Một số ứng dụng của định lý lagrange

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* ĐINH THỊ TRANG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ LAGRANGE KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Tốn giải tích HÀ NỘI – 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN ************* ĐINH THỊ TRANG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ LAGRANGE KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chun ngành: Tốn giải tích Người hướng dẫn khoa học ThS TRẦN THỊ THU HÀ NỘI – 2018 Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan Lời mở đầu KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Dãy số 1.2 Hàm số khả vi MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ LAGRANGE 14 2.1 Ứng dụng định lý Lagrange toán dãy số 2.2 Ứng dụng định lý Lagrange giải phương trình, hệ phương trình 2.3 14 20 Ứng dụng định lý Lagrange chứng minh bất đẳng thức 31 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 i Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Trang LỜI CẢM ƠN Sau thời gian dài nghiêm túc, miệt mài nghiên cứu với giúp đỡ tận tình thầy giáo bạn sinh viên Đến nay, khóa luận em hồn thành Em xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành, sâu sắc tới thầy cô giáo tổ Giải tích, thầy khoa Tốn đặc biệt Ths Trần Thị Thu người trực tiếp tạo điều kiện giúp đỡ, bảo tận tình cho em suốt thời gian nghiên cứu, hồn thành khóa luận Do hạn chế thời gian kiến thức thân nên khóa luận em khơng thể tránh khỏi thiếu sót Kính mong nhận góp ý thầy cô bạn sinh viên Một lần em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2018 Sinh viên Đinh Thị Trang Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Trang LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp em hoàn thành hướng dẫn nhiệt tình Ths Trần Thị Thu với cố gắng thân Trong trình nghiên cứu, em tham khảo kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học nhà nghiên cứu với trân trọng lòng biết ơn Em xin cam đoan kết nghiên cứu riêng thân, khơng có trùng lặp với kết tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng năm 2018 Sinh viên Đinh Thị Trang Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Trang Lời mở đầu Lý chọn đề tài Đạo hàm nội dung giải tích nói riêng Tốn học nói chung Nó chiếm phần quan trọng chương trình lớp 12 trung học phổ thông, áp dụng để giải nhiều dạng tập Với phép tính đạo hàm định lý giá trị trung bình (như định lý Rolle, Lagrange, Cauchy, ) có vai trò quan trọng, nhờ có định lý mà nhiều kết tốn học chứng minh Trong chương trình Tốn học trung học phổ thơng, định lý Lagrange đưa vào sách giáo khoa với mục đích sử dụng định lý xét chiều biến thiên hàm số Học sinh chưa biết vận dụng định lý Lagrange vào thực hành giải tốn, lại có nhiều toán sử dụng định lý Lagrange cho lời giải ngắn gọn, dễ hiểu Vì vậy, giúp học sinh vận dụng định lý Lagrange vào giải toán phương pháp yêu cầu cần thiết Được hướng dẫn Ths Trần Thị Thu, em chọn đề tài: “Một số ứng dụng định lý Lagrange” làm khóa luận Mục đích nghiên cứu Đề tài nhằm giúp học sinh sử dụng định lý Lagrange phương pháp tốn dãy số, giải phương