Matroid với lý thuyết đồ thị và một số ứng dụng trong tối ưu tổ hợp

LỜI CAM ĐOANTôi đã thực hiện đề tài Matroid với lý thuyết đồ thị và một số ứng dụng trong tối ưu tổ hợp.. Bên cạnh đó, phương pháp tham lam đểgiải quyết nhiều bài toán tối ưu tổ hợp đã đ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

——————————————–

NGUYỄN THỊ THANH THỦY

MATROID VỚI LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ

VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG TỐI ƯU TỔ HỢP

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2017

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

——————————————–

NGUYỄN THỊ THANH THỦY

MATROID VỚI LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ

VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG TỐI ƯU TỔ HỢP

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG

Mã số: 60 46 01 12

Người hướng dẫn khoa học: TS Trần Minh Tước

HÀ NỘI - 2017

LỜI CAM ĐOAN

Tôi đã thực hiện đề tài Matroid với lý thuyết đồ thị và một số ứng dụng trong tối ưu tổ hợp Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Kết quả nghiên cứu của đề tài này đảm bảo tính khách quan, trung thực, không trùng lặp với các tác giả khác.

Hà Nội, tháng 12 năm 2017

Học viên

Nguyễn Thị Thanh Thủy

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính luận văn tốt nghiệp, tôi xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Trần Minh Tước người đã tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành đề tài này.

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo tôi tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn bên cạnh, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài này.

