Matroid với lý thuyết đồ thị và một số ứng dụng trong tối ưu tổ hợp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————————————– NGUYỄN THỊ THANH THỦY MATROID VỚI LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG TỐI ƯU TỔ HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————————————– NGUYỄN THỊ THANH THỦY MATROID VỚI LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG TỐI ƯU TỔ HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60 46 01 12 Người hướng dẫn khoa học: TS Trần Minh Tước HÀ NỘI - 2017 LỜI CAM ĐOAN Tôi thực đề tài Matroid với lý thuyết đồ thị số ứng dụng tối ưu tổ hợp Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Kết nghiên cứu đề tài đảm bảo tính khách quan, trung thực, không trùng lặp với tác giả khác Hà Nội, tháng 12 năm 2017 Học viên Nguyễn Thị Thanh Thủy LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn tốt nghiệp, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Trần Minh Tước người tận tình hướng dẫn để tơi hồn thành đề tài Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Tốn, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội dạy bảo tận tình suốt trình học tập khoa Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè ln bên cạnh, động viên, giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thực đề tài Hà Nội, tháng 12 năm 2017 Học viên Nguyễn Thị Thanh Thủy Mục lục Lời mở đầu 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 1.3 Lý thuyết matroid 1.1.1 Định nghĩa matroid 1.1.2 Tiên đề sở 1.1.3 Tiên đề vòng 1.1.4 Tiên đề hạng 11 1.1.5 Maroid đối ngẫu 14 Một số khái niệm kết lý thuyết đồ thị 15 1.2.1 Khái niệm đồ thị 15 1.2.2 Đồ thị đối ngẫu 18 1.2.3 Đồ thị đẳng cấu 19 Một số tính chất liên hệ matroid với đồ thị 20 Một số liên hệ matroid với lý thuyết đồ thị 2.1 2.2 22 Tính đối ngẫu matroid đồ thị 22 2.1.1 Điều kiện cần để matroid có tính đồ thị 22 2.1.2 Điều kiện đủ để matroid có tính đồ thị 26 Định lý Whitney 28 Matroid với số ứng dụng tối ưu tổ hợp i 35 MỤC LỤC 3.1 3.2 MỤC LỤC Sử dụng thuật toán tham lam giải tốn matroid có trọng số 35 3.1.1 Bài toán thực tế 35 3.1.2 Đưa tốn matroid có trọng số 36 3.1.3 Thuật toán 37 Hệ đại diện phân biệt 39 3.2.1 Khái niệm hệ đại diện phân biệt 39 3.2.2 Matroid hệ đại diện phân biệt 40 3.2.3 Bài tốn xếp cơng việc cho nhóm cơng nhân 42 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 ii Danh sách hình vẽ 1.1 Đồ Thị H 1.2 Đồ Thị H1 1.3 Vòng C1 10 1.4 Vòng C2 10 1.5 Vòng C3 11 1.6 Đơn đồ thị G có hướng 16 1.7 Đơn đồ thị G vô hướng 17 1.8 Đồ thị có trọng số G 18 1.9 Xây dựng đồ thị G* đối ngẫu đồ thị G 19 1.10 Ví dụ hai đồ thị vô hướng đẳng cấu 20 2.1 Đồ thị H2 23 2.2 Xây dựng đối ngẫu hình học đồ thị phẳng 24 2.3 Xây dựng đối ngẫu hình học đồ thị phẳng 25 2.4 Phép đồng đỉnh phép tách đỉnh 29 2.5 Đồ Thị G vòng tổng quát 30 3.1 (a): 3.2 Đồ thị G 3.3 Công nhân yi