PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - ĐÀO THỊ BÍCH THẢO PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội- Năm 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - ĐÀO THỊ BÍCH THẢO PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG Mã số: 60440107 Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS VŨ ĐỖ LONG Hà Nội- Năm 2014 LỜI CẢM ƠN Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy PGS.TS Vũ Đỗ Long tận tình hƣớng dẫn, tạo điều kiện thuận lợi thƣờng xuyên động viên để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả trân trọng cảm ơn thầy, cô giáo Bộ môn Cơ học, Trƣờng đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN thầy, cô Khoa Toán – Cơ – Tin học quan tâm, giúp đỡ tạọ điều kiện thuận lợi suốt thời gian tác giả học tập nghiên cứu Khoa Tác giả xin cảm ơn nhà khoa học, thầy cô giáo seminar Cơ học vật rắn biến dạng có góp ý quý báu trình tác giả thực luận văn Tác giả xin cảm ơn thầy, cô giáo, cán Phòng Sau đại học, Trƣờng Đại học Khoa học Tự nhiên – ĐHQGHN tạo điều kiện thuận lợi trình nghiên cứu tác giả Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình bạn bè thân thiết tác giả, ngƣời bên cạnh động viên giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn Tác giả Đào Thị Bích Thảo MỤC LỤC TỔNG QUAN .1 Chƣơng - CÁC HỆ THỨC CƠ SỞ PHÉP TÍNH TENXƠ 1.1 Một số khái niệm 1.2 Phép biến đổi tọa độ 1.2.1 Hệ tọa độ Đề 1.2.2 Hệ tọa độ cong .8 1.2.3 Phép biến đổi tọa độ 1.2.4 Tenxơ metric không gian Euclide Error! Bookmark not defined 1.3 Thành phần vật lý tenxơ Error! Bookmark not defined 1.3.1 Tenxơ hạng Error! Bookmark not defined 1.3.2 Tenxơ hạng hai Error! Bookmark not defined 1.3.3 Khai triển cụ thể Error! Bookmark not defined 1.4 Đạo hàm hiệp biến Error! Bookmark not defined 1.4.1 Đạo hàm véctơ sở Error! Bookmark not defined 1.4.2 Kí hiệu Christoffel Error! Bookmark not defined 1.4.3 Đạo hàm hiệp biến tenxơ hạng Error! Bookmark not defined 1.4.4 Đạo hàm hiệp biến tenxơ hạng hai Error! Bookmark not defined Chƣơng - MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH TENXƠError! Bookmark not defined 2.1 Ứng dụng tenxơ xác định phƣơng trình cân bằng- chuyển động Error! Bookmark not defined 2.2 Ứng dụng tenxơ xác định thành phần liên hệ biến dạng- chuyển vị Error! Bookmark not defined 2.3 Ứng dụng tenxơ toán vỏ mỏng Error! Bookmark not defined 2.3.1 Trình bày lý thuyết vỏ mỏng đàn hồi Error! Bookmark not defined 2.3.2 Thành phần biến dạng vỏ mỏng Error! Bookmark not defined 2.3.3 Phƣơng trình cân Error! Bookmark not defined 2.3.4 Khai triển cho vỏ trụ, vỏ cầu Error! Bookmark not defined TỔNG QUAN Tenxơ khái niệm toán học phục vụ cho việc thiết lập giải vấn đề vật lý nhiều lĩnh vực nhƣ học môi trƣờng liên tục, lý thuyết đàn hồi, lý thuyết tƣơng đối rộng… Tenxơ lần đƣợc nghiên cứu nhà toán học Tullio Levi-Civita Gregorio Ricci- Curbastro số nhà toán học khác Trong luận văn tenxơ đƣợc sử dụng để biểu diễn quan hệ ánh xạ tập véctơ hình học Để giải toán lý thuyết đàn hồi ngƣời ta thƣờng sử dụng hệ phƣơng trình cân bằng, phƣơng trình chuyển động, hệ thức Côsi liên hệ biến dạng chuyển vị Việc thiết lập phƣơng trình dựa hệ tọa độ cong nhƣ hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu ,….là tƣơng đối phức tạp Vì báo hay giáo trình học nói chung thƣờng nêu trực tiếp phƣơng trình cân bằng, hệ thức Côsi mà không nói rõ bƣớc biến đổi để thu đƣợc