Một số ứng dụng của định lý lagrange

2.1 Ứng dụng của định lý Lagrange trong các bài toán dãy số 142.2 Ứng dụng của định lý Lagrange trong giải phương trình,hệ phương trình.. Trong chương trình Toán học trung học phổ thông,

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Toán giải tích

HÀ NỘI – 2018

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Toán giải tích

Người hướng dẫn khoa học

ThS TRẦN THỊ THU

HÀ NỘI – 2018

2.1 Ứng dụng của định lý Lagrange trong các bài toán dãy số 142.2 Ứng dụng của định lý Lagrange trong giải phương trình,

hệ phương trình 202.3 Ứng dụng của định lý Lagrange trong chứng minh bất

đẳng thức 31

LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian dài nghiêm túc, miệt mài nghiên cứu cùng với sựgiúp đỡ tận tình của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên Đến nay,khóa luận của em đã được hoàn thành Em xin bày tỏ lòng cảm ơn chânthành, sâu sắc tới các thầy cô giáo tổ Giải tích, các thầy cô trong khoaToán đặc biệt là Ths Trần Thị Thu người đã trực tiếp tạo mọi điềukiện giúp đỡ, chỉ bảo tận tình cho em trong suốt thời gian nghiên cứu,hoàn thành khóa luận này

Do còn hạn chế về thời gian cũng như kiến thức của bản thân nênkhóa luận của em không thể tránh khỏi những thiếu sót Kính mongnhận được sự góp ý của các thầy cô và các bạn sinh viên

Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2018

Sinh viên

Đinh Thị Trang

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp này của em được hoàn thành dưới sự hướngdẫn nhiệt tình của Ths Trần Thị Thu cùng với sự cố gắng của bảnthân

Trong quá trình nghiên cứu, em đã tham khảo và kế thừa nhữngthành quả nghiên cứu của các nhà khoa học và các nhà nghiên cứu với

sự trân trọng và lòng biết ơn

Em xin cam đoan những kết quả nghiên cứu của riêng bản thân,không có sự trùng lặp với kết quả của các tác giả khác

Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, tháng 5 năm 2018

Sinh viên

Đinh Thị Trang

Lời mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Đạo hàm là một trong những nội dung cơ bản của giải tích nói riêng

và của Toán học nói chung Nó chiếm phần quan trọng trong chươngtrình lớp 12 trung học phổ thông, được áp dụng để giải nhiều các dạngbài tập

Với phép tính đạo hàm thì các định lý giá trị trung bình (như định

lý Rolle, Lagrange, Cauchy, ) có vai trò quan trọng, nhờ có các định

lý này mà nhiều các kết quả của toán học được chứng minh

Trong chương trình Toán học trung học phổ thông, định lý Lagrangeđược đưa vào sách giáo khoa với mục đích sử dụng định lý này xét chiềubiến thiên của hàm số Học sinh chưa biết vận dụng định lý Lagrangevào thực hành giải toán, trong khi đó lại có rất nhiều bài toán nếu sửdụng định lý Lagrange sẽ cho lời giải ngắn gọn, dễ hiểu Vì vậy, giúp họcsinh vận dụng định lý Lagrange vào giải toán như một phương pháp làyêu cầu cần thiết

Được sự hướng dẫn của Ths Trần Thị Thu, em chọn đề tài: “Một

số ứng dụng của định lý Lagrange” làm khóa luận của mình

2 Mục đích và nghiên cứu

Đề tài này nhằm giúp học sinh sử dụng định lý Lagrange như mộtphương pháp đó là các bài toán về dãy số, giải phương trình và hệ phươngtrình, chứng minh bất đẳng thức

3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng : Học sinh trung học phổ thông

Phạm vi nghiên cứu:

- Các kiến thức trong chương trình toán trung học phổ thông

- Các kiến thức mở rộng trong giải tích toán học

4 Phương pháp nghiên cứu

- Quan sát kĩ năng giải toán của học sinh

- Tổng kết, rút kinh nghiệm của bản thân về những lợi ích, khó khănkhi giải quyết bài toán

5 Cấu trúc của khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo nội dung chính củakhóa luận gồm hai chương

Chương 1 “Cơ sở lý thuyết”

Trong chương này trình bày về những kiến thức liên quan tới dãy số,hàm số khả vi, ánh xạ co, định lý Lagrange và các hệ quả

Chương 2 “ Một số ứng dụng của định lý Lagrange”

Trong chương này chia ra các mục sau

2.1 Ứng dụng của định lý Lagrange trong các bài toán dãy số

2.2 Ứng dụng của định lý Lagrange trong giải phương trình, hệ phươngtrình

2.3 Ứng dụng của định lý Lagrange trong chứng minh bất đẳng thức

n 7→ x (n) = xn, được gọi là dãy số.

xn - được gọi là số hạng tổng quát của dãy

Dãy số trên được kí hiệu là {xn} hoặc (xn) với n = 1, 2,

Ví dụ 1.1.1 Cho dãy số (xn) có số hạng tổng quát là

a) xn = 1

n với n = 1 thì x1 = 1, n = 2 thì x2 =

1

2, b) xn = (−1)n với n = 1 thì x1 = −1, n = 2 thì x2 = 1,

Định nghĩa 1.2 Số x∗ là giới hạn của dãy {xn} nếu đối với mọi sốdương ε bé tùy ý đều tìm được một số p ∈ N∗ sao cho ∀n > p, n ∈ N∗đều có

|xn− x∗| < ε, tức là x∗ − ε < xn < x∗ + ε

Khi đó ta nói rằng dãy {xn} hội tụ về x∗ hay tiến đến giới hạn x∗ và taviết lim

1

n − 0

< ε ⇔ 1

n < ε ⇔ n >

1ε

Vậy nếu chọn số N =  1

ε + 1

thì ∀n ≥ N ta có

... pháp mạnh ứng dụng nhiều Trong phần emtham khảo tài liệu số [1,2].

Trước vào toán cụ thể ta chứng minh định lý sau

Định lý 2.1 Cho f : A ⊂ D → R thỏa mãn điều kiện định l? ?Lagrange. ..

Nhận xét 1.3 Định lý Lagrange trường hợp riêng định lý Cauchyvới hàm g (x) = x

Định lý Lagrange có mối liên hệ với ánh xạ co Mối liên hệ thể hiệntrong phần

Định nghĩa 1.8 Cho... data-page="30">

Áp dụng định lý Lagrange, ta có ∃x0 ∈ (0; 1) cho

Vậy phương trình ax2 + bx + c = có nghiệm x0 ∈ (0; 1)

Ngoài ứng dụng định lý Lagrange