Hàm khoảng cách và một số ứng dụng (LV00979)

Đạo hàm Clarke của F D∗F Đối đạo hàm của F dCx Khoảng cách từ x đến tập C TCx Nón tiếp tuyến của C tại x NCx Nón pháp tuyến của C tại x SCx Tập các pháp tuyến kề của C tại x B Hình cầu đ

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS TS Nguyễn Năng Tâm Sự giúp

đỡ và hướng dẫn tận tình song rất nghiêm túc của thầy trong suốt quátrình thực hiện luận văn này đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiềutrong cách tiếp cận một vấn đề mới Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn,lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường

và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ,tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập

Tác giả xin chân thành cảm ơn các đồng nghiệp cùng gia đình,người thân, bạn bè đã giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện thuận lợi đểtác giả hoàn thành khóa học Thạc sĩ và hoàn thành luận văn này

Hà Nội, ngày 20 tháng 11 năm 2013

Tác giả

Nguyễn Thị Thanh Hà

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại Học Sư phạm Hà Nội 2dưới sự hướng dẫn của PGS TS Nguyễn Năng Tâm.

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi.Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừanhững thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sựtrân trọng và biết ơn Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫntrong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, ngày 20 tháng 11 năm 2013

Tác giả

Nguyễn Thị Thanh Hà

Lời cảm ơn i

1.1 Một số khái niệm về không gian 3

1.2 Hàm liên tục, hàm Lipschitz, hàm khả vi 5

1.3 Một số khái niệm dưới vi phân 8

2 Hàm khoảng cách và một số ứng dụng 12 2.1 Hàm khoảng cách 12

2.2 Tính chất 13

2.3 Tính khả vi địa phương 18

2.4 Đạo hàm theo hướng, dưới vi phân Clarke 35

3 Dưới Gradient của hàm khoảng cách có nhiễu và ứng

iii

3.2 Dưới gradient tựa Fréchet của hàm khoảng cách 473.3 Dưới gradient qua giới hạn của các hàm khoảng cách 553.4 Ứng dụng để nghiên cứu tính ổn định Lipschitz 65

iv

X∗ Không gian đối ngẫu của X

X∗∗ Không gian đối ngẫu thứ hai của X

f0(x; d) Đạo hàm theo hướng của f tại x theo hướng d

f−(x; d) Đạo hàm theo hướng Contigent của f tại x theo hướng d

f0(x; d) Đạo hàm theo hướng Clarke của f tại x theo hướng d

∂f (x) Dưới vi phân Clarke của f tại x

ˆεϕ(x) ε - dưới građient Fréchet của ϕ tại x

ˆFϕ(x) Dưới vi phân Fréchet của ϕ tại x

ˆ+ϕ(x) Dưới vi phân dưới Fréchet của ϕ tại x

∂pϕ(x) Dưới vi phân gần kề của ϕ tại x

∂≥f (x) Dưới vi phân phải của f tại x

∂∞

≥ f (x) Dưới vi phân phải suy biến của f tại x

DFz(.) Đạo hàm Contigent của F

DbFz(.) Đạo hàm gần kề của F

CF z(.) Đạo hàm Clarke của F

D∗F Đối đạo hàm của F

dC(x) Khoảng cách từ x đến tập C

TC(x) Nón tiếp tuyến của C tại x

NC(x) Nón pháp tuyến của C tại x

SC(x) Tập các pháp tuyến kề của C tại x

B Hình cầu đơn vị trong X

B∗ Hình cầu đơn vị trong X∗

S Mặt cầu đơn vị đóng trong X

S∗ Mặt cầu đơn vị đóng trong X∗

1 Lý do chọn đề tài

Trong thực tiễn cũng như trong lý thuyết chúng ta thường gặp nhữngbài toán đòi hỏi phải khảo sát những ánh xạ liên quan đến những hàmkhoảng cách Một lớp các hàm không trơn bản chất được tạo ra nhờ hàmkhoảng cách

d(x; C) := inf

y∈Ckx − yk (I)trong đó x ∈ E là điểm, C ⊂ E là tập cố định trong không gian Banach

E với chuẩn k.k Một lớp hàm khoảng cách tổng quát hơn được tạo nênbởi

ρ(z, x) := inf

y∈F(z)kx − yk = d(x, F (z)) (II)trong đó F là ánh xạ đa trị từ không gian Banach Z vào không gianBanach X Rõ ràng, hàm trong (II) có hai biến, biểu thị khoảng cách từ

x đến tập chuyển động F (z), là một mở rộng của hàm khoảng cách quenbiết (I) ứng với (II) khi F (z) ≡ C Những hàm dạng (I), (II) đóng vai tròđáng lưu ý trong giải tích biến phân, tối ưu hóa và ứng dụng của chúng.Sau khi được học những kiến thức về Toán giải tích, với mong muốn tìmhiểu sâu hơn về những kiến thức đã học, mối quan hệ và ứng dụng củachúng, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu “ Hàm khoảng cách và một sốứng dụng ”

