Trong hệ tọa độ cong𝑥𝑖 với các véctơ cơ sở𝑔 𝑖 tạo thành rêpe địa phƣơng thay đổi tại từng điểm.
Xét véctơ 𝑎 có các thành phần phản biến𝑎𝑖 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3
𝑎 = 𝑎𝑖𝑔 𝑖 . Lấy vi phân biểu thức của véctơ 𝑎
𝑑𝑎 = 𝑑 𝑎𝑖𝑔 𝑖 = 𝑑𝑎𝑖. 𝑔 𝑖 + 𝑎𝑖. 𝑑𝑔 𝑖 . (1.59) Sử dụng biểu thức𝑔𝑖,𝑗 = Γ𝑖𝑗𝑟. 𝑔 𝑟suy ra
𝑑𝑔 𝑖 = Γ𝑖𝑗𝑟. 𝑔 𝑟𝑑𝑥𝑗 . (1.60) Thay (1.60) vào (1.59), biểu thức (1.59) trở thành
𝑑𝑎 = 𝑑𝑎𝑖. 𝑔 𝑖 + Γ𝑗𝑘𝑖 𝑎𝑗𝑑𝑥𝑘. 𝑔 𝑖 = 𝑔 𝑖 𝑑𝑎𝑖 + Γ𝑗𝑘𝑖 𝑎𝑗𝑑𝑥𝑘 = 𝑔 𝑖𝐷𝑎𝑖 . (1.61) Trong đó : 𝐷𝑎𝑖 = 𝑑𝑎𝑖 + Γ𝑗𝑘𝑖 𝑎𝑗𝑑𝑥𝑘 = 𝑎𝑖,𝑘𝑑𝑥𝑘 + Γ𝑗𝑘𝑖 𝑎𝑗𝑑𝑥𝑘 = 𝑎𝑖,𝑘 + Γ𝑗𝑘𝑖 𝑎𝑗 𝑑𝑥𝑘. Kí hiệu: ∇𝑘𝑎𝑖 = 𝑎𝑖 ,𝑘 + Γ𝑗𝑘𝑖 𝑎𝑗. (1.62) Vậy: 𝐷𝑎𝑖 = ∇𝑘𝑎𝑖𝑑𝑥𝑘 . (1.63)
Biểu thức (1.63) là đạo hàm hiệp biến của tenxơ phản biến hạng nhất𝑎𝑖 đối với biến số𝑥𝑘 trong hệ tọa độ cong.
𝐷𝑎𝑖 gọi là vi phân tuyệt đối của thành phần 𝑎𝑖 của véctơ 𝑎 .
Trong trƣờng hợp rêpe cố định 𝑑𝑔 𝑖 = 0, ⇒ Γ𝑗𝑘𝑖 = 0 suy ra∇𝑘𝑎𝑖 = 𝑎𝑖,𝑘 . Xét véctơ 𝑎 với các thành phần hiệp biến 𝑎𝑖 .
𝑎 = 𝑎𝑖𝑔 𝑖 . Lấy vi phân hai vế của véctơ 𝑎
𝑑𝑎 = 𝑑 𝑎𝑖𝑔 𝑖 = 𝑑𝑎𝑖. 𝑔 𝑖 + 𝑎𝑖. 𝑑𝑔 𝑖 (1.64) Sử dụng biểu thức (1.54): 𝑔𝑖,𝑗 = −Γ𝑗𝑟𝑖 𝑔 𝑟 ⇒ 𝑑𝑔 𝑖 = −Γ𝑗𝑟𝑖 𝑔 𝑟𝑑𝑥𝑗 .
𝑑𝑎 = 𝑑𝑎𝑖. 𝑔 𝑖 − 𝑎𝑖Γ𝑘𝑖𝑗 𝑔 𝑖𝑑𝑥𝑘 = 𝑔 𝑖 𝑑𝑎𝑖 + 𝑎𝑖Γ𝑘𝑖𝑗 𝑑𝑥𝑘 = 𝑔 𝑖 𝑎𝑖,𝑘𝑑𝑥𝑘 + 𝑎𝑖Γ𝑘𝑖𝑗 𝑑𝑥𝑘
32
= 𝑔 𝑖 𝑎𝑖,𝑘 + 𝑎𝑖Γ𝑘𝑖𝑗 𝑑𝑥𝑘. (1.65) Đặt: ∇𝑘𝑎𝑖 = 𝑎𝑖,𝑘 + 𝑎𝑖Γ𝑘𝑖𝑗 (1.66)
là đạo hàm biệp biến của ten xơ hạng nhất a𝑖. Vậy:
∂𝑎
∂𝑥𝑘 = ∇𝑘a𝑖. 𝑔 𝑖 = ∇𝑘𝑎𝑖𝑔 𝑖 . (1.67)