làm cơng việc xi tương ứng với cạnh 3.4 (A ), (b): A tương ứng với (A ) 40 42 x i yi 43 Công nhân y1 , y2 công việc x1 , x2 Cho p (x1 ) < p (x2 ) 44 iii DANH SÁCH HÌNH VẼ DANH SÁCH HÌNH VẼ Lời mở đầu Lý chọn đề tài Lý thuyết matroid giới thiệu lần Hassler Whitney vào năm 1935 BL Van Der Wearden độc lập đưa sau Cả hai nhà toán học quan tâm đến việc xây dựng mô tả chung “sự độc lập” với tính chất liên quan chặt chẽ đến đại số tuyến tính lý thuyết đồ thị Lý thuyết nghiên cứu gắn kết cấu trúc hình học mang tính trừu tượng (matroid) với cấu trúc hình học mang tính cụ thể Mặc dù đời muộn việc nghiên cứu matroid phát triển trở thành lý thuyết hồn chỉnh có nhiều ứng dụng Lý thuyết matroid tổng quát hóa tính chất độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính khơng gian vectơ có nhiều ứng dụng với lý thuyết đồ thị Bên cạnh đó, phương pháp tham lam để giải nhiều toán tối ưu tổ hợp biểu diễn hiệu ngôn ngữ matroid Trong thời gian ngắn so với lịch sử toán học, nay, lý thuyết matroid nhanh chóng trở thành lĩnh vực đặc biệt toán học, dạng đại hình học, tiêu chuẩn lý thuyết thực hành cho nhiều thuật tốn Khi tiếp cận tìm hiểu matroid, nhận thấy mẻ tính ứng dụng cao vào việc giải toán tối ưu tổ hợp, đồ thị theo cách thể khác hiệu Điều làm cho băn khoăn lý thuyết matroid có thực giúp giải toán cách hiệu Cho nên, định chọn đề tài Matroid với lý thuyết đồ thị số ứng dụng tối ưu tổ hợp để triển khai nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu cách hệ thống matroi liên hệ lý thuyết matroid với lý thuyết đồ thị, tối ưu tổ hợp số ứng dụng Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu lý thuyết matroid Trình bày cách hệ thống liên hệ lý thuyết matroid với lý thuyết đồ thị, tối ưu tổ hợp, ứng dụng để giải số toán Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: matroid, đồ thị, toán tối ưu tổ hợp Phạm vi nghiên cứu: lý thuyết matroid; khái niệm liên quan đến lý thuyết đồ thị, tối ưu tổ hợp tìm hiểu giải pháp cho số tốn ngơn ngữ lý thuyết matroid Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết với công cụ hỗ trợ đại số tuyến tính, lý thuyết đồ thị, tối ưu tổ hợp Dự kiến đóng góp đề tài Lý thuyết matroid dạng đại hình học, có ứng dụng nhiều lĩnh vực khác Sau hoàn thành đề tài, tơi có hiểu biết cho thân lý thuyết matroid văn luận văn tài liệu tham khảo hữu ích cho quan tâm Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương trình bày số khái niệm lý thuyết matroid lý thuyết đồ thị 1.1 Lý thuyết matroid 1.1.1 Định nghĩa matroid Đầu tiên tìm hiểu: Matroid gì? Khái niệm đưa sau dựa tập độc lập tập S với số ví dụ giúp ta có hình dung matroid Ngồi ta định nghĩa matroid khái niệm tương đương dựa tập sở, tập vòng hay hàm hạng trình bày mục sau Định nghĩa 1.1.1 Matroid cặp M gồm tập hữu hạn S họ F tập S gọi tập độc lập M thỏa mãn điều kiện sau: M(1i) ∅ ∈ F