CÁC HỆ THỨC CƠ SỞ PHÉP TÍNH TENXƠ
Một số khái niệm cơ bản
Tenxơ là một trường hợp đặc biệt của hệ thống phần tử, trong đó các thành phần của hệ là hằng số hoặc hàm số được xác định trong một hệ cơ sở nhất định Khi thực hiện phép biến đổi tuyến tính của hệ cơ sở, các thành phần sẽ thay đổi theo một quy luật cụ thể.
Các kí hiệu trong hệ thống đặc trưng bởi một hay nhiều chỉ số trên và dưới
Theo quy ước, các chỉ số được biểu thị bằng chữ Latin sẽ nhận giá trị từ 1 đến 3 Chẳng hạn, nếu kí hiệu đại diện cho một trong ba phần tử, thì sẽ là , , Tương tự, nếu kí hiệu đại diện cho một trong chín phần tử, nó sẽ là , , , , , , , ,
Hạng của tensor được xác định bởi số lượng chỉ số trong ký hiệu tensor Hệ thống hạng 1 có 3 hạng tử, trong khi hệ thống hạng 2, phụ thuộc vào 2 chỉ số, bao gồm 9 phần tử.
Tổng quát: hệ thống phụ thuộc n chỉ số là hệ thống hạng n gồm 3 phần tử
Quy ước về chỉ số
Trong hệ thống tenxơ, chỉ số tuân theo quy ước rằng nếu một chỉ số lặp lại hai lần trong một biểu thức, nó biểu thị tổng từ 1 đến 3 Chỉ số này được gọi là chỉ số câm và có thể được thay thế bằng ký hiệu khác.
Xét hệ thống hạng hai
Nếu hai chỉ số trong một hệ thống được hoán đổi cho nhau mà các thành phần của hệ thống không thay đổi dấu giá trị, thì hệ thống đó được gọi là hệ thống đối xứng.
Nếu hoán đổi vị trí của hai chỉ số trong hệ thống, các thành phần của hệ thống sẽ chỉ thay đổi dấu mà không làm thay đổi giá trị tuyệt đối, điều này cho thấy hệ thống đó là hệ thống phản đối xứng.
Ví dụ hệ thống Kronecker
0 , nếu nếu ≠ là hệ thống đối xứng
Mở rộng cho hệ có nhiều hệ số
Hệ thống đối xứng với hai chỉ số nào đấy, nếu thành phần của nó không thay đổi khi đổi chỗ hai chỉ số đó cho nhau
Ví dụ: Nếu hệ thống đối xứng theo 2 chỉ số ( , ) thì
Hệ thống Levi-Civita là một hệ thống phản đối xứng hạng 3
−1, khi 2 chỉ số bất kỳ bằng nhau khi , , là hoán vị chẵn của các số 1, 2, 3 khi , , là hoán vị lẻ của các số 1, 2, 3
Cách thành phần còn lại của = 0
Loại tenxơ (phản biến, hiệp biến, hỗn hợp) được xác định bởi vị trí của chỉ số
Hệ thống hạng hai gọi là tenxơ hiệp biến hạng hai
Hệ thống hạng hai gọi là tenxơ phản biến hạng hai
Hệ thống hạng hai gọi là tenxơ hỗn hợp hạng hai
Phép biến đổi tọa độ
1.2.1 Hệ tọa độ Đề các
Xét trong hệ tọa độ Đềcác vuông góc , , với véc tơ cơ sở { ⃗ , ⃗ , ⃗ } (Hình 1)
⃗ = ⃗( , , ) là véctơ bán kính của điểm P bất kỳ trong hệ tọa độ Đềcác
Véc tơ ⃗ được biểu diễn dưới dạng
Xét điểm Q là lân cận của điểm P
= ⃗ ( ⃗ = 0) là độ dài bình phương vô cùng nhỏ của ⃗
Do trong hệ tọa độ Đềcác hệ các véctơ cơ sở { ⃗ , ⃗ , ⃗ } là các véctơ đơn vị và trực giao nên tích vô hướng ⃗ ⃗=0 nếu ≠ , ⃗ ⃗ = 1 nếu = nên ⃗ ⃗ = Suy ra:
= ⃗ ⃗ = = ( ) + ( ) + ( ) a Các phép tính đối với tenxơ hạng nhất ( vectơ )
Xét một hệ thống ⃗ có các thành phần trong hệ cơ sở ⃗
Tích tenxơ ( ký hiệu tích tenxơ là ⊗)
Các phép tính đối với tenxơ hạng hai và tenxơ hạng cao được thực hiện tương tự như đối với tenxơ hạng nhất Tenxơ hạng hai có thể được kết hợp và tính toán theo các quy tắc giống như tenxơ hạng nhất, giúp đơn giản hóa quá trình xử lý và ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau.