2 Mục đích nghiên cứu

Nắm được các thuộc tính của hàm khoảng cách và một số ứng dụngcủa chúng trong giải tích biến phân, tối ưu hóa

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về tính liên tục, tính khả vi, tính dưới khả vi của hàmkhoảng cách Nghiên cứu về ứng dụng của hàm khoảng cách trong giải tích

và tối ưu

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Hàm khoảng cách trong không gian Hilbert và trong không gian nach

Ba-Một số ứng dụng của hàm khoảng cách

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lý thuyết: Thu thập tài liệu, đọc và phân tích, tổng hợp

để được một nghiên cứu tổng quan về hàm khoảng cách

6 Dự kiến đóng góp mới

Tổng quan về hàm khoảng cách và một số ứng dụng của hàm khoảngcách

Một số kiến thức chuẩn bị

Chương 1 sẽ trình bày là một số khái niệm cơ bản về các không gian

và ánh xạ làm công cụ để trình bày các chương sau

1.1 Một số khái niệm về không gian

Định nghĩa 1.1.1 Cho X là một tập khác rỗng Một họ τ những tập concủa X được gọi là một tôpô trên X nếu thỏa mãn

(i) φ, X ∈ τ

(ii) Giao của một số hữu hạn các phần tử thuộc τ thì thuộc τ

(iii) Hợp của một họ tùy ý các phần tử thuộc τ thì thuộc τ

Khi đó (X, τ ) được gọi là một không gian tôpô, và mỗi phần tử U ∈ τ làmột tập mở trong X

Một không gian metric với họ các tập mở là một không gian tôpô.Định nghĩa 1.1.2 Cho không gian tôpô (X, τ ) Một họ V ⊆ τ được gọi

là một cơ sở lân cận của x0 ∈ X nếu với mọi lân cận U của x0, đều tồntại V ∈ V sao cho x0 ∈ V ⊆ U

Định nghĩa 1.1.3 Không gian tôpô (X, τ ) được gọi là không gian tôpôtuyến tính nếu:

3

(i) Mọi x, y ∈ X, mọi lân cận W của x + y, tồn tại lân cận U của x,lân cận V của y sao cho U + V ⊂ W.

(ii) Mọi λ ∈ R, mọi x ∈ X, mọi lân cận W của λx, tồn tại ε > 0, và lâncận V của x sao cho µV ⊂ W, ∀µ ∈ (λ − ε, λ + ε)

Định nghĩa 1.1.4 Cho X là không gian véc tơ Tập A ⊂ X được gọi làlồi nếu với mọi cặp điểm x, y ∈ A, ∀λ ∈ (0, 1) có

λx + (1 − λ)y ∈ A.Định nghĩa 1.1.5 Cho (X, τ ) là một không gian tôpô tuyến tính, nếu tồntại một cơ sở lân cận gốc gồm toàn tập lồi thì τ được gọi là tôpô (tuyếntính) lồi địa phương và X được gọi là không gian tôpô tuyến tính lồi địaphương

Định nghĩa 1.1.6 Cho (X, τ ) là một không gian tôpô lồi địa phươngHausdorff và f : X → [ − ∞, ∞] là một phiếm hàm trên X

epif := {(x, γ) ∈ X×R|f (x) ≤ γ} là trên đồ thị của f

f được gọi là hàm lồi nếu epif là tập lồi

Định nghĩa 1.1.7 Một tập K ⊂ X được gọi là nón nếu mọi điểm k ∈ K

và λ > 0 ta có λk ∈ K và nếu K là một tập lồi thì nó được gọi là nón lồi.Định nghĩa 1.1.8 Cho X là một không gian tôpô tuyến tính, tập cácphiếm hàm tuyến tính liên tục trên X được gọi là không gian liên hợp (haykhông gian đối ngẫu) của X, kí hiệu X∗

Với mỗi x∗ ∈ X∗, v ∈ X, ta kí hiệu

hx∗, vi = x∗(v).Định nghĩa 1.1.9 Không gian định chuẩnX được gọi là không gian phản

xạ nếu X = X∗∗

Định nghĩa 1.1.10 Tôpô lồi địa phương yếu nhất trên X đảm bảo sự liêntục của tất cả các phiếm hàm f ∈ X∗ được gọi là tôpô yếu trên X, kí hiệu

τw

Định nghĩa 1.1.11 Tôpô tuyến tính yếu nhất trên X∗ đảm bảo sự liêntục của ∀x ∈ X được gọi là tôpô yếu* trên X∗, kí hiệu τw∗.