M(2i) Nếu X ∈ F Y ⊆ X Y ∈ F M(3i) Nếu U, V ∈ F |U | = |V |+1 tồn phần tử x ∈ U −V cho (V ∪ {x}) ∈ F Sau ta xét số ví dụ minh họa Cho u số đỉnh tiếp xúc Gj Gj khối, tập Eu gồm cạnh Gj kề với u cầu Gj Vì θ (Eu ) cầu Hj , nêu Hj \ θ (Eu ) có hai thành phần Tiếp theo, ta chứng minh bổ đề nhỏ Bổ đề Mọi chu trình H chứa cạnh Hj , cạnh Hj chứa cạnh θ (Eu ) Chứng minh Điều suy trực tiếp, chu trình G chứa cạnh Gj chứa cạnh Eu Tiếp tục chứng minh bổ đề Nếu x, y thêm vào đường Hj \ θ (Eu ) , kết hợp đường với P ta có chu trình Vì E (P ) ⊆ E (H−j ) nên chu trình chứa cạnh Hj H−j Nhưng θ (Eu ) ⊆ E (Hj ) Điều mâu thuẫn với bổ đề nghĩa hai thành phần Hj \ θ (Eu ) chứa x, gọi Hj x Hj y chứa y Giả sử đẳng thức (2) không đúng, đó, đỉnh z V (Hj ) ∩ V (H−j ) − {x, y} Cho g h cạnh H−j Hj kề với z Bởi H khối nên H có chu trình C2 chứa g h Bắt đầu từ z qua cạnh g cuối C2 , dừng lại đỉnh w V (Hj ) ∪ V (P ) Hiển nhiên w khác v Gọi Q đường từ z đến w qua Ta phân biệt ba trường hợp sau, từ kết luận H có chu trình C3 kề với Hj H−j khơng chứa cạnh θ (Eu ) Từ bổ đề ta thấy (2) hiển nhiên suy (1) Trường hợp (i) : w đỉnh P Trường hợp (ii) : w ∈ V (Hj ) − V (P ) Trường hợp (iii) : w ∈ V (Hj y ) − V (P ) Ta mô tả cấu trúc C3 trường hợp z ∈ Hj x Nếu z ∈ Hj y thu C3 tương tự Đã biết E (P ) tập E(Hj ) Trong trường hợp (i), C3 thu Q phận P từ w đến 32 x kết hợp với đường tùy ý từ x đến z Hj x Trong trường hợp (ii), ta thu C3 cách kết hợp Q với đường từ w đến z Hj x Ở trường hợp (iii), C3 thu cách kết hợp P Q với đường từ x đến z Hj x đường từ y đến w Hj y Suy (1) đúng, nên H khối, H vòng tổng qt có thành phần H1 , H2 , H3 , Hk Bây ta chứng minh định lý Whitney 2- đẳng cấu Chứng minh Định lý Whitney 2- đẳng cấu Từ nhận xét trước, ta cần chứng minh có song ánh θ từ E (G) vào E (H) tạo 2- đẳng cấu M (G) M (H) G H 2- đẳng cấu Cho G+ H + đồ thị hình thành từ phân chia tương ứng khối G H Vì M (G+ ) ∼ = M (G) ∼ = M (H) ∼ = M (H + ), ta có song ánh từ khối G+ vào tập khối H + khối tương ứng có matroid vòng đẳng cấu G G 2- đẳng cấu H H , ta G+ H + 2- đẳng cấu Sử dụng phép quy nạp |V (G) |, G khối H đồ thị mà M (G) M (H) đẳng cấu H biến đổi từ đồ thị đẳng cấu từ G trình tự xoắn Giả sử rằng, G khối Rõ ràng, |V (G) | ≤ kết Giả sử kết cho |V (G) | ≤ |V (G) | ≥ G 2- liên thơng Theo bổ đề 5, G 3- liên thơng G ∼ = H kết Giả sử G 3- liên thông, theo bổ đề 6, G có biểu diễn vòng tổng quát, G1 , G2 , , Gk khối Hơn nữa, theo bổ đề 7, H có cách biểu diễn vòng tổng qt, phận H H1 , H2 , , Hk ; Hi = H [θ [E [Gi ))] Với i ∈ {1, 2, , k}, xét đồ thị Gi + ei Hi + fi thu từ Gi Hi cách thêm ei fi cho trường hợp, cạnh kết nối điểm tiếp xúc Bây ta có C chu trình G 33 kề với E (Gi ) θ (C) chu trình H thỏa mãn θ (Hi ) θ (E (Gi ) ∩ C) thỏa mãn θ (H−j ) Từ ta rằng, đẳng cấu M (Gi ) M (Hi ) mở rộng từ đẳng cấu M (Gi + ei ) M (Hi + fi ) ánh xạ từ ei