Về iđêan cạnh của siêu đồ thị và một số ứng dụng trong tổ hợp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐÀO VĂN THOẠI VỀ IĐÊAN CẠNH CỦA SIÊU ĐỒ THỊ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG TỔ HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐÀO VĂN THOẠI VỀ IĐÊAN CẠNH CỦA SIÊU ĐỒ THỊ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG TỔ HỢP Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS THIỀU ĐÌNH PHONG Nghệ An - 2015 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu IĐÊAN ĐƠN THỨC VÀ SIÊU ĐỒ THỊ 1.1 Iđêan đơn thức 1.1.1 Khái niệm 1.1.2 Đối ngẫu Alexander iđêan đơn thức 1.2 Phân tích nguyên sơ iđêan nguyên tố liên kết 10 1.2.1 Iđêan đơn thức bất khả quy 10 1.2.2 Phân tích nguyên sơ 12 1.3 Siêu đồ thị 14 SỐ MÀU VÀ CHU TRÌNH LẺ TRONG ĐỒ THỊ 18 2.1 Số màu đồ thị 18 2.2 Chu trình lẻ 23 IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT VÀ ĐỒ THỊ HOÀN HẢO 29 3.1 Đồ thị hoàn hảo 29 3.2 Iđêan nguyên tố liên kết đồ thị hoàn hảo 38 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 MỞ ĐẦU Cho V = {x1 , , xn } tập đỉnh E tập cạnh siêu đồ thị G, viết G = (V, E) Đặt S = K[V ] = K[x1 , , xn ], K trường Ta đồng đơn thức không phương xi1 xis với tập {xi1 , , xis } đỉnh Mỗi cạnh G tương ứng với đơn thức m ∈ S theo cách này, ta biểu thị cạnh siêu đồ thị đơn thức m Các nhà toán học nghiên cứu tính chất đồ thị G thông qua tính chất iđêan sinh cạnh với phần tử sinh đơn thức đồng với cạnh siêu đồ thị nói gọi iđêan cạnh siêu đồ thị G = (V, E), ký hiệu I(G) = (m | m ∈ E) ⊂ S Với siêu đồ thị G, số màu chu trình G đặc trưng tính chất tổ hợp đồ thị Các nhà toán học mối liên hệ chặt chẽ khái niệm tổ hợp với tính chất iđêan liên kết đồ thị iđêan cạnh, iđêan phủ mối liên hệ đồ thị đầy đủ với chúng Trên sở đó, chọn đề tài "Về iđêan cạnh siêu đồ thị số ứng dụng tổ hợp" để tìm hiểu cách có hệ thống tính chất đại số iđêan cạnh siêu đồ thị ứng dụng chúng việc đặc trưng tính chất tổ hợp siêu đồ thị Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia thành chương Chương Iđêan đơn thức siêu đồ thị Trong chương này, trình bày khái niệm iđêan vành đa thức nhiều biến (tập trung iđêan đơn thức) Chúng trình bày số tính chất quan trọng iđêan đơn thức đối ngẫu Alexander iđêan đơn thức, phân tích iđêan đơn thức thành iđêan đơn thức bất khả quy iđêan nguyên tố liên kết iđêan đơn thức Mục 1.3 đề cập đến khái niệm siêu đồ thị, iđêan cạnh iđêan phủ siêu đồ thị mối liên hệ chúng Chương Số màu chu trình lẻ đồ thị Nội dung chương trình bày khái niệm số màu, chu trình lẻ đồ thị G, định lý, thuật toán đại số để tính toán số lượng màu sắc χ(G) dựa bất biến đại số tính chất iđêan cạnh I(G), iđêan phủ J(G) xác định chu trình lẽ cảm sinh dựa vào iđêan nguyên tố liên kết J(G)2 Chương Iđêan nguyên tố liên kết đồ thị hoàn hảo Chương trình bày khái niệm liên quan đến đồ thị hoàn hảo làm rõ đồ thị có đặc điểm gọi đồ thị hoàn hảo thông qua định lý đồ thị hoàn hảo mạnh Trong chương này, trình bày mở rộng thứ s siêu đồ thị, cách xác định iđêan nguyên tố kiên kết lũy thừa iđêan phủ Từ đó, trình bày cách xác định đồ thị hoàn hảo dựa vào đồ thị cảm sinh từ đỉnh biến iđêan nguyên tố liên kết lũy thừa iđêan phủ Cuối cùng, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy giáo TS Thiều Đình Phong hướng dẫn tận tình giúp hoàn thành luận văn Sự bảo ân cần thầy suốt trình viết luận văn giúp có ý thức trách nhiệm tâm cao hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy cô giáo Khoa Sư phạm Toán học, Trường Đại học Vinh giảng, ý kiến đóng góp sâu sắc cụ thể, toàn thể đồng nghiệp bạn bè người thân góp ý, giúp đỡ, động viên suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Mặc dù cố gắng, song lực thời gian hạn chế nên chắn luận văn tránh khỏi thiếu sót Vì tác giả mong góp ý, bảo Thầy cô, bạn bè đồng nghiệp độc giả quan tâm Xin chân thành cảm ơn! CHƯƠNG IĐÊAN ĐƠN THỨC VÀ SIÊU ĐỒ THỊ Trong chương này, trình bày khái niệm iđêan vành đa thức n biến Chúng trình bày số tính chất quan trọng iđêan đơn thức đối ngẫu Alexander iđêan đơn thức, phân tích iđêan đơn thức thành iđêan đơn thức bất khả quy iđêan nguyên tố liên kết iđêan đơn