Định nghĩa 1.1.12 Ta gọi không gian định chuẩn là không gian tuyếntính X trên trường R cùng với một ánh xạ k.k : X → R gọi là chuẩn thỏa

vô hướng trên không gian X mỗi ánh xạ h., i : X×X → R thỏa mãn các

tiên đề

(i) (∀x, y, z ∈ X) hx + y, zi = hx, zi + hy, zi

(ii) (∀x, y ∈ X) (∀α ∈ R) hαx, yi = α hx, yi

(iii) (∀x ∈ X) hx, xi > 0 nếu x 6= θ, hx, xi = 0 nếu x = θ

Định nghĩa 1.1.15 Không gian tuyến tính X được gọi là không gianHilbert nếu trên đó được trang bị một tích vô hướng h., i sao cho với

kxk = phx, xi thì X là một không gian Banach

1.2 Hàm liên tục, hàm Lipschitz, hàm khả vi

Cho (X, τX) và (Y, τY) là 2 không gian tôpô, ánh xạ f : X → Y

Định nghĩa 1.2.1 f được gọi là liên tục tại x0 ∈ X nếu với mọi lân cận

U của f (x0) đều tồn tại một lân cận V của x0 sao cho f (V ) ⊂ U

Định nghĩa 1.2.2 Cho(X, d) là không gian metric, f : X → X, đượcgọi là thỏa mãn điều kiện Lipschitz nếu tồn tại hằng số dương L sao chovới ∀x, y ∈ X có |f (x) − f (y)| ≤ Ld(x, y)

Định nghĩa 1.2.3 Cho hai không gian định chuẩn X, Y Một ánh xạ

f : X → Y được gọi là khả vi tại x ∈ X nếu tồn tại một toán tử liên tục

L : X → Y sao cho

f (x + h) − f (x) = L(h) + r(h),

trong đó r(h) = o(khk), nghĩa là r(h)

khk → 0 khi khk → 0.L(h) được gọi là vi phân cấp 1 của f tại x với gia lượng h, kí hiệu

δf (x, h)

Toán tử L được gọi là đạo hàm cấp 1 (theo nghĩa Frechet) của f tại x,

kí hiệu f0(x)

δf (x, h) = f0(x).h,

f0(x).h là trị của toán tử f0(x) tại h, hay viết [f0(x)](h)

Định nghĩa 1.2.4 Cho X, Y là hai tập hợp bất kỳ Cho F : X ⇒ Y làánh xạ từ X vào tập hợp gồm toàn bộ các tập con của Y (được ký kiệu là

2Y) Ta nói F là ánh xạ đa trị từ X vào Y

Tức là với mỗi x ∈ X thì F (x) là một tập con của Y

Định nghĩa 1.2.5 Đồ thị gphF, miền hữu hiệudomF và miền ảnh rgeF

của ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y tương ứng được xác định bằng các công thức:

gphF = {(x, y) ∈ X × Y : y ∈ F (x)} ,domF = {x ∈ X : F (x) 6= ∅} ,rgeF = {y ∈ Y : ∃x ∈ X sao cho y ∈ F (x)}

Định nghĩa 1.2.6 Cho F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị, X và Y là cáckhông gian tôpô

1) Nếu gphF là tập đóng trong không gian tôpô tích X × Y, thì F đượcgọi là ánh xạ đóng (hoặc ánh xạ có đồ thị đóng)

2) Nếu X và Y là các không gian tuyến tính tôpô và nếu gphF là tậplồi trong không gian tích X × Y, thì F được gọi là ánh xạ đa trị lồi.3) Nếu F (x) là tập đóng với mọi x ∈ X, thì F được gọi là ánh xạ có giátrị đóng

4) Nếu Y là không gian tuyến tính tôpô và nếu F (x) là tập lồi với mọi

x ∈ X, thì F được gọi là ánh xạ có giá trị lồi

Định nghĩa 1.2.7 Cho F : X ⇒ Y là ánh xạ đa trị từ không gian tôpô

X vào không gian tôpô Y

1) F được gọi là nửa liên tục trên tại x ∈ domF nếu với mọi tập mở

V ⊂ Y thỏa mãn F (x) ⊂ V tồn tại lân cận mở U của x sao cho

F (x) ⊂ V, ∀x ∈ U

Nếu F là nửa liên tục trên tại mọi điểm thuộc domF, thì F được gọi

là nửa liên tục trên ở trong X

2) F được gọi là nửa liên tục dưới tại x ∈ domF nếu với mọi tập mở

V ⊂ Y thỏa mãn F (x) ∩ V 6= φ tồn tại lân cận mở U của x sao cho

F (x) ∩ V 6= φ, ∀x ∈ U ∩ dom

Nếu F là nửa liên tục dưới tại mọi điểm thuộc domF, thì F được gọi

là nửa liên tục dưới ở trong X

3) F được gọi là liên tục tại x ∈ domF nếu F đồng thời là nửa liên tụctrên và nửa liên tục dưới tại x

Nếu F là liên tục tại mọi điểm thuộc domF, thì F được gọi là liêntục ở trên X

Định nghĩa 1.2.8 Cho X,Y là các không gian định chuẩn và cho ánh xạ

đa trị F : X ⇒ Y

Giả sử x ∈ int(domF ) Ta nói F là Lipschitz địa phương tại (hoặc gần)

x, nếu tồn tại l > 0 và δ > 0 sao cho:

F (x2) ⊂ F (x1) + l kx2 − x1k BY, với ∀x1, x2 ∈ B(x, δ)

Trong đó BY là hình cầu đơn vị đóng trong Y

Định nghĩa 1.2.9 Ta nói F là Lipschitz trên địa phương tại x ∈ domF

nếu tồn tại l > 0 và δ > 0 sao cho

F (x) ⊂ F (x) + l kx − xk BY với mọi x ∈ B(x, δ).Định nghĩa 1.2.10 Ta nói F là giả Lipschitz gần điểm (x, y) ∈ gphF

nếu tồn tại l > 0, δ > 0 và µ > 0 sao cho

F (x2) ∩ B(y, µ) ⊂ F (x1) + l kx2 − x1k BY với mọi x1, x2 ∈ B(x, δ)

1.3 Một số khái niệm dưới vi phân

Định nghĩa 1.3.1 Cho f : X → R Đạo hàm theo hướng của f tại mộtđiểm x ∈ X theo hướng d ∈ X được cho bởi

f0(x; d) := lim

t↓0

f (x + td) − f (x)

t

khi giới hạn này tồn tại

Định nghĩa 1.3.2 Đạo hàm theo hướng contigent của f tại x theo hướng

d được cho bởi

f−(x; d) := lim

u→d t↓0

inf f (x + tu) − f (x)

Định nghĩa 1.3.3 Giả sử rằng f là Lipschitzian địa phương Khi đó, đạohàm theo hướng Clarke của f tại x theo hướng d được cho bởi

f0(x; d) := lim

y→x t↓0

supf (y + td) − f (y)

Với X∗ là không gian đối ngẫu của X

Định nghĩa 1.3.4 Dưới vi phân Clarke của f tại x được cho bởi

∂f (x) := {x∗ ∈ X∗ : hx∗, di ≤ f0(x; d) ∀d ∈ X}.Định nghĩa 1.3.5 Cho X là không gian Banach, ϕ : X → R là hàm

nhận giá trị trong tập số thực suy rộng, hữu hạn tại x Với mỗi ε ≥ 0, đặt

Các phần tử của tập hợp ở vế trái của công thức này được gọi là các ε dưới gradient Fréchet của ϕ tại x, tập ˆ

-εϕ(¯x) được gọi là ε - dưới gradientFréchet của ϕ tại x

Định nghĩa 1.3.6 Véc tơ x∗ ∈ X∗ được gọi là dưới gradient gần kề của

ϕ tại x nếu tồn tại ε ≥ 0 sao cho

Định nghĩa 1.3.7 Tập hợp ∂Lϕ(¯x) := Lim

x →¯ϕx

ε↓0

sup ˆ∂εϕ(x) được gọi là dưới

vi phân qua giới hạn (hay dưới vi phân Mordukhovich)

Tức là: x∗ ∈ ∂ϕ(x) khi và chỉ khi tồn tại các dãy xk→ x, εϕ k → 0+ và

sup λ ˆ∂εϕ(x) được gọi là dưới

vi phân qua giới hạn suy biến hay dưới vi phân suy biến của ϕ tại x

Định nghĩa 1.3.9 Ta nói rằng f là khả vi chặt tại một điểm x ∈ X nếu

∃v ∈ X∗ sao cho

hv, di = lim

y→x t↓0

f (y + td) − f (y)

t , ∀d ∈ X.

