b, Theo ý tưởng đó, chúng tôi sử dụng các tính chất riêng biệt của một số hàm sơ cấp kết hợp với hàm gốc f x( ) để có được các bài toán mới Ở đây, các hàm phụ mới được thiết lập theo hai cách thức sau:

1 Kết hợp hàm gốc f x( ) với một số hàm sơ cấp đơn giản dưới dạng tổng và dạng tích

2 Tính chất của hàm gốc thoả mãn các giả thiết của Định lý giá trị trung bình được chúng tôi gắn kết với các giới hạn cơ bản để tạo ra những bài toán về sự hội tụ của dãy số

2 Nội dung

2.1 Định lý Rolle với các hàm số sơ cấp đơn giản

Như đã nói trên đây, trong các phần này chúng ta hiểu “gốc” là hàm f x( ) nào đó liên tục trên đoạn é ùa b,

ë û và khả vi trên khoảng ( )a b,

2.1.1 Một số hàm phụ dưới dạng tổng

2.1.1.1 Hàm mũ

1

TS, trường ĐHSP Hà Nội 2

2

Học viên Cao học K15- Toán Giải tích, trường ĐHSP Hà Nội 2

Xét hàm phụ dưới dạng tổng của hàm gốc với hàm mũ

( ) ( ) x

h x f x t

trong đó t là số thực nào đó mà 0 < ¹t 1 Giả thiết của Định lý Rolle đối với hàm h x( ) chỉ còn là sự thoả mãn thêm điều kiện

f a t- f b t

Từ đó suy ra tồn tại số cÎ ( )a b, sao cho đạo hàm của hàm h x( ) triệt tiêu, tức là ( ) cln 0

f¢c - t- t = Như vậy, chúng ta nhận được bài toán dưới dạng tổng quát theo giá trị của

cơ số trong hàm mũ x

t

như sau

Bài toán 1 Cho hàm f x( ) liên tục trên é ùa b,

ë û và khả vi trên ( )a b, thỏa mãn điều kiện

f a t- f b t

-+ = + với số thực 0 < ¹t 1 Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một giá trị ( ),

cÎ a b sao cho f¢( )c = t-clnt

Bằng việc gán cho t các giá trị cụ thể ta nhận được một số bài toán sau đây

Bài toán 1.1 Cho hàm số f x( ) liên tục trên é ù 0;1

ë û, khả vi trên ( )0;1 và

f + = f +e- Chứng minh rằng tồn tại số c Î ( )0;1 sao cho ( ) c

f¢c =e-

Bài toán 1.2 Cho hàm số f x( ) liên tục trên é ù 0;1

ë û, khả vi trên ( )0;1 và thoả mãn điều

f + = f + - Chứng minh rằng tồn tại số c Î ( )0;1 sao cho

( )

2012 c ln 2012

f¢c = 2.1.1.2 Hàm logarit

Chúng ta xét hàm phụ được gắn kết với hàm logarit dưới dạng h x( )= f x( )- loga x với

số thực a nào đó mà 0 < a ¹ 1 Điều kiện bằng nhau tại giá trị hai đầu mút của hàm h x( )

trên đoạn é ùa b,

ë û trở thành f b( ) f a( ) log b

a

a

- = Bởi vì, đạo hàm của hàm h x( ) là

h x¢ = f¢x - x a - , nên tồn tại số cÎ ( )a b, thoả mãn ( ) 1

ln

f c

c a

¢ = Từ đó, chúng ta nhận được bài toán

Bài toán 2 Cho hàm số f x( ) liên tục trên é ùa b,

ë û, khả vi trên ( )a b, Giả sử rằng ( ) ( ) log b

f b f a

a

a

- = , với ab > 0 và 0 < a ¹ 1 Chứng minh rằng tồn tại số cÎ ( )a b, sao cho ( ) 1

ln

f c

c a

Thay thế một số giá trị cụ thể cho cơ số a của hàm logarit, chúng ta nhận được một số bài toán