thức Chúng đề cập đến khái niệm siêu đồ thị, iđêan cạnh iđêan phủ siêu đồ thị mối liên hệ chúng 1.1 Iđêan đơn thức 1.1.1 Khái niệm Cho K trường x1 , , xn , (n ≥ 1) biến Ta gọi đơn thức biểu thức có dạng xa11 xann , (a1 , , an ) ∈ Nn gọi số mũ đơn thức Phép nhân tập hợp đơn thức định nghĩa sau (xa11 xann )(xb11 xbnn ) = (xa11 +b1 xann +bn ) Từ biểu thức có dạng αx1a1 xann , α ∈ K gọi hệ số từ Để cho tiện ta ký hiệu x = (x1 , , xn ), a = (a1 , , an ) xa = xa11 xann Đơn thức xa = xa11 xann gọi đơn thức không phương tất thành phần a nhận giá trị Đa thức n biến x1 , , xn trường K tổng hình thức từ α a xa , f (x) = a∈Nn có số hữu hạn αa = Từ αa xa với αa = gọi từ đa thức f (x) Phép cộng đa thức định nghĩa sau: α a xa βa xa + a∈Nn (αa + βa )xa = a∈Nn a∈Nn Phép nhân đa thức định nghĩa sau: αa xa β a xa a∈Nn a∈Nn γa xa = , a∈Nn γa = α b βc b, c∈Nn ;b+c=a Tập tất đa thức với hai phép toán lập thành vành giao hoán với phần tử đơn vị đa thức Vành ký hiệu K [x1 , x2 , , xn ] Định nghĩa 1.1.1 Vành S = K [x1 , x2 , , xn ] xây dựng gọi vành đa thức n biến trường K Định nghĩa 1.1.2 Cho I vành vành R Khi I gọi iđêan vành R ar ∈ I với ∀r ∈ R, ∀a ∈ I Một iđêan I R gọi iđêan thực vành R Định nghĩa 1.1.3 Cho I = R iđêan vành R Khi (i) I gọi iđêan nguyên tố ∀x, y ∈ R mà xy ∈ I x ∈ / I y ∈ I (ii) I gọi iđêan nguyên sơ ∀x, y ∈ R mà xy ∈ I x ∈ / I tồn số tự nhiên m cho y m ∈ I Ví dụ 1.1.4 Cho I = mZ iđêan vành số nguyên Z Khi I iđêan nguyên tố m = m số nguyên tố I iđêan nguyên sơ m = m = pk , p số nguyên tố k ∈ N∗ Dựa vào định nghĩa qua ví dụ ta thấy Một iđêan I vành R iđêan nguyên tố iđêan nguyên sơ Ví dụ 1.1.5 Cho iđêan I = (x1 , x2 ) ⊂ K[x1 , x2 , x3 ] Khi I iđêan nguyên tố Thật vậy, để chứng minh I iđêan nguyên tố ta chứng minh ∀f, g ∈ K[x1 , x2 , x3 ] mà f, g ∈ / I f g ∈ / I Do ∀f, g ∈ K[x1 , x2 , x3 ] mà f, g ∈ / I nên ta phân tích sau: f = f1 (x1 , x2 , x3 ) + f0 (x3 ) g = g1 (x1 , x2 , x3 ) + g0 (x3 ) f1 (x1 , x2 , x3 ), g1 (x1 , x2 , x3 ) ∈ I f0 (x3 ) = 0, g0 (x3 ) = Từ suy fg ∈ / I Vậy I iđêan nguyên tố vành Trong trường hợp vành đa thức biến K[x] trường K Iđêan I = (f ), với f = f (x) đa thức theo biến x có degf ≥ bất khả quy trường K iđêan iđêan nguyên tố Cho S = K[x1 , , xn ] vành đa thức n biến trường K Tập Mon(S ) đơn thức S sở S trường K Nói cách khác đa thức f ∈ S biểu thị tổ hợp tuyến tính đơn thức au u, với au ∈ K Khi ta gọi tập trường K có dạng f = u∈Mon(S) supp(f ) = {u ∈ Mon(S) : au = 0} giá f Định nghĩa 1.1.6 Iđêan I ⊂ S gọi iđêan đơn thức sinh đơn thức Nếu đơn thức sinh iđêan đơn thức I đơn thức không phương I gọi iđêan đơn thức không phương Ví dụ 1.1.7 Iđêan I = (x1 x2 , x2 x3 , x4 ) ⊂ S iđêan đơn thức không phương vành S Các iđêan đơn thức đặc trưng số tính chất sau Bổ đề 1.1.8 Cho I ⊂ S iđêan Các điều kiện sau tương đương: (a) I iđêan đơn thức; (b) Với f ∈ S ta có: f ∈ I ⇔ supp(f ) ⊂ I Mệnh đề 1.1.9 Cho {u1 , , um } hệ đơn thức sinh iđêan đơn thức I Khi đơn thức v ∈ I tồn đơn thức w ≤ i ≤ m cho v = wui Mệnh đề 1.1.10 Mỗi iđêan đơn thức có hệ sinh đơn thức tối tiểu Chính xác hơn, ký hiệu G tập đơn thức tối tiểu với quan hệ chia hết Khi đó, G tập đơn thức sinh tối tiểu Ta biểu thị tập đơn thức sinh tối thiểu I gens(I) 1.1.2 Đối ngẫu Alexander iđêan đơn thức Định nghĩa 1.1.11 Với iđêan đơn thức không phương I ⊂ S , đối ngẫu Alexander I iđêan xác định I∨ = pm , m∈gens(I) pm = (xi | xi ∈ m) iđêan nguyên tố tạo biến m Ví dụ 1.1.12 Cho I = (x1 x2 , x1 x3 ) ⊂ K[x1 , x2 , x3 ] Khi đối ngẫu Alexander I I ∨ = (x1 , x2 ) ∩ (x1 , x3 ) = (x1 , x2 x3 ) Ngoài đối ngẫu Alexander trên, có đối ngẫu Alexander suy rộng cho iđêan đơn thức Chúng trình bày khái niệm dựa theo tài liệu tham khảo [8] Miller Sturmfels Cho a b vectơ Nn mà bi ≤ với i Như [8, Definition 5.20], ta định nghĩa vectơ a \ b vectơ có tọa độ thứ i cho \ b i = + − bi bi ≥ bi = 0 Định nghĩa 1.1.13 Cho a ∈ Nn , cho I iđêan đơn thức cho tất phần tử sinh tối thiểu I chia hết xa Đối ngẫu Alexander I tương ứng với a iđêan I [a ] = a \b1 (x11 a \bn , , xnn ) xb ∈gens(I) Ví dụ 1.1.14 Cho iđêan đơn thức I = (x21 , x22 , x1 x2 ) ⊂ S = (2, 2, , 2) ∈ Nn Khi đơn thức sinh tối thiểu I