Phép tính cộng và trừ chỉ áp dụng cho các tenxơ cùng hạng và cùng loại, trong khi phép nhân có thể thực hiện với hai tenxơ có hạng khác nhau.
Ví dụ: xét tenxơ hạng hai : = ⃗ ⃗
Phép nhân của các ten xơ dẫn đến ten xơ hạng cao hơn, trong đó chỉ số dưới và chỉ số trên vẫn giữ nguyên sau các phép cộng và nhân ten xơ.
Hệ tọa độ cong , , với hệ véc tơ cơ sở { ⃗ , ⃗ , ⃗ } (Hình 2)
⃗ = ⃗( , , ) là véctơ bán kính của điểm P bất kỳ trong hệ tọa độ cong
Biểu diễn véc tơ ⃗ dưới dạng :
Lấy điểm ( + ) là lân cận của điểm ( )
8 Độ dài bình phương của véc tơ vô cùng nhỏ ⃗ được xác định bằng
Phép tính đối với vectơ
1.2.3 Phép biến đổi tọa độ
Bán kính ⃗ của điểm P bất kỳ trong hệ tọa độ Đềcác ( , ⃗ , ⃗ , ⃗ ) biểu diễn dưới dạng:
Với các véc tơ cơ sở ⃗ là không đổi
Trong tọa độ cong, mọi biến đều liên hệ với tọa độ Đề các trong miền đang xem xét thông qua phép biến đổi vi phân liên tục và đơn trị.
Jacôbiên của 2 phép biến đổi thuẩn nghịch đều khác không
Suy ra 2 ma trận ; là nghịch đảo của nhau
= ⃗ , (1.3) Các véctơ ⃗ = ⃗ ( ) = ⃗ ( , , ) thay đổi từ điểm này sang điểm khác gọi là hệ véctơ cơ sở hiệp biến của hệ tọa độ cong Trong đó
⃗ là véc tơ tiếp tuyến với đường tọa độ ;
⃗ là véc tơ tiếp tuyến với đường tọa độ ;
⃗ là véc tơ tiếp tuyến với đường tọa độ
Cùng với hệ véctơ cơ sở ⃗, ta đưa vào hệ véctơ cơ sở phản biến ⃗ liên hệ theo hệ thức sau
Khi xem xét một lân cận rất nhỏ quanh điểm P trong tọa độ cong, sự dịch chuyển rất nhỏ từ điểm ( ) đến điểm ( + ) sẽ tạo ra vi phân rất nhỏ của véc tơ bán kính ⃗ tại điểm đó.
Vậy véctơ ⃗ được biểu diễn dưới dạng: ⃗ = ⃗
Phép biến đổi đơn trị, thuận nghịch vi phân được từ hệ tọa độ cong này ( , , ) sang hệ tọa độ cong khác ; ;
Ta kí hiệu ⃗ là các rêpe địa phương trong hệ tọa độ cong ; ; Do đó ⃗ sẽ được xác định từ biểu thức:
Thay ⃗ ở (1.3) vào ( 1.6), biểu thức trở thành:
Khai triển cụ thể sẽ được kết quả:
Ngược lại, nếu biến đổi từ hệ tọa độ cong ; ; sang hệ tọa độ cong ( , , )
Xét một véctơ (tenxơ hạng nhất) bất kỳ ⃗( , , ) Có thể biểu diễn véc tơ ⃗ dưới dạng:
Khi biến đổi từ hệ tọa độ cong này sang hệ tọa độ cong khác, véctơ ⃗ không đổi Biểu diễn ⃗ với các thành phần phản biến
Khai triển (1.11) cho biểu thức sau:
Biểu diễn ⃗ với các thành phần hiệp biến
Biểu diễn cụ thể (1.14) như sau
= + + Đối với tenxơ hạng hai
Một tenxơ hạng hai bất kỳ có thể biểu diễn dưới dạng:
Các thành phần của tenxơ bao gồm: các thành phần 2 lần phản biến, các thành phần 2 lần hiệp biến, và các thành phần 1 lần phản biến kết hợp với 1 lần hiệp biến.
