Một số ứng dụng của lọc chiều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ THỊ THÚY HẰNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LỌC CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ THỊ THÚY HẰNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LỌC CHIỀU Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS ĐÀO THỊ THANH HÀ Nghệ An - 2015 MỤC LỤC MỞ ĐẦU Trong suốt luận văn ta kí hiệu (A, m) vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan cực đại m Cho M A− môđun hữu hạn sinh với chiều Krull (dimM = d) Nếu depthM = dimM ta nói M môđun Cohen-Macaulay Lớp môđun Cohen-Macaulay đóng vai trò quan trọng phạm trù môđun Noether cấu trúc chúng nghiên cứu thông qua nhiều lý thuyết quan trọng Đại số giao hoán như: lý thuyết chiều, đối đồng điều địa phương, địa phương hóa, có ứng dụng nhiều lĩnh vực khác Toán học Đại số đồng điều, Tổ hợp Hình học đại số Đối với A− môdun M hữu hạn sinh ta định nghĩa lọc chiều µ = {Mi }0≤i≤d , d = dimA M , Mi kí hiệu môđun lớn M có chiều ≤ i Một số tính chất lọc chiều nghiên cứu Đặc biệt, trường hợp vành địa phương (A, m) có phức đối ngẫu lọc chiều xuất lọc dãy phổ liên quan tới tính đối ngẫu Hơn nữa, ta gọi A− môđun M môđun lọc Cohen-Macaulay tất môđun thương Mi /Mi−1 môđun không môđun Cohen-Macaulay chiều i Trong trường hợp A có phức đối ngẫu kết M môđun lọc Cohen-Macauly với ≤ i ≤ d môđun khuyết K i (M ) môđun không môđun CohenMacaulay i− chiều Hơn tính chất môđun lọc CohenMacaulay liên quan đến địa phương hóa, đầy đủ hóa nghiên cứu Mục đích luận văn nghiên cứu trình bày lại số vấn đề “Ứng dụng lọc chiều” P Shenzel (2004) [8] Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia thành hai chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày số khái niệm, tính chất chiều, độ sâu môđun, môđun Cohen-Macaulay, Đại số giao hoán nhằm mục đích làm sở cho việc trình bày nội dung luận văn chương Chương Một số ứng dụng lọc chiều Trong chương trình bày vấn đề sau 2.1 Khái niệm lọc chiều Trình bày khái niệm lọc chiều, tính chất lọc chiều, khái niệm hệ số phân biệt số bổ đề liên quan 2.2 Môđun lọc Cohen-Macaulay Trình bày môđun lọc Cohen-Macaulay; môđun xấp xỉ Cohen-Macaulay liên hệ chúng Từ khái niệm lọc chiều ta có số đặc trưng hệ tham số Đồng thời ta có số đặc trưng môđun xấp xỉ Cohen-Macaulay Luận văn hoàn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn, giúp đỡ, bảo tận tình TS Đào Thị Thanh Hà Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn trân trọng đến cô thầy giáo, cô giáo khoa Sư phạm Toán học, phòng đào tạo Sau đại học trường Đại học Vinh, bạn bè, đồng nghiệp gia đình tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng song luận văn không tránh khỏi thiếu sót Chúng mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo, cô giáo bạn đọc để luận văn hoàn thiện Vinh, tháng 10 năm 2015 Tác giả CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Phổ vành Giá môđun 1.1.1 Định nghĩa Cho p iđêan vành R, p gọi iđêan nguyên tố p = R với a, b ∈ R, ab ∈ p a ∈ p b ∈ p Kí hiệu SpecR tập tất iđêan nguyên tố vành R Khi đó, SpecR gọi phổ vành R Với iđêan I R ta kí hiệu V (I) = {p ∈ SpecR|p ⊇ I} 1.1.2 Định nghĩa Cho p iđêan vành R Kí hiệu Rp Mp tương ứng