gens(I) = {x21 , x22 , x1 x2 } chia hết x2 = x21 x22 x2n Theo định nghĩa đối ngẫu Alexander tương ứng với a I ta có I [2] = (x21 , x22 ) ∩ (x1 ) ∩ (x2 ) = (x21 , x22 ) ∩ (x1 x2 ) = (x21 x2 , x1 x22 ) Nhận xét 1.1.15 Đối với iđêan đơn thức không phương, ta thu đối ngẫu Alexander thông thường cách lấy a = Định nghĩa 1.1.13, tức a vectơ với tất thành phần Thật vậy, với iđêan đơn thức không phương I ⊂ S a = 1, tức thành phần tất đơn thức sinh tối thiểu xb I chia hết x, tức tập đơn thức sinh tối thiểu tập đơn thức không phương Điều dẫn đến bi b nhận giá trị Theo cách xác định \ bi ta thu bi = \ bi = (đơn thức sinh không chứa biến xi ) bi = \ bi = Do iđêan sinh lũy thừa biến Định nghĩa 1.1.13 iđêan nguyên tố Định nghĩa 1.1.11 Vậy I [1 ] = I ∨ Theo Định nghĩa 1.1.11, ta thấy đối ngẫu Alexander đồng phần tử sinh tối tiểu iđêan không phương với iđêan nguyên tố liên kết với đối ngẫu Tương tự, đối ngẫu Alexander suy rộng đồng phần tử sinh tối tiểu iđêan đơn thức không phương với thành phần bất khả quy đối ngẫu 1.2 1.2.1 Phân tích nguyên sơ iđêan nguyên tố liên kết Iđêan đơn thức bất khả quy Định nghĩa 1.2.1 Một iđêan đơn thức gọi bất khả quy có dạng I = xe11 , , xenn với ei ∈ Z>0 ∪ {∞} (quy ước x∞ i = 0) Định nghĩa 1.2.2 Cho I iđêan đơn thức Một phân tích bất khả quy I phân tích thu gọn có dạng I= Qj , với Qj iđêan bất khả quy Chúng ta gọi Qj thành phần bất khả quy I Bằng Hệ 1.2.5 ta thấy lựa chọn cho phân tích Vì vậy, thành phần bất khả quy bất biến iđêan Đối ngẫu Alexander có tính chất đặc biệt suy trực tiếp từ [9, Corollary 2.6 ] Sturmfels and Sullivant phát biểu mệnh đề sau Mệnh đề 1.2.3 Cho I iđêan đơn thức, a vectơ với thành phần đủ lớn mà tất phần tử sinh tối thiểu I chia hết xa Khi (I [a] )[a] = I Ví dụ 1.2.4 Cho I = (x21 , x22 , x1 x2 ) ⊂ S Với = (2, 2, , 2) ∈ Nn , đơn thức sinh tối thiểu I gens(I) = {x21 , x22 , x1 x2 } chia hết x2 = x21 x22 x2n Theo định nhĩa Alexander tương ứng với a I ta có: I [2] = (x21 , x22 ) ∩ (x1 ) ∩ (x2 ) = (x21 , x22 ) ∩ (x1 x2 ) = (x21 x2 , x1 x22 ) 10 Tiếp theo, giả sử G chứa phản lỗ lẻ H gồm đỉnh {x1 , x2 , , x2l−1 }, không tính tổng quát ta giả sử phản lỗ lẻ H có từ việc lấy phần bù từ lỗ lẻ (x1 , x2 , , x2l−1 ) Trước tiên, ta giải toán tô màu cho phản lỗ lẻ (2l − 1) đỉnh tổng quát nêu giả thiết Ta xét (2l − 2) đỉnh đỉnh x2l−1 chia thành (l − 1) cặp sau: (x1 , x2 ), (x3 , x4 ), , (x2l−3 , x2l−2 ) Bài toán tô màu giải theo hướng sau: Do đỉnh xi có số liền không nối với nên tô màu Không tính tổng quát, ta giả sử cặp (x1 , x2 ) tô màu i1 Do đỉnh x1 nối với tất đỉnh lại trừ đỉnh x2 x2l−1 nên đỉnh lại phải tô màu khác, nghĩa cặp (x3 , x4 ) tô màu i2 khác màu i1 Lập luận tương tự, ta suy có (l − 1) màu khác tô màu cho l − cặp đỉnh Cuối cùng, đỉnh x2l−1 tô màu il Vậy số màu phản lỗ lẻ (2l − 1) đỉnh l Chẳng hạn, số màu phản lỗ lẻ đỉnh, đỉnh, đỉnh 3, 4, Bằng lập luận tổ hợp, ta phản lỗ lẻ (2l − 1) đỉnh chứa đồ thị đầy đủ lớn gồm (l − 1) đỉnh Bây giờ, ta quay lại chứng minh G chứa phản lỗ lẻ H G không đồ thị hoàn hảo Thật vậy, phản lỗ lẻ H đồ thị cảm sinh G có ω(H) = l − = l = χ(H) (theo chứng minh trên) Hình vẽ minh họa trường hợp 2l − = 5, phản lỗ lẻ có đỉnh có ω(H) = = = χ(H) trường hợp 2l − = 7, phản lỗ lẻ có đỉnh có ω(H) = = = χ(H) Hình Đồ thị phản lỗ lẻ đỉnh, phản lỗ lẻ đỉnh 32 Điều kiện đủ Đồ thị không chứa lỗ lẻ phản lỗ lẻ gọi đồ thị Berge Như làm rõ đồ thị hoàn hảo đồ thị Berge Bây giờ, chứng minh điều ngược lại (vì định lý gọi định lý đồ thị hoàn hảo mạnh) Ý tưởng chứng minh cho thấy đồ thị Berge rơi vào lớp đồ thị hoàn hảo, có loại phân tách mà xảy đồ thị không hoàn hảo tối thiểu Năm 1960, Berge đưa đoán với tên đoán đồ thị hoàn hảo mạnh: Chỉ đồ thị không hoàn hảo tối tiểu lỗ lẻ phần bù chúng Chudnovsky, Robertson, Seymour Thomas chứng minh đoán đưa định lý đồ thị hoàn hảo mạnh [1] Một đoán Berge Lovász chứng minh năm 1972 dùng để lớp đồ thị hoàn hảo [7] Định lí 3.1.4 (Định lý đồ thị hoàn hảo) Đồ thị G hoàn hảo phần bù G hoàn hảo Chứng minh Lovász chia định lý thành ý Ta có α(H) = ω(H c ); α(H c ) = ω(H) với đồ thị cảm sinh H G Từ đây, suy α(H)ω(H) = α(H c )ω(H c ) Ý Đồ thị G hoàn hảo đồ thị cảm sinh H đồ thị hoàn hảo G số đỉnh H lớn α(H)ω(H) Chứng minh ý Giả sử G đồ thị hoàn hảo Do G hoàn hảo nên đồ thị cảm sinh H thỏa mãn ω(H) = χ(H) Từ đó, số đỉnh H lớn α(H)χ(H) Hay số đỉnh H lớn α(H)ω(H) Ta chứng minh điều ngược lại Giả sử G không hoàn hảo Gọi H đồ thị không hoàn hảo bé n số đỉnh H Đặt α = α(H), ω = ω(H) Khi đó, H thỏa mãn: ω = χ(H \ v) với v ∈ V (H) ω = ω(H \ S) với tập độc lập S ⊂ V (H) Gọi A0 α-tập độc lập H Ta cố định ω -tô màu α đồ thị H \ s với s ∈ A0 Đặt A1 , , Aαω tập độc lập xuất lớp màu, tô màu định nghĩa A := {A0 , A1 , , Aαω } gọi A ma trận 33 liên thuộc tập độc lập đỉnh Ta định nghĩa, B := {B1 , , Bαω }, Bi ω − clique (tập ω đỉnh mà đồ thị cảm sinh đầy đủ) H \ Ai gọi B ma trận liên thuộc tập clique đỉnh Ý Mỗi ω − clique H có giao với tất trừ tập số tập độc lập A Chứng minh ý Gọi S1 , , Sω ω -tô màu H \ v Từ đó, ω -clique C H có tối đa đỉnh Si ; C giao tất Si v ∈ / C giao tất trừ tập v ∈ C Từ đó, C có tối đa đỉnh A0 Đặc biệt, ABT = J − I , J ma trận mà thành phần I ma trận đơn vị Từ đó, J − I không suy biến Khi đó, n ≥ αω + Điều trái với giả thiết số đỉnh H lớn α(H)ω(H) Vậy G đồ thị hoàn hảo Do α(H)ω(H) = α(H c )ω(H c ) với đồ thị cảm sinh H G Ta suy n ≤ α(H c )ω(H c ) Theo Ý phần bù đồ thị G hoàn hảo Định nghĩa 3.1.5 Một đồ thị L gọi đồ thị line G V (L) = E(G) hai đỉnh L gọi kề có tương ứng hai cạnh G kề Ký hiệu L(G) Bốn lớp đồ thị sau gọi bốn lớp đồ thị hoàn hảo mà chúng đồ thị Berge • Đồ thị song tuyến tính • Phần bù đồ thị song tuyến tính • Đồ thị line đồ thị song tuyến tính • Phần bù đồ thị line đồ thị song tuyến tính Ví dụ 3.1.6 Đồ thị song tuyến tính G Hình 10(a) với tập đỉnh {x1 , x2 , x3 , x4 , x5 } tập cạnh {x1 x2 , x2 x3 , x3 x4 , x4 x5 , x1 x4 } Đồ thị line đồ thị song tuyến tính L(G) Hình 10(b) có tập đỉnh {x1 x2 , x2 x3 , x3 x4 , x4 x5 , x1 x4 } tập cạnh {x1 x2 x2 x3 , x2 x3 x3 x4 , x3 x4 x4 x5 , x4 x5 x1 x4 , x1 x4 x1 x2 , x1 x4 x3 x4 } Khi G L(G) đồ thị hoàn hảo 34 Hình 10 (a) Đồ thị song tuyến tính G ; (b) đồ thị L(G) Dễ thấy đồ thị song tuyến tính đồ thị hoàn hảo đồ thị cảm sinh H đồ thị song tuyến tính có χ(H) ≤ Do χ(H) = ω(H) Và tất nhiên, phần bù đồ thị song tuyến tính đồ thị hoàn hảo Ta có kết tương tự đồ thị line đồ thị song tuyến tính Định lí 3.1.7 Đồ thị line đồ thị song tuyến tính hoàn hảo Chứng minh Các đồ thị line đồ thị song tuyến tính hoàn hảo Giả sử G đồ thị song tuyến tính Khi đó, χ (G) = (G), χ , số tô màu cạnh bậc lớn đỉnh Nếu L đồ thị line G χ(L) = χ (G) ω(L) = (G) Suy χ(L) = ω(L) Từ đó, đồ thị cảm sinh L đồ thị line đồ thị cảm sinh tuyến tính G Vậy đồ thị line đồ thị song tuyến tính hoàn hảo Cho G đồ thị với phần bù Gc (có nghĩa là, Gc có tập đỉnh G tập bù cạnh; ví dụ đồ thị G = (V, E) Gc = (V, 2V \ E) Giả sử J(G) iđêan phủ G J(Gc ) iđêan phủ Gc Sử dụng Định lý đồ thị hoàn hảo mạnh 3.1.3 với Hệ 2.2.13, ta kết luận đồ thị G hoàn hảo S/J(G)2 S/J(Gc )2 iđêan nguyên tố liên kết có độ cao lớn Rõ ràng từ hình ngũ giác cảm sinh đồ thị Ví dụ 2.1.3 không hoàn hảo tính chất đại số (a, b, c, d, e) iđêan nguyên tố liên kết S/J(G)2 Định nghĩa 3.1.8 Một siêu đồ thị d màu tới hạn siêu đồ thị G với χ(G) = d mà tất đồ thị cảm sinh có số lượng màu nhỏ hơn; G gọi siêu đồ thị tới hạn 35 Sự liên hệ siêu đồ thị tới hạn iđêan nguyên tố liên kết bắt đầu với định lý Sturmfels Sullivant đồ thị mà tổng quát cách tự nhiên đến siêu đồ thị Định lí 3.1.9 Cho G siêu đồ thị với iđêan cạnh I Khi đó, phần tử sinh tối tiểu không phương I {s} đơn thức W mà GW (s + 1)-màu tới hạn Lũy thừa cao iđêan phủ J = J(G) siêu đồ thị có cấu trúc phức tạp so với lũy thừa bậc Được biết, nguyên tố liên kết đến S/J tồn nguyên tố liên kết tất S/J s với s ≥ (theo tài kiệu tham khảo [4, Corollary 4.7]) Như người ta mong đợi từ trường hợp J , H siêu đồ thị cảm sinh (d + 1)-màu tới hạn G, pH ∈ Ass(S/J d ) pH ∈ / Ass(S/J e ) với e < d Tuy nhiên, ví dụ sau minh họa nguyên tố liên kết khác phát sinh Ví dụ 3.1.10 Cho G đồ thị với tập đỉnh V = {x1 , , x6 } tập cạnh E = {x1 x2 , x2 x3 , x3 x4 , x4 x5 , x5 x1 , x3 x6 , x4 x6 , x5 x6 }, ký hiệu cạnh viết đơn thức Do G chu trình {x1 , , x5 } với đỉnh x6 thêm vào