Bài toán 2.1 Cho hàm f x( ) liên tục trên é2011; 2011.eù

ë û, khả vi trên (2011; 2011.e) và thoả mãn điều kiện f(2011.e)= 1 + f(2011) Chứng minh rằng tồn tại số cÎ (2011; 2011.e) sao cho ( ) 1

f¢c =c-

Bài toán 2.2 Giả sử hàm f x( ) liên tục trên éê1;2010 ùú

ë û, khả vi trên khoảng (1;2010) trừ ra các điểm nguyên trên đoạn đó và

( 1) ( ) ln 1 1 ; 1, 2009

k

æ ö÷

+ - = çç + ÷÷ =

Chứng minh rằng tồn tại c k Î (k k; + 1) sao cho

( )

2009

1

2009

k

=

2.1.1.3 Hàm đa thức

Kí hiệu ( ) 0 1 n, 0

P x = l +l x+ +l x l ¹ là đa thức bậc n của biến x Hàm phụ ( ) ( ) n( )

h x = f x - P x có đạo hàm là

1

n k k k

-=

Điều kiện về tính liên tục và khả vi của h x( ) trên đoạn é ùa b,

ë û nhận được ngay từ giả thiết của hàm gốc ( ) Giá trị bằng nhau của hàm h x( ) tại hai đầu mút trở thành

1

n

k k

=

-

Từ đó, chúng ta nhận được

Bài toán 3 Cho hàm f x( ) liên tục trên đoạn é ùa b,

ë û, khả vi trên khoảng ( )a b, Giả sử ( )

n

P x là đa thức bậc n thỏa mãn điều kiện

( ) n( ) ( ) n( )

f a - P a = f b - P b ,

trừ ra các điểm nguyên trên đoạn é ùa b,

ë û Chứng minh rằng tồn tại cÎ ( )a b, sao cho ( ) n ( )

f¢c = P¢c

Với đa thức 2( ) 2

2

x

Bài toán 3.1 Cho hàm f x( ) liên tục trên éê1;2012 ùú

ë û, khả vi trên (1;2012) và thỏa mãn điều kiện

( 1) ( ) 2 1;

2

k

f k+ - f k = + với mọi k = 1, 2011

Chứng minh rằng tồn tại c k Î (k k; + 1) sao cho

( )

2011

1

1

2011

k

f c c

=

å

Với đa thức P x( ) = - (x- 1), chúng ta có được

Bài toán 3.2 Cho hàm số f khả vi trên é ù 0;1

ë û và thỏa mãn f(0)= 0, f(1)= - 1 Chứng minh tồn tại hai số phân biệt a b Î, (0; 1) sao cho f a f b¢ ( ) ( ) ¢ = 1

2.1.2 Một số hàm phụ dưới dạng tích

2.1.2.1 Hàm mũ

Hàm ( ) ( ). x

h x f x t

-= với 0 < ¹t 1 có đạo hàm

( ) ( ( ) ( )ln ) x

h x¢ = f¢x - f x t t- Điều kiện bằng nhau tại hai đầu mút của hàm h x( )trên đoạn é ùa b,

ë û có thể viết dưới dạng ( )b ( ) a

f a t = f b t Khi đó, chúng ta nhận được bài toán

Bài toán 4 Cho hàm f x( ) liên tục trên é ùa b,

ë û, khả vi trên ( )a b, và thoả mãn điều kiện ( )b ( ) a

f a t = f b t với số thực 0 < ¹t 1 nào đó Chứng minh rằng tồn tại cÎ ( )a b, sao cho

( ) ( )ln

f¢c = f c t

Với giá trị t =e, chúng ta nhận được

Bài toán 4.1 Cho hàm f x( ) liên tục trên éêa a0; nùú

ë û, khả vi trên (a a0; n) trừ ra (n - 1) điểm ( 0 ; )

a Î a a , i = 1,n- 1 Chứng minh rằng nếu f x( ) chỉ triệt tiêu tại đúng các điểm a i với mọi