địa phương hóa R M Khi tập SuppM = {p ∈ SpecR|Mp = 0} ⊂ SpecR gọi giá M Với x ∈ M ta kí hiệu AnnR (x) = {a ∈ R|ax = 0} AnnR (M ) = {a ∈ R|ax = 0, ∀x ∈ M } Ta có AnnR (x) AnnR (x) iđêan R, AnnR (x) AnnR (M ) gọi linh hoá tử x linh hóa tử môđun M Để đơn giản người ta thường kí hiệu Ann(x) thay cho AnnR (x), Ann(M ) thay cho AnnR (M ) Nếu M R− môđun hữu hạn sinh SuppM = V (AnnR M ) = {p ∈ SpecR|p ⊇ AnnR M } 1.2 Độ dài môđun 1.2.1 Định nghĩa Một R− môđun M khác môđun gọi môđun đơn M có hai môđun môđun 1.2.2 Định nghĩa Một dãy hợp thành R− môđun M dãy giảm gồm số hữu hạn môđun M = M0 ⊃ M1 ⊃ ⊃ Mn = {0} cho Mi−1 /Mi môđun đơn, với i = 1, 2, , n Khi n gọi độ dài dãy hợp thành 1.2.3 Ví dụ (a) Một không gian vectơ có dãy hợp thành có chiều hữu hạn Một không gian vectơ có dãy hợp thành với độ dài d có chiều d (b) Vành số nguyên Z Z− môđun dãy hợp thành 1.2.4 Định lí (Jordan - Holder) Nếu R− môđun có dãy hợp thành có độ dài n, tất dãy hợp thành M có độ dài n Hơn nữa, dãy tăng giảm thực môđun M có độ dài không vượt độ dài dãy hợp thành, mở rộng thành dãy hợp thành M Từ Định lý 1.2.4 ta có định nghĩa sau 1.2.5 Định nghĩa Độ dài dãy hợp thành tùy ý R− môđun M gọi độ dài môđun M kí hiệu R (M ) đơn giản (M ) Nếu R− môđun M dãy hợp thành quy ước độ dài R (M ) =∞ gọi môđun có độ dài vô hạn 1.2.6 Ví dụ (a) Với Q trường số hữu tỉ Q không gian vectơ Q có chiều Q Q− môđun Ta có = ∞ (b) Z (Z) (c) Z (Z/6Z) =2 Q (Q) = Z/6Z có dãy hợp thành ⊂ 2Z/6Z ⊂ Z/6Z dãy hợp thành ⊂ 3Z/6Z ⊂ Z/6Z 1.3 Chiều Krull môđun 1.3.1 Định nghĩa Một dãy giảm iđêan nguyên tố vành giao hoán R p0 ⊃ p1 ⊃ ⊃ pn gọi xích nguyên tố có độ dài n Cho p ∈ SpecR, cận tất độ dài xích nguyên tố với p0 = p gọi độ cao p Kí hiệu ht(p), nghĩa ht(p) = sup{độ dài xích nguyên tố với p0 = p} Cho I iđêan R, độ cao iđêan I định nghĩa ht(p) = inf {ht(p)|p ∈ SpecR, p ⊇ I} Cận tất độ dài xích nguyên tố R gọi chiều Krull vành R, kí hiệu dimR hay dimK R Cho M R− môđun, dimR/AnnR M gọi chiều Krull môđun M , kí hiệu dimK M hay dimM Từ ta thấy dimM ≤ dimR 1.3.2 Ví dụ (a) dimK = với K trường (Trường K có iđêan K , iđêan nguyên tố K Vì chiều Krull K 0) (b) dimZ Z = Do iđêan nguyên tố vành số nguyên Z có dạng pZ với p số nguyên tố Hơn iđêan pZ với p nguyên tố iđêan cực đại Từ xích nguyên tố Z có độ dài lớn có dạng (0) ⊂ pZ, suy dimZ Z = (c) Xét vành đa thức biến k[x, y, z] với k trường Ta có dimk[x, y, z]/(x2 ) ∩ (y, z ) = Tiếp theo ta có định nghĩa sau 1.3.3 Định nghĩa (i) R gọi vành catenary với cặp iđêan nguyên tố p, q hai dãy tăng ngặt tùy ý iđêan nguyên tố p = p0 ⊂ p1 ⊂ ⊂ pn = q chứa dãy tăng ngặt cực đại từ p đến q có độ dài Ví dụ, Một vành địa phương miền nguyên có chiều vành catenary (ii) Tập catenary SpecA tập hợp iđêan nguyên tố A thỏa mãn với cặp iđêan nguyên tố tập tồn chuỗi tăng ngặt iđêan nguyên tố 1.3.4 Chú ý Cho I iđêan R Ta có htI + dimR/I ≤ dimR Vành R công thức đẳng thức với iđêan I vành catenary 1.4 Iđêan nguyên tố liên kết 1.4.1 Định nghĩa Cho R vành giao hoán, có đơn vị M R− môđun Một iđêan nguyên tố p R gọi iđêan nguyên tố liên kết M tồn phần tử = x ∈ M cho p = :R x = AnnR (x) = {r ∈ R|rx = 0} Tập iđêan nguyên tố liên kết M kí hiệu AssR M hay AssM Như Ass(M ) = {p ∈ SpecR|p = Annx với