nối với x3 , x4 x5 Giả sử J iđêan phủ G Iđêan cực đại m = (x1 , , x6 ) iđêan nguyên tố liên kết S/J S/J S/J Tuy nhiên, G đồ thị 4-màu tới hạn; thay vào đó, χ(G) = Hình 11 Đồ thị 3-màu tới hạn 36 Dựa vào cấu tạo đơn thức sinh không phương iđêan cát tuyến I(G){k} thứ k I(G), ta tính hoàn hảo đồ thị dựa vào định lý sau Định lí 3.1.11 Một đồ thị G hoàn hảo iđêan cát tuyến I(G){k} khác không sinh đơn thức có bậc k + Chứng minh Giả sử G đồ thị hoàn hảo mT phần tử sinh tối tiểu I(G){k} Khi GT không k -tô màu được, nghĩa k < χ(GT ) Vì G hoàn hảo, nên χ(GT ) = ω(GT ) k < ω(GT ) Điều có nghĩa có tồn tập U ⊆ T mà GU đồ thị đầy đủ Kk+1 gồm k + đỉnh Khi Kk+1 không k -tô màu được, đơn thức mU ∈ I(G){k} Do mT phần tử sinh tối tiểu nên U = T Do GT = Kk+1 mT có bậc k + Ngược lại, G hoàn hảo chọn tập hợp T ⊆ V mà χ(GT ) > ω(GT ) Chúng ta giả sử T tối thiểu với cách chọn Đặt k = ω(GT ), có |T | > k + Điều giải thích sau: Nếu |T | = k + χ(GT ) = k + χ(GT ) > k Dẫn đến GT đầy đủ (mâu thuẫn với ω(GT ) = k ) Khi đó, đơn thức mT thuộc I(G){k} , mU ∈ / I(G){k} với tập U ⊂ T (Vì T tối thiểu nên bớt đỉnh T đồ thị cảm sinh k -tô màu (theo Định lý 2.1.8) Do mT phần tử sinh tối tiểu I(G){k} mà có bậc lớn k + Điều trái giả thiết Vậy G đồ thị hoàn hảo Ví dụ 3.1.12 Cho đồ thị G có I(G) = (ab, bc, cd, de, ae, be, bd, ce) Khi G đồ thị 4-tô màu I(G){1} = (ab, bc, cd, de, ae, be, bd, ce), I(G){2} = (abe, bcd, bde, bce, cde), I(G){3} = (bcde) Các phần tử sinh tối tiểu iđêan cát tuyến thỏa mãn điều kiện đủ Định lý 3.1.11 Vậy G đồ thị hoàn hảo (Hình 12) Rõ ràng đồ thị gồm lỗ lẻ abcde không hoàn hảo I {2} = (abcde) 37 Hình 12 Đồ thị hoàn hảo G 3.2 Iđêan nguyên tố liên kết đồ thị hoàn hảo Từ Ví dụ 3.1.10, ta thấy siêu đồ thị cảm sinh tới hạn siêu đồ thị G không giúp tìm tất nguyên tố liên kết S/J s May mắn có siêu đồ thị liên quan mà đồ thị cảm sinh tới hạn cho ta danh sách đầy đủ nguyên tố liên kết Trước hết, ta định nghĩa mở rộng siêu đồ thị để dùng công cụ quan trọng cho nội dung sau Định nghĩa 3.2.1 Cho G siêu đồ thị với tập đỉnh V = {x1 , , xn } tập cạnh E , giả sử s số nguyên dương Ta tạo siêu đồ thị Gs , gọi mở rộng thứ s G sau Ký hiệu tập đỉnh V1 = {x1,1 , , xn,1 }, , Vs = {x1,s , , xn,s } Tập đỉnh Gs tập V (Gs ) = s Vi Mỗi xi,j , với j = 1, , s, xem i=1 phiên (hoặc bóng) xi với i = 1, , n Các cạnh Gs bao gồm tất cạnh xi,j xi,k nối tất phiên khác đỉnh (đỉnh xi ), tất cạnh phát sinh từ việc nối phiên đỉnh cạnh G Ánh xạ biến tất phiên xi,j xi trở lại thành xi gọi khử cực, tương tự việc ngược lại trình phân cực hóa iđêan đại số Ví dụ 3.2.2 Xét chu trình G với đỉnh x1 , , x5 Khi đó, G2 có tập đỉnh 38 {x1,1 , x1,2 , , x5,1 , x5,2 } Tập cạnh bao gồm cạnh x1,1 x1,2 , , x5,1 x5,2 , xi,j xi+1,j , ≤ j ≤ j ≤ 2, số lấy theo modul Như vậy, ví dụ cạnh x1 x2 G cho bốn cạnh x1,1 x2,1 , x1,1 x2,2 , x1,2 x2,1 x1,2 x2,2 G2 Hình 13 Đồ thị mở rộng thứ hai chu trình Mục tiêu phần hiểu đơn thức sinh tối tiểu đối ngẫu Alexander tổng quát (J(G)s )[s] , s vectơ (s, , s), đầu gắn với đỉnh G Theo đối ngẫu Alexander tổng quát, iđêan phân tích tối giản J(G)s , tương ứng với nguyên tố liên kết S/J(G)s Bằng đối ngẫu Alexander tổng quát, Định lý 3.1.9 đồng các đơn thức sinh tối tiểu không phương (J(G)s )[s] Hiểu đơn thức sinh cần định lý sau Đối với tập đỉnh T , viết mT để biểu thị tích các biến tương ứng Định lí 3.2.3 Cho G siêu đồ thị với iđêan phủ J = J(G), giả sử s số nguyên dương Khi (J s )[s] = (mT | χ(GsT ) > s), mT khử cực mT Chứng minh Chứng minh dựa mô tả đặc điểm phần tử sinh I(Gs ){s} từ Định lý 3.1.9 Ta cần phải chứng minh (J s )[s] khử cực 39 I(Gs ){s} , yêu cầu số kết đạt Theo Định lý 3.1.9 ta có: I(Gs ){s} = (mT | χ(GsT ) > s) Từ việc xây dựng (J s )[s] cho i, bậc cao đỉnh xi phần tử sinh tối thiểu (J s )[s] lớn s Điều nói xi xuất đơn thức M với bậc lớn s, M ∈ / (J s )[s] M/xi ∈ / (J s )[s] Do đó, đơn thức M , xi xuất với bậc lớn s không thuộc (J s )[s] tồn đơn thức tiêu chuẩn I(Gs ){s} để đơn thức khử cực thành M Đặt V tập tất phủ đỉnh tối thiểu G Khi xw J = J(G) = (mw | w ∈ V) I(G) = w∈V Do đó, J s = s i=1 mwi | w1 , , w s ∈ V Mặt khác, theo ký hiệu Định nghĩa 1.1.13 