0,

i = n thì tồn tại các số c i Î (a a i; i+1), i = 0,n- 1 sao cho

( ) ( )

1

0

1

n i

f c

-=

¢

=

Trong bài toán này, chúng ta xét hàm h x( )= e-x n f x( ), x Î ¡ Tính liên tục và khả vi của ( )

h x nhận được từ hàm f x( ) và dễ dàng thấy rằng h a( )i = 0, với mọi i = 0,n Đạo hàm của ( )

h x là

n

Theo Định lý Rolle, tồn tại các số c i Î (a a i; i+1) với mỗi i= 0,n- 1 sao cho h c¢( )i = 0, tức là ( )

( )

1

i

i

n

f c

¢

= Tổng của n giá trị này cho ta khẳng định

( ) ( )

1

0

1

n i

f c

-=

¢

=

å

Cũng tương tự như thế, với hàm phụ h x( ) = e f x a x ( ), chúng ta được

Bài toán 4.2 Chứng minh rằng nếu f liên tục trong khoảng đóng é ùa b,

ë û, khả vi trên khoảng mở ( )a b, và f a( ) = f b( ) = 0 thì với a Î ¡ , tồn tại xÎ ( )a b, sao cho a f x( ) + f x¢ ( ) = 0 Thiết lập hàm phụ dưới dạng ( )

( ) g x ( )

h x = e f x , ta được Bài toán 4.3 Cho ( ) và ( ) là các hàm liên tục trên é ùa b,

ë û, khả vi trên ( )a b, và giả sử ( ) ( ) 0

f a = f b = Chứng minh rằng tồn tại cÎ ( )a b, sao cho g c f c¢ ( ) ( )+ f c¢ ( )= 0

2.1.2.2 Hàm logarit

Lập hàm phụ

( ) ( ) log

h x = f x x; với 0 <a b, ¹ 1 và 0 < a ¹ 1

Điều kiện bằng nhau tại hai giá trị đầu mút của hàm trên đoạn é ùa b,

ë û được viết dưới dạng ( )

( ) logb

f b

a

f a = Bởi vì đạo hàm của h x( ) là

ln

x

a

a

nên chúng ta nhận được bài toán

Bài toán 5 Cho hàm ( ) liên tục trên é ùa b,

ë û, khả vi trên ( )a b, và f b( )= f a( ) logb a; với

0 <a b, ¹ 1 Chứng minh rằng tồn tại cÎ ( )a b, sao cho

( ) ( )

ln

f c

f c

c c

Trường hợp a=e, chúng ta có bài toán

Bài toán 5.1 Cho hàm ( ) liên tục trên 2

;

e e

é ù

ê ú

ë û, khả vi trên ( 2)

;

e e và ( )2 1 ( )

2

f e = f e Chứng minh rằng tồn tại ( 2)

;

cÎ e e sao cho

( ) ( )

ln

f c

f c

c c

2.2 Một số cách xây dựng bài toán giới hạn của dãy số từ Định lý giá trị trung bình

Trong phần này, chúng ta xây dựng một số bài toán về giới hạn của dãy số bằng cách thiết lập những dãy hàm số thoả mãn các giả thiết của Định lý Rolle Để thuận lợi cho việc trình bày kết quả, chúng ta nhắc lại một số giới hạn cơ bản

1

( )

1

( )

n n

e n

a

-= 2

( )

n

n n

a

a a

®

+

=

3

( )

( )

n a n

a

e n

a

çè ø 4 ( ) 0

sin ( )

( )

n

n n

a

a a

5

t an ( )

( )

n

n n

a

a a

2.2.1 Các bài toán

Bài toán 6 Cho hàm số ( ) khả vi trên đoạn é ùa b,

ë û Giả sử rằng f a( ) = f b( ) = 0 và f x ¹( ) 0 với mọi xÎ ( )a b, Chứng minh rằng tồn tại dãy { }x n n¥ 1