Định nghĩa 1.3.10 Cho X,Y là hai không gian định chuẩn, ánh xạ

đa trị F : X ⇒ Y Đạo hàm contigent (đạo hàm Bowligand), kí hiệu:

DFz(.) : X ⇒ Y của F tại điểm z = (x, y) ∈ gphF là ánh xạ đa trị có đồthị trùng với nón tiếp tuyến Bonligand TgphF(z), tức là

DFz(u) = {v ∈ Y : (u, v) ∈ TgphF(z)} với mọi u ∈ X

NếuF ≡ f là ánh xạ đơn trị, thì ta viếtDfx(.)thay choDF(x,f (x))(.).Định nghĩa 1.3.11 Cho X,Y là hai không gian định chuẩn, ánh xạ đatrị F : X ⇒ Y Đạo hàm gần kề DbFz(.) : X ⇒ Y của F tại điểm

z = (x, y) ∈ gphF là ánh xạ đa trị có đồ thị trùng với nón tiếp tuyến

CFz(.) : X ⇒ Y của F tại điểm z = (x, y) ∈ gphF là ánh xạ đa trị có đồthị trùng với hình nón tiếp tuyến Clarke CgphF(z), tức là:

CFz(u) = {v ∈ Y : (u, v) ∈ CgphF(z)}, với mọi u ∈ X

Định nghĩa 1.3.13 Xét ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y giữa các không gianBanach Đặt

domF := {x ∈ X : F (x) ≥ φ}, và gphF := {(x, y) ∈ X×Y : y ∈ F (x)}.Đối đạo hàm Fréchetz của F tại (¯x, ¯y) ∈ gphF và đối đạo hàm qua giớihạn (hay đối đạo hàm Mordukhovich) của F tại (x, y) tương ứng được chobởi các công thức

Chương 1 đã trình bày là một số khái niệm cơ bản về các không gian

và ánh xạ làm công cụ để trình bày các chương sau

Ví dụ 2.1.1 Cho C = [a, b] ⊂ R Khoảng cách từ một điểm x ∈ R đếnC

2.2 Tính chất

Định lý 2.2.1 Nếu C là tập lồi thì dC(·) là hàm lồi

Chứng minh Cho x, y trong X và λ ∈ (0, 1) Lấy ε > 0, chọn cx, cy trong

Vì ε là tùy ý, nên định lí được chứng minh

Theo [10 mệnh đề 2.2.7], ξ là dưới gradient của dC tại x ; đó là

dC(y) − dC(x) ≥ hξ, y − xi , ∀y ∈ X

Do đó hξ, c − xi ≤ 0, ∀c ∈ C

Hệ quả 2.2.1 Nếu C là lồi thì v ∈ TC(x) khi và chỉ khi d0C(x; v) =

d0C(x; v) = 0

Chứng minh Do C là tập lồi nêndC là lồi (định lý 2.2.1) và theo [10 mệnh

đề 2.3.6.] suy ra d0C và d0C là trùng nhau Hệ quả được chứng minh

Mệnh đề 2.2.1 Hàm dC thỏa mãn điều kiện Lipschitz tổng quát dưới đâytrên X

|dC(x) − dC(y)| ≤ kx − yk.Chứng minh Lấy bất kỳ ε > 0, theo định nghĩa, tồn tại điểm c ∈ C saocho dC(y) ≥ ky − ck − ε Ta có

là tiếp tuyến đến C tại x nếu d0C(x, v) = 0 Tập tất cả các tiếp tuyến với

C tại x, kí hiệu là TC(x)

TC(x) := {v ∈ X : d0C (x; v) = 0}.Theo hệ quả trực tiếp của [10 mệnh đề 2.1.2], TC(x) là một nón lồi,đóng trong X (đặc biệt, TC(x) luôn chứa O )

Định nghĩa 2.2.3 Nón pháp tuyến đến C tại x được tạo bởi sự đối cựcvới Tc(x), kí hiệu NC(x)

NC(x) = {ξ ∈ X∗ : hξ, vi ≤ 0, ∀v ∈ TC(x)}.Mệnh đề 2.2.2 Cho f là Lipschitz với hằng số K trên tập S Cho x ∈

C ⊂ S và giả sử rằng f đạt tới cực tiểu trên C tại x Khi đó với bất kỳ

ˆ

K ≥ K, hàm g(y) = f (y)+ ˆKdC(y) đạt cực tiểu trên S tại x Nếu K > Kˆ

và C là đóng, thì với bất kỳ điểm cực tiểu của g nào khác trên S cũng phảinằm trên C

Chứng minh Ta chứng minh khẳng định đầu tiên bằng cách giả sử ngượclại Khi đó có một điểm y trong S và ε > 0 sao cho f (y) + ˆKdC(y) <

f (x) − ˆKε

Cho c là điểm trong C sao cho ky − ck ≤ dC(y) + ε Khi đó

f (c) ≤ f (y) + ˆK ky − ck ≤ f (y) + ˆK(dC(y) + ε) < f (x)

Điều này mâu thuẫn là x là cực tiểu của f trên C Bây giờ cho K > Kˆ

và cho y cũng là một cực tiểu của g trên S, thì

f (y) + ˆKdC(y) = f (x) ≤ f (y) + (K + ˆK)dC(y)/2,(ta áp dụng khẳng định đầu tiên cho (K + ˆK)/2), điều đó dẫn đến dC(y) =