ta có: i (xs+1−k | xi thuộc ki > phủ đỉnh w1 , , ws ) i (J s )[s] = w1 , ,ws ∈V Giả sử M ∈ / (J s )[s] đơn thức xi xuất với lũy thừa lớn s Khi đó, từ mô tả (J s )[s] cho thấy tồn tập phủ đỉnh {w1 , , ws } ⊆ V để với xi ∈ V (G), xi thuộc ki > phủ đỉnh i w1 , , ws xs+1−k không chia hết M , tức bậc cao xi M i s − ki lớn ˜ khử cực M vành đa Giả sử Y = {xi | xi chia hết M } Giả sử M ˜ ˜ } Khi đó, m ˜ = M thức liên kết đến (GY )s , giả sử Y˜ = {xij | xij chia hết M Y khử cực thành M Đối với t = 1, , s, giả sử Yt = Y \ wt Khi đó, Yt tập độc lập G Hơn nữa, đỉnh xi ∈ VG s t=1 Yt xi ∈ VG \ Y xi thuộc tất phủ đỉnh {w1 , , ws } Trong trường hợp thứ hai, xi không chia hết M kéo theo bậc cao xi M lớn s − s = Như vậy, hai trường hợp, có xi ∈ / Y Như vậy, s t=1 Yt =Y Bằng phép gán màu t cho đỉnh Yt , tô màu GY với s màu Ở việc tô màu đỉnh nhận nhiều màu, {xi1 , , xir } cạnh GY không tồn màu để gán cho tất đỉnh {xi1 , , xir } Xét đỉnh xi ∈ Y gán s − k màu xi chứa k 40 tập tập {w1 , , ws } trường hợp hầu hết s − k phiên ˜ Chúng ta sử dụng (s − k) màu để gán màu cho xi xuất M ˜ Do đó, s-tô màu cho Gs phiên xi xuất M Y˜ Như vậy, mY˜ đơn thức tiêu chuẩn I(Gs ){s} Ngược lại, giả sử M đơn thức, xi xuất với lũy thừa lớn s, tồn đơn thức tiêu chuẩn N I(Gs ){s} mà phân cực đến M Khi đó, theo định lý phân tích đơn thức tiêu chuẩn ta có N viết mT1 mTs , mT1 , , mTs đơn thức tiêu chuẩn I(Gs ) Quan sát mw đơn thức tiêu chuẩn I(Gs ), xij | mw , cách thay xij phiên xil xxi w mà không chứa w, nhận đơn thức tiêu chuẩn I(Gs ) Hơn nữa, xi xuất M với lũy thừa lớn s Vì vậy, với i, N chứa s phiên xi (tính bội) Do đó, cách thay phiên xij xi tập phiên phân biệt cần thiết, thừa nhận T1 , , Ts đôi rời Giả sử T tập biến xuất N Y tập biến xuất M Xét Ti tập độc lập Gs , ta gán màu j cho đỉnh Ti để nhận s-tô màu cho GsT Với xi ∈ Y giả sử Ci tập màu mà phiên xi xuất T thu Chúng ta gọi Ci lớp màu xi Cho t = 1, , s tạo nên tập wt = Y \ {xi ∈ Y |t ∈ Ci } Để ý {xi1 , , xir } cạnh GY {xi1 l1 , , xir lr } cạnh GsY với ≤ l1 , , lr ≤ s, r j=1 Cij = ∅ Điều cho thấy với ≤ t ≤ s {xi1 l1 , , xir lr } {xi ∈ Y |t ∈ Ci } Nó kéo theo wt phủ đỉnh GY với t = 1, , s Hơn nữa, với xi ∈ Y thuộc ki phủ đỉnh {w1 , , ws } lớp màu Ci xi có s − ki màu Từ đây, tập hai phiên phân biệt xi cạnh Gs , phiên không nhận màu giống Như vậy, có s − ki phiên xi xuất T Vậy, trường hợp trên, bậc cao xi xuất M s − ki với i Do vậy, M không thuộc (J s )[s] 41 Hệ 3.2.4 Cho G siêu đồ thị với iđêan phủ J = J(G) Khi đó, P = (xi1 , , xir ) ∈ Ass(S/J s ) có tập T đỉnh Gs cho GsT (s + 1)-màu tới hạn, T có chứa phiên biến P không phiên biến khác Ta phác họa ý tưởng chứng minh sau: Nếu P ∈ Ass(S/J s ), i ir (xei11 , , xeir ) thành phần tối tiểu bất khả quy J s , số eij > Điều mang lại phần tử sinh tối tiểu (J s )[s] tương ứng với tập hợp W đỉnh Gs cho GsW (s + 1)-màu tới hạn, i1 ir W khử cực thành xei1 xier Ngược lại, có siêu đồ thị mở rộng (s + 1)-màu tới hạn GsT , nhận phần tử sinh tối tiểu (J s )[s] có dạng i1 ir xie1 xier , ≤ eij ≤ s với ij Các tích đối ngẫu thành phần bất khả quy J s với P Hệ 3.2.4 giải thích m ∈ Ass(S/J ) Ví dụ 3.1.10 Giả sử T tập đỉnh T = {x1,1 , x2,1 , x2,2 , x3,1 , x4,1 , x5,1 , x6,1 }, tập hợp đỉnh G3 Khi đó, G3T 4-màu tới hạn Như hệ quả, sau đặc biệt hóa lên đồ thị, nhận hai tính chất đại số độc lập đồ thị hoàn hảo Định lý đồ thị hoàn hảo mạnh Đồ thị không hoàn hảo tối tiểu lỗ lẻ phản lỗ lẻ Mục đích đưa tính chất đại số đồ thị hoàn hảo mà không sử dụng định lý Chúng ta có đồ thị G không hoàn hảo tối tiểu đồ thị χ(G)-màu tới hạn Dựa vào Hệ 3.2.4, ta có kết sau Bổ đề 3.2.5 Giả sử G đồ thị không hoàn hảo tối tiểu V = {x1 , , xn } với iđêan phủ J Khi (x1 , , xn ) ∈ Ass(S/J χ(G)−1 ) Bây giờ, ta đặc trưng tính chất đại số đồ thị hoàn hảo hai cách khác [4, Theorem 5.9] Điểm mấu chốt cho đồ thị hoàn hảo, lũy thừa iđêan nguyên tố liên kết iđêan phủ tương ứng xác với đồ thị cảm sinh đầy đủ đồ thị Định lí 3.2.6 Cho G đồ thị đơn với iđêan phủ J Khi đó, phát biểu sau tương đương: 42 (1) G đồ thị hoàn hảo (2) Với s, ≤ s < χ(G), iđêan P = (xi1 , , xir ) ∈ Ass(S/J s ) đồ thị cảm sinh {xi1 , , xir } đồ thị đầy đủ với kích thước < r ≤ s + G Chứng minh Chúng phác họa (1) suy (2) để đưa ý tưởng cách mở rộng sử dụng Giả sử G đồ thị hoàn hảo Một kết tiêu chuẩn lý thuyết đồ thị cho thấy Gs hoàn hảo [4] Cho P ∈ Ass(S/J s ), P tương ứng với tập T đỉnh Gs GsT (s + 1)màu tới hạn Vì Gs hoàn hảo, số clique GsT s + 1, có nghĩa tồn tập T T GT đồ thị đầy đủ với s + đỉnh Như GT (s + 1)-màu tới hạn chứa GsT , suy T = T Do GsT đồ thị đầy đủ, hỗ trợ phương pháp khử cực mT đồ thị đầy đủ với s + đỉnh Vì GT đồ thị đầy đủ (2) ⇒ (1) Giả sử G không đồ thị hoàn hảo Khi đó, tồn P ⊆ V (G) cho GT đồ thị không hoàn hảo tối tiểu, với χ(GT ) ≤ χ(G) Dựa vào Bổ đề 3.2.5, có P ∈ Ass(S/J χ(GT )−1 ) Nhưng GT không đồ thị đầy đủ Điều trái giả thiết (2) Vậy G đồ thị hoàn hảo Ví dụ 3.2.7 Cho đồ thị G gồm đỉnh x1 , x2 , x3 , x4 cạnh x1 x2 , x1 x3 , x1 x4 , x2 x3 (Hình 11) Để kiểm tra tính hoàn hảo đồ thị G ta dựa vào Định lý 3.2.6 Trước hết, ta có iđêan phủ G J = (x1 x3 , x1 x2 x4 , x2 x3 x4 ) = (x1 , x2 ) ∩ (x1 , x3 ) ∩ (x1 , x4 ) ∩ (x2 , x3 ) ∩ (x3 , x4 ) Từ suy Ass(S/J) = {(x1 , x2 ), (x1 , x3 ), (x1 , x4 ), (x2 , x3 ), (x3 , x4 )} Theo cách xác định iđêan nguyên tố liên kết J Hệ 2.2.13, ta có Ass(S/J ) = {pe : e ∈ E(G)} ∪ {pW : GW chu trình lẻ cảm sinh} = {(x1 , x2 ), (x1 , x3 ), (x1 , x4 ), (x2 , x3 ), (x3 , x4 )} ∪ {(x1 , x2 , x3 ), (x1 , x3 , x4 )} Nếu P ∈ Ass(S/J) P = (xi , xj ), xi xj ∈ E(G) Khi đó, đồ thị cảm sinh GP {xi , xj } với xi xj ∈ E(G) đồ thị đầy đủ 43 Nếu P ∈ Ass(S/J ) P = (xi , xj ), xi xj ∈ E(G) P ∈ {(x1 , x2 , x3 ), (x1 , x3 , x4 )} Khi đó, đồ thị cảm sinh {xi , xj } với xi xj ∈ E(G) đồ thị cảm sinh tập đỉnh {x1 , x2 , x3 }, {x1 , x3 , x4 } đồ thị đầy đủ Vậy G đồ thị hoàn hảo Hình 14 Đồ thị hoàn hảo 44 KẾT LUẬN Luận văn hoàn thành nội dung sau: Trình bày khái niệm tính chất liên quan đến siêu đồ thị, đồ thị, đồ thị đơn; khái niệm tính chất iđêan phủ, iđêan cạnh siêu đồ thị ví dụ minh họa Trình bày số kiến thức mở đầu số màu đồ thị tính chất đại số đặc trưng liên hệ số màu chu trình lẻ đồ thị Trình bày khái niệm tính chất đồ thị hoàn hảo đặc trưng tính chất tổ hợp đồ thị hoàn hảo thông qua iđêan cạnh, iđêan nguyên tố liên kết iđêan phủ Đưa nhiều ví dụ cụ thể minh họa cho phần nội dung, dựa nội dung tài liệu tham khảo 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] M Chudnovsky, N Robertson, P Seymour and R Thomas (2002), The strong perfect graph theorem, preprint (June 2002, revised Octorber 2002 and Febuary 2003) [2] Christopher A Francisco, Huy Tai Ha and Jeffrey Mermin, Powers of squarefree monomial ideals and combinatorics, preprint available at: http://arxiv.org/abs/1303.6642v1 [3] C A Francisco, H T Hà, and A Van Tuyl (2010), Associated primes of monomial ideals and odd holes in graphs J Algebraic Combin 32 (2010), no 2, 287–301 [4] C A Francisco, H T Hà, and A Van Tuyl (2011), Colorings of hypergraphs, perfect graphs, and associated primes of powers of monomial ideals J Algebra 331, 224-242 [5] J Herzog, T Hibi, N.V Trung (2007), Symbolic powers of monomial ideals and vertex cover algebras Adv Math 210, 304–322 [6] J¨ urgen Herzog and Takayuki Hibi (2010), Monomial Ideals, Graduate Texts in Mathematics, New Delhi [7] L Lovász (1972), Normal Hypergraphs and the Perfect Graph conjecture, Discrete Mathematics 2, 253-267 [8] E Miller and B Sturmfels (2004), Combinatorial Commutative Algebra GTM 227, Springer-Verlag [9] B Sturmfels and S Sullivant (2006), Combinatorial Secant Varieties, Pure and Applied Mathematics quarterly 46 [...]... 