Hà Nội, tháng 12 năm 2017

Học viên

Nguyễn Thị Thanh Thủy

Mục lục

1 Một số kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Lý thuyết matroid 3

1.1.1 Định nghĩa matroid 3

1.1.2 Tiên đề cơ sở 5

1.1.3 Tiên đề vòng 8

1.1.4 Tiên đề hạng 11

1.1.5 Maroid đối ngẫu 14

1.2 Một số khái niệm và kết quả của lý thuyết đồ thị 15

1.2.1 Khái niệm đồ thị 15

1.2.2 Đồ thị đối ngẫu 18

1.2.3 Đồ thị đẳng cấu 19

1.3 Một số tính chất liên hệ giữa matroid với đồ thị 20

2 Một số liên hệ giữa matroid với lý thuyết đồ thị 22 2.1 Tính đối ngẫu của matroid đồ thị 22

2.1.1 Điều kiện cần để matroid có tính đồ thị 22

2.1.2 Điều kiện đủ để matroid có tính đồ thị 26

2.2 Định lý Whitney 28

3 Matroid với một số ứng dụng trong tối ưu tổ hợp 35

MỤC LỤC MỤC LỤC

3.1 Sử dụng thuật toán tham lam giải quyết bài toán trên

matroid có trọng số 35

3.1.1 Bài toán thực tế 35

3.1.2 Đưa bài toán về matroid có trọng số 36

3.1.3 Thuật toán 37

3.2 Hệ đại diện phân biệt 39

3.2.1 Khái niệm hệ đại diện phân biệt 39

3.2.2 Matroid hệ đại diện phân biệt 40

3.2.3 Bài toán sắp xếp công việc cho nhóm công nhân 42

Danh sách hình vẽ

1.1 Đồ Thị H 4

1.2 Đồ Thị H1 9

1.3 Vòng C1 10

1.4 Vòng C2 10

1.5 Vòng C3 11

1.6 Đơn đồ thị G có hướng 16

1.7 Đơn đồ thị G vô hướng 17

1.8 Đồ thị có trọng số G 18

1.9 Xây dựng đồ thị G* là đối ngẫu của đồ thị G 19

1.10 Ví dụ hai đồ thị vô hướng đẳng cấu 20

2.1 Đồ thị H2 23

2.2 Xây dựng đối ngẫu hình học của một đồ thị phẳng 24

2.3 Xây dựng đối ngẫu hình học của một đồ thị phẳng 25

2.4 Phép đồng nhất đỉnh và phép tách đỉnh 29

2.5 Đồ Thị G là một vòng tổng quát 30

3.1 (a): M (A ), (b): A tương ứng với M (A ) 40

3.2 Đồ thị G 42

3.3 Công nhân yi có thể làm công việc xi tương ứng với cạnh xiyi 43

3.4 Công nhân y1, y2 và công việc x1, x2 Cho p (x1) < p (x2) 44

Cả hai nhà toán học đều quan tâm đến việc xây dựng một mô tả chung

về “sự độc lập” với các tính chất liên quan chặt chẽ đến đại số tuyến tính

và lý thuyết đồ thị Lý thuyết này nghiên cứu về sự gắn kết của cấu trúchình học mang tính trừu tượng (matroid) với cấu trúc hình học mangtính cụ thể Mặc dù ra đời khá muộn nhưng việc nghiên cứu matroid đãphát triển và trở thành một lý thuyết hoàn chỉnh và có nhiều ứng dụng

Lý thuyết matroid đã tổng quát hóa được những tính chất về sự độc lậptuyến tính, phụ thuộc tuyến tính trong không gian vectơ và có nhiềuứng dụng với lý thuyết đồ thị Bên cạnh đó, phương pháp tham lam đểgiải quyết nhiều bài toán tối ưu tổ hợp đã được biểu diễn hiệu quả bằngngôn ngữ của matroid Trong một thời gian rất ngắn so với lịch sử toánhọc, cho đến nay, lý thuyết matroid đã nhanh chóng trở thành một lĩnhvực đặc biệt của toán học, một dạng hiện đại của hình học, tiêu chuẩn

lý thuyết và thực hành cho nhiều thuật toán Khi tiếp cận và tìm hiểu vềmatroid, nhận thấy sự mới mẻ và tính ứng dụng cao vào việc giải quyếtcác bài toán tối ưu tổ hợp, đồ thị theo một cách thể hiện khác khá hiệuquả Điều này làm cho tôi băn khoăn rằng lý thuyết matroid có thực sựgiúp chúng ta giải quyết các bài toán một cách hiệu quả như thế Chonên, tôi quyết định chọn đề tài Matroid với lý thuyết đồ thị và một

số ứng dụng trong tối ưu tổ hợp để triển khai nghiên cứu

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu được một cách hệ thống về matroi và sự liên hệ giữa lýthuyết matroid với lý thuyết đồ thị, tối ưu tổ hợp và một số ứng dụng

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu về lý thuyết matroid

Trình bày một cách hệ thống về sự liên hệ giữa lý thuyết matroid với

lý thuyết đồ thị, tối ưu tổ hợp, và ứng dụng để giải quyết một số bàitoán

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: matroid, đồ thị, các bài toán tối ưu tổ hợp.Phạm vi nghiên cứu: lý thuyết matroid; các khái niệm liên quan đến

lý thuyết đồ thị, tối ưu tổ hợp và tìm hiểu giải pháp cho một số bài toánbằng ngôn ngữ của lý thuyết matroid

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lý thuyết với công cụ hỗ trợ là đại số tuyến tính, lý thuyết

đồ thị, tối ưu tổ hợp

6 Dự kiến đóng góp của đề tài

Lý thuyết matroid là một dạng hiện đại của hình học, có ứng dụngtrong nhiều lĩnh vực khác nhau Sau khi hoàn thành đề tài, tôi có sựhiểu biết cho bản thân về lý thuyết matroid và văn bản luận văn có thể

là tài liệu tham khảo hữu ích cho những ai quan tâm

Định nghĩa 1.1.1 Matroid là một cặp M gồm tập hữu hạn S và họ

F các tập con của S được gọi là các tập độc lập của M khi và chỉ khithỏa mãn các điều kiện sau:

Ví dụ 1.1.1 Cho ma trận A dưới đây với các nhãn tương ứng:

Ví dụ 1.1.2 Xét đồ thị G cho bởi hình vẽ

Hình 1.1: Đồ Thị HXét họ F các tập cạnh của G mà không chứa chu trình nào của G.Như vậy, các tập của F sẽ không chứa bất kỳ tập nào trong các tậpsau: {7}, {5, 6}, {1, 2, 4}, {2, 3, 5}, {2, 3, 6}, {1, 3, 4, 5}, {1, 3, 4, 6} Khi

đó, E(G) với họ F xác định trên lập thành một matroid của G

Matroid xác định như trên gọi là matroid vòng của G

Ví dụ 1.1.3 Cho tập S hữu hạn phần tử

Xét họ F1 = {∅} khi đó ta có (S,F1) là một matroid được gọi làmatroid tầm thường

Xét họ F2 = P(S) = 2S khi đó ta có (S,F2) là một matroid đượcgọi là matroid rời rạc.