trình hệ phương trình, chứng minh bất đẳng thức Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Trang Đối tượng nghiên cứu Đối tượng : Học sinh trung học phổ thông Phạm vi nghiên cứu: - Các kiến thức chương trình tốn trung học phổ thơng - Các kiến thức mở rộng giải tích tốn học Phương pháp nghiên cứu - Quan sát kĩ giải toán học sinh - Tổng kết, rút kinh nghiệm thân lợi ích, khó khăn giải tốn Cấu trúc khóa luận Ngồi phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo nội dung khóa luận gồm hai chương Chương “Cơ sở lý thuyết” Trong chương trình bày kiến thức liên quan tới dãy số, hàm số khả vi, ánh xạ co, định lý Lagrange hệ Chương “ Một số ứng dụng định lý Lagrange” Trong chương chia mục sau 2.1 Ứng dụng định lý Lagrange toán dãy số 2.2 Ứng dụng định lý Lagrange giải phương trình, hệ phương trình 2.3 Ứng dụng định lý Lagrange chứng minh bất đẳng thức Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, kiến thức chuẩn bị tham khảo tài liệu [1,3,5] 1.1 Dãy số Định nghĩa 1.1 Ánh xạ x : N∗ → R n → x (n) = xn , gọi dãy số xn - gọi số hạng tổng quát dãy Dãy số kí hiệu {xn } (xn ) với n = 1, 2, Ví dụ 1.1.1 Cho dãy số (xn ) có số hạng tổng quát 1 a) xn = với n = x1 = 1, n = x2 = , n n b) xn = (−1) với n = x1 = −1, n = x2 = 1, Định nghĩa 1.2 Số x∗ giới hạn dãy {xn } số dương ε bé tùy ý tìm số p ∈ N∗ cho ∀n > p, n ∈ N∗ có |xn − x∗ | < ε, tức x∗ − ε < xn < x∗ + ε Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Trang Khi ta nói dãy {xn } hội tụ x∗ hay tiến đến giới hạn x∗ ta viết lim xn = x∗ hay xn → x∗ n → +∞ n→+∞ Một dãy khơng có giới hạn gọi phân kỳ = Thật vậy, n→+∞ n Với ε > cho trước, nhỏ tùy ý, ta có Ví dụ 1.1.2 lim 1 −0 cho trước tồn δ = δ (ε) > cho với x ∈ (a, b) : |x − x0 | < δ |f (x) − f (x0 )| < ε ∆y f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = có giới hạn hữu ∆x ∆x hạn ∆x → giới hạn gọi đạo hàm hàm f đối ∆y với x x0 Kí hiệu f (x0 ) hay y (x0 ) tức f (x0 ) = lim hay ∆x→0 ∆x f (x0 + ∆x) − f (x0 ) f (x0 ) = lim ∆x→0 ∆x Khi đó, ta nói hàm f khả vi x0 Định nghĩa 1.4 Nếu tỷ số Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Trang Định nghĩa 1.5 + Nếu tồn giới hạn hữu hạn lim + ∆x→0 ∆y giới hạn gọi ∆x đạo hàm bên phải f kí hiệu f+ (x0 ) + Nếu tồn giới hạn hữu hạn lim − ∆x→0 ∆y giới hạn gọi ∆x đạo hàm bên trái f kí hiệu f− (x0 ) + Hàm số f có đạo hàm x0 có đạo hàm bên phải đạo hàm bên trái x0 hai đạo hàm Ví dụ 1.2.1 Cho hàm số f (x) = |x|, điểm x0 = ta có ∆f ∆x = lim + = hay f + (0) = ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x ∆f ∆x lim − = lim − − = −1 hay f − (0) = −1 ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x lim + Như không tồn đạo hàm hàm f x0 = Định nghĩa 1.6 Hàm số y = f (x) gọi có đạo hàm khoảng (a, b) có đạo hàm điểm Định nghĩa 1.7 Hàm số y = f (x) gọi có đạo hàm đoạn [a, b] có đạo hàm điểm (a, b) có đạo hàm bên phải a, đạo hàm bên trái b Định lý 1.1 Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm điểm x0 liên tục điểm x0 Nhận xét 1.1 Nếu hàm số y = f (x) liên tục điểm x0 chưa kết luận có đạo hàm điểm x0 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Trang Ví dụ 2.2.10 