Khi biến đổi từ hệ tọa độ cong này sang hệ tọa độ cong khác với cơ sở
⃗ ; ⃗ ; ⃗ tenxơ hạng 2 sẽ được biểu diễn trong hệ cơ sở mới với các thành phần 2 lần phản biến như sau:
Ví dụ nếu khai triển chi tiết thành phần ta sẽ được
Tượng tự với 8 thành phần còn lại của với chú ý là = ; ; =
Nếu biểu diễn dưới dạng các thành phần hiệp biến, tenxơ bậc 2 sẽ có dạng:
Hệ thống gồm có 9 phần tử , , , , , , , ,
Ví dụ, ta khai triển chi tiết 1 phần tử sẽ được:
Biểu diễn tenxơ hạng 2 với các thành phần 1 lần phản biến, 1 lần hiệp biến:
Tương tự đối với tenxơ hạng cao ta có:
Do các véc tơ ⃗ ; ⃗ đều là các véctơ cơ sở nên véctơ ⃗ có thể biểu diễn thông qua hệ véctơ cơ sở ⃗ và ngược lại
Nhân cả hai vế của (1.19) với ⃗ ta được
= Làm tương tự, ta nhân hai vế của ( 1.19) với ⃗
Thay các ; ; vào ( 1.19) suy ra
⃗ = ⃗ + ⃗ + ⃗ ⇒ ⃗ = ⃗ ( 1.22) Ngược lại véc tơ ⃗ có thể biểu diễn qua các cơ sở ⃗ Ví dụ
⃗ = ⃗ + ⃗ + ⃗ ( 1.23) Nhân cả 2 vế của ( 1.23) với ⃗ sẽ được
Thực hiện tương tự, nhân hai vế của ( 1.23) với ⃗ sẽ có
Từ ( 1.22) và ( 1.24) ta có phép nâng, hạ chỉ số như sau:
1.2.4 Tenxơ metric trong không gian Euclide a Tenxơ mêtric hiệp biến
Xét trong hệ tọa độ Đềcác Gọi là độ dài bình phương của véctơ vô cùng nhỏ là
Xét trong tọa độ cong ( , , )
= ⃗ ⃗ = ( 1.26) Trong đó = ⃗ ⃗ là tenxơ mêtric hiệp biến trong hệ tọa độ cong
Từ biểu thức ( 1.25) ta biến đổi
= ∙ ( 1.27) Đồng nhất (1.26) với (1.27) nhận được
Từ đó ta có các thành phần của tenxơ mêtric hiệp biến như sau
= ∙ + ∙ + ∙ b Xác định tenxơ mêtric phản biến
Hệ véctơ cơ sở phản biến ⃗ liên hệ với các véctơ cơ sở hiệp biến qua biểu thức
⃗ ⃗ = - tenxơ Kronecker Với hệ cơ sở ⃗ , ⃗ , ⃗ đã biết ta xác định được
Nếu trong hệ tọa độ cong trực giao (⃗ ⊥ ( ⃗ , ⃗ ); ⃗ ⊥ ( ⃗ ; ⃗ )), các véc tơ cơ sở ⃗ , ⃗ trùng nhau về hướng nhưng độ lớn khác nhau
Thật vậy, ta có ⃗ × ⃗ = ⃗ mà
Suy ra : ⃗ , ⃗ cùng hướng, khác nhau về độ lớn
Tương tự các cặp ⃗ , ⃗ ; ⃗ , ⃗ cũng cùng chiều và khác độ lớn
Sử dụng biểu thức (1.4) thay vào phép tính ta được:
Thực hiện tương tự ta cũng nhận được
= ⃗ ⃗ = ( ⃗ ) ⇒ ⃗ Giống như trên ta có thể suy ra ⃗ =
Hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu là hai hệ tọa độ cong trực giao Ta đi xác định tenxơ metric trong hai hệ tọa độ này
Phép biến đổi tọa độ
Suy ra từ công thức (1.31)
Thay (1.31) vào (1.29) ta có các thành phần của tenxơ mêtric hiệp biến trong hệ tọa độ trụ
Thay (1.32) vào (1.30) ta sẽ thu được các thành phần của tenxơ metric phản biến trong hệ tọa độ trụ
Trong hệ tọa độ cầu (Hình 4)
Phép biến đổi tọa độ:
Ta tính được các đạo hàm riêng
Thay (1.33) vào (1.29) ta có các thành phần tenxơ mêtric hiệp biến trong hệ tọa độ cầu