x ∈ M đó} Sau số tính chất tập iđêan nguyên tố liên kết 1.4.2 Mệnh đề (i) Nếu M R− môđun Noether Ass(M) tập hữu hạn (ii) Nếu N môđun M Ass(N ) ⊆ Ass(M ) (iii) Cho → M → M → M → dãy khớp R− môđun Khi AssM ⊆ AssM ⊆ AssM ∪ AssM (vi) Ass(M ) ⊆ Supp(M ) phần tử tối thiểu Supp(M ) thuộc Ass(M ) 1.4.3 Định nghĩa Môđun N M gọi môđun nguyên sơ Ass(M/N ) gồm phần tử, có nghĩa tồn iđêan nguyên tố p cho Ass(M/N ) = {p} Khi ta nói N môđun p− nguyên sơ 1.4.4 Định nghĩa Cho N môđun M N gọi có phân tích nguyên sơ N biểu diễn dạng N = N1 ∩ N2 ∩ ∩ Nr (*) Ni môđun pi − nguyên sơ, i = 1, 2, , r Phân tích nguyên sơ (*) gọi phân tích nguyên sơ thu gọn pi đôi phân biệt bỏ môđun Ni phân tích 1.4.5 Định lí Nếu N môđun môđun Noether M N có phân tích nguyên sơ có phân tích nguyên sơ thu gọn 1.4.6 Định lí Cho M môđun hữu hạn sinh vành Noether R Khi n môđun N M có dạng phân tích nguyên sơ thu gọn = Nj , j=1 Ni môđun pi − nguyên sơ với i = 1, , r, pi xác định N , ta có Ass(M/N ) = {p1 , , pr } 12 Giả sử R vành Noether M R− môđun hữu hạn sinh Nếu x1 , , xn dãy quy chuỗi (x1 ) ⊂ (x1 , x2 ) ⊂ ⊂ (x1 , x2 , , xn ) tăng ngặt Do M − dãy mở rộng thành dãy cực đại R Noether chuỗi phải dừng 1.7.5 Định nghĩa Cho I ⊆ R iđêan Nếu x1 , , xn ∈ I dãy quy x1 , , xn gọi dãy quy cực đại không tồn y ∈ I để {x1 , , xn , y} dãy quy n gọi độ dài dãy Cho R vành địa phương Noether M R− môđun hữu hạn sinh Khi độ dài hai dãy M − quy cực đại nằm iđêan I Do ta có định nghĩa sau 1.7.6 Định nghĩa Cho (R, m) vành địa phương Noether Khi độ dài dãy quy cực đại m kí hiệu depth(m, M ) hay depth(M ) gọi độ sâu môđun M 1.7.7 Chú ý (i) Nếu x1 , , xn dãy quy M phần hệ tham số M Do depthM ≤ dimM (ii) Tồn phần tử M − quy m ∈ / AssM Ta có định nghĩa môđun vành Cohen-Macaulay trường hợp R vành địa phương Noether sau 1.7.8 Định nghĩa Giả sử (R, m) vành địa phương Noether M R− môđun hữu hạn sinh M gọi môđun Cohen-Macaulay depth(M ) = dimM Nếu R môđun Cohen-Macaulay ta nói R vành Cohen-Macaulay Điều xảy R vành địa phương? 1.7.9 Định nghĩa Nếu R vành Noether, M R− môđun hữu hạn sinh Khi M gọi môđun Cohen-Macaulay với iđêan cực đại m A, Mm môđun Cohen-Macaulay Một vành Noether R Cohen-Macalay môđun Cohen-Macaulay 13 1.7.10 Ví dụ (i) Vành đa thức k[x1 , , xn ] vành chuỗi lũy thừa hình thức k[[x1 , , xn ]] vành Cohen-Macaulay k[x, y, z] k[x, y, z]− môđun (ii) Cho (x, y ) ∩ (x2 , y , z ) Ta có AssM = {(x, y), (x, y, z)}, m = (x, y, z) ∈ AssM , theo Chú ý 1.7.7 (ii) M phần tử quy, hay depthM = Mặt khác dimM = max{dimR/p|p ∈ AssM } = Vì M môđun Cohen-Macaulay 1.7.11 Định lí Cho M R− môđun Cohen-Macaulay chiều d Khi ta có (i) dimR/p = d, ∀p ∈ AssM (ii) Nếu {x1 , , xi } dãy M − quy M/(x1 , , xi )M môđun Cohen-Macaulay (iii) Mọi hệ tham số M dãy M − quy 1.8 Môđun không trộn lẫn 1.8.1 Định nghĩa Cho M R− môđun Noether chiều d M gọi không trộn lẫn (sai khác thành phần m− nguyên sơ) ∀p ∈ AssM , p = m), ta có dimR/p = d Nếu ∃p = m, p ∈ AssM cho dimR/p = d M gọi môđun trộn lẫn 1.8.2 Ví dụ (i) Cho k[[x, y, z]] k[[x, y, z]]− môđun (x2 , y) ∩ (y , z) ∩ (x4 , y , z ) AssM = {(x, y), (y, z), (x, y, z)} = {p1 , p2 , p3 } Ta có dimR/p1 = dimR/p2 = dimR/p3 = dim k[[x, y, z]] = dimk = (x, y, z) nên dimM = max{dimR/p|p ∈ AssM } = Ở m = (x, y, z) ∈ AssM Vậy ∀p ∈ AssM, p = m, dimR/p = d, M môđun không trộn lẫn 14 (ii) Từ Mệnh đề 1.7.11 (i) ta có môđun Cohen-Macaulay môđun không trộn lẫn 15 CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LỌC CHIỀU 2.1 Khái niệm lọc chiều Giả sử (A, m) kí hiệu vành địa phương Noether Gọi M A− môđun hữu hạn sinh d = dimA M Đối với số nguyên ≤ i < d, kí hiệu Mi môđun lớn M cho dimA Mi ≤ i Vì điều kiện tối đại A− môđun Nother nên môđun Mi M xác định Hơn suy Mi−1 ⊆ Mi với ≤ i ≤ d 2.1.1 Định nghĩa Lọc tăng µ = {Mi }0≤i≤d môđun M gọi lọc chiều M Đặt µi = Mi /Mi−1 với ≤ i ≤ d 0 (.) biểu (M ) Hm Sự phân tích nguyên sơ Lưu ý M0 = Hm thị phần hàm tử đối đồng điều địa phương thứ với giá m n Giả sử = Nj biểu thị phân tích nguyên sơ rút gọn j=1 n M Khi đó, = Nj với k = 1, , n Nj pj môđun j=1,j=k nguyên sơ M , iđêan nguyên tố pj khác đôi AssA M = {p1 , , pn } Do đó, M0 = ∩dimA/pj >0 Nj Cả hai biểu diễn tổng quát M0 tổng quát cho Mi , ≤ i ≤ d sau Iđêan linh hóa tử Đặt = Πp∈AssM,dimA/p≤i p Trong trường hợp {p ∈ AssM |dimA/p ≤ i} = ∅ Đặt = A 16 2.1.2 Mệnh đề Cho M A− môđun hữu hạn sinh Khi đó, Mi = Ha0i (M ) = ∩dimA/pj >i Nj n Với ≤ i ≤ d, với = Nj biểu thị phân tích nguyên sơ rút gọn j=1 M Chứng minh Đẳng thức hai môđun cuối mệnh đề lập luận dễ dàng phân tích nguyên sơ môđun M Bây chứng minh Mi = Ha0i (M ) với ≤ i ≤ d Rõ ràng ta có SuppHa0i (M ) = SuppM ∩ V (ai ) Từ ta có M1 ⊆ Ha0i (M ) phần tử Mi linh hoán tử iđêan có chiều ≤ i Từ tính cực đại Mi chứng tỏ Kết cung cấp phân loại iđêan nguyên tố liên kết M theo Mi µi tương ứng 2.1.3 Hệ Giả sử M = {Mi }0≤i≤d lọc chiều M , a) AssA Mi = {p ∈ AssM |dimA/p ≤ i} b) AssA M/Mi = {p ∈ AssM |dimA/p > i} c) AssA µi = {p ∈ AssM |dimA/p = i} Với ≤ i ≤ d Chứng minh Hai đẳng thức rõ ràng theo Mệnh đề 2.1.2, lưu ý AssA Ha0i (M ) = {p ∈ AssM |p ∈ V (ai )} Đẳng thức thứ hệ nhúng µi ⊆ M/Mi−1 dãy khớp ngắn → Mi−1 → Mi → µi → Ở sử dụng quan hệ bao hàm AssA Mi ⊆ AssA Mi−1 ∪ AssA µi iđêan nguyên tố liên kết môđun tương ứng 17 Nhận xét Theo nghĩa đó, thương số µi , ≤ i ≤ d lọc chiều µ = {Mi }0≤i≤d M thước đo cho tính không trộn lẫn M Lưu ý rằng, A− môđun M không trộn lẫn dimA/p = dimA M với p ∈ AssA M Trong trường hợp µi = với i < dimA M = d Md = M Vì vậy, lọc rời rạc trường hợp M không trộn lẫn Tổng hơn, giả sử µ = {Mi }0≤i≤d lọc chiều M Khi đó, Mi = với i ≤ depthA M Điều suy từ Hệ 2.1.3 từ depthA M ≤ dimA/p với p ∈ AssA M xem [6, Định lý 17.2] cho bất đẳng thức Ta có tính chất sau: 2.1.4 Mệnh đề Gọi µ = {Mi }0≤i≤d lọc chiều A− môđun M hữu hạn sinh Giả sử rằng, SuppA M tập hợp catenary SpecA Đặt p ∈ SuppM biểu thị iđêan nguyên tố Định nghĩa Mi = Mi+dimA/p ⊗A Ap với ≤ i ≤ dimAp Mp = t Khi đó, µ = {Mi }0≤i≤t chiều lọc chiều Ap − môđun Mp Chứng minh Đầu tiên nhắc đến ràng buộc dimA Mi ≤ (i + dimA/p) − dimA/p = i với i ∈ Z Tiếp theo nhớ lại mệnh đề sau iđêan nguyên tố liên kết AssAp Mp = {qAp |q ∈ AssA M, q ⊆ p} n xem [6, Định lý 6.2] Bây giả sử = Nj phân tích nguyên sơ rút j=1 gọn M , Nj qj − nguyên sơ Giả sử rằng, qj ⊆ p với n j = 1, , m qj Nj (Nj ⊗A Ap ) p với j = m + 1, , m Khi = j=1 18 phân tích nguyên sơ rút gọn Mp Ap − môđun Khi đó, từ Mệnh đề 2.1.2 dẫn đến (Mp )i = ∩dimAp /qj Ap >1 (Nj ⊗A Ap ) Hơn theo địa phương hóa Mi+dimA/p ta có đẳng thức sau Mi = ∩dimA/qj >i+dimA/p (Nj ⊗A Ap ) Vì SuppA M coi tập hợp catenary SpecA, ta có dimA/qj = dimA/p + dimAp /qj Ap Đầu tiên ta chứng minh rằng, d = t + dimA/p Theo mệnh đề iđêan nguyên tố liên kết cho thấy Mi = (Mp )i với ≤ i ≤ t, yêu cầu Tiếp theo ta xét thay đổi khái niệm hệ tham số A− môđun M Đó hệ tham số phân biệt 2.1.5 Định nghĩa Giả sử x = x1 , , xd , d = dimA M hệ tham số M Khi x = x1 , , xd gọi hệ tham số phân biệt M (xi+1 , , xd )Mi = với i = 0, , d − Kết chứng minh tồn hệ tham số phân biệt A− môđun M 2.1.6 Bổ đề Bất kì A− môđun M hữu hạn sinh có hệ tham số phân biệt Chứng minh Đầu tiên tồn tham số xd M cho xd Mi = với i = 0, , d − Cuối lưu ý dimA Mi ≤ i ≤ d với i = 0, , d − d−1 Đặt b = AnnA Mi Khi b p với iđêan nguyên tố liên kết i=0 p ∈ AssA M với dimA/p = d Do có phần tử xd ∈ b xd ∈ / p với p ∈ AssA M với dimA/p = d Từ xd tham số với tính chất yêu 19 cầu Bây chuyển qua môđun thương M/xd M chọn tham số xd−1 M/xd M cho xd−1 Mi = với i = 0, , d − Sau đó, dùng quy nạp để chứng minh Nó x = x1 , , xd hệ tham số phân biệt M , phần tử x1 , , xi sinh iđêan định nghĩa µi Điều suy từ Mi /xMi A− môđun có độ dài hữu hạn Vì vậy, µi = 0, x1 , , xi hệ tham số µi 2.1.7 Bổ đề Một hệ tham số x = x1 , , xd M hệ tham số phân biệt Mi = :M (xi+1 , , xd ) với i = 0, , d − Chứng minh Cho x = x1 , , xd hệ tham số M cho Mi = :M (xi+1 , , xd ) với i = 0, , d − Khi đó, (xi+1 , , xd )Mi = 0, nghĩa x hệ tham số phân biệt Ngược lại, giả sử x hệ tham số phân biệt, Mi ⊆ :M (xi+1 , , xd ) với i = 0, , d − suy từ định nghĩa Hơn ta có biểu thức sau iđêan nguyên tố liên kết AssA (0 :M (xi+1 , , xd )) = {p ∈ AssA M |p ∈ V (xi+1 , , xd )} Giả sử kí hiệu p iđêan nguyên tố liên kết :M (xi+1 , , xd ) Khi ta có p ∈ SuppA M/(xi+1 , , xd )M dimA/p ≤ d − (d − i) = i Có nghĩa dimA (0 :M (xi+1 , , xd )) ≤ i Do tính cực đại M ta có đẳng thức Mi = :M (xi+1 , , xd ) 20 2.2 Môđun lọc Cohen-Macaulay Giả sử (A, m) vành địa phương Nother Giả sử M A− môđun hữu hạn sinh Gọi µ = {Mi }0≤i≤d lọc chiều M 2.2.1 Định nghĩa Một A− môđun hữu hạn sinh gọi môđun lọc Cohen-Macaulay (theo [7]) (hoặc môđun Cohen-Macaulay dãy) Khi µi = Mi /Mi−1 môđun không môđun Cohen-Macaulay i− chiều với ≤ i ≤ dimA M Lưu ý môđun Cohen-Macaulay tùy ý môđun lọc CohenMacaulay Vì Mi = với i < dimA M Ngược lại môđun lọc Cohen-Macaulay không trộn lẫn môđun cohen-Macaulay Giả sử M A− môđun cho depthA M = M/Hm0 (M ) môđun Cohen-Macaulay Khi M môđun lọc Cohen-Macaulay 2.2.2 Định nghĩa Giả sử M A− môđun hữu hạn sinh với d = dimA M , dãy lọc tăng C = {Ci }0≤i≤d M gọi lọc CohenMacaulay M = Cd , d = dimA M Ci = Ci /Ci−1 môđun không môđun Cohen-Macaulay i− chiều với ≤ i ≤ d 2.2.3 Mệnh đề Giả sử C = {Ci }0≤i≤d lọc Cohen-Macaulay M Khi C trùng với lọc chiều M Xem [8] Tiếp theo có khái niệm môđun xấp xỉ Cohen-Macaulay: n Giả sử = Nj phân tích nguyên sơ rút gọn j=1 Đặt uM (0) = ∩dimA/pj =d Nj 2.2.4 Định nghĩa Một A− môđun hữu hạn sinh M , với d = dimA M gọi môđun xấp xỉ Cohen-Macaulay M/uM (0) môđun Cohen-Macaulay depthA M ≥ d − Đây phần mở rộng khái niệm vành xấp xỉ Cohen-Macaulay đưa S.Goto, xem [4] Lưu ý môđun Cohen-Macaulay 21 xấp xỉ Cohen-Macaulay