Giải hệ phương trình   x  x3 + x + log2 = 8y + 2y + (1) y   y − xy + = (2) (2.11) x > 0; y = ⇔ xy > y Phương trình (1) tương đương Điều kiện: x3 + x + log2 |x| − log2 |y| = 8y + 2y + ⇔ x3 + x + log2 |x| = 8y + 2y + + log2 |y| ⇔ x3 + x + log2 |x| = 8y + 2y + log2 |2y| hay f (|x|) = f (|2y|) Xét hàm số f (t) = t3 + t + log2 |t| với t = Có   f (t) = 3t2 + + t ln  f (t) = 3t2 + − t ln t>0 t với t =  Theo bổ đề định lý Lagrange ta có |x| = |2y| ⇔  x = 2y x = −2y + Với x = 2y thay vào (2) ta   y = x=1   (T M ) ⇒ y2 = ⇔  x = −1 y=− + Với x = −2y thay vào (2) ta 3y = − Vậy hệ phương trình (2.11) có cặp nghiệm 1; 29 −1; − Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Trang Bài tập vận dụng Bài tập 1: Giải phương trình a) 3cos x − 2cos x = cos x b) 3x+1 − 2x.3x = c) 3x = + x + log3 (1 + x) Bài tập 2: Giải phương trình √ a) x = 3x2 − 14x + 14 √ √ b) x − + 5x + = x3 − x2 + b c a + + =0 cos x cos 2x cos 3x ln có nghiệm với số thực a, b, c Bài tập 3: Chứng minh phương trình Bài tập 4: Giải hệ phương trình   x3 − y + 3y − 3x − =  x2 + √1 − x2 − 2y − y = Bài tập 5: Giải hệ phương trình    x4 − 2y = −     y − 2z = −      z − 2x = − 30 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 2.3 Đinh Thị Trang Ứng dụng định lý Lagrange chứng minh bất đẳng thức Ở phần ta áp dụng định lý Lagrange hệ định lý Lagrange vào việc giải tốn bất đẳng thức số học, bất đẳng thức tích phân bất đẳng thức Jensen hàm lồi , hàm lõm Trong phần em tham khảo tài liệu số [1,3,5,7,8] Phương pháp Giả sử cần chứng minh bất đẳng thức bất đẳng thức A ≥ A ≤ (1) mà đại lượng tham gia vào bất đẳng thức (1) cần đánh giá có liên quan đến giá trị f (a) , f (b) , f (c) , hàm số f (x) xác định, khả vi X ⊂ R, a, b, c ∈ X đoạn [a, b] , [b, c] , [a, c] , bao hàm X Theo ta biết định lý Lagrange ∃c ∈ (a, b) cho f (b) − f (a) = f (c) (b − a) Khi theo định lý Lagrange ∃c1 ∈ [a; b] , c2 ∈ [b; c] , c3 ∈ [a; c] để f (b) − f (a) f (c) − f (b) f (c) − f (a) f (c1 ) = ; f (c2 ) = ; f (c3 ) = b−a c−b c−a nhờ biểu diễn ta chuyển việc đánh giá f (a) , f (b) , f (c) , đánh giá f (c1 ) , f (c2 ), f (c3 ) , thường đơn giản giản so với f (a) , f (b) , f (c) , Ví dụ 2.3.1 Chứng minh ∀x, y ∈ R ta có |sinx − sin y| ≤ |x − y| Xét hàm số f (x) = sinx, ∀x ∈ R Hàm số f (x) liên tục khả vi R, f (x) = cos x Theo định lý Lagrange, tồn c ∈ (x; y) ⊂ R cho 31 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Trang f (y) − f (x) = f (c) (y − x) ⇔ sin y − sinx = cos c (y − x) Do |cos c| ≤ nên ta có |cos c (y − x)| ≤ |y − x| Vậy |sin y − sinx| ≤ |y − x| hay |sinx − sin y| ≤ |x − y| Ví dụ 2.3.2 Cho < a < b Chứng minh b−a b b−a < ln < b a a Bất đẳng thức (2.12) tương đương với (2.12) b−a b−a < ln b − ln a < b a Xét hàm số f (x) = ln x với x ∈ (a; b) Do a > nên hàm số f (x) = ln x liên tục có đạo hàm khoảng (a; b) cho f (x) = x Theo định lý Lagrange tồn c ∈ (a; b) cho f (b) − f (a) = f (c) (b − a) ⇔ ln b − ln a = b − a ⇔ ln Do < a < c < b nên b b−a = a c b−a b−a b−a b−a b b−a < < hay < ln < b c a b a a Ví dụ 2.3.3 Chứng minh ∀x > ln có ln (x + 1) < x Bất đẳng thức tương đương ln (x + 1) − < (x + 1) − ⇔ ln (x + 1) − ln