= trong khoảng ( )a b, sao cho ( )

( 1) ( )

n n n

n

f x

e f x

® ¥

¢

=

-

Để chứng minh bài toán này, chúng ta xét hàm số

( )

2012

x n n

H x = e- f x x Î a b

Đạo hàm của H x n( )

là

2012

n

n

2012

2012

x n

n

Từ giả thiết ( ) khả vi trên é ùa b,

ë û và f a( )= f b( )= 0, chúng ta suy ra ( )

n

H x thỏa mãn các điều kiện của định lý Rolle Do đó, tồn tại dãy { } ( )x n Ì a b, sao cho H n¢ (x n)= 0 Từ đó, ta có

( ) 2012 ( )

n n

f x

¢

Sử dụng giới hạn cơ bản 1, chúng ta thu được

1

n

n

f x

n

¢

-

Giữ nguyên hàm ( ) 2012 ( )

x n n

H x = e- f x và sử dụng các giới hạn cơ bản khác, chúng ta nhận được các bài toán sau

Bài toán 6.1 Cho hàm ( ) khả vi trên é ùa b,

ë û và f a( )= f b( )= 0 Chứng minh rằng nếu ( ) không đồng nhất bằng 0 trên khoảng ( )a b, thì tồn tại một dãy { }x n trong khoảng ( )a b, sao cho

2012

( ) lim 1

( )

n n n

n

f x

e

f x

® ¥

æ ¢ ö÷

Bài toán 6.2 Cho hàm ( ) khả vi trên é ùa b,

ë û và f a( )= f b( )= 0 Chứng minh rằng nếu ( ) không đồng nhất bằng 0 trên khoảng ( )a b, thì tồn tại một dãy { }x n trong khoảng ( )a b, sao cho

n n

n

f x n

f x

® ¥

Bài toán 6.3 Cho hàm ( ) khả vi trên é ùa b,

ë û và f a( )= f b( )= 0 Chứng minh rằng nếu ( ) không đồng nhất bằng 0 trên khoảng ( )a b, thì tồn tại một dãy { }x n trong khoảng ( )a b, sao cho

( )

( )

n n

n

f x n

f x

® ¥

Bài toán 6.4 Cho hàm ( ) khả vi trên é ùa b,

ë û và f a( )= f b( )= 0 Chứng minh rằng nếu ( ) không đồng nhất bằng 0 trên khoảng ( )a b, thì tồn tại một dãy { }x n trong khoảng ( )a b, sao cho

( )

( )

n n

n

f x n

f x

® ¥

2.2.2 Một số hàm khác

Ngoài hàm H x n( ) được xét trong bài toán mở đầu, ta có thể lập các hàm khác Tương ứng với mỗi hàm cùng giới hạn cơ bản, ta được các bài toán mới

Hàm 1

x n n

a

n

x

n

a

1

x

n

a

a

Khi hàm 1

( )

n

H x thoả mãn các điều kiện của định lý Rolle nhận được từ giả thiết của hàm gốc cho ta khẳng định ( 1 )

H x ¢= Điều đó, tương đương với

1

n

f x

n

a

-¢

Từ đó, chúng ta có bài toán

Bài toán 7 Cho hàm ( ) khả vi trên đoạn é ùa b,

ë û và giá trị của hàm tại hai đầu mút đều bằng 0 Chứng minh rằng nếu ( ) không đồng nhất bằng 0 trên khoảng ( )a b, thì tồn tại một dãy { }x n trong khoảng ( )a b, thỏa mãn

1

1

( ) lim

n n

n

f x

-® ¥

¢

=

-;

2

1

( ) lim 1

( )

n n n

f x

e

x f x

a

a

-® ¥

3

1

n n

f x n

-® ¥

4

1

n n

f x n

-® ¥

;

5

1

n n

f x n

-® ¥

Hàm 2

( ) ( ) os

n

x

H x f x c

n

( ) ( ) os ( ) sin

n

Điều kiện ( 2 )