đến fi Bây ta xét |V (Gi + ei ) | = |V (Gi ) | < |V (G) | Do đó, ta đưa giả thuyết Hi + fi xây dựng trình tự phép xoắn từ đồ thị đẳng cấu Gi + ei Vì 2- đỉnh cắt Hi + fi đỉnh cắt H nên ta thực dãy phép xoắn tròn H Sau đó, ∀i ∈ {1, 2, , k} ta có vòng tổng quát H với phận H1 , H2 , , Hk Hơn nữa, M (H ) ∼ = M (G), với i có đẳng cấu θi từ Gi đến Hi Theo đó, đỉnh tiếp xúc Gi ánh xạ từ đỉnh tiếp xúc Hi Giả sử rằng, thứ tự chu trình G G1 , G2 , Gk thứ tự phần H H1 , H2 , Hσ(k) cho số hoán vị σ {1, 2, , k} Khi đó, theo trình tự phép xoắn, H xây dựng thành vòng tổng qt, thành phần H1 , H2 , , Hk Nếu kết thu đồ thị H không đẳng cấu với G, ta khắc phục cách xoắn số phận H đỉnh tiếp xúc 34 Chương Matroid với số ứng dụng tối ưu tổ hợp Trong tối ưu tổ hợp, thuật toán mang tư tưởng tham lam thuật tốn tìm kiếm lựa chọn tối ưu địa phương bước với hi vọng tìm phương án tối ưu tồn cục Hiện nay, có nhiều thuật tốn mang tính tham lam Dijkstra, Prim, Kruskl, để giải tốn thực tế như: người du lịch, ba lơ, xây dựng hệ thống mạng vận tải, Trong chương này, ta thấy lý thuyết matroid cho phép xác định thuật toán tham lam đưa phương án tối ưu Tuy nhiên, lý thuyết matroid khơng áp dụng cho tất cấc trường hợp, ví dụ tốn mã Huffman; áp dụng cho tốn mang tính thực tế cao tốn tìm khung nhỏ hay tốn xếp việc làm cho nhóm cơng nhân 3.1 Sử dụng thuật toán tham lam giải toán matroid có trọng số 3.1.1 Bài tốn thực tế Ta xem xét toán xây dựng mạng lưới đường giao thơng Tình đặt ta cần xây dựng hệ thống đường nối thành phố cho từ 35 thành phố, ta đến tất thành phố lại; vấn đề quan trọng xây dựng đường để chi phí nhỏ Chi phí xây dựng đường cụ thể nối trực tiếp hai thành phố ta ước tính Ta biểu diễn thành tốn đồ thị sau Đồ thị G đồ thị Kn , đỉnh G ứng với thành phố, cạnh đồ thị ứng với đường xây dựng với trọng số cạnh chi phí làm đường nối hai thị trấn kề với cạnh Trọng số nhỏ bao trùm G chi phí thấp để làm đường liên kết n thành phố 3.1.2 Đưa toán matroid có trọng số Cho G đồ thị liên thông, giả sử w hàm từ E (G) vào R Ta gọi w hàm trọng số G với X ⊆ E (G), ta định nghĩa lực lượng X Σx∈X w (x) Cho G w, vấn đề đặt cần tìm bao trùm G có trọng số nhỏ Cho I họ tập E I thỏa mãn M (1i), M (2i) Cho w hàm từ E vào R X tập khác rỗng E, trọng số X, w (X) = Σx∈X w (x) cho w (φ) = Vấn đề tối ưu tổ hợp Vấn đề tối ưu tổ hợp đặt sau: "Tìm thành phần B lớn I có trọng số lớn nhất." Ta gọi tập B phương án vấn đề tối ưu tổ hợp Nếu ta thay hàm trọng số w hàm phủ định giải vấn đề tối ưu tổ hợp (I , −w) Khi đó, thành phần lớn B I với w (B ) lớn Cho I họ tập độc lập M (G) , G đồ thị liên thông Ta thấy rằng, khung có trọng số nhỏ trường hợp đặc biệt vấn đề đặt 36 3.1.3 Thuật toán Thuật toán tham lam cho (I , w) sau Bước 1: X0 = φ j = Bước 2: Nếu E − Xj chứa phần tử e cho Xj ∪ e ∈ I , chọn phần tử ej+1 có trọng số lớn Cho Xj+1 = Xj ∪ ej+1 