kết Luận văn trình bày rõ ràng khái niệm, phép tính bản, phép biến đổi tenxơ Trên sở vận dụng phép tính tenxơ để xác định phƣơng trình liên hệ biến dạng - chuyển vị, phƣơng trình cân bằng- chuyển động hệ tọa độ cong Từ kết sau biến đổi, tác giả thu đƣợc phƣơng trình liên hệ biến dạng – chuyển vị nhƣ hệ phƣơng trình cân hệ tọa độ trụ hệ tọa độ cầu Luận văn bao gồm phần mục lục, tổng quan, hai chƣơng, phần kết luận tài liệu tham khảo Nội dung luận văn bao gồm: - Chƣơng trình bày khái niệm, thành phần vật lý tenxơ, số phép tính tenxơ đạo hàm hiệp biến ten xơ hạng nhất, hạng hai Đồng thời tác giả trình bày cách biến đổi để thu đƣợc hệ véctơ sở, tenxơ mêtric hiệp biến phản biến, thành phần kí hiệu Christoffel, hệ số Lamé hệ tọa độ cong, cụ thể hệ tọa độ trụ cầu, từ giúp ích cho việc xác định phƣơng trình cân bằng- chuyển động, phƣơng trình liên hệ biến dạng- chuyển vị chƣơng - Chƣơng vận dụng hệ thức sở phép tính tenxơ để xây dựng phƣơng trình cân bằng- chuyển động xây dựng phƣơng trình liên hệ biến dạng- chuyển vị Đồng thời trình bày ứng dụng tenxơ toán vỏ mỏng, cụ thể áp dụng khai triển cho vỏ trụ vỏ cầu Nội dung luận văn đƣợc trình bày chi tiết dƣới đây: Chƣơng - CÁC HỆ THỨC CƠ SỞ PHÉP TÍNH TENXƠ 1.1 Một số khái niệm Định nghĩa Tenxơ trƣờng hợp riêng hệ thống phần tử, thành phần hệ số hàm số xác định hệ sở cho, với phép biến đổi tuyến tính hệ sở thành thay đổi theo quy luật xác định Hệ thống kí hiệu Các kí hiệu hệ thống đặc trƣng hay nhiều số dƣới Ví dụ nhƣ Theo quy ƣớc: số chữ la tinh lấy cá giá trị 1,2,3 Ví dụ, kí hiệu nghĩa biểu thị phần tử , , , biểu thị phần tử , Hạng tenxơ Hạng tenxơ xác định số lƣợng số kí hiệu tenxơ Nhƣ vào số nên số nên hệ thống hạng bao gồm hạng tử hệ thống hạng bao gồm phụ thuộc phụ thuộc vào phần tử Tổng quát: hệ thống phụ thuộc n số hệ thống hạng n gồm phần tử Quy ƣớc số Chỉ số hệ thống tenxơ tuân theo quy ƣớc: “ Trong biểu thức, số lặp lại lần , biểu thị tổng từ đến 3” Chỉ số nhƣ số câm nên thay chữ khác Ví dụ: Hệ thống đối xứng Xét hệ thống hạng hai Nếu thay đổi chỗ số cho nhau, thành phần hệ thống không thay đổi dấu giá trị hệ thống gọi hệ thống đối xứng Nếu thay đổi vị trí số cho nhau, thành phần hệ thống thay đổi dấu mà không thay đổi giá trị tuyệt đối hệ thống hệ thống phản đối xứng Ví dụ hệ thống Kronecker hệ thống đối xứng Mở rộng cho hệ có nhiều hệ số Hệ thống đối xứng với hai số đấy, thành phần không thay đổi đổi chỗ hai số cho Ví dụ: Nếu hệ thống đối xứng theo số Hệ thống Levi-Civita hệ thống phản đối xứng hạng số hoán vị chẵn số 1, 2, hoán vị lẻ số 1, 2, Cụ thể: , , Cách thành phần lại Loại tenxơ Loại tenxơ (phản biến, hiệp biến, hỗn hợp) đƣợc xác định vị trí số Hệ thống hạng hai gọi tenxơ hiệp biến hạng hai Hệ thống hạng hai gọi tenxơ phản biến hạng hai Hệ thống hạng hai gọi tenxơ hỗn hợp hạng hai 1.2 Phép biến đổi tọa độ 1.2.1 Hệ tọa độ Đềcác Xét hệ tọa độ Đềcác vuông góc với véc tơ sở (Hình 1) véctơ bán kính O điểm P hệ tọa độ Đềcác Hình Véc tơ đƣợc biểu diễn dƣới dạng (1.1) Xét điểm Q lân cận điểm P độ dài bình phƣơng vô nhỏ Do hệ tọa độ Đềcác hệ véctơ sở trực giao nên tích vô hƣớng =0 , véctơ đơn vị Suy ra: a Các phép tính tenxơ hạng ( vectơ) Xét hệ thống có thành phần hệ sở Phép cộng Nhân với số Nhân vô hƣớng Nhân véctơ Hay viết dƣới dạng: nên Tích hỗn hợp Tích tenxơ ( ký hiệu tích tenxơ ) b Các phép tính tenxơ hạng hai Tenxơ hạng cao Đối với tenxơ hạng