Tiếp theo mô tả mối quan hệ khái niệm với khái niệm môđun lọc Cohen-Macaulay 2.2.5 Mệnh đề Gọi M A− môđun hữu hạn sinh Khi M xấp xỉ Cohen-Macaulay M môđun lọc Cohen-Macaulay depthA M ≥ dimA M − Chứng minh Đầu tiên ta gọi M môđun xấp xỉ Cohen-Macaulay, đặt d = dimA M Theo [5, Định lý 17.2], suy d − ≤ depthA M ≤ dimA/p với p ∈ AssA M Vì Mi = với i = 0, , d − Md−1 = uM (0) xem Mệnh đề 2.1.4 Bây ta xét dãy khớp ngắn → Md−1 → M → M/Md−1 → Vì M môđun xấp xỉ Cohen-Macaulay ta suy M/Md−1 môđun Cohen-Macaulay d− chiều depthA M ≥ d − Cho nên từ dãy khớp ngắn suy depthA Md−1 ≥ d − Vì dimA Md−1 ≤ d − Md−1 môđun không môđun Cohen-Macaulay (d − 1)− chiều Chiều ngược lại lý luận tương tự Sau số đặc trưng hệ tham số 2.2.6 Bổ đề Giả sử µ = {Mi }0≤i≤d lọc chiều M Khi d LA (M/xM ) ≤ LA (µi /(x1 , , xi )µi ) i=0 hệ tham số phân biệt tùy ý x = x1 , , xd , d = dimA M M Chứng minh Với ≤ i ≤ d ta xét dãy khớp ngắn sau → Md−1 → Mi → µi → Tenxơ với A/(x1 , , xd )A Do xi Mi−1 = 0, ≤ i ≤ d ta dãy khớp Mi−1 /(x1 , , xi−1 )Mi−1 → Mi /(x1 , , xi )Mi → µi /(x1 , , xi )µi → 22 Vì x hệ tham số phân biệt M , phần tử x1 , , xi sinh iđêan định nghĩa Mi Có nghĩa A− môđun Mi /(x1 , , xi )Mi µi /(x1 , , xi )µi , i = 0, , d, A− môđun có độ dài hữu hạn Khi LA (Mi /(x1 , , xi )Mi ) ≤ LA (Mi−1 /(x1 , , xi )Mi−1 ) + LA (µi /(x1 , , xi )µi ) với i = 1, , d Vì M = Md ta có bất đẳng thức cần chứng minh Lưu ý bất đẳng thức Bổ đề 2.2.6 với hệ tham số tùy ý x = x1 , , xd M Tuy nhiên trường hợp xảy môđun vế phải độ dài hữu hạn Trong trường hợp đánh giá tầm thường 2.2.7 Bổ đề Giả sử µ = {Mi }0≤i≤d lọc chiều A− môđun hữu hạn sinh M với d = dimA M t = depthA M Đặt x = x1 , , xd hệ tham số phân biệt Giả sử M môđun lọc Cohen-Macaulay, điều kiện sau thỏa mãn: d a) LA (M/(x1 , , xd )M ) = LA (µi /(x1 , , xi )µi ); i=0 b) M/(x1 , , xd−1 )M môđun Cohen-Macaulay t− chiều Ngược lại đúng, có nghĩa điều kiện a) b) kéo theo M môđun lọc Cohen-Macaulay depthA M ≥ d − Một phần kết tổng quát [4, Bổ đề 2.1] cho đặc trưng môđun xấp xỉ Cohen-Macaulay 2.2.8 Mệnh đề Cho M A− môđun hữu hạn sinh với d = dimA M Với r ∈ N số nguyên Giả sử rằng, phần tử x ∈ m thỏa mãn hai điều kiện sau: a) M/xr+1 M môđun Cohen-Macaulay (d − 1)− chiều b) :M xr = :M xr+1 23 Khi đó, depthA M ≥ d − M môđun xấp xỉ Cohen-Macaulay với Md−1 = :M xr Chứng minh Đặt N := :M xr = :M xr+1 Trước hết ta có depthA M/xr M ≥ d − Thật vậy, giả sử ngược lại, nghĩa depthA M/xr M := t < d − Khi ta có dãy khớp ngắn: → M/(xM/N ) → M/xr+1 M → M/xr M → Có nghĩa depthA M/(xM, N ) = t + Vì x phần tử M/N − quy, suy depthA M/N = t + depthA M/(xs M, N ) = t + với s ≥ Vì ta có dãy khớp ngắn sau → N → M/xs M → M/(xs M, N ) → Xét s = r + với depthA N = t + Sau ta xét dãy tương tự cho trường hợp s = r ta có depthA M/xr M ≥ t + 1, mâu thuẫn Vì vậy, M/xr M môđun Cohen-Macaulay (d − 1)− chiều Ta chứng minh dãy khớp ngắn M/(xs M, N ) môđun Cohen-Macaulay M/N môđun Cohen-Macaulay Hơn theo dãy khớp trước xét với s = r chứng minh N môđun Cohen-Macaulay có chiều d − Theo Mệnh đề 2.1.4 ta có điều phải chứng minh 24 KẾT LUẬN Nội dung luận văn tìm hiểu lọc chiều môđun lọc CohenMacaulay dựa vào kết nghiên cứu "Ứng dụng lọc chiều" P Shenzel (2004) [8] Cụ thể, trình bày nội dung sau Khái niệm lọc chiều, tính chất lọc chiều; khái niệm hệ tham số phân biệt số bổ đề liên quan Khái niệm môđun lọc Cohen-Macaulay; môđun xấp xỉ Cohen-Macaulay liên quan chúng (Mệnh đề 2.2.5) Từ khái niệm lọc chiều ta có số đặc trưng hệ tham số (Bổ đề 2.2.6, Bổ đề 2.2.7) Đồng thời ta có đặc trưng môđun xấp xỉ CohenMacaulay (Mệnh đề 2.2.8) 25 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Sze – Tsen Hu (1973), Nhập môn Đại số đồng điều, Bản dịch Tiếng Việt Tiếng Anh [2] W Brun, J Herzog (1993), Cohen-Macaulay rings, Cambr Univ Press [3] N T Cuong (2004), On sequentially Cohen-Macaulay Modules, Talk at School on Comm Algebra and Interact with Algebraic Geom and Com., Trieste [4] S Goto (1981), Approximately Cohen-Macaulay rings, J Algebra 76, 214-225 [5] H Matsumura (1086): "Commutative ring theory", Cambridge University Press, 1986 [6] J Herzog, E Sbarra (2002), Sequentially Cohen-Macaulay modules and local cohomology, Proc of the Intern Colloquium on algebra, arithmetic and geometry, Mumbai, India, 2000, Tata Institute of Fundamental Research, Bombay Stud Math., Tata Inst Fundam Res 16, 327-340 [7] P Shenzel (1999), On the dimension filtration and Cohen-Macaulay filtered modules, Van Oystaeyen, F.(ed.), Commutative algebra and algebraic geometry New York: Marcel Dekker Lect Notes Pure Appl Math 206, 245-264 [8] P Shenzel (2004), Applications of the dimension filtration, School on Commutative Algebra and Interraction with Algebraic Geometry and Combinatorics 26 [9] R Stanley (1996), Combinatorics and Commutative Algebra, Second Edition, Progress in Math., 41, Birkhauser [...]... với s = r chứng minh rằng N là môđun Cohen-Macaulay có chiều d − 1 Theo Mệnh đề 2.1.4 ta có điều phải chứng minh 24 KẾT LUẬN Nội dung chính của luận văn là tìm hiểu về lọc chiều và môđun lọc CohenMacaulay dựa vào kết quả nghiên cứu "Ứng dụng của lọc chiều" của P Shenzel (2004) trong [8] Cụ thể, chúng tôi đã trình bày những nội dung sau 1 Khái niệm lọc chiều, các tính chất cơ bản của lọc chiều; khái... CHƯƠNG 2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LỌC CHIỀU 2.1 Khái niệm lọc chiều Giả sử (A, m) kí hiệu là một vành địa phương Noether Gọi M là một A− môđun hữu hạn sinh và d = dimA M Đối với số nguyên 0 ≤ i < d, kí hiệu Mi là môđun con lớn nhất của M sao cho dimA Mi ≤ i Vì điều kiện tối đại của A− môđun Nother nên môđun con Mi của M được xác định Hơn nữa suy ra được Mi−1 ⊆ Mi với mọi 1 ≤ i ≤ d 2.1.1 Định nghĩa Lọc tăng... Định lí Cho (R, m) là vành địa phương Noether và x1 , , xd là một hệ tham số môđun M Khi đó (i) Hoán vị của hệ tham số x1 , , xd cũng là một hệ tham số của M (ii) dimM/(x1 , , xi )M = d − i, ∀i = 1, 2, , d (iii) Nếu n1 , , nd là các số nguyên dương thì xn1 1 , , xnd d cũng là một hệ tham số của M 1.5.4 Ví dụ x1 , , xd là một hệ tham số của vành chuỗi lũy thừa hình thức k[[x1 , , xd ]] 1.6 Iđêan m−... hệ tham số của M Khi đó x = x1 , , xd được gọi là hệ tham số phân biệt của M nếu (xi+1 , , xd )Mi = 0 với mọi i = 0, , d − 1 Kết quả tiếp theo chứng minh sự tồn tại của hệ tham số phân biệt của A− môđun M 2.1.6 Bổ đề Bất kì A− môđun M hữu hạn sinh đều có một hệ tham số phân biệt Chứng minh Đầu tiên