1.1.2 Tiên đề cơ sở

Cho matroid M = (S,F ) Xét họ không rỗng B có phần tử là các tậpcon độc lập lớn nhất của S trong M Vì các phần tử của B là các tậpđộc lập nên B là họ các tập độc lập của M

Bổ đề 1 Nếu B1, B2 là cơ sở của matroid M thì |B1| = |B2|

Định lý 1.1.1 Một Matroid M bao gồm một tập hữu hạn khác rỗng E

và một họ khác rỗng B các tập con của E (được gọi là cơ sở) khi và chỉkhi thỏa mãn các điều kiện sau:

B(1i) Không có cơ sở nào chứa cơ sở nào

B(2i) Nếu B1 và B2 là cơ sở và e là phần tử bất kỳ của B1, khi đó tồntại một phần tử f của B2 sao cho (B1 − {e} ∪ {f }) là một cơ sở

Nếu lấy ra một phần tử từ B1, khi đó tồn tại một phần tử trong B2sao cho có một cơ sở mới B3 hình thành khi thêm phần tử đó vào B1

Chứng minh Ta chứng minh rằng họ B được xác định như trên thỏamãn hai điều kiện B(1i), B(2i) của định lý 1.1.1

Xét B1, B2 ∈ B, B1 6= B2 , mà theo bổ đề 1 ta có số phần tử của các

cơ sở bằng nhau |B1| = |B2|, hiển nhiên B(1i) được thỏa mãn

Cho B1 − x và B2 là hai tập độc lập, |B1 − x| < |B2| Theo điềukiện M (3i), ∃ y ∈ (B2 − (B1 − x)) sao cho ((B1 − x) ∪ y) ∈ F Hiểnnhiên y ∈ (B2 − B1) Đặt B3 = (B1 − x) ∪ y Theo bổ đề 1 ta có

|B3| = |(B1 − x) ∪ y| = |B1| Hơn nữa, (B1 − x) ∪ y là tập độc lập, suy

ra B3 là cơ sở của M Vậy B(2i) được thỏa mãn

Bây giờ ta sẽ chứng minh họ B và tập S là một matroid theo địnhnghĩa 1.1.1

Cho I = {I ⊆ B|B ∈ B} Ta sẽ chứng minh (S, I ) là một matroid

Từ B thỏa mãn B(1i) nên I thỏa mãnM(1i).

Nếu I ∈ I , I0

⊆ I ⇒ I0 ⊂ B, B ∈B, thỏa mãn M(2i)

Cho I1, I2 ∈ I với |I1| < |I2| sao cho ∀e ∈ I2 − I1, I1 ∪ e /∈ I Theođịnh nghĩa, B có chứa phần tử B1, B2 Như vậy, I1 ⊆ B2 và I2 ⊆ B2.Cho rằng tập B2 được chọn sao cho |B2 − (I2 ⊆ B1)| là nhỏ nhất Bởivậy ta chọn I1, I2 để

I2 − B1 = I2 − I1 (1)

Giả sử rằng B2−(I2∪B1) là khác rỗng Khi đó, ta có thể chọn phần tử

x từ tập này, theo B(2i) có một phần tử y ∈ B1−B2 sao cho (B2−x)∪y ∈

B Nhưng sau đó |((B2 − x) ∪ y) − (I2 ∪ B1)| < |B2 − (I2 ∪ B1)| và việcchọn B2 là mâu thuẫn, nên B2− (I2∪ B1) là rỗng và B2− B1 = I2− B1

Mà theo (1) I1 = B1 nên

B2 − B1 = I2 − I1 (2)