đến bước Nếu khơng cho Xj = BG đến bước Bước 3: Thêm vào j quay lại bước Bước 4: Dừng lại Bổ đề Nếu (E, I ) matroid M BG phương án cho vấn đề tối ưu hóa Chứng minh Nếu r (M ) = r BG = {e1 , e2 , , Er } BG sở M Cho B sở khác M Ta gọi B = {f1 , F2 , Fr } Khi đó, w (f1 ) ≥ w (f2 ) ≥ w (fr ) Bổ đề cho thấy BG khơng phải sở có trọng só lớn M Nhưng với j, phần tử thứ j BG có trọng số nhỏ nhất, phần tử tốt B Bổ đề 10 Nếu ≤ j ≤ r w (ej ) ≥ w (fj ) Chứng minh Giả sử ngược lại cho k số dương nhỏ mà w(ek ) < w(fk ) Lấy I1 = {e1 , e2 , , ek−1 } I2 = {f1 , f2 , , fk }, |I1 | < |I2 |, I3 = I1 ∩ ft ∈ I , với số ft I2 − I1 Nhưng w (ft ) ≥ w (fk ) > w (ek ) Vì thế, thuật toán chọn ưu tiên ek , mâu thuẫn Định lý 3.1.1 Cho I họ tập E Khi đó, (E, I ) matroid điều kiện sau thỏa mãn: (I1) φ ∈ I (I2) Nếu I ∈ I I ⊆ I I ∈ I (G) Với hàm trọng số w : E → R, thuật toán tham lam cho thành phần cực đại I có trọng số lớn 37 Chứng minh Nếu (E, I ) matroid (I1) (I2) Giả sử I thỏa mãn (I1) , (I2) G Ta cần I thỏa mãn M(3i) Giả sử ngược lại, I1 , I2 phần tử I với |I1 | < |I2 | cho I1 ∪ e ∈ I Giả sử ngược lại, I1 , I2 phần tử I với ||I1 | < |I2 | cho I1 ∪ e ∈ I với e ∈ I2 − I1 Vì |I1 − I2 | < |I2 − I1 | I1 − I2 = φ nên ta chọn ξ cho < (1 + ξ) |I1 − I2 | < |I2 − I1 | (1) Định nghĩa w : E → R       1/|I − I | w (e) =  (1 + ξ) /|I2 − I1 |    0 e ∈ I1 ∩ I2 e ∈ I1 − I2 e ∈ I2 − I1 trường hợp lại Khi đó, thuật toán chọn phần tử I1 ∩ I2 phần tử I1 − I2 Theo giả thiết, ta lựa chọn phần tử I2 − I1 , nên phần tử lại BG nằm E − (I1 ∪ I2 ) Do đó, w (BG ) = 2|I1 ∩ I2 | + |I1 − I2 | (1/|I1 − I2 |) = 2|I1 ∩ I2 | + (2) Nhưng theo (I2), I2 chứa thành phần lớn I2 I w (I2 ) ≥ w (I2 ) = 2|I1 ∩ I2 | + |I2 − I1 | [(1 + ξ) / (|I1 − I2 |)] = 2|I1 ∩ I2 | + + ξ 38 (3) Từ (2) (3) suy w (I2 ) > w (BG ) Suy thuật tốn khơng áp dụng cho hàm trọng số Mâu thuẫn suy điều cần chứng minh 3.2 3.2.1 Hệ đại diện phân biệt Khái niệm hệ đại diện phân biệt Định nghĩa 3.2.1 Cho tập hợp X, A = {A1 , A2 , Am } họ tập khác rỗng Ai với i = 1, 2, , m X Một tập {x1 , x2 , , xm } chứa phần tử X cho xi = xj i = j xi ∈ Ai với i = 1, 2, , m Tập {x1 , x2 , , xm } gọi hệ đại diện phân biệt họ A Hệ đại diện phân biệt họ ⊆ A gọi hệ đại diện phân biệt phận A Họ A = {A1 , A2 , Am } tập Ai X đồng cách tự nhiên với đồ thị hai phần G = (V, E), V = V1 ∪ V2 phân hoạch V với V1 = A ; V2 = X E = {{Ai , x} /i ∈ {1, 2, , m} , x ∈ Ai } Khi đó, hệ đại diện phân biệt họ A tập gồm m cạnh đôi không kề đồ thị G Tổng quát hơn, G = (V, E) đồ thị hai phần với phần V1 V2 |V1 | = m, ta nói G có ghép cặp đầy đủ từ V1 tới V2 tồn m cạnh độc lập G Ví dụ 3.2.1 Cho đồ thị hai phần hình sau: Cho A = ({1, 2, 4} , {2, 3, 5, 6} , {5, 6} , {7}) có {2, 3, 6, 7} hệ đại diện phân biệt 2, 3, 6, thuộc A1 , A2 , A3 , A4 39 Hình 3.1: (a): 3.2.2 (A ), (b): A tương ứng với (A ) Matroid hệ đại diện phân