Từ đó ta có các thành phần của tenxơ mêtric phản biến trong tọa độ cong
Thành phần vật lý của tenxơ
Xét véctơ ⃗ ( tenxơ hạng nhất )
Gọi các véc tơ ∗ ⃗ , ∗ ⃗ là các véctơ phản biến và hiệp biến đơn vị
Nếu trong hệ tọa độ cong trực giao, ⃗ , ⃗ trùng nhau về hướng, khác nhau về độ lớn nên các véc tơ ∗ ⃗ , ∗ ⃗ trùng nhau Vậy = = ∗
Ta gọi ∗ là thành phần vật lý của tenxơ hạng nhất
21 gọi là hệ số Lamé Thành phần vật lý của véctơ ⃗ có dạng :
Một tenxơ hạng 2 bất kỳ có thể biểu diễn dưới dạng:
∗ là thành phần vật lý của tenxơ hạng hai
Tương tự như trên ta có thể xác định được thành phần vật lý của tenxơ hạng bất kỳ
∗ = Áp dụng đối với hệ tọa độ trụ ( , , )
= 1 , = , = 1 Đối với hệ tọa độ cầu ( , , )
Tổng kết lại ta có bảng giá trị sau:
Tọa độ trụ ( , , ) (Hình 3) Tọa độ cầu ( , , ) (Hình 4)
Đạo hàm hiệp biến
1.4.1 Đạo hàm véctơ cơ sở
Sử dụng công thức (1.3) thu được đạo hàm hiệp biến của véctơ cơ sở
Ta biểu thị ⃗ , qua các véctơ cơ sở như sau :
Các đại lượng Γ và Γ đại diện cho hệ số Christoffel loại 1 và loại 2 Để xác định các thành phần của Christoffel, ta sử dụng công thức biến đổi hệ vectơ cơ sở.
Xét trong hệ tọa độ Đềcác vuông góc với hệ véctơ cơ sở ( ⃗ , ⃗ , ⃗ )
Nhân 2 vế của (1.41) với ⃗ Do hệ cong trực giao nên ⃗ ⃗ = ⃗ ⃗ = 0, nên
Tiến hành tương tự, ta nhân lần lượt hai vế của (1.41) với ⃗ , ⃗ sẽ thu được
Công thức tổng quát là
Kí hiệu Christoffel được giới thiệu trong biểu thức (1.39) Trong mục này, chúng ta sẽ xác định các thành phần của kí hiệu này thông qua tensor metric và đạo hàm của vectơ cơ sở.
Ta đồng nhất (1.45) và (1.39) rút ra được: Γ = ∙ (1.46) a Xác định biểu thức Γ qua tenxơ mêtríc
Tương tự ta tính được :
2 , + , − , (1.47) Đạo hàm véctơ cơ sở phản biến Để xác định đạo hàm véctơ cở sở phản biến ta xuất phát từ biểu thức (1.22):
Thay (1.52) vào (1.51) cho kết quả
Thay (1.53) vào (1.50) ta nhận được:
Biểu thức (1.54) xác định thành phần của đạo hàm véctơ cơ sở phản biến, đồng thời liên hệ giữa các thành phần Γ và đạo hàm của véctơ cơ sở.
Do ta đã xác định được biểu thức
= Γ = Γ Để xét ⃗ , ⃗ ta thay ⃗ , ở biểu thức (1.45) vào tích ⃗ ⃗ , sẽ có
Vậy tổng hợp 3 biểu thức trên ta được kết quả như sau: Γ = Γ = ⃗ , ⃗ = ⃗ , ⃗ , Γ = Γ = ⃗ ⃗ , = ⃗ ⃗ , , (1.55) Γ + Γ = , Trong hệ tọa độ Đềcác vuông góc các véctơ cơ sở ⃗ không đổi, ≡
Trong hệ tọa độ cong trực giao, với ≠ ≠ thì ⃗ ⊥ ⃗ ⊥ ⃗
Thay vào công thức (1.47) suy ra: Γ = 0 ( ≠ ≠ ≠ ) (1.57)
Thay Γ = 0 vào biểu thức (1.40) suy ra Γ = 0 ( ≠ ≠ ≠ )
Sử dụng biểu thức (1.47) tính được các hạng tử Γ =1
Để tính các thành phần của kí hiệu Christoffel trong hệ tọa độ trụ và cầu, chúng ta sử dụng bảng giá trị ở bảng 1 Từ đó, ta tính được các ⃗ , ; ⃗ , và thay vào công thức (1.58) để có được kết quả.