H x ¢= cho ta

( ) 1

t an ( )

n

¢

Từ đó, chúng ta có bài toán

Bài toán 8 Cho hàm ( ) khả vi trên 0;

4

p

é ù

ê ú

ê ú

ë û và f(0) f 4 0

p

æ ö÷

ç ÷

= ç ÷çè ø= Khi đó, nếu ( ) không đồng nhất bằng 0 trên khoảng 0;

4

p

æ ö÷

çè ø thì tồn tại một dãy { }x n trong khoảng đó sao cho

n n

n f x

x f x

® ¥

¢

Tương tự như vậy, đối với hàm

3

( ) ( ) cot

n

x

n

4

x é pù

ê ú

Î ê úë û,

chúng ta nhận được

Bài toán 9 Cho hàm ( ) khả vi trên 0;

4

p

é ù

ê ú

ê ú

ë û và f(0) f 4 0

p

æ ö÷

ç ÷

= ç ÷çè ø= Khi đó nếu ( ) không đồng nhất bằng 0 trên khoảng đó thì tồn tại dãy { } 0;

4

n

x Ì çæ ç pö÷÷

÷

çè ø sao cho ( )

( )

n

n

x f x

f x

® ¥

¢

= Kết thúc phần này chúng ta trình bày lời giải đầy đủ của bài toán sau

Bài toán 10 Cho hàm số ( ) khả vi trên é ùa b,

ë û và f a( )= f b( )= 0 Giả sử ( ) không đồng nhất bằng 0 trên ( )a b, Chứng minh rằng tồn tại dãy { } ( )x n Ì a b, sao cho

( )

( )

n

n

x f x

f x

® ¥

¢

= -

n

x

n

ç

= ççè + ÷÷ø Ta có

2011 2012

4

2012

2012.

1

n

x

n

Từ các điều kiện của hàm ( ), chúng ta thấy rằng hàm H n4 ( )x thỏa mãn điều kiện của định lý Rolle trên é ùa b,

ë û Từ đó, suy ra tồn tại dãy { }n 1 ( ),

n

= Ì sao cho ( 4 )

= , tức là

2012 ( )

( )

n n

x

¢

= - æç ö æ÷ ç ö÷

Do đó

2012

2012 ( )

( )

n

x

ê çç + ÷÷ çç + ÷÷ú

ê ççè ÷÷ø èçç ÷÷øú

2012

2012 lim

n

n

x n

® ¥

ê çç + ÷÷ çç + ÷÷ú

ê ççè ÷÷ø ççè ÷÷øú

= - 2012

3 Kết luận

Chúng tôi đã trình bày một số phương pháp xây dựng một số kết quả mới đối với phép tính vi phân của hàm số một biến số từ Định lý giá trị trung bình Bằng việc sử dụng những tính chất đặc trưng của hàm sơ cấp và kỹ thuật tạo dựng hàm phụ, chúng tôi đưa ra một số bài toán đối với hàm khả vi Thêm nữa, chúng ta cũng thấy được một phương pháp vận dụng kết hợp giữa giới hạn cơ bản với Định lý giá trị trung bình để có được một lớp các bài toán giới hạn về dãy số khá đặc sắc

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 P Ahern, M Flores and W Rudin, An invariant volume-mean-value property, J

Funct Anal 111, 1993, p 380-397

2 W A Granville, Elements of the Differential and Integral Calculus (revised edition),

2008

3 W J Kaczor, M T Nowak, Problems in Mathematical Analysis II: Continuity and Differentiation, Student mathematical library, Volume 12, 2001, p 45-52

4 K Ramachandra, Lectures on the Mean-Value and Omega-Theorems for the Riemann Zeta-Function, Springer-Verlag Berlin Heidelberg-New York-Tokyo, 1995

APPLICATION OF MEAN VALUE THEOREM

Nguyen Van Hao, Le Thi Huyen My

Abstract

In this paper, we presented some methods of construction of problems by mean value theorems with technics of creation aid functions