Tiếp theo ta chứng minh B1− (I1∪ B2) là rỗng Giả sử B1− (I1∪ B2)

là không rỗng, thì có x ∈ B1 − (I1 ∪ B2) và y ∈ B2 − B1 sao cho(B1 − x) ∪ y ∈ B

Bây giờ thì (I1 ∪ y) ⊆ ((B1 − x) ∪ y) nên I1 ∪ y ∈ I

Từ y ∈ (B2 − B1), theo (2), y ∈ (I2 − I1), mâu thuẫn với điều giả sử.Suy ra B1 − (I1 ∪ B2) là rỗng Vì thế B1 − B2 = I1 − B2

B1 − B2 ⊆ I1 − I2 (3)

Mà |B1| = |B2| nên |B1− B2| = |B2− B1|, kết hợp với (1), (2), (3) tacó

|I1 − I2| ≥ |I2− I1| ⇔ |I1| ≥ |I2|, mâu thuẫn với giả thuyết |I1| < |I2|Vậy (S,I ) là matroid 

Định lý 1.1.2 Các sơ sở của một matroid có cùng số phần tử

Chứng minh Giả sử hai cơ sở của matroid là B1 và B2 có số lượngphần tử khác nhau Giả sử |B1| < |B2| và có một phần tử {e1} ∈ M saocho e1 ∈ B1 nhưng e1 ∈ B/ 2 Nếu lấy e1 ∈ B1, theo B(2i), ta có e2 ∈ B2,

e2 ∈ B/ 1 sao cho B3 = B1 − (e1) ∪ (e2) Khi đó B3 là một cơ sở trong M

Vì thế |B1| = |B3| nhưng B2 6= B1 = B3 Nếu ta tiếp tục thay các phần

tử k lần khi đó sẽ không có phần tử ở B1 mà không có trong Bk

Vậy nên ∀ e ∈ Bk thì e ∈ B2

Suy ra Bk ⊆ B2 (mâu thuẫn với B(i)) 

Ví dụ 1.1.4 Cho ma trận A là ma trận 5 x 8 có các cột là các vectertrong R5 Tập các vecter cột của A là {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

Nhận xét : Nếu bớt đi một phần tử của C thì ta được tập độc lập.

Định lý 1.1.3 Cho tập hữu hạn S và C là họ các tập con của S Khi

đó C là tập vòng của matroid M trên S khi và chỉ khi thỏa mãn các điềukiện sau:

Theo M(1i) ta có ∅ ∈ F nên hiển nhiên ∅ /∈ C, C(1i) được thỏa mãn.Theo M(2i), nếu X ∈ F , Y ⊆ X thì Y ∈ F Khi ta thêm cùng mộtphần tử vào mỗi tập X, Y thì được X0, Y0 là các tập phụ thuộc tối tiểu

và Y0 ⊆ X0 Nếu Y0 ⊂ X0 thì vô lý vì một tập phụ thuộc tối tiểu khôngthể là con thực sự của một tập phụ thuộc tối tiểu khác, suy ra Y0 = X0,C(2i) được thỏa mãn

Cho C1, C2 ∈ C, C1 ∩ C2 = e Giả sử không có C3 ∈ C sao cho C3 ⊆(C1∪ C2) − e Ta có C1− e, C2− e, C3 ⊆ (C1∪ C2) − e đều là các tập độclập và |(C1 ∪ C2) − e| > |C1− e|, |(C1∪ C2) − e| > |C2 − e| Theo M(3i),xét hai tập C1− e, C3 ⊆ (C1∪ C2) − e độc lập và |(C1∪ C2) − e| > |C1− e|thì ∃ f ∈ ((C1 ∪ C2) − e) − (C1 − e) sao cho (C1 − e) ∪ f ∈ F Mà

f ∈ ((C1 ∪ C2) − e) ⇔ f ∈ (C2− e) suy ra |C2− e| > |C1 − e| Tương tự

ta có |C1 − e| > |C2 − e|, mâu thuẫn chứng tỏ giả sử sai Vậy điều kiệnC(3i) được thỏa mãn