chúng ta chỉ ra sự tồn tại của tham số xd của M sao cho xd Mi = 0 với mọi i = 0, , d − 1 Cuối cùng lưu... /xMi là một A− môđun có độ dài hữu hạn Vì vậy, bất cứ khi nào µi = 0, thì x1 , , xi là hệ các tham số của µi 2.1.7 Bổ đề Một hệ tham số x = x1 , , xd của M là hệ tham số phân biệt nếu và chỉ nếu Mi = 0 :M (xi+1 , , xd ) với mọi i = 0, , d − 1 Chứng minh Cho x = x1 , , xd là một hệ tham số của M sao cho Mi = 0 :M (xi+1 , , xd ) với mọi i = 0, , d − 1 Khi đó, (xi+1 , , xd )Mi = 0, nghĩa là x là một hệ... là k[x, y, z]− môđun 1.5 Hệ tham số 1.5.1 Định nghĩa Cho (R, m) là một vành địa phương Noether, M là R− môđun với dimM = d Hệ các phần tử x1 , , xd của m được gọi là hệ tham số của M nếu độ dài (M/(x1 , , xd )M ) < ∞ và khi đó iđêan q = (x1 , , xd )R được gọi là iđêan tham số 1.5.2 Chú ý Hệ tham số của môđun M luôn tồn tại Sau đây là một số tính chất cơ bản của hệ tham số 1.5.3 Định lí Cho (R, m) là... rút gọn j=1 của 0 trong M Chứng minh Đẳng thức của hai môđun con cuối cùng trong mệnh đề lập luận dễ dàng về sự phân tích nguyên sơ của môđun con 0 của M Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh rằng Mi = Ha0i (M ) với mọi 0 ≤ i ≤ d Rõ ràng ta có SuppHa0i (M ) = SuppM ∩ V (ai ) Từ đó ta có M1 ⊆ Ha0i (M ) vì bất kì phần tử nào của Mi đều là linh hoán tử của iđêan có chiều ≤ i Từ tính cực đại của Mi chứng tỏ sự... hệ tham số phân biệt và một số bổ đề liên quan 2 Khái niệm về môđun lọc Cohen-Macaulay; môđun xấp xỉ Cohen-Macaulay và liên quan giữa chúng (Mệnh đề 2.2.5) 3 Từ khái niệm lọc chiều ta có một số đặc trưng về hệ tham số (Bổ đề 2.2.6, Bổ đề 2.2.7) Đồng thời ta có một đặc trưng về môđun xấp xỉ CohenMacaulay (Mệnh đề 2.2.8) 25 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Sze – Tsen Hu (1973), Nhập môn Đại số đồng... Cohen-Macaulay d− chiều và depthA M ≥ d − 1 Cho nên từ dãy khớp ngắn suy ra depthA Md−1 ≥ d − 1 Vì dimA Md−1 ≤ d − 1 nó chỉ ra rằng Md−1 hoặc là môđun không hoặc là môđun Cohen-Macaulay (d − 1)− chiều Chiều ngược lại cũng lý luận tương tự Sau đây là một số đặc trưng về hệ tham số 2.2.6 Bổ đề Giả sử µ = {Mi }0≤i≤d là lọc chiều của M Khi đó d LA (M/xM ) ≤ LA (µi /(x1 , , xi )µi ) i=0 đối với hệ tham số phân biệt... thức cần chứng minh Lưu ý rằng bất đẳng thức của Bổ đề 2.2.6 luôn đúng với hệ tham số tùy ý x = x1 , , xd của M Tuy nhiên trong trường hợp này nó có thể xảy ra rằng môđun ở vế phải không có độ dài hữu hạn Trong trường hợp này sự đánh giá tầm thường 2.2.7 Bổ đề Giả sử µ = {Mi }0≤i≤d là lọc chiều của một A− môđun hữu hạn sinh M với d = dimA M và t = depthA M Đặt x = x1 , , xd là một hệ tham số phân biệt ...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LÊ THỊ THÚY HẰNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LỌC CHIỀU Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học:... lọc chiều µ = {Mi }0≤i≤d , d = dimA M , Mi kí hiệu môđun lớn M có chiều ≤ i Một số tính chất lọc chiều nghiên cứu Đặc biệt, trường hợp vành địa phương (A, m) có phức đối ngẫu lọc chiều xuất lọc. .. đề sau 2.1 Khái niệm lọc chiều Trình bày khái niệm lọc chiều, tính chất lọc chiều, khái niệm hệ số phân biệt số bổ đề liên quan 2.2 Môđun lọc Cohen-Macaulay Trình bày môđun lọc Cohen-Macaulay;