nên f (t) liên tục [1; x + 1] đạo hàm khoảng (1; x + 1) cho f (x) = x Theo định lý Lagrange tồn c ∈ (1; x + 1) cho x f (x + 1) − f (1) ⇔ ln (x + 1) = (x + 1) − c x x Ta có < x < x + < = x c x Vậy ta có ln (x + 1) = < x, ln (x + 1) < x c Ngồi ta áp dụng định lý Lagrange cho khoảng để chứng f (c) = minh bất đẳng thức Ví dụ 2.3.4 Cho a; b; c; d số dương Chứng minh abc + abd + acd + bcd ≤ ab + ac + ad + bc + bd + cd (2.13) Nhận thấy vai trò a; b; c; d bất đẳng thức (2.13) nhau, khơng tính tổng qt, ta giả sử ≤ a ≤ b ≤ c ≤ d Xét hàm số f (x) = (x − a) (x − b) (x − c) (x − d), f (x) liên tục khả vi toàn R, f (a) = f (b) = f (c) = f (d) = Theo hệ 1.1, tồn y1 , y2 , y3 ∈ R với y1 ∈ (a; b) , y2 ∈ (b; c) , y3 ∈ (c; d) cho f (y1 ) = f (y2 ) = f (y3 ) = f (x) = [(x − a) (x − b) (x − c) (x − d)] = (x − y1 ) (x − y2 ) (x − y3 ) Số hạng tự f (x) −4y1 y2 y3 , hệ số x f (x) tức ta có −4y1 y2 y3 = − (abc + abd + acd + bcd) ⇒ y1 y y3 = abc + abd + acd + bcd 33 (2.14) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Trang Số hạng thứ x f (x) (y1 y2 + y2 y3 + y1 y3 ) Đó lần số hạng chứa x2 f (x) (ab + ac + ad + bc + bd + cd), tức ta có y1 y2 + y2 y3 + y1 y3 = ab + ac + ad + bc + bd + cd (2.15) Theo bất đẳng thức Cauchy ta có y1 y2 + y2 y3 + y1 y3 ≥ ⇔ (y1 y2 y3 )2 y1 y2 + y2 y + y1 y √ ≥ y y2 y3 (2.16) Thay (2.14), (2.15) vào (2.16) ta abc + abd + acd + bcd ≤ ab + ac + ad + bc + bd + cd Bất đẳng thức tích phân ln vấn đề khó tốn liên quan đến bất đẳng thức Ta sử dụng định lý Lagrange để chứng minh lớp toán chứng minh bất đẳng thức phù hợp sau Ví dụ 2.3.5 Giả sử hàm số f (x) có đạo hàm liên tục đoạn [a; b] Chứng minh f (a) − f (b) = b max |f (x)| ≥ x∈[a;b] (b − a)2 |f (x)|dx a Theo giả thiết có f (x) liên tục đoạn [a; b] nên f (x) bị chặn đoạn [a; b] Đặt M = max |f (x)| Theo định lý Lagrange với số thực x ∈ [a; b] x∈[a;b] tồn điểm c ∈ [a; b] cho f (x) − f (a) = f (c) (x − a) 34 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Trang Và số thực x ∈ [a; b] tồn điểm d ∈ [x; b] cho f (b) − f (x) = f (d) (b − x) Vì f (a) = f (b) = 0, từ hai đẳng thức suy |f (x)| = |f (c)| (x − a) ≤ M (x − a) |f (x)| = |f (d)| (b − x) ≤ M (b − x) Do a+b b |f (x)| dx = a b |f (x)|dx + a |f (x)|dx a+b a+b ≤ b M (x − a)dx + a M (b − x)dx a+b M (b − a)2 M (b − a)2 M (b − a)2 + = = 8 b Từ suy (b + a)2 a b |f (x)|dx ≤ M hay max |f (x)| ≥ x∈[a;b] (b − a)2 |f (x)|dx a Nhận xét 2.2 Bài toán thay max |f (x)| |f (x)| x∈[a;b] x∈[a;b] bất đẳng thức đổi chiều Vậy ta có b |f (x)| ≤ x∈[a;b] (b − a)2 |f (x)|dx ≤ max |f (x)| x∈[a;b] a 35 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Trang Tính lồi với tính liên tục hai tính chất quan trọng hàm số Trong phần cuối khóa luận tốt nghiệp, xin giới thiệu bất đẳng thức hàm lồi - lĩnh vực ứng dụng định lý Lagrange Định nghĩa 2.1 Với q1 , q2 thỏa mãn điều kiện q1 > 0, q2 > 0, q1 + q2 = + Hàm f (x) xác định [a, b] gọi lồi (hay lồi dưới) x1 , x2 ∈ [a, b] ta có f (q1 x1 + q2 x2 ) ≤ q1 f (x1 ) + q2 f (x2 ) (2.17) + Hàm f (x) xác định [a, b] gọi lõm (hay lõm trên) x1 , x2 ∈ [a, b] ta có f (q1 x1 + q2 x2 ) ≥ q1 f (x1 ) + q2 f (x2 ) Rõ ràng f (x) lồi hàm −f (x) lõm ngược lại Ví dụ 2.3.6 Hàm f (x) = x2 , f (x) = ex hàm lồi R Hàm f (x) = lnx (x > 0) hàm lõm Tính chất 2.3.1 + Hàm f (x) hàm lồi (lồi thực sự) f (x) đơn điệu tăng (đơn điệu tăng thực sự) (a, b) + Hàm f (x) hàm số có đạo hàm cấp hai f (x) tồn (a, b) Khi f (x) hàm lồi thực f (x) ≥ (f (x) > 0) với x ∈ (a, b) 36 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Trang + Bất đẳng thức Jensen cho hàm lồi: Cho hàm số f (x) có đạo hàm cấp (a; b) f (x) ≥ 0, ∀x ∈ (a; b) Khi đó, với x1 , x2 ∈ (a; b) ta ln có f (x1 ) + f (x2 ) ≥f x1 + x2 (2.18) Chứng minh + Dễ thấy bất đẳng thức với x1 = x2 + Với x1 = x2 , khơng tính tổng qt ta giả sử x1 < x2 Ta có f (x1 ) + f (x2 ) ≥f ⇔ f (x2 ) − f x1 + x2 x1 + x2 ⇔ f (x1 ) + f (x2 ) − 2f − f (x1 ) − f Áp dụng định lý Lagrange x1 , x1 + x2 x1 + x2 ≥0 ≥0 (2.19) x1 + x2 x1 + x2 có ∃c ∈ x1 , 2 cho f x1 + x2 − f (x1 ) = f (c) Tương tự, áp dụng định lý Lagrange x2 − x1 (2.20) x1 + x2 x1 + x2 ; x2 có ∃d ∈ ; x2 2 cho f (x2 ) − f x1 + x2 = f (d) x2 − x1 (2.21) Từ (2.20) (2.21) suy (2.19) tương đương với f (d) − f (c) ≥ ⇔ f (d) ≥ f (c) Vì d ≥ c hàm số f (x) hàm đồng biến ( f (x) ≥ 0, ∀x ∈ (a; b)) nên bất đẳng thức (2.18) ln 37 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Trang Do f (x) > dấu ” = ” xảy x1 = x2 Nhận xét 2.3 + Người ta sử dụng bất đẳng thức Jensen để định nghĩa hàm lồi + Sử dụng phương pháp quy nạp, chúng tơi có bất đẳng thức hàm lồi tổng quát sau: Cho hàm số f (x) hàm lồi (a; b) tức f (x) ≥ 0, ∀x ∈ (a; b) (chú ý f (x) hữu hạn điểm) Khi đó, với x1 , x2 , , xn ∈ (a; b) ta ln có f (x1 ) + f (x2 ) + + f (xn ) ≥f n x1 + x2 + + xn n , ∀n ∈ N∗ Dấu ” = ” xảy x1 = x2 = = xn + Bất đẳng thức hàm lõm Cho hàm số f (x) hàm lõm (a; b) tức f (x) ≤ 0, ∀x ∈ (a; b) ( ý f (x) hữu hạn điểm) Khi đó, với x1 , x2 , , xn ∈ (a; b) ta ln có f (x1 ) + f (x2 ) + + f (xn ) ≤f n x1 + x2 + + xn n , ∀n ∈ N∗ Dấu ” = ” xảy x1 = x2 = = xn Phương pháp Áp dụng bất đẳng thức Jensen chứng minh bất đẳng thức ta thực bước sau - Dựa vào tốn chọn f (x) hàm thích hợp - Chứng minh f (x) hàm lồi lõm - Sử dụng bất đẳng thức Jesen đưa lời giải 38 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Trang Ví dụ 2.3.7 Cho < a < 1; < b < a + b = 1.Chứng minh √ aa + bb ≥ Xét hàm số f (x) = xx với < x < Rõ ràng thấy hàm f (x) liên tục (0; 1) Ta có f (x) = xx = ex ln x ⇒ f (x) = xx (ln x + 1) f (x) Suy = + ln x ⇔ f (x) = f (x) (1 + ln x) f (x) Do f (x) = f (x) (1 + ln x) + f (x) x 1 hay f (x) = f (x) (1 + ln x) + f (x) hay f (x) = xx (1 + ln x)2 + x x Suy f (x) > 0, ∀x ∈ (0; 1) Do đó, f (x) hàm lồi (0; 1) Ta có aa + bb = aa + (1 − a)1−a = f (a) + f (1 − a) (2.22) Áp dụng bất đẳng thức Jensen với hàm lồi f (x) (0; 1), ta có f (a) + f (1 − a) ≥f a+1−a =f = 1 =√ 2 √ Suy f (a) + f (1 − a) ≥ √ Từ (2.22) aa + bb ≥ Dấu ” = ” xảy a = b = Ví dụ 2.3.8 Chứng minh (2 + π)e < 2e−1 ((1 + π)e + 1) Xét hàm số f (x) = (1 + x)e khoảng (−1; +∞) Ta có f (x) = e(1 + x)e−1 f (x) = e (e − 1) (1 + x)e−1 > 0, ∀x > −1 39 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Trang Suy f (x) hàm lồi (−1; +∞), ta có π =f π ⇔ 1+ f 1 1 π + ≤ f (π) + f (0) 2 2 e 1 ≤ (1 + π)e + 2 ⇔ (2 + π)e ≤ 2e−1 ((1 + π)e + 1) Do π > nên dấu ” = ” không xảy Vậy (2 + π)e < 2e−1 ((1 + π)e + 1) Ví dụ 2.3.9 Chứng minh tam giác ABC ta có √ 3 sin A + sin B + sin C ≤ Xét hàm số f (x) = sinx khoảng (0; π) Có f (x) = cos x f (x) = −sinx < 0,∀x ∈ (0; π) Suy hàm f (x) hàm lõm (0; π) Áp dụng bất đẳng thức Jensen với hàm lõm f (x) (0; π), ta có A+B+C A+B+C ⇔ sin A + sin B + sin C ≤ sin 3√ π ⇔ sin A + sin B + sin C ≤ sin = 3 π Dấu ” = ” xảy A = B = C = hay tam giác ABC f (A) + f (B) + f (C) ≤ 3f Bài tập vận dụng 40 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Trang Bài tập 1: Chứng minh với x, y ∈ R ta có |arctan x − arctan y| ≤ |x − y| Bài tập 2: Với x > Chứng minh 1+ x+1 x+1 > 1+ x x Bài tập 3: Cho a, b, c, d > Chứng minh abc + bcd + abd + cda ≤a+b+c+d Bài tập 4: Chứng minh với a < b ea (b − a) < e − ea < eb (b − a) Bài tập 5: Cho A, B, C góc tam giác Chứng minh tan B C √ A + tan + tan ≥ 2 41 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Đinh Thị Trang Kết luận Trên toàn nội dung đề tài “Một số ứng dụng định lý Lagrange” Trong khóa luận tốt nghiệp em trình bày hiểu biết cách hệ thống rõ ràng ứng dụng định lý Lagrange việc giải tốn phổ thơng, giúp tốn trở nên rõ ràng dễ hiểu Khóa luận đạt mục đích nhiệm vụ đề Tuy nhiên kiến thức thân thời gian nghiên cứu hạn chế, phần lần thực khóa luận nên khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đóng góp q báu thầy, giáo bạn sinh viên để khóa luận đầy đủ hồn thiện Trước kết thúc khóa luận này, lần em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thầy, cô giáo khoa Toán đặc biệt Ths Trần Thị Thu tận tình giúp đỡ hướng dẫn em hồn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! 42 Tài liệu tham khảo [1] Tơ Văn Ban, Giải tích - Những tập nâng cao, NXB Giáo dục, 2004 [2] Nguyễn Tài Chung, Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Chuyên Khảo Dãy Số, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2013 [3] Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hồng Quốc Tồn, Giáo trình Giải tích tập , NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2000 [4] Huỳnh Công Thái, Các Ứng Dụng Đạo Hàm Để Giải Toán Sơ Cấp, NXB Đại học Quốc gia Tp Hồ Chí Minh, 2007 [5] http://toan.hoctainha.vn/Thu-Vien/Chuyen-De/113422/hai-ungdung-cua-dinh-ly-lagrange [6] https://toanmath.com/2016/02/tron-bo-phuong-phap-giaiphuong-trinh-he-phuong-trinh-nguyen-anh-huy.html [7] https://tailieu.vn/tag/ung-dung-dinh-ly-lagrange.html [8] https://toancap3.com/ung-dung-ham-loi-lom-de-chung-minh-batdang-thuc-jensen/ 43 ... 1.1 Dãy số 1.2 Hàm số khả vi MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ LAGRANGE 14 2.1 Ứng dụng định lý Lagrange toán dãy số 2.2 Ứng dụng định lý Lagrange. .. sở lý thuyết” Trong chương trình bày kiến thức liên quan tới dãy số, hàm số khả vi, ánh xạ co, định lý Lagrange hệ Chương “ Một số ứng dụng định lý Lagrange Trong chương chia mục sau 2.1 Ứng dụng. .. chương chia mục sau 2.1 Ứng dụng định lý Lagrange toán dãy số 2.2 Ứng dụng định lý Lagrange giải phương trình, hệ phương trình 2.3 Ứng dụng định lý Lagrange chứng minh bất đẳng thức Chương KIẾN