Trong hệ tọa độ trụ,cầu có 27 thành phần Γ nhưng do tính chất Γ = Γ ; Γ = Γ
(9 cặp) nên ta chỉ cần tính 18 thành phần Christoffel
Trong hệ tọa độ trụ ( Christoffel loại hai Γ )
Theo (1.55) ta có Γ = ⃗ ⃗ , = 0 , Γ = Γ = ⃗ ⃗ , = ⃗ ⃗ , = 0 , Γ = Γ = ⃗ ⃗ , = ⃗ ⃗ , = 0 , Γ = ⃗ ⃗ , = 0, Γ = ⃗ ⃗ , = − ; ; 0 ∙ (−rcosφ; −rsinφ; 0) = 0, Γ = Γ = ⃗ ⃗ , = ⃗ ⃗ , = (0,0,1) ∙ (−sinφ; cosφ; 0) = 0, Γ = − 1
2∙ 2 = − Vậy trong hệ tọa độ trụ chỉ có 3 thành phần của kí hiệu Christoffel khác không Γ ; Γ ; Γ Γ = − , Γ = Γ =1
Trong hệ tọa độ cầu (Christoffel loại 2 Γ )
Các thành phần khác bằng 0
1.4.3 Đạo hàm hiệp biến của tenxơ hạng nhất
Trong hệ tọa độ cong với các véctơ cơ sở ⃗ tạo thành rêpe địa phương thay đổi tại từng điểm
Xét véctơ ⃗ có các thành phần phản biến ( , , )
⃗ = ⃗ Lấy vi phân biểu thức của véctơ ⃗
Sử dụng biểu thức , = Γ ⃗ suy ra
Thay (1.60) vào (1.59), biểu thức (1.59) trở thành
Biểu thức (1.63) đại diện cho đạo hàm hiệp biến của tenxơ phản biến hạng nhất trong hệ tọa độ cong Điều này được gọi là vi phân tuyệt đối của thành phần véctơ ⃗.
Trong trường hợp rêpe cố định ⃗ = 0, ⇒ Γ = 0 suy ra ∇ = ,
Xét véctơ ⃗ với các thành phần hiệp biến
⃗ = ⃗ Lấy vi phân hai vế của véctơ ⃗
= ⃗ , + Γ (1.65) Đặt: ∇ = , + Γ (1.66) là đạo hàm biệp biến của ten xơ hạng nhất a
1.4.4 Đạo hàm hiệp biến của tenxơ hạng hai
Xét đạo hàm hiệp biến của các thành phần phản biến của tenxơ hạng hai
Lấy vi phân hai vế biểu thức (1.68)
= ⃗ ⃗ + ⃗ ⃗ + ⃗ ⃗ , (1.69) ở số hạng thứ 2: ⃗ ⃗ , ta thế ⃗ ở biểu thứ (1.60) và thay = ; ; = thì số hạng thứ 2 trở thành:
⃗ ⃗ = ⃗ Γ ⃗ = Γ ⃗ ⃗ , ở số hạng thứ 3, sử dụng biểu thức (1.60) và thay các chỉ số = ; = ; thì số hạng thứ 3 trở thành:
⃗ ⃗ = ⃗ ⃗ Γ , Thay các số hạng số 2, 3 vừa biểu diễn ở trên vào biểu thức (1.69) nhận được
Vậy vi phân tuyệt đối của các thành phần của tenxơ có dạng
Và đạo hàm hiệp biến
MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH TENXƠ
Ứng dụng tenxơ xác định phương trình cân bằng- chuyển động
Trong phần này, bài luận văn áp dụng kết quả từ véctơ ứng suất, công thức Ostrogradsky-Gauss, định lý động lượng và các thành phần vật lý của tenxơ để phân tích và trình bày các khía cạnh quan trọng của nghiên cứu.
Giả sử tại thời điểm ta xét một vật có thể tích giới hạn bởi mặt của môi trường liên tục chuyển động
Vật chuyển động với vận tốc ⃗ và chịu tác động của lực khối ⃗ tại một điểm bất kỳ, nơi mà véctơ ứng suất ⃗ = ∗ tác động lên bề mặt Động lượng tổng cộng của môi trường xung quanh được ký hiệu và xác định bởi biểu thức.