Cho C là họ tập con của S thỏa mãn các điều kiện của định lý 1.1.3, C0

là họ các tập C0 với C0 ⊂ C Như vậy C0 là tập độc lập, suy ra C0 ⊆ F Theo định nghĩa 1.1.1 (S, C0) là một matroid 

Vòng{a, b, c, d, e}

{a, e, f }{a, e, d, g}

C3 = C1 ∪ C2

Hình 1.3: Vòng C1

Hình 1.4: Vòng C 2

Hình 1.5: Vòng C 3

Có thể thấy ở đây ba vòng trong C3 là {a, e, f }, {a, b, c, d, e}, {b, c, d, f },trong đó,{b, c, d, f } là một vòng trong C3 mà không chứa cả {a} và {e}.Như vậy, tính chất C(3i) được thỏa mãn

1.1.4 Tiên đề hạng

Cho đồ thị G = (V, E), M(G) là matroid vòng của đồ thị G xác địnhtrên tập cạnh E và tập độc lập gồm các tập con của E không chứa chutrình của G

Cho M = (S,F ) và họ tất cả các tập con của S là 2S

Gọi hàm số r(A) = max{|X||X ⊆ A và X ∈ (F )} là hạng của A.Hạng của matroid M kí hiệu là r(M ), hay r(S)

Nhận xét : Hạng của tập A là số phần tử của tập độc lập lớn nhấtthuộc A Nếu A độc lập thì r(A) = |A|

Định lý 1.1.4 Cho S là tập hữu hạn khác rỗng và hàm số r : 2S −→ N.Khi đó r là hàm hạng của matroid trên S khi và chỉ khi thỏa mãn cácđiều kiện sau ∀X, Y của S:

Theo M(1i), ∅ ∈ F nên r(∅) = 0 Cho X là tập con độc lập của A,

dễ thấy |X| ≤ |A| ↔ r(A) ≤ |A|, R(1i) được thỏa mãn

Cho X − Y = {y1, y2, , yk} Ta xét phét quy nạp theo k

Nếu k = 1 bài toán hiển nhiên là đúng

Giả sử bài toán đúng với k = n, cần chứng minh bài toán đúng với

k = n + 1

r(X) + r(X) = r(X ∪ {y1, y2, , yk}) + r(X ∪ yn+ 1)

≥ r((X ∪ {y1, y2, , yk}) ∪ (X ∪ yn + 1)) + r((X ∪ {y1, y2, , yk}) ∩(X ∪ yn + 1))

= r(X ∪ {y1, y2, , yk + 1}) + r(X)

⇔ r(X) ≥ r(X ∪ {y1, y2, , yk + 1})

Theo R(2i) suy ra (X ∪ {y1, y2, , yk+ 1}) ⊆ X, vô lý, suy ra

r(X) = r(X ∪ {y1, y2, , yk + 1}) (bài toán được chứng minh)

Ta trở lại phần chứng minh (S,I ) là matroid Theo R(1i), 0 ≥ r(∅) ≥

|∅| nên r|∅| = |∅| suy ra ∅ ∈ I M(1i) được thỏa mãn

Cho I ∈ I , I ⊆ I Khi đó r(I) = |I| Theo R(3i)

r(I0 ∪ (I − I0)) + r(I0∩ (I − I0)) ≥ r(I0) + r(I − I0) ≥ r(I0) + r(I − I0)

⇔ r(I) + r(∅) ≥ r(I0) + r(I − I0) (1)

Nhưng r(I) = |I| và r(∅) = 0 Ngoài ra, theo R(2i), r(I0) ≥ |I0| vàr(I − I0) ≥ |I − I0| và (1) suy ra

|I| ≥ r(I0) + r(I − I0) ≥ |I0| + |I − I0| = |I|

⇒ r(I0) = |I0| ⇔ I0 ∈ I M(2i) được thỏa mãn Để chứng minh Ithỏa mãn M(3i), giả sử ngược lại

Cho I1, I2 ∈ I với |I1| < |I2| và ∀e ∈ (I2 − I1), I1 ∪ e ∈ I Khi đó,

∀e, r(I1∪ e) 6= |I1∪ e| Do đó, theo R(1i), R(2i) và I ∈ I , ta nhận được

∀e:

|I1| + 1 > r(I1 ∪ e) ≥ r(I1) = I1

⇔ (I1 ∪ e) = |I1|

Áp dụng bài toán phụ đã chứng minh ở trên với X = I1 và Y = I2,

ta có r(I1) = r(I1 ∪ I2) Nhưng |I1| = r(I1) và r(I1 ∪ I2) ≤ r(I2) = |I2|,nên |I1| ≤ |I2|, mâu thuẫn với |I1| < |I2|

Suy ra I thỏa mãn M(3i) Vậy (S, I ) là một matroid 

Quan sát ma trận C các vecter cột của A.

1.1.5 Maroid đối ngẫu

Định lý 1.1.5 Cho M = (S,B) là một matroid trên S được định nghĩatheo tiên đề cơ sở Khi đó, ta gọi matroid đối ngẫu của M, kí hiệu là M*

là matroid trên S với cơ sở B∗ xác định bởi

B∗ = {S − B|B ∈ B}

Chứng minh Sau đây ta sẽ chứng minh M∗ = {S,B∗} là một matroid

Vì B 6= ∅ nên dễ dàng thấy B∗ 6= ∅, thỏa mãn điền kiện B(1i).Cho B1∗, B2∗ ∈ B∗(M ) Với j = 1, 2, cho Bj = S − B∗ Khi đó Bj ∈B(M) và B∗

1 − B2∗ = B2 − B1 Theo B(2i), x ∈ B2 − B1 thì ∃y ∈

B1 − B2 sao cho (B1 − y ∪ x) ∈ B(M) Theo đó mà y ∈ B∗

1

và S(M ) − ((B1 − y) ∪ y) ∈ B∗(M ) Nhưng S(M ) − ((B1 − y) ∪ x) =((S(M )−B1−x)∪y = (B1∗−x)∪y) Suy raB∗(M ) thỏa mãn B(2i) Vậy

B∗(M ) là cơ sở của matroid trên S hay M∗ = {S,B∗} là một matroid



Matroid trong định lý trên nền S(M) và họ cơ sở B∗(M ) được gọi làđối ngẫu của M Như vậy B(M∗) = B∗(M )

Sự liên hệ giữa M và M* được nói đến trong định lý sau đây

Định lý 1.1.6 Trên mỗi tập nền S ta luôn có (M∗)∗ = M

thị

1.2.1 Khái niệm đồ thị

Mô hình đồ thị xuất hiện nhiều trong khoa học và cả đời sống hàng ngày

Đồ thị tỏ ra hiệu quả trong việc giải các bài toán trong nhiều lĩnh vựckhác nhau Ta có thể hình dung đồ thị như tập hữu hạn các đối tượng

và những mối liên hệ giữa các đối tượng đó

Có nhiều loại đồ thị được xây dựng dựa vào cấu trúc của đồ thị, cụthể là tùy thuộc vào sự xác định mối liên hệ giữa các đối tượng Trongkhuôn khổ luận văn, tôi chỉ đề cập tới ba loại đồ thị: đồ thị có hướng,đơn đồ thị vô hướng, đa đồ thị vô hướng và đồ thị có trọng số Các kháiniệm cơ bản về đồ thị được dùng theo cuốn " Lý thuyết tổ hợp và đồthị", tác giả Ngô Đắc Tân, NXB ĐHQG Hà Nội

Định nghĩa 1.2.1 Đơn đồ thị có hướng G là một cặp có thứ tự

G = (V, E), ở đây V là một tập còn E là một tập con của tích Đề các

V x V , tức E là quan hệ hai ngôi trên V

Các phần tử của V được gọi là các đỉnh, còn các phần tử của E đượcgọi là các cung của đồ thị G Cụ thể hơn, nếu (a, b) ∈ E thì (a, b) đượcgọi là cung của G với đỉnh đầu là a và đỉnh cuối là b và có hướng đi từ

a tới b

Biểu diễn đồ thị có hướng G trên mặt phẳng như sau Các đỉnh của Gđược biểu diễn bằng các vòng tròn nhỏ, còn các cung thì được biểu diễnbằng các đường cong nối đỉnh đầu với đỉnh cuối và có mũi tên hướng từđỉnh đầu tới đỉnh cuối