0 và do đó y ∈ C

Định lý 2.2.2 Một phần tử v của X là tiếp tuyến đến C tại x nếu và chỉnếu với mọi dãy xi trong C hội tụ đến x và dãy ti trong (0, ∞) giảm về 0,tồn tại một dãy vi trong X hội tụ về v sao cho xi + tivi ∈ C với mọi i

Chứng minh Trước tiên giả sử rằngv ∈ TC(x)và dãyxi → x(vớixi ∈ C);

ti ↓ 0, ta phải chứng minh tồn tại dãy vi thỏa mãn định lý

Do d0C(x; v) = 0 theo giả thiết, ta có

Từ (2.1) và (2.2) có kv − vik → 0, do đó vi hội tụ đến v Hơn nữa,

xi+ tivi = ci ∈ C, thỏa mãn yêu cầu

Ngược lại, cho v có các tính chất thỏa mãn các điều kiện của dãy vàchọn một dãy yi hội tụ đến x và ti giảm về 0 sao cho

nó kéo theo ci hội tụ đến x Do đó tồn tại một dãy vi hội tụ đến v sao cho

Trước tiên ta nhớ lại nón contigent KC(x) của tiếp tuyến đến một tậphợp C tại một điểm x; một véc tơ v trong X thuộc KC(x) khi và chỉ khivới mọi ε > 0, tồn tại t ∈ (0, ε) và một điểm w trong v + εB sao cho

x + tw ∈ C (do đó x ∈ clC là cần thiết)

Từ định lý 2.2.2 , TC(x) luôn luôn chứa trong KC(x)

Định nghĩa 2.2.4 Tập hợp C được gọi là chính qui tại x nếu

TC(x) = KC(x).Một tập lồi bất kì là chính qui tại mỗi điểm của nó do hệ quả của [10mệnh đề 2.4.4.]

Định lý sau khẳng định rằng NC và TC giảm đến các khái niệm cổ điểnkhi C là tập hợp trơn

Định nghĩa 2.2.5 Hàm f được gọi là chính qui tại x nếu

(i) Với mọi v, đạo hàm một bên theo hướng f0(x; v) là tồn tại

(ii) Với mọi v, f0(x; v) = f0(x; v)

Định lý 2.2.3 Cho f là Lipschitz gần x và giả sử 0 /∈ ∂f (x) Nếu C

được định nghĩa là {y ∈ X : f (y) ≤ f (x)} thì có



v ∈ X : f0(x, v) ≤ 0 ⊂ TC(x) (2.5)Nếu f là chính qui tại x, thì đẳng thức xảy ra và C là chính qui tại x

Chứng minh Trước tiên, ta thấy tồn tại điểmvˆtrong X sao chof0(x; ˆv) <

0, vì f0(x; ·) là hàm giả sử của một tập hợp (ví dụ ∂f (x) ) không chứa 0.Nếu v thuộc vế trái của (2.5), thì với bất kỳ ε > 0, f0(x, v + εˆv) < 0,

do f0(x; ·) là cộng tính dưới [10 mệnh đề 2.1.1(a)]

Kết quả thu được là đủ để chứng minh rằng bất kỳ v mà f0(x; v) < 0

đều thuộc TC(x) Từ định nghĩa của f0(x; v), tồn tại ε và δ > 0 sao cho,mọi y không quá ε của x và t ∈ (0, ε), ta có f (y + tv) − f (y) ≤ −δt.Cho dãy bất kỳ xi trong C hội tụ đến x và dãy bất kỳ ti giảm về 0 Dođịnh nghĩa của C, ta có f (xi) ≤ f (x) và với mọi i đủ lớn

KC(x) đều thuộc vào vế trái của (2.5) Vì ta luôn có TC(x) ⊂ KC(x), nó

sẽ kéo theo 3 tập hợp trùng nhau

Bởi vậy, lấy v ∈ KC(x), thì theo định nghĩa

2.3 Tính khả vi địa phương

Định nghĩa 2.3.1 Tập trơn xấp xỉ được định nghĩa là tập đóng C ⊂ H

(H là không gian Hilbert) sao cho hàm khoảng cách dC là khả vi liên tụctrên một ống mở

UC(r) := {u ∈ H |0 < dC(u) < r } , r > 0 (2.6)

C là trơn xấp xỉ khi và chi khi tồn tại r > 0 sao cho với mọi u ∈ UC(r),phép chiếu PC(u) là khác rỗng và với mỗi phần tử x của nó cũng thuộc

PC(x + v) với v = r [u − x] / |u − x|

Từ các véc tơ v xác định bởi v = λ [u − x] / |u − x| với u ∈ PC−1(x) và

λ > 0 là theo định nghĩa pháp tuyến kề khác θ đến C tại x, sau này người

ta cho rằng có nghĩa như: “mọi pháp tuyến kề v khác θ của C có thể nhậnđược bởi hình cầu bán kinh r”