Theo định lý về động lượng: biến thiên động lượng của miền nào đấy trong môi trường liên tục bằng tổng các lực tác dụng lên môi trường đó
⃗ = ⃗ + ⃗ (2.1) Áp dụng công thức Ostrogradsky- Gauss, ta đưa biểu thức tích phân mặt trong (2.1) thành biểu thức tích phân thể tích
(2.2) Xét vế trái của (2.1), ta sử dụng công thức tính đạo hàm vật chất của tích phân khối
Theo định luật bảo toàn khối lượng : khối lượng của phần môi trường vật chất giữ nguyên, không đổi trong quá trình chuyển động Do đó
Thể tích được chọn tùy ý nên
(2.3) Thay (2.2), (2.3) vào (2.1) thu được biểu thức
Do thể tích V là tùy ý nên biểu thức (2.4) tương đương
Các phương trình chuyển động của môi trường liên tục được trình bày trong (2.5) Trong đó, nhờ vào mối quan hệ ⃗ ∗ = ⃗ và việc áp dụng đạo hàm hiệp biến đối với tenxơ hạng hai, ta có thể biểu diễn các đại lượng liên quan một cách rõ ràng.
= = + ∇ , nên (2.5) được viết như sau
Viết dưới dạng toàn phần
Các phương trình ở (2.6) là các phương trình chuển động của môi trường liên tục khi chiếu lên các trục tọa độ
Biểu thức (2.6) có thể biểu diễn chi tiết bởi 3 phương trình
Nếu vận tốc của vật thể bằng không thì ⃗ = 0⃗ phương trình (2.5) có dạng
Phương trình (2.7) là phương trình cân bằng của môi trường liên tục
Xác định phương trình chuyển động trong hệ tọa độ trụ ( , , )
36 Áp dụng biểu thức đạo hàm hiệp biến của ten xơ hạng hai (1.72) ta có
Trong hệ tọa độ trụ chỉ có 3 thành phần Christoffel (Γ = − , Γ = Γ = ) là khác không, còn lại là bằng không
Ta sử dụng kết quả đã thống kê trong bảng 1: = 1; = ; = 1
Từ đó ta thay i, j=1 vào (2.8) với lưu ý = , Γ = Γ sẽ thu đượ c
= + 2(Γ + Γ + Γ ) Áp dụng thành phần vật lý của tenxơ hạng hai:
Thay i=2, j=1 vào (2.8) và thay thành phần vật lý của tenxơ hạng hai như trên ta có
, Áp dụng tương tự ta tính được các giá trị còn lại
Thay thế các giá trị của ∇ vào phương trình đầu tiên trong (2.6), sau đó tiếp tục thay các giá trị ∇ vào phương trình thứ hai và thứ ba, chúng ta sẽ nhận được kết quả cuối cùng.
Vậy phương trình chuyển động trong hệ tọa độ trụ được biểu diễn bởi các phương trình
Với cách làm tương tự như trên ta có thể viết được phương trình chuyển động trong hệ tọa độ cầu ( , , ) = ( , , )
Trong hệ tọa độ cầu có = 1; = ; =
Có 9 thành phần của ký hiệu Christoffel Γ khác không, còn lại bằng không Γ = − Γ = − Γ = Γ =1 Γ = Γ Γ = Γ =1 Γ = −
Ta cũng áp dụng biểu thức (2.8) tính được
Ta thay các ∇ lần lượt vào các phương trình của (2.6) như sau
= ρ Vậy ta xác định được các phương trình chuyển động trong hệ tọa đồ cầu
Qua các phép tính toán, chúng ta đã xác định được các phương trình chuyển động trong hệ tọa độ trụ và cầu, tương ứng với các phương trình đã nêu ở (2.9) và (2.10).
Ứng dụng tenxơ xác định các thành phần liên hệ biến dạng- chuyển vị
Tenxơ biến dạng nhỏ trong hệ tọa độ cong bất kỳ được cho bởi biểu thức
Thay biểu thức đạo hàm đạo hàm hiệp biến của tenxơ hạng nhất (1.60) vào (2.11) ta thu được =1
Trong hệ trực giao, chúng ta áp dụng biểu thức (1.58) từ chương 1 vào (2.12) để xác định các thành phần vật lý của tenxơ biến dạng Khi thay các giá trị = 1, = 1, = 1, 2, 3 vào (2.12), biểu thức sẽ trở thành = , − Γ = , − Γ − Γ = + 1.
2 ( ) + 1 2 ( ) = + ( ) + ( ) , ∗ ∗ + ( ) ∗ + ( ) ∗ , ∗ = 1 ∗ + ∗ + ∗ (2.13) Với ta thay = 2, = 2, = 1,2, 3 (Γ = 0) vào (2.12) thu được = , − Γ = , − Γ − Γ = + 1
(2.14) Với ta thay = 3, = 3, = 1, 2,3 (Γ = 0) vào (2.12) có biểu thức
Với ta thay = 1, = 2, = 1, 2 (vì hệ trực giao nên Γ = 0) vào (2.12) nhận được
(2.16) Với , ta thay = 1; 2, = 3, = 1, 3; 2, 3 vào (1.30), chú ý vì hệ trực giao nên Γ = Γ = 0 và làm tương tự ta có
Tổng hợp các công thức (2.13)-(2.18) thu được các thành phần vật lý của tenxơ biến dạng
Xét trong hệ tọa độ trụ ( , , ) = ( , , )
Theo bảng 1 ở chương 1, ta có
Ta thay các giá trị ∗ , ∗ , tương ứng vào biểu thức (2.19) sẽ được
Các tenxơ trên là các tenxơ biến dạng trong hệ tọa độ trụ, ta có thể viết gọn lại như sau
Với cách tính như trong hệ tọa trụ, ta hoàn toàn có thể áp dụng được đối với hệ tọa độ cầu
Xét trong hệ tọa độ cầu ( , , ) = ( , , )
Theo bảng 1 ở chương 1, ta có
Ta thay các giá trị ∗ , ∗ , tương ứng vào biểu thức (2.19) sẽ được
Tổng hợp các biểu thức trên ta được các thành phần của tenxơ biến dạng trong hệ tọa độ cầu
Ứng dụng tenxơ trong bài toán vỏ mỏng
2.3.1 Trình bày lý thuyết vỏ mỏng đàn hồi
Vỏ mỏng là vật thể giới hạn bởi hai mặt cong, độ dày của vỏ nhỏ so với các kích thước khác
Mặt chia đôi độ dày của vỏ được gọi là mặt giữa, và tùy thuộc vào hình dạng của mặt giữa, chúng ta có thể phân loại vỏ thành vỏ cầu, vỏ nón, và các loại khác Trong bài viết này, chúng ta sẽ chỉ xem xét vỏ có độ dày không đổi.
Vectơ bán kính điểm ⃗ = ⃗ của mặt giữa là hàm ( , ) Trong đó , là hai thông số tạo thành hệ tọa độ cong của các điểm trên mặt Ta có
Khi đó phần tử đường được xác định bởi công thức
2.3.2 Thành phần biến dạng của vỏ mỏng
Vỏ mỏng đàn hồi tuân theo giả thiết rằng đoạn thẳng vật chất giao với mặt giữa trước khi biến dạng sẽ vẫn giữ tính thẳng và trực giao với mặt giữa sau khi biến dạng, theo giả thiết pháp tuyến thẳng của Kirchhoff.
Thành phần ứng suất theo pháp tuyến với mặt giữa nhỏ so với các thành phần ứng suất khác nên có thể bỏ qua
Chọn hệ trục tọa độ như sau trục
= trực giao với mặt giữa, trục
= , = hướng theo đường chính khúc ( đường có tiếp tuyến tại mỗi điểm trùng với phương chính) của mặt giữa( Hình 6)
Ta sử dụng công thức (2.19) để xác định thành phần biến dạng của vỏ mỏng
Vỏ có độ dày nhỏ nên
Trong đó , là chuyển dịch của điểm trên mặt giữa, tức là với = 0
Theo giả thiết thứ nhất, đoạn thẳng vật chất trực giao với mặt giữa trước khi biến dạng sẽ tiếp tục giữ nguyên sự trực giao với mặt giữa sau khi biến dạng, từ đó dẫn đến hiện tượng biến dạng trượt.
Thay các giá trị ∗ , ∗ , ∗ ở công thức (2.34) vào các giá trị ∗ , ∗ trong (2.19 ) ta suy ra
Hệ số nhân biến đổi của mặt song song và cách mặt giữa một khoảng có dạng
Trong đó: , là hệ số nhân biến đổi tọa độ trong biểu thức phần tử đường mặt giữa
, là bán kính chính khúc
Sử dụng công thức (2.37) thay vào công thức (2.36) và cho = 0 ta xác định được
Thay các giá trị ở (2.38) vào (2.34) ta nhận được thành phần chuyển dịch theo các hướng ,
Do ≪ , nên bỏ qua số hạng nhỏ , , thay (2.39) và (2.37) vào (2.19 ) với chú ý ∗ = ∗ = ∗ = 0
Có thể viết dưới dạng đơn giản
Trong đó , , là chuyển dịch mặt giữa,
, , biểu thị biến dạng mặt giữa,
, , là biến thiên của độ cong mặt giữa,
, là hệ số nhân biến đổi tọa độ trong biểu thức phần tử đường của mặt giữa,
, là bán kính chính khúc
2.3.3 Phương trình cân bằng Để khảo sát các thành phần cân bằng, ta khảo sát các thành phần lực tác dụng vào phần tử vỏ lấy trục , hướng theo tiếp tuyến với các đường cong tọa độ , Tổng các lực theo trục = 0
Tổng các lực theo trục = 0
Tổng các lực theo trục = 0
2.3.4 Khai triển cho vỏ trụ, vỏ cầu a Vỏ trụ Đối với vỏ trụ tròn ta chọn hệ tọa độ như sau ( Hình 7)
Chọn đường tọa độ trùng với đường sinh của trụ tròn và đường tròn trong mặt phẳng vuông góc với trục Bán kính của trụ tròn được xác định, do đó phần tử đường có dạng cụ thể.
Các thành phần biến dạng của vỏ trụ xác định theo công thức (2.40) x ds a
Thay các đại lượng ở (2.47) vào công thức (2.41) ta thu được kết quả sau
Vậy ta có các thành phần biến dạng của vỏ trụ
2 Phương trình cân bằng của vỏ trụ tròn được xác định theo các công thức (2.42)- (2.46)
Thay các đại lượng ở (2.47) vào các công thức (2.42)-(2.46) và chú ý , = , = , = , = + + = 0,
Chọn hệ trục tọa độ như sau (Hình 8)
Trục là tiếp truyến với đường cong tọa độ
Trục là tiếp tuyến của đường cong tọa độ
Bán kính vỏ cầu , khi đó phần tử đường có dạng
Các thành phần biến dạng của vỏ cầu được xác định theo công thức (2.40) Ta thay các đại lượng ở (2.51) vào (2.41) thu được
Vậy các thành phần tenxơ biến dạng của hệ tọa độ cầu ds
Các phương trình cân bằng của vỏ cầu mỏng được xác định theo công thức (2.42)-
Mômen đối với trục là đại lượng nhỏ bậc cao nên bỏ qua
Luận văn trình bày các khái niệm và phép tính cơ bản liên quan đến tenxơ, cùng với các phép biến đổi của chúng Dựa trên những kiến thức này, tác giả áp dụng các phép tính tenxơ để xác định các phương trình liên hệ giữa biến dạng và chuyển vị, cũng như các phương trình cân bằng và chuyển động trong hệ tọa độ cong bất kỳ Kết quả từ các phép biến đổi đã cho phép thu được các phương trình tính biến dạng và chuyển vị, cũng như hệ phương trình cân bằng trong hệ tọa độ trụ và cầu.
Luận văn đã đạt được một số kết quả sau: i Trình bày các phép biến đổi để thu được
- Các véctơ cơ sở hiệp biến, phản biến của hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu
- Các thành phần của tenxơ mêtric hiệp biến trong hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu
- Các thành phần của tenxơ mêtric phản biến trong hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu
- Các hệ số Lamé trong hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu
- Dẫn ra được các biểu thức liên hệ giữa các thành phần Christoffel và đạo hàm của véctơ cơ sở
- Xác định được các thành phần của kí hiệu Christoffel trong hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu
Bài viết này trình bày biểu thức đạo hàm hiệp biến của tenxơ hạng nhất và hạng hai, cùng với phương trình chuyển động trong hệ tọa độ trụ và hệ tọa độ cầu Ngoài ra, bài viết cũng hướng dẫn cách tính các thành phần của tenxơ biến dạng trong hai hệ tọa độ này Cuối cùng, nội dung sẽ vận dụng các phép tính cơ sở của tenxơ vào bài toán vỏ trụ tròn và vỏ cầu, giúp người đọc hiểu rõ hơn về ứng dụng thực tiễn của tenxơ trong cơ học.
Những hướng nghiên cứu tiếp theo bao gồm việc áp dụng phương pháp số để giải gần đúng một số bài toán về tải đơn giản của vỏ trụ và vỏ cầu theo các phương pháp đã được thiết lập Bên cạnh đó, nghiên cứu cũng sẽ tập trung vào việc giải gần đúng các bài toán đàn hồi cho bản chữ nhật và bản tròn dựa trên các phương trình đã được xác định.