Ví dụ 1.2.1 Cho đồ thị có hướng G = (V, E) với V = {a, b, c, d, e, f }

và E = {ab, bc, bd, cd, de, df, ef }

Hình 1.6: Đơn đồ thị G có hướng

Định nghĩa 1.2.2 Đơn đồ thị vô hướng G là một cặp có thứ tự

G = (V, E), ở đây V là một tập hữu hạn; còn E là tập với các phần tử

là các đa tập lực lượng 2 trên V

Các phần tử của V được gọi là các đỉnh, còn các phần tửu của Eđược gọi là các cạnh của đồ thị vô hướng G Cho a, b ∈ V , nếu tồn tại

e = {a, b} thì khi đó e là một cạnh của G với hai đỉnh đầu mút là a, b

Đồ thị vô hướng được biểu diễn trên mặt phẳng tương tự đồ thị cóhướng Điểm khác biệt ở đây là không có mũi tên chỉ hướng trên cáccạnh

Ví dụ 1.2.2 Cho đồ thị vô hướng G = (V, E) với V = {a, b, c, d, e, f }

và E = {ab, bc, cd, db, ce, ef, f d}

Hình 1.7: Đơn đồ thị G vô hướng

Định nghĩa 1.2.3 Đa đồ thị vô hướng G là một cặp có thứ tự

G = (V, E), ở đây V là một tập còn E là một đa tập lực lượng 2 trên V

Đa đồ thị vô hướng cũng được biểu diễn trên mặt phẳng tương tựnhư đồ thị vô hướng, trong đó các cạnh khác nhau mà có cùng đỉnh đầu

và đỉnh cuối được biểu diễn bằng các đường cong khác nhau

Định nghĩa 1.2.4 Đồ thị G = (V, E) được gọi là đồ thị có trọng sốnếu ít nhất một trong hai hàm f : V → WV và g : E → WE, được xácđịnh, ở đây WV và WE là các tập số Giá trị f (v) được gọi là trọng sốcủa đỉnh v, còn giá trị g (e) được gọi là trọng số của cạnh e

Người ta thường kí hiệu đồ thị có trọng số bằng G = (V, E, f ) hay

G = (V, E, g) hay G = (V, E, f, g) tùy thuộc vào việc chỉ một hàm f ,chỉ một hàm g hay cả hai hàm f và g được xác định

Trong khuôn khổ luận văn này, chúng ta chỉ sử dụng G = (V, E, g).Biểu diễn một đồ thị G = (V, E, g) có trọng số trên mặt phẳng trựcquan ta biểu diễn đồ thị vô hướng hoặc có hướng và gắn trọng số tươngứng lên trực tiếp bên cạnh cung mang giá trị đó

Ví dụ 1.2.3 Cho đồ thị vô hướng có trọng số G = (V, E) với V ={a, b, c, d, e, f } và E = {ab, bc, cd, db, ce, ef, f d}

Ví dụ 1.2.4.

Hình 1.9: Xây dựng đồ thị G* là đối ngẫu của đồ thị G1.2.3 Đồ thị đẳng cấu

Có những đồ thị khác nhau nhưng sau khi đổi tên các đỉnh của các đồthị đó thì chúng lại có thể trùng nhau, những đồ thị như thế được gọi

là đẳng cấu

Định nghĩa 1.2.5 Cho đồ thị có hướng G = (V, E) và G0 = (V0, E0)được gọi là đẳng cấu với nhau nếu tồn tại song ánh ϕ : V → V0 sao cho(a, b) ∈ E khi và chỉ khi (ϕ (a) , ϕ (b)) ∈ E Song ánh ϕ như trên đượcgọi là đẳng cấu của G và G0, kí hiệu G ∼= G0

Định nghĩa tương tự với đồ thị vô hướng