Một phát biểu tương đương là:

Ta biết rằng một tập lồi đóng C có ánh xạ chiếu PC tổng quát, đơn trị

và không mở rộng (liên tục Lipschitz với mô đun 1) Với các tập không lồi

C, ở đó có sự khác biệt giữa đóng mạnh và yếu, Clarke, Stern và Wolenski[11] đã chỉ ra rằng một tập đóng yếu C là trơn xấp xỉ nếu và chỉ nếu PC

là đơn trị trên ống UC(r)

Kết quả khác đã thu được bởi Shapiro, ông đã chỉ ra rằng, với một tậpđóng mạnh C và một điểm x ∈ C, thì PC đơn trị trên một lân cận của x

nếu có những tính chất sau: tồn tại một hằng số k > 0 và một lân cận O

của x sao cho :

x, nếu thuộc tính này đúng với mọi véc tơ v ∈ NC(x)

Định nghĩa 2.3.3 Ánh xạ NCr : H→→H được định nghĩa với r > 0 bởi

NCr(x) =



NC(x) ∩ intB(0, r) khi x ∈ C,

Ở đây B(0, r) là hình cầu đóng tâm O, bán kính r

Định nghĩa 2.3.4 Một ánh xạ T : H ⇒ H được gọi là siêu đơn điệu trênmột tập con O của X nếu tồn tại σ > 0 sao cho T + σI là đơn điệu trên

O, ta có:

hv1 − v2, x1 − x2i ≥ −σ|x1 − x2|2 với mọi vi ∈ T (xi) và xi ∈ O.Định nghĩa 2.3.5 Tập C được gọi là có tính chất Shapiro nếu thỏa mãnmột trong các tính chất từ (a) đến (i) của định lý 2.3.1 dưới đây

Định lý 2.3.1 Cho một tập đóng C ∈ H và một điểm bất kỳ x ∈ C ,những thuộc tính sau là tương đương

(a) C là chính qui gần kề tại x.

(b) dC là khả vi, liên tục trên O\C đối với các lân cận mở O của x.(c) dC là khả vi Fréchet trên O\C đối với các lân cận mở O của x.(d) dC là khả vi Gâteaux trên O\C đối với các lân cận mở O của x và

PC là khác φ trên O

(e) d2C là C1+ trên một lân cận mở O của x , tức là khả vi Fréchet trên

O cùng ánh xạ đạo hàm D(d2C)(x) : H→→H phụ thuộc tính liên tụcLipschitz trên x

(f) Tồn tại r > 0 và một lân cận O của x sao cho với bất kỳ pháp tuyến

kề khác θ đến C tại mọi x ∈ C ∩ O có thể nhận được bởi một hìnhcầu bán kính r

(g) Đối với r > 0 và lân cận O của x , hàm phạt NCr là siêu đơn điệutrên O

(h) Tồn tại λ > 0 sao cho

có thể thêm thuộc tính dưới đây vào tập hợp các thuộc tính tươngđương:

Ở đây ∂pf (x) là tập của các dưới gradient gần kề f tại x, tức là

v ∈ ∂pf (x) nếu tồn tại t ≥ 0 sao cho (2.10) thỏa mãn trong một lân cậncủa x

Mệnh đề 2.3.1 Tập C là chính qui gần kề tại x ∈ C khi và chỉ khi chỉ

Cho c = ε/ρ, nếu v ∈ NC(x) và |v| < ct thì (ρ/t)v ∈ NC(x) với

|(ρ/t)v| ≤ ε Điều này kéo theo

δC(x0) ≥ δC(x) + (ρ/t) hv, x0 − xi − (ρ/2)|x0 − x|2, (2.11)

ở đó, t > 0, |x − x| < ε, |x0− x| < ε, |v| < ct với v ∈ NC(x)

Chú ý rằng (2.11) là tương đương với:

δC(x0) ≥ δC(x) + hv, x0− xi − (t/2)|x0 − x|2 (2.12)

Điều này chỉ ra rằng δC là p.l.n tại x.