biệt Định lý 3.2.1 Cho A họ tập E hữu hạn Cho I họ hệ đại diện phân biệt A Khi (E, I ) matroid Chứng minh Rõ ràng tập hệ đại diện phân biệt phận hệ đại diện phân biệt phận, nên điều kiện M (2i) thỏa mãn Tập ∅ hệ đại diện phân biệt họ rỗng tập A nên điều kiện M (1i) thỏa mãn Ta xây dựng đồ thi hai phía A sau: Gán nhãn cho lớp đỉnh đồ thị phần tử E lớp đỉnh tập A1 , A2 , , Am A Đặt cạnh từ phần tử e ∈ E đến phần tử Aj đại diện cho Aj phần tử thuộc A Cho X Y hai hệ đại diện phân biệt phận phần tử A |X| = |Y | + Ta xét đồ thị hai phía A hai tập X, Y Các cạnh đại diện cho tập X tơ màu xanh đại diện cho tập Y tơ màu đỏ, cách cạnh giống coi vừa màu xanh màu đỏ 40 Như ta có |X − Y | cạnh màu xanh |Y - X| cạnh màu đỏ |X − Y | = |Y − X| + Vì A đồ thị hai phía đỉnh thuộc lớp gán nhãn phần tử E đại diện cho tập phần tử A , hệ đại diện phân biệt nên A Vì đỉnh có nhãn phần tử thuộc E bậc có cạnh màu xanh cạnh màu đỏ Tương tự lớp đỉnh có nhãn tập E Như thành phần liên thơng A có cạnh xen kẽ màu Suy thành phần liên thông A vòng có số cạnh màu xanh đỏ Vậy hiển nhiên có đường H có n cạnh màu xanh n − cạnh màu đỏ, nên đường phải bắt đầu màu xanh kết thúc màu xanh Đổi màu cạnh H có n − cạnh màu đỏ n cạnh màu xanh Lúc A có số cạnh màu đỏ |X| |Y | + Thực ta thêm phần tử vào tập Y làm thay đổi n − cạnh Y Cụ thể H đỉnh gán nhãn phần tử thuộc E nối với đỉnh khác gán nhãn phần tử A việc đổi màu Và ban đầu cạnh màu xanh H đảm bảo tương ứng một thể đại diện hệ đại diện phân biệt nên sau đổi màu ta thu cạnh màu đỏ giữ nguyên được, M(3i) thỏa mãn Ta định nghĩa matroid định lý matroid hệ đại diện phân biệt biệt I họ hệ đại diện phân biệt E Ví dụ 3.2.2 Cho đồ thị G hình sau: Vòng matroid M(G) hệ đại diện phân biệt M (G) = M (A ) A = {{1, 2, 7} , {3, 4, 7} , {5, 6, 7}} 41 Hình 3.2: Đồ thị G 3.2.3 Bài tốn xếp cơng việc cho nhóm cơng nhân Tiếp theo ta thấy ứng dụng matroid vào tốn tìm hệ đại diện phân biệt Bài tốn thực tế Có tập cố định công việc mà xếp theo thứ tự quan trọng ta cần phân việc cho nhóm cơng nhân mà người số họ có khả thựa số công việc định Giả sử công việc thực đồng thời cho không công nhân giao cơng việc Để giải tốn ta cần tìm cách xếp cơng việc cho phương án tối ưu với thứ tự ưu tiên cơng việc Mơt tả tốn matroid Trước xác định tính tối ưu, ta mơ tả toán matroid Cho S tập công việc Y tập công nhân, với y ∈ Y , Ay tập công việc mà công nhân y đủ điều kiện thực Cho A = (Ay : y ∈ Y ) Số lượng cơng việc nhiều thực hạng M (A) Cho p : S → R hàm tương ứng ưu tiên công việc, giá trị p thấp tương ứng với ưu tiên công việc Một phân công công việc sở M (A) 42 Cho B tập công nhân {x1 , x2 , , xn } cho p (x1 ) ≤ p (x2 ) ≤ ≤ p (xn ) B gọi tối ưu với tập phân công công việc {z1 , z1 , , zn } với p (z1 ) ≤ p (z2 ) ≤ ≤ p (zn ) Ta có p (xi ) ≤ p (zi ) với i ∈ {1, 2, , r} Nếu ta định nghĩa họ tập độc lập M (A) cho w = −p, theo bổ đề 3.1.3, áp dụng thuật toán tư tưởng tham lam với cặp (I , w) ta tìm phân cơng tối ưu Ví dụ 3.2.3 Xem xét đồ thị hai phía minh họa cho tốn Hình 3.3: Cơng nhân yi làm cơng việc xi tương ứng với cạnh xi yi {y1 , y2 , y3 , y4 } công nhân, {x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 } tập công việc, cạnh tương ứng cơng nhân với cơng việc làm Giả sử thứ tự ưu tiên p (x1 ) < p (x2 ) < < p (x6 ) Dễ dàng tìm cách phân cơng cơng việc trường hợp {x1 , x2 , x4 , x6 } Chú ý rằng, với tốn phân cơng cơng việc, thuật tốn sử dụng phương pháp tham lam tìm sở tương ứng với matroid hệ đại diện phân biệt khơng thể quay lại Ví dụ trường hợp hình 3.4 Khi đó, thuật tốn tham lam chọn x1 trước đến x2 Nếu x1 ghép đơi với Y1 x2 khơng ghép đơi Với sở tối ưu B tìm được, 43 Hình 3.4: Cơng nhân y1 , y2 cơng việc x1 , x2 Cho p (x1 ) < p (x2 ) tốn phân cơng cơng việc với việc tìm số đường nối lớn [A ] việc xóa đỉnh trong đồ thị hai phía thu từ S − B 44 Kết luận Trong trình thực luận văn "Matroid với lý thuyết đồ thị số ứng dụng tối ưu tổ hợp" nghiên cứu vấn đề lý thuyết matroid, mối liên hệ matroid với đồ thị vài ứng dụng tối ưu tổ hợp Về phần lý thuyết matroid tơi trình bày rõ khái niệm, tính chất bản, để có nhìn tương đối đầy đủ matroid Trong mối liên hệ với lý thuyết đồ thị, tơi tìm hiểu kỹ tính đối ngẫu điều kiện cần đủ để Matroid có tính đồ thị Về ứng dụng matroid tối ưu tổ hợp, xem xét số tốn phát biểu giải matroid; cụ thể tốn tìm khung nhỏ toán ghép cặp đồ thị hai phần Tôi nghĩ lý thuyết matroid lý thuyết trừu tượng có nhiều ứng dụng vào toán học lĩnh vực khoa học khác, ky vọng sau có nhiều người quan tâm nghiên cứu sâu sắc 45 Tài liệu tham khảo Tài liệu tiếng Việt [1] Ngô Đắc Tân (2003), Lý Thuyết Tổ Hợp Và Đồ Thị, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, Hà Nội Tài liệu tiếng Anh [2] Michel X Goemans (2009), "Combinatorial Optimization", Massachusetts Institute of Technologi [3] James Oxley (1992), Matroid Theory, Oxford University Press, New York [4] James Oxley (2007), "What is a matroid", Department Of Mathematics, Louissiana State University, Baton Rouge, LA, USA [5] R J Wilson (1973), An Introduction To Matroid Theory 46 ... hệ lý thuyết matroid với lý thuyết đồ thị, tối ưu tổ hợp số ứng dụng Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu lý thuyết matroid Trình bày cách hệ thống liên hệ lý thuyết matroid với lý thuyết đồ thị, tối ưu. .. thuyết đồ thị, tối ưu tổ hợp tìm hiểu giải pháp cho số tốn ngôn ngữ lý thuyết matroid Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết với công cụ hỗ trợ đại số tuyến tính, lý thuyết đồ thị, tối ưu tổ hợp. .. ∗ (G) gọi matroid liên kết matroid đối vòng G Một matroid đẳng cấu với matroid vòng đồ thị gọi có tính đồ thị Một matroid đẳng cấu với matroid liên kết đồ thị gọi có tính đối đồ thị Trong phần