hai tenxơ hạng cao, phép tính đƣợc thực tƣơng tự nhƣ tenxơ hạng Chú ý phép tính cộng, trừ áp dụng đƣợc với tenxơ hạng loại Phép nhân thực với hai tenxơ có hạng Ví dụ: xét tenxơ hạng hai : Phép cộng Phép trừ Phép nhân vô hƣớng Tích tenxơ Phép nhân( tích tenxơ) ten xơ dẫn đến tenxơ hạng cao với ý sau phép cộng nhân tenxơ, số dƣới số dƣới, số số 1.2.2 Hệ tọa độ cong véctơ bán kính điểm P hệ tọa độ cong Biểu diễn véc tơ dƣới dạng : O Hình Hệ tọa độ cong tơ sở Lấy điểm với hệ véc (Hình 2) lân cận điểm Độ dài bình phƣơng véc tơ vô nhỏ đƣợc xác định Trong Phép tính vectơ Cho hai véctơ Phép cộng, trừ Tích vô hƣớng 1.2.3 Phép biến đổi tọa độ Bán kính điểm P hệ tọa độ Đềcác biểu diễn dƣới dạng: Với véc tơ sở Trong tọa độ cong không đổi bất kỳ, biến liên hệ với tọa đồ Đề miền xét phép biến đổi thuận nghịch liên tục vi phân đƣợc, đơn trị Jacôbiên phép biến đổi thuẩn nghịch khác không Ta có: Suy ma trận nghịch đảo Ta kí hiệu : hay (1.3) Các véctơ thay đổi từ điểm sang điểm khác gọi hệ véctơ sở hiệp biến hệ tọa độ cong Trong véc tơ tiếp tuyến với đƣờng tọa độ ; véc tơ tiếp tuyến với đƣờng tọa độ ; véc tơ tiếp tuyến với đƣờng tọa độ Cùng với hệ véctơ sở , ta đƣa vào hệ véctơ sở phản biến liên hệ theo hệ thức sau (1.4) Nếu xét lân cận vô nhỏ điểm P tọa độ cong, chuyển dịch vô nhỏ từ kính tới điểm cho ta vi phân vô nhỏ véc tơ bán điểm 10 Tài liệu tham khảo [1] Đào Huy Bích(2000), Lý thuyết đàn hồi, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [2] Đào Huy Bích, Nguyễn Đăng Bích(2003), Cơ học môi trường liên tục, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [3] A W Joshi (1995), Matrices and Tensors in Physics, 3rd ed Wiley [4] D.A Danielson(2003), Vectors and Tensor In Engineering And Physics: Second Edition, Westview Press [5] Bernard Schutz (1980), Geometrical Methods of Mathematical Physics, Cambridgr University Press [6] Gantmacher FR (1959), The Theory of Matric, Chelsea Publishing Company, New York [7] Halmos PR (1958) Finite- Dimensional Vecctor Space, Van Nostrand, New York [8] I.N Broustein, K.A Semendyayev, G Musiol,H Muehlig (2004), Handbook of Mathematics, Spinger, Berlin Heidelberg New York [9] J.H Heinbocked (2001), Introduction to Tensor Calculus and Continuum Mechanics, Trafford Publishing [10] Mikhail Itskow, Tensor Algebra and Tensor Analysis for Engineers, Spinger Dordrecht Heidelberg London New York [11] Ralph Abraham, J E Marsden, T Ratiu (1988), Tensor Analysis, and Applications, 2nd ed, Springer-Verlag, New York [12] R.Bishop, S.Goldberg (1980), Tensor Analysis on Manifolds, New York: Dover [13] R.Aris (1989), Vectors, Tensors, and the Basic Equations of Fluid Mechanics, New York: Dover [14] Sokolnikoff IS (1964), Tensor Analysis, Theory and Applications to Geometry and Mechanics of Continua, John Wiley & Sons, New York 11 ...ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - ĐÀO THỊ BÍCH THẢO PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG Mã số: 60440107 Chuyên ngành: Cơ học vật. .. cao, phép tính đƣợc thực tƣơng tự nhƣ tenxơ hạng Chú ý phép tính cộng, trừ áp dụng đƣợc với tenxơ hạng loại Phép nhân thực với hai tenxơ có hạng Ví dụ: xét tenxơ hạng hai : Phép cộng Phép trừ Phép. .. nói rõ bƣớc biến đổi để thu đƣợc kết Luận văn trình bày rõ ràng khái niệm, phép tính bản, phép biến đổi tenxơ Trên sở vận dụng phép tính tenxơ để xác định phƣơng trình liên hệ biến dạng - chuyển