3.1.5 Một đồ thị L được gọi là đồ thị line của G nếu V (L) = E(G) và hai đỉnh của L gọi là kề nhau nếu và chỉ nếu có một tương ứng hai cạnh của G kề nhau Ký hiệu L(G) Bốn lớp đồ thị sau được gọi là bốn lớp cơ bản của đồ thị hoàn hảo mà chúng là các đồ thị Berge • Đồ thị song tuyến tính • Phần bù của đồ thị song tuyến tính • Đồ thị line của đồ thị song tuyến tính • Phần bù của đồ thị line của đồ thị song... 4 , z 5 ) 1.3 Siêu đồ thị Định nghĩa 1.3.1 Một siêu đồ thị (hypergraph) là một cặp G = (V, E), trong đó V là một tập, được gọi là tập các đỉnh của G, và E là một tập hợp con của 2V , được gọi là tập các cạnh của G Một siêu đồ thị được gọi là đơn nếu không có cạnh nào chứa cạnh khác; các cạnh của một siêu đồ thị đơn có thể chỉ chứa 14 một đỉnh (ví dụ, cạnh bội) Tất cả các siêu đồ thị trong luận văn... (b) đồ thị L(G) Dễ thấy đồ thị song tuyến tính là đồ thị hoàn hảo vì mỗi đồ thị con cảm sinh H của đồ thị song tuyến tính đều có χ(H) ≤ 2 Do đó χ(H) = ω(H) Và tất nhiên, phần bù của đồ thị song tuyến tính cũng là đồ thị hoàn hảo Ta cũng có kết quả tương tự đối với đồ thị line của đồ thị song tuyến tính Định lí 3.1.7 Đồ thị line của đồ thị song tuyến tính là hoàn hảo Chứng minh Các đồ thị line của đồ thị. .. iđêan cạnh và iđêan phủ của G Chú ý rằng các kết quả liên quan đến số màu trong chương này là giống nhau cho đồ thị và siêu đồ thị, vì vậy ta có thể bỏ qua trường hợp siêu đồ thị và chỉ xem xét G là một đồ thị 2.1 Số màu đồ thị Định nghĩa 2.1.1 Cho G là một đồ thị và k là một số nguyên dương Một k-tô màu của G là một phép gán màu c1 , , ck đến các đỉnh của G theo một cách mà mỗi cạnh chứa 2 đỉnh có... là đơn Một đồ thị là một siêu đồ thị trong đó mỗi cạnh có lực lượng đúng bằng hai (có hai đỉnh) Các kiến thức của siêu đồ thị thường được đặc biệt hóa lên đồ thị để kiểm tra các lớp đặc biệt, chẳng hạn như các chu trình và đồ thị đầy đủ Nếu W là một tập hợp con của V , thì một siêu đồ thị con cảm sinh của G trên W là cặp (W, EW ), trong đó EW = E ∩ 2W là tập hợp các cạnh của G chỉ chứa các đỉnh trong. .. các iđêan phủ của nó Chúng tôi cũng hạn chế lên đồ thị và trình bày những đặc trưng đại số của đồ thị hoàn hảo 3.1 Đồ thị hoàn hảo Định nghĩa 3.1.1 Cho đồ thị H , một đồ thị con đầy đủ của H là đồ thị con H ⊂ H sao cho H là đầy đủ, tức là tất cả các đỉnh của H đều nối với nhau bởi các cạnh Một đồ thị G là hoàn hảo nếu cho mỗi đồ thị con H cảm sinh của G, số màu χ(H) bằng chỉ số clique ω(H) của H , trong. .. chuẩn của I(G){k} Một phủ đỉnh của siêu đồ thị G là một tập con w các đỉnh của đồ thị sao cho mỗi cạnh của đồ thị đều nối đến một đỉnh nào đó của w, tức là, w ∩ e = ∅ với mọi cạnh e của G Chú ý là nếu w là một phủ đỉnh của G thì thêm một biến vào w ta có một phủ đỉnh khác của G Đặc biệt, nói một cách tối giản thì các phủ đỉnh sẽ hình thành một iđêan của S bởi định nghĩa sau Định nghĩa 1.3.4 Iđêan phủ của. .. đại số (a, b, c, d, e) là iđêan nguyên tố liên kết của S/J(G)2 Định nghĩa 3.1.8 Một siêu đồ thị d màu tới hạn là một siêu đồ thị G với χ(G) = d mà tất cả đồ thị con cảm sinh đều có số lượng màu nhỏ hơn; G cũng được gọi là một siêu đồ thị tới hạn 35 Sự liên hệ giữa siêu đồ thị tới hạn và iđêan nguyên tố liên kết bắt đầu với một định lý của Sturmfels và Sullivant trên đồ thị mà có thể tổng quát một. .. ký hiệu G∗ là siêu đồ thị ứng với I ∨ , và gọi G∗ là siêu đồ thị đối ngẫu của G Khi đó I ∨ = I(G∗ ) Iđêan cạnh và iđêan phủ của một siêu đồ thị liên hệ với nhau bởi kết quả sau Mệnh đề 1.3.6 Iđêan cạnh và iđêan phủ của một siêu đồ thị là đối ngẫu với nhau, tức là J(G) = I(G)∨ = I(G∗ ) (và I(G) = J(G)∨ ) Hơn nữa, tập sinh tối 16 thiểu của J(G) tương ứng với tập phủ đỉnh tối thiểu của G (các phủ mà không... tính là hoàn hảo Giả sử G là đồ thị song tuyến tính Khi đó, χ (G) = (G), ở đây χ , là số tô màu cạnh và bậc lớn nhất của đỉnh Nếu L là đồ thị line của G thì χ(L) = χ (G) và ω(L) = (G) Suy ra χ(L) = ω(L) Từ đó, mỗi đồ thị con cảm sinh của L đều là đồ thị line của các đồ thị con cảm sinh tuyến tính của G Vậy đồ thị line của đồ thị song tuyến tính là hoàn hảo Cho G là một đồ thị với phần bù Gc (có nghĩa ... chọn đề tài "Về iđêan cạnh siêu đồ thị số ứng dụng tổ hợp" để tìm hiểu cách có hệ thống tính chất đại số iđêan cạnh siêu đồ thị ứng dụng chúng việc đặc trưng tính chất tổ hợp siêu đồ thị Ngoài phần... của) iđêan cạnh iđêan phủ G Chú ý kết liên quan đến số màu chương giống cho đồ thị siêu đồ thị, ta bỏ qua trường hợp siêu đồ thị xem xét G đồ thị 2.1 Số màu đồ thị Định nghĩa 2.1.1 Cho G đồ thị. ..BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ĐÀO VĂN THOẠI VỀ IĐÊAN CẠNH CỦA SIÊU ĐỒ THỊ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG TỔ HỢP Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN