Phép tính tenxơ và một số ứng dụng trong cơ học vật rắn biến dạng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ----------------- ĐÀO THỊ BÍCH THẢO PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội- Năm 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ----------------- ĐÀO THỊ BÍCH THẢO PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG Mã số: 60440107 Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS VŨ ĐỖ LONG Hà Nội- Năm 2014 LỜI CẢM ƠN Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy PGS.TS Vũ Đỗ Long tận tình hƣớng dẫn, tạo điều kiện thuận lợi thƣờng xuyên động viên để tác giả hoàn thành luận văn này. Tác giả trân trọng cảm ơn thầy, cô giáo Bộ môn Cơ học, Trƣờng đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN thầy, cô Khoa Toán – Cơ – Tin học quan tâm, giúp đỡ tạọ điều kiện thuận lợi suốt thời gian tác giả học tập nghiên cứu Khoa. Tác giả xin cảm ơn nhà khoa học, thầy cô giáo seminar Cơ học vật rắn biến dạng có góp ý quý báu trình tác giả thực luận văn. Tác giả xin cảm ơn thầy, cô giáo, cán Phòng Sau đại học, Trƣờng Đại học Khoa học Tự nhiên – ĐHQGHN tạo điều kiện thuận lợi trình nghiên cứu tác giả. Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình bạn bè thân thiết tác giả, ngƣời bên cạnh động viên giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn này. Tác giả Đào Thị Bích Thảo MỤC LỤC TỔNG QUAN .1 Chƣơng - CÁC HỆ THỨC CƠ SỞ PHÉP TÍNH TENXƠ 1.1 Một số khái niệm 1.2. Phép biến đổi tọa độ .5 1.2.1. Hệ tọa độ Đề 1.2.2. Hệ tọa độ cong .7 1.2.3. Phép biến đổi tọa độ 1.2.4 Tenxơ metric không gian Euclide .14 1.3. Thành phần vật lý tenxơ .20 1.3.1. Tenxơ hạng 20 1.3.2. Tenxơ hạng hai 21 1.3.3. Khai triển cụ thể .21 1.4. Đạo hàm hiệp biến 23 1.4.1. Đạo hàm véctơ sở .23 1.4.2. Kí hiệu Christoffel .25 1.4.3. Đạo hàm hiệp biến tenxơ hạng 31 1.4.4. Đạo hàm hiệp biến tenxơ hạng hai 32 Chƣơng - MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH TENXƠ .33 2.1. Ứng dụng tenxơ xác định phƣơng trình cân bằng- chuyển động. .33 2.2. Ứng dụng tenxơ xác định thành phần liên hệ biến dạng- chuyển vị .42 2.3. Ứng dụng tenxơ toán vỏ mỏng 48 2.3.1 Trình bày lý thuyết vỏ mỏng đàn hồi .48 2.3.2. Thành phần biến dạng vỏ mỏng 49 2.3.3. Phƣơng trình cân .52 2.3.4 Khai triển cho vỏ trụ, vỏ cầu 53 TỔNG QUAN Tenxơ khái niệm toán học phục vụ cho việc thiết lập giải vấn đề vật lý nhiều lĩnh vực nhƣ học môi trƣờng liên tục, lý thuyết đàn hồi, lý thuyết tƣơng đối rộng… Tenxơ lần đƣợc nghiên cứu nhà toán học Tullio Levi-Civita Gregorio Ricci- Curbastro số nhà toán học khác. Trong luận văn tenxơ đƣợc sử dụng để biểu diễn quan hệ ánh xạ tập véctơ hình học. Để giải toán lý thuyết đàn hồi ngƣời ta thƣờng sử dụng hệ phƣơng trình cân bằng, phƣơng trình chuyển động, hệ thức Côsi liên hệ biến dạng chuyển vị. Việc thiết lập phƣơng trình dựa hệ tọa độ cong nhƣ hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu ,….là tƣơng đối phức tạp. Vì báo hay giáo trình học nói chung thƣờng nêu trực tiếp phƣơng trình cân bằng, hệ thức Côsi mà không nói rõ bƣớc biến đổi để thu đƣợc kết quả. Luận văn trình bày rõ ràng khái niệm, phép tính bản, phép biến đổi tenxơ. Trên sở vận dụng phép tính tenxơ để xác định phƣơng trình liên hệ biến dạng - chuyển vị, phƣơng trình cân bằng- chuyển động hệ tọa độ cong bất kỳ. Từ kết sau biến đổi, tác giả thu đƣợc phƣơng trình liên hệ biến dạng – chuyển vị nhƣ hệ phƣơng trình cân hệ tọa độ trụ hệ tọa độ cầu. Luận văn bao gồm phần mục lục, tổng quan, hai chƣơng, phần kết luận tài liệu tham khảo. Nội dung luận văn bao gồm: - Chƣơng trình bày khái niệm, thành phần vật lý tenxơ, số phép tính tenxơ đạo hàm hiệp biến ten xơ hạng nhất, hạng hai. Đồng thời tác giả trình bày cách biến đổi để thu đƣợc hệ véctơ sở, tenxơ mêtric hiệp biến phản biến, thành phần kí hiệu Christoffel, hệ số Lamé hệ tọa độ cong, cụ thể hệ tọa độ trụ cầu, từ giúp ích cho việc xác định phƣơng trình cân bằng- chuyển động, phƣơng trình liên hệ biến dạng- chuyển vị chƣơng 2. - Chƣơng vận dụng hệ thức sở phép tính tenxơ để xây dựng phƣơng trình cân bằng- chuyển động xây dựng phƣơng trình liên hệ biến dạng- chuyển vị. Đồng thời trình bày ứng dụng tenxơ toán vỏ mỏng, cụ thể áp dụng khai triển cho vỏ trụ vỏ cầu. Nội dung luận văn đƣợc trình bày chi tiết dƣới đây: Chƣơng - CÁC HỆ THỨC CƠ SỞ PHÉP TÍNH TENXƠ 1.1 Một số khái niệm Định nghĩa Tenxơ trƣờng hợp riêng hệ thống phần tử, thành phần hệ số hàm số xác định hệ sở cho, với phép biến đổi tuyến tính hệ sở thành thay đổi theo quy luật xác định. Hệ thống kí hiệu Các kí hiệu hệ thống đặc trƣng hay nhiều số dƣới. Ví dụ nhƣ𝑎𝑖 , 𝑎𝑖 , 𝑎𝑖𝑗 , 𝑎𝑖𝑗 . Theo quy ƣớc: số chữ la tinh lấy cá giá trị 1,2,3. Ví dụ, kí hiệu 𝑎𝑖 nghĩa biểu thị phần tử 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 . 𝑎𝑖𝑗 biểu thị phần tử 𝑎11 , 𝑎12 ,𝑎13 , 𝑎21 ,𝑎22 , 𝑎23 ,𝑎31 , 𝑎32 ,𝑎33 . Hạng tenxơ Hạng tenxơ xác định số lƣợng số kí hiệu tenxơ. Nhƣ𝑎𝑖 phụ thuộc vào số nên 𝑎𝑖 hệ thống hạng bao gồm hạng tử. 𝑎𝑖𝑗 phụ thuộc vào số(𝑖, 𝑗) nên𝑎𝑖𝑗 hệ thống hạng bao gồm 32 = phần tử. Tổng quát: hệ thống phụ thuộc n số hệ thống hạng n gồm 3𝑛 phần tử. Quy ƣớc số Chỉ số hệ thống tenxơ tuân theo quy ƣớc: “ Trong biểu thức, số lặp lại lần , biểu thị tổng từ đến 3”. Chỉ số nhƣ số câm nên thay chữ khác. Ví dụ: 𝑎𝑖 𝑏𝑖 = 𝑎𝑗 𝑏𝑗 = 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3 . Hệ thống đối xứng Xét hệ thống hạng hai𝑎𝑖𝑗 Nếu thay đổi chỗ số cho nhau, thành phần hệ thống không thay đổi dấu giá trị hệ thống 𝑎𝑖𝑗 gọi hệ thống đối xứng. 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 . Nếu thay đổi vị trí số cho nhau, thành phần hệ thống thay đổi dấu mà không thay đổi giá trị tuyệt đối hệ thống 𝑎𝑖𝑗 hệ thống phản đối xứng. 𝑎𝑖𝑗 = −𝑎𝑗𝑖 . Ví dụ hệ thống Kronecker 𝛿𝑖𝑗 = 1, 0, 𝑖 = 𝑗 𝑖 ≠ 𝑗 hệ thống đối xứng Mở rộng cho hệ có nhiều hệ số Hệ thống đối xứng với hai số đấy, thành phần không thay đổi đổi chỗ hai số cho nhau. Ví dụ: Nếu hệ thống 𝑎𝑖𝑗𝑘 đối xứng theo số ( 𝑖, 𝑗 ) 𝑎𝑖𝑗𝑘 = 𝑎𝑖𝑗𝑘 . Hệ thống Levi-Civita hệ thống phản đối xứng hạng 𝑒𝑖𝑗𝑘 0, = 1, −1, số 𝑖, 𝑗, 𝑘 hoán vị chẵn số 1, 2, 3. 𝑖, 𝑗, 𝑘 hoán vị lẻ số 1, 2, Cụ thể:𝑒123 = 𝑒231 = 𝑒312 = , 𝑒132 = 𝑒213 = 𝑒321 = −1, Cách thành phần lại 𝑒𝑖𝑗𝑘 = 0. Loại tenxơ Loại tenxơ (phản biến, hiệp biến, hỗn hợp) đƣợc xác định vị trí số. Hệ thống hạng hai𝑎𝑖𝑗 gọi tenxơ hiệp biến hạng hai. Hệ thống hạng hai𝑎𝑖𝑗 gọi tenxơ phản biến hạng hai. Hệ thống hạng hai𝑎𝑗𝑖 gọi tenxơ hỗn hợp hạng hai 1.2. Phép biến đổi tọa độ 1.2.1. Hệ tọa độ Đềcác Xét hệ tọa độ Đềcác vuông góc 𝑦 𝑦1 , 𝑦 , 𝑦 với véc tơ sở 𝑒1 , 𝑒2 , 𝑒3 (Hình 1) 𝒆𝟑 𝑦 𝒆𝟏 𝑅 = 𝑅 (𝑦1 , 𝑦 , 𝑦 ) véctơ bán kính O 𝒆𝟐 𝑦2 điểm P hệ tọa độ Đềcác. Hình 1. Véc tơ 𝑅 đƣợc biểu diễn dƣới dạng 𝑅 = 𝑦1 𝑒1 + 𝑦 𝑒2 + 𝑦 𝑒3 = 𝑦 𝑖 𝑒𝑖 𝑖 = 1,2,3 . (1.1) Xét điểm Q lân cận điểm P. 𝑃𝑄 = 𝑑𝑅 = 𝑑 𝑦 𝑖 𝑒𝑖 = 𝑦 𝑖 𝑑𝑒𝑖 + 𝑒𝑖 𝑑𝑦 𝑖 = 𝑒𝑖 𝑑𝑦 𝑖 . (𝑑𝑜𝑑𝑒𝑖 = 0) 𝑑𝑠 độ dài bình phƣơng vô nhỏ 𝑃𝑄 𝑑𝑠 = 𝑑𝑅 . 𝑑𝑅 = 𝑒𝑖 𝑑𝑦 𝑖 . 𝑒𝑖 𝑑𝑦 𝑖 = 𝑒𝑖 . 𝑒𝑗 𝑑𝑦 𝑖 𝑑𝑦 𝑗 Do hệ tọa độ Đềcác hệ véctơ sở 𝑒1 , 𝑒2 , 𝑒3 véctơ đơn vị trực giao nên tích vô hƣớng𝑒𝑖 . 𝑒𝑗 =0 𝑖 ≠ 𝑗, 𝑒𝑖 . 𝑒𝑗 = 𝑖 = 𝑗 nên 𝑒𝑖 . 𝑒𝑗 = 𝛿𝑖𝑗 . Suy ra: 𝑑𝑠 = 𝑒𝑖 . 𝑒𝑗 𝑑𝑦 𝑖 𝑑𝑦 𝑗 = 𝛿𝑖𝑗 𝑑𝑦 𝑖 𝑑𝑦 𝑗 = 𝑑𝑦 𝑖 𝑑𝑦 𝑖 = 𝑑𝑦1 + 𝑑𝑦 + 𝑑𝑦 . a. Các phép tính tenxơ hạng ( vectơ) Xét hệ thống𝑎 có thành phần 𝑎𝑖 hệ sở 𝑒𝑖 . Phép cộng 𝑎 + 𝑏 = 𝑎𝑖 𝑒𝑖 + 𝑏𝑖 𝑒𝑖 = 𝑎𝑖 + 𝑏𝑖 𝑒𝑖 = 𝑎1 + 𝑏1 𝑒1 + 𝑎2 + 𝑏2 𝑒2 + 𝑎3 + 𝑏3 𝑒3 . Nhân với số 𝜆𝑎 = 𝜆 𝑎𝑖 𝑒𝑖 = 𝜆𝑎𝑖 𝑒𝑖 = 𝜆𝑎1 𝑒1 + 𝜆𝑎2 𝑒2 + 𝜆𝑎3 𝑒3 . Nhân vô hƣớng 𝑎. 𝑏 = 𝑎𝑖 𝑒𝑖 . 𝑏 𝑗 𝑒𝑗 = 𝑎𝑖 𝑏 𝑗 𝑒𝑖 . 𝑒𝑗 = 𝑎𝑖 𝑏 𝑗 𝛿𝑖𝑗 = 𝑎 𝑖 𝑏 𝑖 = 𝑎1 𝑏1 + 𝑎 𝑏 + 𝑎 𝑏 . Nhân véctơ 𝑒1 𝑎 × 𝑏 = 𝑎1 𝑏1 𝑒2 𝑎2 𝑏2 𝑒3 𝑎3 𝑏3 = 𝑎2 𝑏3 − 𝑎3 𝑏2 𝑒1 + 𝑎3 𝑏1 − 𝑎1 𝑏3 𝑒2 + 𝑎1 𝑏2 − 𝑎2 𝑏1 𝑒3 . Hay viết dƣới dạng: 𝑎 × 𝑏 = 𝑎𝑖 𝑒𝑖 × 𝑏 𝑗 𝑒𝑗 = 𝑎𝑖 𝑏 𝑗 𝑒𝑖 × 𝑒𝑗 = 𝑎𝑖 𝑏 𝑗 𝑒𝑖𝑗𝑘 𝑒𝑘 𝐿𝑒−𝐶𝑖 = 𝑎1 𝑏2 𝑒3 − 𝑎2 𝑏1 𝑒3 − 𝑎1 𝑏3 𝑒2 − 𝑎3 𝑏2 𝑒1 + 𝑎2 𝑏3 𝑒1 + 𝑎3 𝑏1 𝑒2 = 𝑎2 𝑏3 − 𝑎3 𝑏2 𝑒1 + 𝑎3 𝑏1 − 𝑎1 𝑏3 𝑒2 + 𝑎1 𝑏2 − 𝑎2 𝑏1 𝑒3 . Tích hỗn hợp 𝑎 × 𝑏 𝑐 = 𝑒𝑖𝑗𝑘 𝑎𝑖 𝑏 𝑗 𝑒𝑘 . 𝑐 𝑚 𝑒𝑚 = 𝑒𝑖𝑗𝑘 𝑎𝑖 𝑏 𝑗 𝑐 𝑚 𝑒𝑘 . 𝑒𝑚 = 𝑒𝑖𝑗𝑘 𝑎𝑖 𝑏 𝑗 𝑐 𝑚 𝛿𝑘𝑚 = 𝑒𝑖𝑗𝑘 𝑎𝑖 𝑏 𝑗 𝑐 𝑘 = 𝑎1 𝑏 𝑐 − 𝑎1 𝑏 𝑐 − 𝑎 𝑏1 𝑐 + 𝑎 𝑏 𝑐 + 𝑎 𝑏1 𝑐 − 𝑎 𝑏 𝑐 = 𝑎1 𝑏 𝑐 + 𝑎 𝑏 𝑐 + 𝑎 𝑏1 𝑐 − 𝑎1 𝑏 𝑐 − 𝑎 𝑏1 𝑐 − 𝑎 𝑏 𝑐 . Tích tenxơ ( ký hiệu tích tenxơ ⊗) 𝑎⨂𝑏 = 𝑎𝑖 𝑒𝑖 ⊗ 𝑏 𝑗 𝑒𝑗 = 𝑎𝑖 𝑏 𝑗 𝑒𝑖 ⨂𝑒𝑗 = 𝑎1 𝑏1 𝑒1 ⨂𝑒1 + 𝑎1 𝑏2 𝑒1 ⨂𝑒2 + 𝑎1 𝑏3 𝑒1 ⨂𝑒3 + 𝑎2 𝑏1 𝑒2 ⨂𝑒1 + 𝑎2 𝑏2 𝑒2 ⨂𝑒2 +𝑎2 𝑏3 𝑒2 ⨂𝑒3 + 𝑎3 𝑏1 𝑒3 ⨂𝑒1 + 𝑎3 𝑏2 𝑒3 ⨂𝑒2 + 𝑎3 𝑏3 𝑒3 ⨂𝑒3 b. Các phép tính tenxơ hạng hai. Tenxơ hạng cao Đối với tenxơ hạng hai tenxơ hạng cao, phép tính đƣợc thực tƣơng tự nhƣ tenxơ hạng nhất. Chú ý phép tính cộng, trừ áp dụng đƣợc với tenxơ hạng loại. Phép nhân thực với hai tenxơ có hạng bất kỳ. Ví dụ: xét tenxơ hạng hai : 𝔸 = 𝑎𝑖𝑗 𝑒𝑖 𝑒𝑗 𝑒𝑖𝑗 = ∇ 𝑢 + ∇𝑗 𝑢𝑖 . 𝑖 𝑗 (2.11) Thay biểu thức đạo hàm đạo hàm hiệp biến tenxơ hạng (1.60) vào (2.11) ta thu đƣợc 𝑢 − Γ𝑗𝑖𝑘 𝑢𝑘 + 𝑢𝑖,𝑗 − Γ𝑖𝑗𝑘 𝑢𝑘 , 𝑗 ,𝑖 𝑒𝑖𝑗 = 𝑢𝑖,𝑗 + 𝑢𝑗 ,𝑖 − Γ𝑗𝑖𝑘 𝑢𝑘 𝑒𝑖𝑗 = (2.12) Trong hệ trực giao, áp dụng biểu thức (1.58)ở chƣơng vào (2.12) để thiết lập thành phần vật lý tenxơ biến dạng. Với 𝑒11 ta thay 𝑖 = 1, 𝑗 = 1, 𝑘 = 1, 2, vào (2.12) biểu thức trở thành 𝑘 𝑒11 = 𝑢1,1 − Γ11 𝑢𝑘 = 𝑢1,1 − Γ11 𝑢2 − Γ11 𝑢3 𝜕𝑢1 𝜕 𝐴12 𝜕 𝐴12 = 1+ 𝑢 + 𝑢 𝜕𝑥 2𝐴2 𝜕𝑥 2 2𝐴23 𝜕𝑥 3 = ∗ 𝐴12 𝑒11 𝜕𝑢1 𝐴1 𝜕 𝐴1 𝐴1 𝜕 𝐴1 + 𝑢 + 𝑢 , 2 𝜕𝑥 𝐴2 𝜕𝑥 𝐴23 𝜕𝑥 3 𝜕𝑢1∗ 𝐴1 𝜕 𝐴1 𝐴1 𝜕 𝐴1 ∗ = 𝐴1 + 𝐴 𝑢 + 𝐴 𝑢∗ , 2 𝜕𝑥 𝐴2 𝜕𝑥 𝐴23 𝜕𝑥 3 ∗ 𝑒11 𝜕𝑢1∗ 𝑢2∗ 𝜕𝐴1 𝑢3∗ 𝜕𝐴1 = + + . 𝐴1 𝜕𝑥 𝐴1 𝐴2 𝜕𝑥 𝐴1 𝐴3 𝜕𝑥 (2.13) Với 𝑒22 ta thay 𝑖 = 2, 𝑗 = 2, 𝑘 = 1,2, (Γ22 = 0) vào (2.12) thu đƣợc 𝑘 𝑒22 = 𝑢2,2 − Γ22 𝑢𝑘 = 𝑢2,2 − Γ22 𝑢1 − Γ22 𝑢3 𝜕𝑢2 𝜕 𝐴22 𝜕 𝐴22 = 2+ 𝑢 + 𝑢 𝜕𝑥 2𝐴1 𝜕𝑥 1 2𝐴23 𝜕𝑥 3 = ∗ 𝐴22 𝑒22 ∗ 𝑒22 𝜕𝑢2 𝐴2 𝜕 𝐴2 𝐴2 𝜕 𝐴2 + 𝑢 + 𝑢 , 𝜕𝑥 𝐴1 𝜕𝑥 𝐴23 𝜕𝑥 3 𝜕𝑢2∗ 𝐴2 𝜕 𝐴2 𝐴2 𝜕 𝐴2 ∗ = 𝐴2 + 𝐴 𝑢 + 𝐴3 𝑢3∗ , 1 𝜕𝑥 𝐴1 𝜕𝑥 𝐴3 𝜕𝑥 𝜕𝑢2∗ 𝑢1∗ 𝜕𝐴2 𝑢3∗ 𝜕𝐴2 = + + . 𝐴2 𝜕𝑥 𝐴1 𝐴2 𝜕𝑥 𝐴2 𝐴3 𝜕𝑥 (2.14) Với 𝑒33 ta thay 𝑖 = 3, 𝑗 = 3, 𝑘 = 1, 2,3(Γ33 = 0)vào (2.12) có biểu thức 𝑘 𝑒33 = 𝑢3,3 − Γ33 𝑢𝑘 = 𝑢3,3 − Γ33 𝑢1 − Γ33 𝑢2 43 = 𝜕𝑢3 𝜕 𝐴23 𝜕 𝐴23 + 𝑢 + 𝑢 𝜕𝑥 2𝐴12 𝜕𝑥 1 2𝐴22 𝜕𝑥 2 = 𝜕𝑢3 𝐴3 𝜕 𝐴3 𝐴3 𝜕 𝐴3 + 𝑢 + 𝑢 , 𝜕𝑥 𝐴12 𝜕𝑥 𝐴22 𝜕𝑥 2 ∗ 𝐴23 𝑒33 ∗ 𝑒33 𝜕𝑢3∗ 𝐴3 𝜕 𝐴3 𝐴3 𝜕 𝐴3 ∗ = 𝐴3 + 𝐴 𝑢 + 𝐴 𝑢∗ , 𝜕𝑥 𝐴1 𝜕𝑥 1 𝐴22 𝜕𝑥 2 𝜕𝑢3∗ 𝑢1∗ 𝜕𝐴3 𝑢2∗ 𝜕𝐴3 = + + ∙ 𝐴3 𝜕𝑥 𝐴1 𝐴3 𝜕𝑥 𝐴2 𝐴3 𝜕𝑥 (2.15) Với 𝑒12 ta thay 𝑖 = 1, 𝑗 = 2, 𝑘 = 1, (vì hệ trực giao nên Γ12 = 0) vào (2.12) nhận đƣợc = = 𝑒12 = ∗ 𝐴1 𝐴2 𝑒12 ∗ 𝑒12 ∗ 𝑒12 𝑘 𝑢1,2 + 𝑢2,1 − Γ12 𝑢𝑘 𝜕𝑢1 𝜕𝑢2 + − Γ12 𝑢1 − Γ12 𝑢2 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑢1 𝜕𝑢2 1 + − 𝑔11,2 𝑢1 − 𝑔 𝑢 𝜕𝑥 𝜕𝑥 2𝑔11 2𝑔22 22,1 = 𝜕𝑢1 𝜕𝑢2 ∂ A21 ∂ A22 + − 𝑢 − 𝑢 𝜕𝑥 𝜕𝑥 2A21 𝜕𝑥 2A22 𝜕𝑥 = 𝜕𝑢1 𝜕𝑢2 𝑢1 𝜕𝐴1 𝑢2 𝜕𝐴2 + − − . 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝐴1 𝜕𝑥 𝐴2 𝜕𝑥 𝜕 𝐴1 𝑢1∗ 𝜕 𝐴2 𝑢2∗ = + 𝜕𝑥 𝜕𝑥 − 𝑢1∗ 𝜕𝐴1 𝜕𝐴2 ∗ − 𝑢 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑢1∗ 𝜕𝐴1 𝜕𝑢2∗ 𝜕𝐴2 𝜕𝐴1 𝜕𝐴2 ∗ = 𝐴1 + 𝑢1 + 𝐴2 + 𝑢2∗ − 𝑢1∗ − 𝑢2∗ 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑢1∗ 𝜕𝐴1 𝜕𝑢2∗ 𝜕𝐴2 ∗ = 𝐴1 − 𝑢1 + 𝐴2 − 𝑢2∗ , 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 ∗ ∗ ∗ 1 𝜕𝑢1 𝑢1 𝜕𝐴1 𝜕𝑢2 𝑢2∗ 𝜕𝐴2 = − + − , 𝐴2 𝜕𝑥 𝐴1 𝐴2 𝜕𝑥 𝐴1 𝜕𝑥 𝐴1 𝐴2 𝜕𝑥 1 𝐴2 𝜕 𝑢2∗ 𝐴1 𝜕 𝑢1∗ = + 𝐴1 𝜕𝑥 𝐴2 𝐴2 𝜕𝑥 𝐴1 . (2.16) Với 𝑒13 , 𝑒23 ta thay 𝑖 = 1; 2, 𝑗 = 3, 𝑘 = 1, 3; 2, vào (1.30), ý hệ trực giao nên Γ13 = Γ23 = làm tƣơng tự 𝑒12 ta có 44 ∗ 𝑒13 𝐴1 𝜕 𝑢1∗ 𝐴3 𝜕 𝑢3∗ = + . 𝐴3 𝜕𝑥 𝐴1 𝐴1 𝜕𝑥 𝐴3 (2.17) ∗ 𝑒23 𝐴3 𝜕 𝑢3∗ 𝐴2 𝜕 𝑢2∗ = + . 𝐴2 𝜕𝑥 𝐴3 𝐴3 𝜕𝑥 𝐴2 (2.18) Tổng hợp công thức (2.13)-(2.18) thu đƣợc thành phần vật lý tenxơ biến dạng ∗ 𝑒11 𝜕𝑢1∗ 𝑢2∗ 𝜕𝐴1 𝑢3∗ 𝜕𝐴1 = + + , 𝐴1 𝜕𝑥 𝐴1 𝐴2 𝜕𝑥 𝐴1 𝐴3 𝜕𝑥 ∗ 𝑒22 𝜕𝑢2∗ 𝑢1∗ 𝜕𝐴2 𝑢3∗ 𝜕𝐴2 = + + , 𝐴2 𝜕𝑥 𝐴1 𝐴2 𝜕𝑥 𝐴2 𝐴3 𝜕𝑥 ∗ 𝑒33 𝜕𝑢3∗ 𝑢1∗ 𝜕𝐴3 𝑢2∗ 𝜕𝐴3 = + + , 𝐴3 𝜕𝑥 𝐴1 𝐴3 𝜕𝑥 𝐴2 𝐴3 𝜕𝑥 ∗ 𝑒12 𝐴2 𝜕 𝑢2∗ 𝐴1 𝜕 𝑢1∗ = + 𝐴1 𝜕𝑥 𝐴2 𝐴2 𝜕𝑥 𝐴1 , ∗ 𝑒23 𝐴3 𝜕 𝑢3∗ 𝐴2 𝜕 𝑢2∗ = + 𝐴2 𝜕𝑥 𝐴3 𝐴3 𝜕𝑥 𝐴2 , ∗ 𝑒13 𝐴1 𝜕 𝑢1∗ 𝐴3 𝜕 𝑢3∗ = + . 𝐴3 𝜕𝑥 𝐴1 𝐴1 𝜕𝑥 𝐴3 (2.19) Xét hệ tọa độ trụ 𝑥 , 𝑥 , 𝑥 = 𝑟, 𝜑, 𝑧 𝑢1∗ = 𝑢𝑟 , ∗ 𝜀11 = 𝜀𝑟𝑟 , ∗ 𝜀12 = 𝜀𝑟𝜑 , 𝑢2∗ = 𝑢𝜑 ∗ 𝜀22 = 𝜀𝜑𝜑 , ∗ 𝜀23 = 𝜀𝜑𝑧 , 𝑢3∗ = 𝑢𝑧 , ∗ 𝜀33 = 𝜀𝑧𝑧 , ∗ 𝜀13 = 𝜀𝑧𝑟 , 𝐴2 = 𝑟, 𝐴3 = 1, Theo bảng chƣơng 1, ta có 𝐴1 = 1, Ta thay giá trị 𝑢𝑖∗ , 𝜀𝑖𝑗∗ , 𝐴𝑖 tƣơng ứng vào biểu thức (2.19) đƣợc 𝜀𝑟𝑟 = 𝜕𝑢𝑟 𝑢𝜑 𝜕1 𝑢𝑧 𝜕1 𝜕𝑢𝑟 + + = 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜑 𝜕𝑧 𝜕𝑟 𝜀𝜑𝜑 = 𝜕𝑢𝜑 𝑢𝑟 𝜕𝑟 𝑢𝑧 𝜕𝑟 𝜕𝑢𝜑 𝑢𝑟 + + = + , 𝑟 𝜕𝜑 𝑟 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝑧 𝑟 𝜕𝜑 𝑟 45 𝜀𝑧𝑧 = 𝜕𝑢𝑧 𝑢𝑟 𝜕1 𝑢𝜑 𝜕1 𝜕𝑢𝑧 + + = , 𝜕𝑧 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜑 𝜕𝑧 𝜀𝑟𝜑 = 𝑟 𝜕 𝑢𝜑 𝜕 𝑢𝑟 + 𝜕𝑟 𝑟 𝑟 𝜕𝜑 = 𝜕𝑢𝜑 1 𝜕𝑢𝑟 𝑟∙ 𝑟 − 𝑢𝜑 + 𝑟 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜑 = 𝜕𝑢𝜑 𝜕𝑢𝑟 𝑢𝜑 + − , 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜑 𝑟 𝜀𝜑𝑧 = = 1 𝜕 𝑢𝑧 𝑟 𝜕 𝑢𝜑 + 𝑟 𝜕𝜑 1 𝜕𝑧 𝑟 1 𝜕𝑢𝑧 𝜕𝑢𝜑 + , 𝑟 𝜕𝜑 𝜕𝑧 = ∗ 𝑒13 = 𝜕 𝑢𝑟 𝜕 𝑢𝑧 + 𝜕𝑧 1 𝜕𝑟 𝜕𝑢𝑟 𝜕𝑢𝑧 + . 𝜕𝑧 𝜕𝑟 Các tenxơ tenxơ biến dạng hệ tọa độ trụ, ta viết gọn lại nhƣ sau 𝜀𝑟𝑟 = 𝜕𝑢𝑟 𝑢𝜑 𝜕1 𝑢𝑧 𝜕1 𝜕𝑢𝑟 + + = 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜑 𝜕𝑧 𝜕𝑟 𝜀𝜑𝜑 = 𝜕𝑢𝜑 𝑢𝑟 𝜕𝑟 𝑢𝑧 𝜕𝑟 𝜕𝑢𝜑 𝑢𝑟 + + = + , 𝑟 𝜕𝜑 𝑟 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝑧 𝑟 𝜕𝜑 𝑟 𝜀𝑧𝑧 = 𝜕𝑢𝑧 𝑢𝑟 𝜕1 𝑢𝜑 𝜕1 𝜕𝑢𝑧 + + = , 𝜕𝑧 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜑 𝜕𝑧 𝜀𝑟𝜑 = 𝜕𝑢𝜑 𝜕𝑢𝑟 𝑢𝜑 + − , 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜑 𝑟 𝜀𝜑𝑧 = 1 𝜕𝑢𝑧 𝜕𝑢𝜑 + , 𝑟 𝜕𝜑 𝜕𝑧 ∗ 𝑒13 = 𝜕𝑢𝑟 𝜕𝑢𝑧 + . 𝜕𝑧 𝜕𝑟 (2.30) Với cách tính nhƣ hệ tọa trụ, ta hoàn toàn áp dụng đƣợc hệ tọa độ cầu. Xét hệ tọa độ cầu 𝑥 , 𝑥 , 𝑥 = 𝑟, 𝜃, 𝜑 46 𝑢1∗ = 𝑢𝑟 , ∗ 𝜀11 = 𝜀𝑟𝑟 , ∗ 𝜀12 = 𝜀𝑟𝜃 , 𝑢2∗ = 𝑢𝜃 , ∗ 𝜀22 = 𝜀𝜃𝜃 , ∗ 𝜀23 = 𝜀𝜃𝜑 , 𝑢3∗ = 𝑢𝜑 , ∗ 𝜀33 = 𝜀𝜑𝜑 , ∗ 𝜀13 = 𝜀𝑟𝜑 . Theo bảng chƣơng 1, ta có 𝐴1 = 1, 𝐴2 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑, 𝐴3 = 𝑟. Ta thay giá trị 𝑢𝑖∗ , 𝜀𝑖𝑗∗ , 𝐴𝑖 tƣơng ứng vào biểu thức (2.19) đƣợc 𝜀𝑟𝑟 = 𝜕𝑢𝑟 𝑢𝜃 𝜕1 𝑢𝜑 𝜕1 𝜕𝑢𝑟 + + = , 𝜕𝑟 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 𝜕𝜃 𝑟 𝜕𝜑 𝜕𝑟 𝜀𝜃𝜃 = 𝑢𝜑 𝜕 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 𝜕𝑢𝜃 𝑢𝑟 𝜕 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 + + 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 𝜕𝜃 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 𝜕𝑟 𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜑 𝜕𝜑 = 𝜕𝑢𝜃 𝑢𝑟 𝑐𝑜𝑡𝜑 + + 𝑢𝜑 , 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 𝜕𝜃 𝑟 𝑟 𝜀𝜑𝜑 = 𝜕𝑢𝜑 𝑢𝑟 𝜕𝑟 𝑢𝜃 𝜕𝑟 𝜕𝑢𝜑 𝑢𝑟 + + = + , 𝑟 𝜕𝜑 𝑟 𝜕𝑟 𝑟 𝑠𝑖𝑛𝜑 𝜕𝜃 𝑟 𝜕𝜑 𝑟 𝜀𝑟𝜃 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 𝜕 𝑢𝜃 𝜕 𝑢𝑟 + 𝜕𝑟 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 𝜕𝜃 = 1 𝜕𝑢𝜃 𝜕 𝑢𝑟 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 ∙ 2 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 − 𝑢𝜃 𝑠𝑖𝑛𝜑 + 𝜕𝑟 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 𝜕𝜃 𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜑 = 𝜕𝑢𝜃 𝑢𝜃 𝜕 𝑢𝑟 − + , 𝜕𝑟 𝑟 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 𝜕𝜃 𝜀𝜃𝜑 = 𝑟 𝜕 𝑢𝜑 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 𝜕 𝑢𝜃 + 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 𝜕𝜃 𝑟 𝑟 𝜕𝜑 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 = 1 𝜕 𝑢𝜑 𝜕𝑢𝜃 + 𝑠𝑖𝑛𝜑 ∙ 2 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 − 𝑢𝜃 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 𝜕𝜃 𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜑 𝜕𝜑 = 1 𝜕 𝑢𝜑 𝜕𝑢𝜃 𝑐𝑜𝑡𝜑 + − 𝑢𝜃 , 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 𝜕𝜃 𝑟 𝜕𝜑 𝑟 𝜀𝑟𝜑 = 1 𝜕 𝑢𝑟 𝑟 𝜕 𝑢𝜑 + 𝑟 𝜕𝜑 1 𝜕𝑟 𝑟 = 𝜕 𝑢𝜑 1 𝜕 𝑢𝑟 𝜕𝑟 +𝑟∙ 𝑟 − 𝑢𝜑 𝑟 𝜕𝜑 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 = 𝑢𝜑 1 𝜕 𝑢𝑟 𝜕 𝑢𝜑 + − . 𝑟 𝜕𝜑 𝜕𝑟 𝑟 47 Tổng hợp biểu thức ta đƣợc thành phần tenxơ biến dạng hệ tọa độ cầu 𝜀𝑟𝑟 = 𝜕𝑢𝑟 𝑢𝜃 𝜕1 𝑢𝜑 𝜕1 𝜕𝑢𝑟 + + = , 𝜕𝑟 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 𝜕𝜃 𝑟 𝜕𝜑 𝜕𝑟 𝜀𝜃𝜃 = 𝜕𝑢𝜃 𝑢𝑟 𝑐𝑜𝑡𝜑 + + 𝑢𝜑 , 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 𝜕𝜃 𝑟 𝑟 𝜀𝜑𝜑 = 𝜕𝑢𝜑 𝑢𝑟 + , 𝑟 𝜕𝜑 𝑟 𝜀𝑟𝜃 = 𝜕𝑢𝜃 𝑢𝜃 𝜕 𝑢𝑟 − + , 𝜕𝑟 𝑟 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 𝜕𝜃 𝜀𝜃𝜑 = 1 𝜕 𝑢𝜑 𝜕𝑢𝜃 𝑐𝑜𝑡𝜑 + − 𝑢𝜃 , 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑 𝜕𝜃 𝑟 𝜕𝜑 𝑟 𝜀𝑟𝜑 = 𝑢𝜑 1 𝜕 𝑢𝑟 𝜕 𝑢𝜑 + − . 𝑟 𝜕𝜑 𝜕𝑟 𝑟 (2.31) 2.3. Ứng dụng tenxơ toán vỏ mỏng 2.3.1 Trình bày lý thuyết vỏ mỏng đàn hồi Vỏ mỏng vật thể giới hạn hai mặt cong, độ dày vỏ nhỏ so với kích thƣớc khác. Mặt chia đôi độ dày vỏ gọi mặt giữa. Tùy thuộc vào dạng mặt phân biệt vỏ cầu, vỏ nón,v v… Ở xét vỏ có độ dày không đổi. 𝜉1 𝜉2 P Vectơ bán kính điểm 𝑟 = 𝑂𝑃 mặt 𝜉1 + 𝑑𝜉1 hàm𝑟 𝜉1 , 𝜉2 .Trong 𝜉1 , 𝜉2 𝑃 𝑑𝒓 𝑟 𝑄 hai thông số tạo thành hệ tọa độ cong điểm mặt. Ta có 𝜉2 + 𝑑𝜉2 𝑑𝑟 = 𝑟 + 𝑑𝑟 O 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑑𝜉1 + 𝑑𝜉 . 𝜕𝜉1 𝜕𝜉2 Hình Khi phần tử đƣờng đƣợc xác định công thức 𝑑𝑠 = 𝑑𝑟. 𝑑𝑟 = 𝐸𝑑𝜉12 + 2𝐹𝑑𝜉1 𝑑𝜉2 + 𝐺𝑑𝜉22 . 48 (2.32) Với 𝐸= 𝜕𝑟 𝜕𝑟 ∙ , 𝜕𝜉1 𝜕𝜉1 𝐹= 𝜕𝑟 𝜕𝑟 ∙ , 𝜕𝜉1 𝜕𝜉2 𝐺= 𝜕𝑟 𝜕𝑟 ∙ . 𝜕𝜉2 𝜕𝜉2 (2.33) 2.3.2. Thành phần biến dạng vỏ mỏng Vỏ mỏng đàn hồi sử dụng giả thiết Đoạn thẳng vật chất giao với mặt trƣớc biến dạng thẳng trực giao với mặt sau biến dạng ( giả thiết pháp tuyến thẳng Kirchhoff). Thành phần ứng suất theo pháp tuyến với mặt nhỏ so với thành phần ứng suất khác nên bỏ qua. Chọn hệ trục tọa độ nhƣ sau trục 𝑧 = 𝑥 trực giao với mặt giữa, trục 𝑜 𝑥 = 𝜉1 , 𝑥 = 𝜉2 hƣớng theo đƣờng 𝑥 = 𝜉2 𝑥1 = 𝜉1 𝑥3 = 𝑧 khúc ( đƣờng có tiếp tuyến điểm trùng với phƣơng chính) Hình mặt giữa( Hình 6). Ta sử dụng công thức (2.19) để xác định thành phần biến dạng vỏ mỏng. Vỏ có độ dày nhỏ nên 𝑢1∗ ≡ 𝑢𝜉1 ≈ 𝑢𝜉01 + 𝑧 𝑢2∗ ≡ 𝑢𝜉2 ≈ 𝑢𝜉02 + 𝑧 𝜕𝑢𝜉1 𝜕𝑧 𝜕𝑢𝜉2 𝜕𝑧 , 𝑧=0 , (2.34) 𝑧=0 𝑢3∗ ≡ 𝑢𝑧 ≈ 𝑢𝑧0 . Trong 𝑢𝜉01 , 𝑢𝜉02 chuyển dịch điểm mặt giữa, tức với 𝑧 = 0. Theo giả thiết thứ “ đoạn thẳng vật chất trực giao với mặt trƣớc biến dạng trực giao với mặt sau biến dạng” dẫn đến biến dạng trƣợt ∗ ∗ 𝑒13 = 𝑒23 = 𝑧 = 0. ∗ ∗ Thay giá trị 𝑢1∗ , 𝑢2∗ , 𝑢3∗ công thức (2.34) vào giá trị 𝑒13 , 𝑒23 (2.19 ) ta suy 49 𝐴1 𝜕 𝑢𝜉1 𝐴3 𝜕 𝑢𝑧 + 𝐴3 𝜕𝑧 𝐴1 𝐴1 𝜕𝜉1 𝐴3 = 0, 𝐴3 𝜕 𝑢𝑧 𝐴2 𝜕 𝑢𝜉2 = + 𝐴2 𝜕𝜉2 𝐴3 𝐴3 𝜕𝑧 𝐴2 = 0, ∗ 𝑒13 = ∗ 𝑒23 (2.35) hay 𝑢𝜉1 𝜕𝐴1 𝐴3 𝜕 𝑢𝑧 1 𝜕𝑢𝜉1 − + 𝐴3 𝜕𝑧 𝐴1 𝐴3 𝜕𝑧 𝐴1 𝜕𝜉1 𝐴3 = 0, 𝑢𝜉2 𝜕𝐴2 𝐴3 𝜕 𝑢𝑧 1 𝜕𝑢𝜉2 = − + 𝐴3 𝜕𝑧 𝐴2 𝐴3 𝜕𝑧 𝐴2 𝜕𝜉2 𝐴3 = 0. ∗ 𝑒13 = ∗ 𝑒23 (2.36) Hệ số nhân biến đổi mặt song song cách mặt khoảng 𝑧 có dạng 𝑧 𝐴3 = 1; 𝐴1 = 𝛼1 − ; 𝑅1 (2.37) 𝑧 𝐴2 = 𝛼2 − ; 𝑅2 Trong đó: 𝛼1 , 𝛼2 hệ số nhân biến đổi tọa độ biểu thức phần tử đƣờng mặt giữa. 𝑅1 , 𝑅2 bán kính khúc. Sử dụng công thức (2.37) thay vào công thức (2.36) cho 𝑧 = ta xác định đƣợc 𝜕𝑢𝜉1 𝜕𝑧 =− 𝑧=0 𝜕𝑢𝜉2 𝜕𝑧 =− 𝑧=0 𝑢𝜉01 𝑅1 𝑢𝜉02 𝑅1 − − 𝜕𝑢𝑧 , 𝛼1 𝜕𝜉1 (2.38) 𝜕𝑢𝑧 . 𝛼2 𝜕𝜉2 Thay giá trị (2.38) vào (2.34) ta nhận đƣợc thành phần chuyển dịch theo hƣớng 𝜉1 , 𝜉2 . 𝑢𝜉 = 𝑢𝜉01 −𝑧 𝑢𝜉2 = 𝑢𝜉02 − 𝑧 𝑢𝜉01 𝑅1 𝑢𝜉02 𝑅2 Do 𝑧 ≪ 𝑅1 , 𝑅2 nên bỏ qua số hạng nhỏ + + 𝑧 𝜕𝑢𝑧 , 𝛼1 𝜕𝜉1 (2.39) 𝜕𝑢𝑧 . 𝛼2 𝜕𝜉2 , 𝑧 𝑅1 𝑅2 ∗ ∗ ∗ ý 𝑒13 = 𝑒23 = 𝑒33 = 0. 50 , thay (2.39) (2.37) vào (2.19 ) với ∗ 𝑒11 𝑢𝜉01 𝜕 𝜕𝑢𝑧 = 𝑢𝜉 − 𝑧 + 𝛼1 𝜕𝜉1 𝑅1 𝛼1 𝜕𝜉1 + 𝑢𝜉02 𝜕𝛼1 𝜕𝑢𝑧 + 𝑢𝜉 − 𝑧 + 𝛼1 𝛼2 𝜕𝜉2 𝑅1 𝛼2 𝜕𝜉2 𝑢𝑧 𝛼1 − 𝛼1 𝑅1 𝑢𝜉02 𝜕𝛼1 𝑢𝑧 𝜕𝑢𝜉1 = + − 𝛼1 𝜕𝜉1 𝛼1 𝛼2 𝜕𝜉2 𝑅1 0 𝜕 𝑢𝜉 1 𝜕𝑢𝑧 𝜕𝛼1 𝑢𝜉2 𝜕𝑢𝑧 −𝑧 + + + 𝛼1 𝜕𝜉1 𝑅1 𝛼1 𝜕𝜉1 𝛼1 𝛼2 𝜕𝜉2 𝑅2 𝛼2 𝜕𝜉2 ∗ 𝑒22 , 𝑢𝜉02 𝜕 𝜕𝑢𝑧 = 𝑢𝜉 − 𝑧 + 𝛼2 𝜕𝜉2 𝑅2 𝛼2 𝜕𝜉2 𝑢𝜉01 𝜕𝛼2 𝜕𝑢𝑧 𝑢𝑧 𝛼2 + 𝑢𝜉 − 𝑧 + + − 𝛼1 𝛼2 𝜕𝜉1 𝑅1 𝛼1 𝜕𝜉1 𝛼2 𝑅2 𝑢𝜉01 𝜕𝛼2 𝑢𝑧 𝜕𝑢𝜉02 = + − 𝛼2 𝜕𝜉2 𝛼1 𝛼2 𝜕𝜉1 𝑅2 𝜕 𝑢𝜉02 𝜕𝑢𝑧 𝜕𝛼2 𝑢𝜉02 𝜕𝑢𝑧 −𝑧 + + + 𝛼2 𝜕𝜉2 𝑅2 𝛼2 𝜕𝜉2 𝛼1 𝛼2 𝜕𝜉1 𝑅1 𝛼1 𝜕𝜉1 ∗ 𝑒12 , 𝑢𝜉02 𝛼2 𝜕 1 𝜕𝑢𝑧 = 𝑢𝜉 − 𝑧 + 𝛼1 𝜕𝜉1 𝛼2 𝑅2 𝛼2 𝜕𝜉2 𝑢𝜉01 𝛼1 𝜕 1 𝜕𝑢𝑧 + 𝑢𝜉 − 𝑧 + 𝛼2 𝜕𝜉2 𝛼1 𝑅1 𝛼1 𝜕𝜉1 𝛼2 𝜕 𝑢𝜉02 𝛼1 𝜕 𝑢𝜉01 = + 𝛼1 𝜕𝜉1 𝛼2 𝛼2 𝜕𝜉2 𝛼1 𝑢𝜉02 𝑢𝜉01 𝑧 𝛼2 𝜕 𝜕𝑢𝑧 𝛼1 𝜕 𝜕𝑢𝑧 − + + + 2 𝛼1 𝜕𝜉1 𝛼2 𝑅2 𝛼2 𝜕𝜉2 𝛼2 𝜕𝜉2 𝛼1 𝑅1 𝛼1 𝜕𝜉1 Có thể viết dƣới dạng đơn giản ∗ 𝑒11 = 𝑒11 − 𝑧𝜒1 , ∗ 𝑒22 = 𝑒22 − 𝑧𝜒2 , ∗ 𝑒12 = 𝑒12 − 𝑧𝜒12 . 51 (2.40) . Với 𝑒11 𝑢𝜉02 𝜕𝛼1 𝑢𝑧 𝜕𝑢𝜉01 = + − , 𝛼1 𝜕𝜉1 𝛼1 𝛼2 𝜕𝜉2 𝑅1 𝑒22 𝑢𝜉01 𝜕𝛼2 𝑢𝑧 𝜕𝑢𝜉2 = + − , 𝛼2 𝜕𝜉2 𝛼1 𝛼2 𝜕𝜉1 𝑅2 𝑒12 0 𝛼 𝜕 𝑢𝜉 𝛼1 𝜕 𝑢𝜉1 = + 𝛼1 𝜕𝜉1 𝛼2 𝛼2 𝜕𝜉2 𝛼1 , 0 𝜕 𝑢𝜉 1 𝜕𝑢𝑧 𝜕𝛼1 𝑢𝜉2 𝜕𝑢𝑧 𝜒1 = + + + 𝛼1 𝜕𝜉1 𝑅1 𝛼1 𝜕𝜉1 𝛼1 𝛼2 𝜕𝜉2 𝑅2 𝛼2 𝜕𝜉2 , 𝜕 𝑢𝜉02 𝜕𝑢𝑧 𝜕𝛼2 𝑢𝜉02 𝜕𝑢𝑧 𝜒2 = + + + 𝛼2 𝜕𝜉2 𝑅2 𝛼2 𝜕𝜉2 𝛼1 𝛼2 𝜕𝜉1 𝑅1 𝛼1 𝜕𝜉1 , 𝜒12 𝑢𝜉02 𝑢𝜉01 𝛼2 𝜕 𝜕𝑢𝑧 𝛼1 𝜕 𝜕𝑢𝑧 = + + + 2 𝛼1 𝜕𝜉1 𝛼2 𝑅2 𝛼2 𝜕𝜉2 𝛼2 𝜕𝜉2 𝛼1 𝑅1 𝛼1 𝜕𝜉1 (2.41) . Trong 𝑢𝜉01 , 𝑢𝜉02 , 𝑢𝑧 chuyển dịch mặt giữa, 0 𝑒11 , 𝑒22 , 𝑒12 biểu thị biến dạng mặt giữa, 𝜒1 , 𝜒2 , 𝜒12 biến thiên độ cong mặt giữa, 𝛼1 , 𝛼2 hệ số nhân biến đổi tọa độ biểu thức phần tử đƣờng mặt giữa, 𝑅1 , 𝑅2 bán kính khúc. 2.3.3. Phƣơng trình cân Để khảo sát thành phần cân bằng, ta khảo sát thành phần lực tác dụng vào phần tử vỏ. lấy trục 𝑂𝑥, 𝑂𝑦 hƣớng theo tiếp tuyến với đƣờng cong tọa độ 𝜉1 , 𝜉2 . Tổng lực theo trục 𝑂𝑥 = 0. 𝜕 𝑁1 𝛼2 𝜕 𝑁21 𝛼1 𝜕𝛼2 𝜕𝛼1 𝛼1 𝛼2 + − 𝑁2 + 𝑁12 − 𝑄1 + 𝑝1 𝛼1 𝛼2 = 0. 𝜕𝜉1 𝜕𝜉2 𝜕𝜉1 𝜕𝜉2 𝑅1 (2.42) Tổng lực theo trục 𝑂𝑦 = 0. 𝜕 𝑁1 𝛼2 𝜕 𝑁12 𝛼2 𝜕𝛼1 𝜕𝛼2 𝛼1 𝛼2 + − 𝑁1 + 𝑁21 − 𝑄2 + 𝑝2 𝛼1 𝛼2 = . 𝜕𝜉1 𝜕𝜉1 𝜕𝜉2 𝜕𝜉1 𝑅2 (2.43) Tổng lực theo trục 𝑂𝑧 = 0. 𝜕 𝛼2 𝑄1 𝜕 𝛼1 𝑄2 𝛼1 𝛼2 𝛼1 𝛼2 + + 𝑁1 + 𝑁2 + 𝛼1 𝛼2 𝑝3 = 0. 𝜕𝜉1 𝜕𝜉2 𝑅1 𝑅2 52 (2.44) Mômen trục 𝑂𝑥 − 𝜕 𝛼2 𝑀12 𝜕 𝛼1 𝑀2 𝜕𝛼1 𝜕𝛼2 − + 𝑀1 + 𝑀21 + 𝑄2 𝛼1 𝛼2 = 0. 𝜕𝜉1 𝜕𝜉2 𝜕𝜉2 𝜕𝜉1 (2.45) Mômen trục 𝑂𝑦 − 𝜕 𝛼1 𝑀21 𝜕 𝛼2 𝑀1 𝜕𝛼2 𝜕𝛼2 − − 𝑀2 + 𝑀12 + 𝑄1 𝛼1 𝛼2 = 0. 𝜕𝜉2 𝜕𝜉1 𝜕𝜉1 𝜕𝜉2 (2.46) Momen trục 𝑂𝑧 𝑁12 − 𝑁21 − 𝑀12 𝑀21 + = 0. 𝑅1 𝑅2 (2.46𝑎) 2.3.4Khai triển cho vỏ trụ, vỏ cầu a. Vỏ trụ Đối với vỏ trụ tròn ta chọn hệ tọa độ nhƣ sau ( Hình 7) Chọn đƣờng tọa độ 𝜉1 trùng với đƣờng sinh trụ tròn, đƣờng 𝜉2 trùng với đƣờng tròn mặt phẳng thẳng góc với trục. Bán kính trụ tròn 𝑎, phần tử đƣờng có dạng 𝑑𝑠 = 𝑑𝑥 + 𝑎2 𝑑𝜃 , x ds a 𝜃 Hình suy 𝛼1 = 1, 𝜉1 = 𝑥, 𝑅1 = ∞, 𝛼2 = 𝑎. 𝜉2 = 𝜃. 𝑅2 = 𝑎. (2.47) Các thành phần biến dạng vỏ trụ xác định theo công thức (2.40). Thay đại lƣợng (2.47) vào công thức (2.41) ta thu đƣợc kết sau 53 𝜕𝑢 , 𝜕𝑥 𝜕𝑣 𝑤 = − , 𝑎 𝜕𝜃 𝑎 𝜕𝑣 𝜕𝑣 = + , 𝜕𝑥 𝑎 𝜕𝜃 𝑒𝑥𝑥 = 𝑒𝜃𝜃 𝑒𝑥𝜃 𝜒𝑥 = (2.48) 𝜕2 𝑤 , 𝜕𝑥 𝜕𝑣 𝜕 𝑤 𝜒𝜃 = + , 𝑎 𝜕𝜃 𝑎2 𝜕𝜃 𝜕𝑤 𝜒𝑥𝜃 = . 2𝑎 𝜕𝑥 Vậy ta có thành phần biến dạng vỏ trụ ∗ 𝑒𝑥𝑥 𝜕𝑢 𝜕2 𝑤 = −𝑧 , 𝜕𝑥 𝜕𝑥 ∗ 𝑒𝜃𝜃 = 𝜕𝑣 𝑤 𝜕𝑣 𝜕 𝑤 − −𝑧 + , 𝑎 𝜕𝜃 𝑎 𝑎 𝜕𝜃 𝑎2 𝜕𝜃 ∗ 𝑒𝑥𝜃 = 𝜕𝑣 𝜕𝑣 𝜕𝑤 + −𝑧 . 𝜕𝑥 𝑎 𝜕𝜃 2𝑎 𝜕𝑥 (2.49) Phƣơng trình cân vỏ trụ tròn đƣợc xác định theo công thức (2.42)(2.46). Thay đại lƣợng (2.47) vào công thức (2.42)-(2.46) ý 𝑁1 = 𝑁𝑥 , 𝑁2 = 𝑁𝜃 , 𝑁12 = 𝑁𝑥𝜃 , 𝑄1 = 𝑄𝑥 , 𝑄2 = 𝑄𝜃 . 𝜕𝑁𝑥 𝜕𝑁𝑥𝜃 + + 𝑎𝑝1 = 0, 𝜕𝑥 𝜕𝜃 𝜕𝑁𝜃𝑥 𝜕𝑁𝜃 𝑎 + − 𝑄𝜃 + 𝑎𝑝2 = 0, 𝜕𝑥 𝜕𝜃 𝜕𝑄𝑥 𝜕𝑄𝜃 𝑎 + + 𝑁𝜃 + 𝑎𝑝3 = 0, 𝜕𝑥 𝜕𝜃 𝜕𝑀𝑥𝜃 𝜕𝑀𝜃 𝑎 + + 𝑎𝑄𝜃 = , 𝜕𝑥 𝜕𝜃 𝜕𝑀𝑥 𝜕𝑀𝑥𝜃 𝑎 + − 𝑎𝑄𝑥 = 0. 𝜕𝑥 𝜕𝜃 𝑎 54 (2.50) b. Vỏ cầu Chọn hệ trục tọa độ nhƣ sau (Hình 8) r 𝑑𝜃 Trục 𝑂𝑥 tiếp truyến với đƣờng cong ds tọa độ 𝜃. Trục 𝑂𝑦 tiếp tuyến đƣờng cong R tọa độ 𝜑. 𝑑𝜑 Bán kính vỏ cầu 𝑅, phần tử đƣờng có dạng Hình 𝑑𝑠 = 𝑅2 𝑠𝑖𝑛𝜑2 𝑑 𝜃 + 𝑅2 𝑑 𝜑, suy 𝛼1 = 𝑅𝑠𝑖𝑛𝜑, 𝜉1 = 𝜃, 𝑅1 = 𝑅𝑠𝑖𝑛𝜑, 𝛼2 = 𝑅. 𝜉2 = 𝜑. 𝑅2 = 𝑅. (2.51) Các thành phần biến dạng vỏ cầu đƣợc xác định theo công thức (2.40). Ta thay đại lƣợng (2.51) vào (2.41) thu đƣợc 𝑒𝜃𝜃 = 𝜕𝑢 𝑣 𝑤 + 𝑐𝑜𝑡𝜑 − , 𝑅𝑠𝑖𝑛𝜑 𝜕𝜃 𝑅 𝑅𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑒𝜑𝜑 = 𝜕𝑣 𝑤 − , 𝑅 𝜕𝜑 𝑅 𝑒𝜃𝜑 = 1 𝜕𝑣 𝜕𝑢 𝑢 + − 𝑐𝑜𝑡𝜑 , 𝑅𝑠𝑖𝑛𝜑 𝜕𝜃 𝑅 𝜕𝜑 𝑅 (2.52) 𝜕𝑤 𝜕𝑢 𝜕 𝑤 𝜒𝜃 = 𝑣 + 𝑐𝑜𝑠𝜑 + + , 𝑅 𝜕𝜑 𝑅 𝑠𝑖𝑛𝜑2 𝜕𝜃 𝜕𝜃 𝜒𝜑 = 𝜒𝜃𝜑 𝜕𝑣 𝜕 𝑤 + 𝑅2 𝜕𝜑 𝜕𝜑2 , 1 𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝜕2 𝑤 𝑐𝑜𝑠𝜑 𝜕𝑤 = + + + 𝑢 + . 𝑅2 𝑠𝑖𝑛𝜑 𝜕𝜑 𝜕𝜃 𝜕𝜃𝜕𝜑 𝑅2 𝑠𝑖𝑛𝜑2 𝜕𝜃 Vậy thành phần tenxơ biến dạng hệ tọa độ cầu ∗ 𝑒𝜃𝜃 = 𝜕𝑢 𝑣 𝑤 + 𝑐𝑜𝑡𝜑 − 𝑅𝑠𝑖𝑛𝜑 𝜕𝜃 𝑅 𝑅𝑠𝑖𝑛𝜑 −𝑧 𝜕𝑤 𝜕𝑢 𝜕 𝑤 𝑣 + 𝑐𝑜𝑠𝜑 + + 𝑅2 𝜕𝜑 𝑅2 𝑠𝑖𝑛𝜑2 𝜕𝜃 𝜕𝜃 55 , ∗ 𝑒𝜑𝜑 = 𝜕𝑣 𝑤 𝜕𝑣 𝜕 𝑤 − −𝑧 + 𝑅 𝜕𝜑 𝑅 𝑅 𝜕𝜑 𝜕𝜑2 𝑒𝜃𝜑 = , (2.52) 𝜕𝑣 𝜕𝑢 𝑢 + − 𝑐𝑜𝑡𝜑 𝑅𝑠𝑖𝑛𝜑 𝜕𝜃 𝑅 𝜕𝜑 𝑅 𝜕𝑢 𝜕𝑣 𝜕2 𝑤 𝑐𝑜𝑠𝜑 𝜕𝑤 −𝑧 + +2 +2 𝑢 + 𝑅 𝑠𝑖𝑛𝜑 𝜕𝜑 𝜕𝜃 𝜕𝜃𝜕𝜑 𝑅 𝑠𝑖𝑛𝜑 𝜕𝜃 . Các phƣơng trình cân vỏ cầu mỏng đƣợc xác định theo công thức (2.42)(2.46) với ý 𝑁1 = 𝑁𝜃 , 𝑁2 = 𝑁𝜑 , 𝑁12 = 𝑁𝜃𝜑 , 𝑄1 = 𝑄𝜃 , 𝑄2 = 𝑄𝜑 , 𝑀1 = 𝑀𝜃 , 𝑀2 = 𝑀𝜑 𝜕𝑁𝜑𝜃 𝜕𝑁𝜃 + 𝑁𝜑𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜑 + 𝑠𝑖𝑛𝜑 + 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑁𝜃𝜑 − 𝑄𝜃 + 𝑅𝑠𝑖𝑛𝜑𝑞1 = 0, 𝜕𝜃 𝜕𝜑 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑁𝜑 + 𝑠𝑖𝑛𝜑 𝜕𝑁𝜑 𝜕𝑁𝜃𝜑 + − 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑁𝜃 − 𝑠𝑖𝑛𝜑𝑄𝜑 + 𝑅𝑠𝑖𝑛𝜑𝑞2 = 0, 𝜕𝜑 𝜕𝜑 𝑠𝑖𝑛𝜑𝑁𝜑 + 𝑁𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑄𝜑 + 𝑠𝑖𝑛𝜑 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑀𝜑 + 𝑠𝑖𝑛𝜑 𝜕𝑄𝜑 𝜕𝑄𝜃 + + 𝑅𝑠𝑖𝑛𝜑𝑞3 = , 𝜕𝜑 𝜕𝜃 𝜕𝑀𝜑 𝜕𝑀𝜃𝜑 − 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑀𝜃 + − 𝑅𝑠𝑖𝑛𝜑𝑄𝜑 = 0, 𝜕𝜑 𝜕𝜃 𝜕𝑀𝜑𝜃 𝜕𝑀𝜃 − 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑀𝜃𝜑 + 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑀𝜑𝜃 + 𝑠𝑖𝑛𝜑 + 𝑅𝑠𝑖𝑛𝜑𝑄𝜃 = 0. 𝜕𝜃 𝜕𝜑 Mômen trục 𝑂𝑧 đại lƣợng nhỏ bậc cao nên bỏ qua. 56 (2.53) Kết luận Luận văn trình bày khái niệm, phép tính bản, phép biến đổi tenxơ. Trên sở vận dụng phép tính tenxơ để xác định phƣơng trình liên hệ biến dạng - chuyển vị, phƣơng trình cân bằng- chuyển động hệ tọa độ cong bất kỳ. Từ kết sau biến đổi thu đƣợc phƣơng trình tính biến dạng – chuyển vị nhƣ hệ phƣơng trình cân hệ tọa độ trụ hệ tọa độ cầu. Luận văn đạt đƣợc số kết sau: i. Trình bày phép biến đổi để thu đƣợc - Các véctơ sở hiệp biến, phản biến hệ tọa độ trụ hệ tọa độ cầu. - Các thành phần tenxơ mêtric hiệp biến hệ tọa độ trụ hệ tọa độ cầu. - Các thành phần tenxơ mêtric phản biến hệ tọa độ trụ hệ tọa độ cầu. - Các hệ số Lamé hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu. - Dẫn đƣợc biểu thức liên hệ thành phần Christoffel đạo hàm véctơ sở. - Xác định đƣợc thành phần kí hiệu Christoffel hệ tọa độ trụ hệ tọa độ cầu. - Dẫn đƣợc biểu thức đạo hàm hiệp biến tenxơ hạng đạo hàm hiệp biến tenxơ hạng hai. ii. Trình bày đƣợc phƣơng trình chuyển động hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu, iii. Tính đƣợc thành phần tenxơ biến dạng hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu. iv. Vận dụng phép tính sở tenxơ vào toán vỏ trụ tròn, vỏ cầu. Những hƣớng nghiên cứu tiếp theo: i. Giải gần phƣơng pháp số số toán đặt tải đơn giản vỏ trụ, vỏ cầu theo phƣơng pháp thiết lập. ii. Giải gần phƣơng pháp số số toán đàn hồi cho chữ nhật tròn theo phƣơng trình thiết lập. 57 Tài liệu tham khảo [1]. Đào Huy Bích(2000), Lý thuyết đàn hồi, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội. [2]. Đào Huy Bích, Nguyễn Đăng Bích(2003), Cơ học môi trường liên tục, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội. [3]. A. W. Joshi (1995), Matrices and Tensors in Physics, 3rd ed. Wiley. [4]. D.A Danielson(2003), Vectors and Tensor In Engineering And Physics: Second Edition, Westview Press. [5]. Bernard Schutz (1980), Geometrical Methods of Mathematical Physics, Cambridgr University Press. [6]. Gantmacher FR (1959), The Theory of Matric, Chelsea Publishing Company, New York. [7]. Halmos PR (1958) Finite- Dimensional Vecctor Space, Van Nostrand, New York. [8]. I.N. Broustein, K.A. Semendyayev, G. Musiol,H. Muehlig (2004), Handbook of Mathematics, Spinger, Berlin Heidelberg New York. [9]. J.H. Heinbocked (2001), Introduction to Tensor Calculus and Continuum Mechanics, Trafford Publishing. [10]. Mikhail Itskow, Tensor Algebra and Tensor Analysis for Engineers, Spinger Dordrecht Heidelberg London New York. [11]. Ralph Abraham, J. E. Marsden, T. Ratiu (1988), Tensor Analysis, and Applications, 2nd ed, Springer-Verlag, New York. [12]. R.Bishop, S.Goldberg (1980), Tensor Analysis on Manifolds, New York: Dover. [13]. R.Aris (1989), Vectors, Tensors, and the Basic Equations of Fluid Mechanics, New York: Dover. [14]. Sokolnikoff IS (1964), Tensor Analysis, Theory and Applications to Geometry and Mechanics of Continua, John Wiley & Sons, New York. 58 [...]... dƣới dạng: 𝔸 = 𝑎 𝑖𝑗 𝑔 𝑖 𝑔 𝑗 = 𝑎 𝑖𝑗 𝑔 𝑖 𝑔 𝑗 = 𝑎 𝑗𝑖 𝑔 𝑖 𝑔 𝑗 Trong đó 𝑎 𝑖𝑗 là các thành phần 2 lần phản biến của tenxơ 𝑎 𝑖𝑗 là các thành phần 2 lần hiệp biến của tenxơ 𝑎 𝑗𝑖 là các thành phần 1 lần phản biến, 1 lần hiệp biến của tenxơ Khi biến đổi từ hệ tọa độ cong này sang hệ tọa độ cong khác với cơ sở 𝑔′ 1 ; 𝑔′ 2 ; 𝑔′ 3 tenxơ hạng 2 sẽ đƣợc biểu diễn trong hệ cơ sở mới với các thành phần 2 lần phản biến. .. 𝑘 𝑒 𝑙 Phép nhân( tích tenxơ) của các ten xơ dẫn đến tenxơ hạng cao hơn với chú ý sau các phép cộng và nhân tenxơ, chỉ số dƣới vẫn là chỉ số dƣới, chỉ số trên vẫn là chỉ số trên 1.2.2 Hệ tọa độ cong Hệ tọa độ cong 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 với hệ véc 𝑥3 tơ cơ sở 𝑔1 , 𝑔2 , 𝑔3 (Hình 2) 𝑅 = 𝑅 (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 ) là véctơ bán kính 𝑔3 𝑔2 O 𝑥1 của điểm P bất kỳ trong hệ tọa độ 𝑥 cong 2 Biểu diễn véc tơ𝑅 dƣới dạng :... = 𝛽2 Nhân 2 vế của ( 1.23) với 𝑔3 𝑔13 = 𝛽3 Thay 𝛽1 , 𝛽2 , 𝛽3 vào ( 1.23) 𝑔1 = 𝑔11 𝑔1 + 𝑔12 𝑔2 + 𝑔13 𝑔3 Hay 𝑔 𝑖 = 𝑔 𝑖𝑛 𝑔 𝑛 (1.24 ) Từ ( 1.22) và ( 1.24) ta có phép nâng, hạ chỉ số nhƣ sau: 𝑔 𝑖 = 𝑔 𝑖𝑚 𝑔 𝑚 ( phép nâng chỉ số) 𝑔 𝑖 = 𝑔 𝑖𝑛 𝑔 𝑛 ( phép hạ chỉ số) 1.2.4 Tenxơ metric trong không gian Euclide a Tenxơ mêtric hiệp biến 14 Xét trong hệ tọa độ Đềcác Gọi 𝑑𝑠 2 là độ dài bình phƣơng của véctơ... thành phần của tenxơ mêtric phản biến trong tọa độ cong 𝑔11 = 1, 𝑔22 = 1 , 𝑟 2 𝑠𝑖𝑛2 𝜑 𝑔33 = 1 , 𝑟2 𝑔12 = 𝑔21 = 𝑔13 = 𝑔31 = 𝑔23 = 𝑔32 = 0 1.3 Thành phần vật lý của tenxơ 1.3.1 Tenxơ hạng nhất Xét véctơ 𝑎 ( tenxơ hạng nhất ) 𝑎 = 𝑎 𝑖 𝑔𝑖 = 𝑎 𝑖 𝑔 𝑖 Gọi các véc tơ 𝑒 𝑖∗ , 𝑒 ∗ là các véctơ phản biến và hiệp biến đơn vị 𝑖 𝑒 𝑖∗ Suy ra: 𝑎 = 𝑎 𝑖 𝑒∗ 𝑖 = 𝑔𝑖 𝑔 𝑖𝑖 = 𝑎 𝑖 𝑒 𝑖∗ 𝑔 𝑖𝑖 𝑒∗ = 𝑖 ; 𝑔𝑖 𝑔 𝑖𝑖 𝑔 𝑖𝑖 Nếu trong hệ tọa... 𝜕𝑥 b Xác định tenxơ mêtric phản biến Hệ véctơ cơ sở phản biến 𝑔 𝑖 liên hệ với các véctơ cơ sở hiệp biến qua biểu thức 𝑔 𝑖 𝑔 𝑗 = 𝛿𝑗 𝑖 - tenxơ Kronecker Với hệ cơ sở 𝑔 𝑖 , 𝑔 𝑖 , 𝑔 𝑖 đã biết ta xác định đƣợc hay 𝑔 = 𝑔1 𝑔2 × 𝑔3 𝑔 = 𝐷𝑒𝑡 𝑔 𝑖𝑗 Đặt: 𝑔1 = 𝑔2 × 𝑔3 𝑔 ; 𝑔2 = 𝑔3 × 𝑔1 ; 𝑔3 = 𝑔 𝑔1 × 𝑔2 𝑔 (1.30) Hoặc 𝑔1 = 𝑔2 × 𝑔3 𝑔 ; 𝑔2 = 𝑔3 × 𝑔1 𝑔 ; 𝑔3 = 𝑔1 × 𝑔2 𝑔 Trong đó : 𝑔 = 𝑔1 𝑔2 × 𝑔3 = Nếu trong hệ tọa độ... ∙ = ∙ 𝑔 2 𝑔 𝑖𝑖 2𝑔 𝑖𝑖 𝑖𝑖,𝑠 c Ví dụ Để tính các thành phần của kí hiệu Christoffel trong hệ tọa độ trụ và cầu, ta sử dụng bảng giá trị 𝑔 𝑖𝑗 ở bảng 1, ta tính ra đƣợc các𝑔 𝑖𝑗 ,𝑠 ; 𝑔 𝑖,𝑗 rồi thay vào (1.58) sẽ cho ta kết quả Trong hệ tọa độ trụ,cầu có 27 thành phần Γ nhƣng do tính chất Γ𝑖𝑗𝑠 = Γ𝑗𝑖𝑠 ; Γ𝑖𝑗𝑟 = Γ𝑗𝑖𝑟 (9 cặp) nên ta chỉ cần tính 18 thành phần Christoffel Trong hệ tọa độ trụ ( Christoffel loại... sang điểm khác gọi là hệ véctơ cơ sở hiệp biến của hệ tọa độ cong Trong đó 𝑔1 là véc tơ tiếp tuyến với đƣờng tọa độ 𝑥 1 ; 𝑔2 là véc tơ tiếp tuyến với đƣờng tọa độ 𝑥 2 ; 𝑔3 là véc tơ tiếp tuyến với đƣờng tọa độ 𝑥 3 Cùng với hệ véctơ cơ sở𝑔 𝑖 , ta đƣa vào hệ véctơ cơ sở phản biến 𝑖 liên hệ theo hệ thức sau 𝑔 𝑖 𝑔 𝑗 = 𝛿𝑗 𝑖 (1.4) Nếu xét một lân cận vô cùng nhỏ của điểm P trong tọa độ cong, thì chuyển... 𝑑𝑥 𝑗 Trong đó 𝑔 𝑖𝑗 = 𝑔 𝑖 𝑔 𝑗 Phép tính đối với vectơ Cho hai véctơ𝑎 = 𝑎 𝑖 𝑔 𝑖 = 𝑎 𝑖 𝑔 𝑖 và = 𝑏 𝑖 𝑔 𝑖 = 𝑏 𝑖 𝑔 𝑖 Phép cộng, trừ 𝑎 ± 𝑏 = 𝑎 𝑖 ± 𝑏 𝑖 𝑔𝑖 = 𝑎 𝑖 ± 𝑏𝑖 𝑔 𝑖 Tích vô hƣớng 𝑎 𝑏 = 𝑎 𝑖 𝑔 𝑖 𝑏 𝑗 𝑔 𝑗 = 𝑎 𝑖 𝑏 𝑗 𝑔 𝑖 𝑔 𝑗 = 𝑎 𝑖 𝑏 𝑗 𝑔 𝑖𝑗 = 𝑎 𝑖 𝑔 𝑖 𝑏𝑗 𝑔 𝑗 = 𝑎 𝑖 𝑏𝑗 𝑔 𝑖 𝑔 𝑗 = 𝑎 𝑖 𝑏𝑗 𝑔 𝑖𝑗 1.2.3 Phép biến đổi tọa độ Bán kính𝑅 của điểm P bất kỳ trong hệ tọa độ Đềcác 𝑂, 𝑒1 , 𝑒2 , 𝑒3 biểu diễn dƣới dạng: ... tơ 𝑒 𝑖∗ , 𝑒 ∗ trùng nhau Vậy 𝑎 𝑖 𝑖 𝑔 𝑖𝑖 = 𝑎 𝑖 Ta gọi 𝑎∗ là thành phần vật lý của tenxơ hạng nhất 𝑖 Kí hiệu: 𝑔 𝑖𝑖 = 1 = 𝐴2 , 𝑖 𝑔 𝑖𝑖 20 𝑔 𝑖𝑖 = 𝑎∗ 𝑖 𝐴 𝑖 gọi là hệ số Lamé Thành phần vật lý của véctơ 𝑎 có dạng : 𝑎𝑖 𝑎∗ = 𝑎 𝑖 𝑔 𝑖𝑖 = 𝑎 𝑖 𝐴 𝑖 = ( không tổng theo i ) 𝑖 𝐴𝑖 1.3.2 Tenxơ hạng hai Một tenxơ hạng 2 bất kỳ có thể biểu diễn dƣới dạng: 𝔸 = 𝑎 𝑖𝑗 𝑔 𝑖 𝑔 𝑗 = 𝑎 𝑖𝑗 𝑔 𝑖 𝑔 𝑗 = 𝑎 𝑖𝑗 𝑒 ∗ 𝑖 = 𝑎 𝑖𝑗 𝑔 𝑖𝑖 𝑔 𝑖𝑖 𝑒𝑗∗... hiệp biến 1.4.1 Đạo hàm véctơ cơ sở Sử dụng công thức (1.3) thu đƣợc đạo hàm hiệp biến của véctơ cơ sở 𝜕𝑔 𝑖 = 𝑔 𝑖,𝑗 = 𝑅,𝑖𝑗 𝜕𝑥 𝑗 Ta biểu thị 𝑔 𝑖,𝑗 qua các véctơ cơ sở nhƣ sau : 𝑔 𝑖,𝑗 = Γ𝑖𝑗𝑟 𝑔 𝑟 = Γ𝑖𝑗𝑠 𝑔 𝑠 = Γ𝑖𝑗𝑠 𝑔 𝑟𝑠 𝑔 𝑟 Vậy : Γ𝑖𝑗𝑟 = Γ𝑖𝑗𝑠 𝑔 𝑟𝑠 (1.39) (1.40) Các đại lƣợngΓ𝑖𝑗𝑟 , Γ𝑖𝑗𝑠 là hệ số liên quan hay Christoffel loại 1 và loại 2 Để xác định các thành phần của Christoffel ta dựa trên công thức biến . ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐÀO THỊ BÍCH THẢO PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG LUẬN. KHOA HỌC Hà Nội- Năm 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐÀO THỊ BÍCH THẢO PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN. 25 1.4.3. Đạo hàm hiệp biến của tenxơ hạng nhất 31 1.4.4. Đạo hàm hiệp biến của tenxơ hạng hai 32 Chƣơng 2 - MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH TENXƠ 33 2.1. Ứng dụng tenxơ xác định phƣơng trình