Hệ quả 2.3.1 Cho C là tập con đóng của H và x ∈ C Tập C là chínhqui gần kề tại x nếu và chỉ nếu với r > 0 và lân cận O của x, NCr là siêuđơn điệu trên O Trong trường hợp đó, tồn tại một lân cận mở O của x

sao cho với mọi x ∈ O ∩ C nón pháp tuyến NC(x) là đóng và lồi, với mọi

v ∈ NC(x) là chính qui gần kề đến C tại x

Chứng minh Điều này được kéo theo từ [3, hệ quả 2.3 và định lý 2.4] Để

sử dụng [3, hệ quả 2.3] chỉ đơn giản (như trong phần chứng minh của mệnh

đề 2.3.1) ta chú ý tính siêu đơn điệu của NCr trên các lân cận O của x làtương đương với sự tồn tại c > 0, t0 > 0 và ε > 0 mà với các tính chất đó

Định nghĩa 2.3.7 Một tập đóng C là chính qui gần kề đều với hằng số

ρ > 0 nếu với bất kỳ x ∈ C và v ∈ NC(x) mà |v| < 1, thì x là điểm gầnnhất duy nhất của C đến x + ρ−1v

Thoạt nhìn nó có vẻ rõ ràng rằng, nếu mọi pháp tuyến kề khác 0

đến một tập C tại một điểm bất kỳ x ∈ C có thể nhận được bởi một sốhình cầu bán kính r khi đó C là chính qui gần kề đều, nhưng trong địnhnghĩa về chính qui gần kề đều, tất cả các véc tơ pháp tuyến v ∈ NC(x)

phải có |v| < 1 (không chỉ các pháp tuyến kề)

Mặc dù, đúng là mọi véc tơ pháp tuyến là giới hạn yếu của các véc tơpháp tuyến kề, một điều không thể thay đổi là chuẩn của các véc tơ pháptuyến kề Chúng ta đã gặp phải những khó khăn này trong chứng minh,

cùng với các mệnh đề sau và hệ quả 2.3.1 thì một tập xấp xỉ trơn C mỗivéc tơ v ∈ NC(x) đều là một véc tơ pháp tuyến kề.

Mệnh đề 2.3.2 Giả sử tồn tại r > 0 và một lân cận mở O của x ∈ C

sao cho với mọi pháp tuyến kề khác θ đến C tại bất kỳ x ∈ C ∩ O có thểnhận được bởi một hình cầu bán kính r, khi đó NCr là siêu đơn điệu trên

O

Chứng minh Cho v là một pháp tuyến kề khác θ đến C tại x ∈ C ∩ O

Ta biết rằng v có thể nhận được bởi một hình cầu bán kính r, điều này cónghĩa là

− hv, x0 − xi ≥ −|v|

2r|x0 − x|2, ∀x0 ∈ C.Thật vậy, cho i = 1, 2, cho vi là một pháp tuyến kề đến C tại xi với

vi 6= 0 và xi ∈ O thì − hv1, x2 − x1i ≥ −|v1|

2r |x2 − x1|2, và

− hv2, x1 − x2i ≥ −|v2|

2r |x1 − x2|2.Điều đó cho (ngay cả khi vi = 0 )

hv1 − v2; x1 − x2i ≥ − 1

2r [|v1| + |v2|] |x1 − x2|2

Vì vậy, nếu |vi| < r thì hv1 − v2, x1 − x2i ≥ −|x1 − x2|2, điều này chỉ

ra rằng SCr là siêu đơn điệu trên O với hằng số σ = 1

Ở đây SC(x) là tập của các pháp tuyến kề của C tại x

Từ đây và từ [3, định lý 2.4] ta suy ra SC(x) = NC(x) với mọi x ∈ O

và NC(x) là siêu đơn điệu trên O với hằng số σ = 1

Hệ quả 2.3.2 Nếu với mọi pháp tuyến kề khác θ đến C tại bất kỳ điểm

x nào của C có thể nhận được bởi một hình cầu bán kính r, thì C là chínhqui gần kề đều cùng với hằng số 1/r0 thỏa mãn 0 < r0 < r

Chứng minh Mệnh đề 2.3.2 và hệ quả 2.3.1 đã chỉ ra rằng C là chính quigần kề tại mọi điểm x ∈ C và mọi véc tơ v ∈ NC(x) với x ∈ C là một véc

tơ pháp tuyến kề.

Cho 0 < r0 < r, từ (2.7) suy ra mọi x ∈ C, v ∈ NC(x) mà |v| < 1, điểm

x là điểm gần nhất của C đến x + r0v , điều đó chứng tỏ rằng C là chínhqui gần kề đều đối với hằng số 1/r0

Việc chứng minh định lý 2.3.1 được chia làm nhiều phần Sự kết hợpcủa hệ quả 2.3.1 và mệnh đề 2.3.2 cùng với các phần sắp trình bày 2.3.3,2.3.5– 2.3.7 sẽ sẽ chứng minh nó một cách đầy đủ

Một bước quan trọng trong việc chỉ ra một hàm khoảng cách là khả viliên tục trên O\C với lân cận mở O của x là với σ > 0 , hàm d2C + σ|.|2

là lồi trên một lân cận của x

Mệnh đề 2.3.3 Giả sử C là chính qui gần kề tại x , thì

(i) PC là đơn trị quanh x

Ở đó vi ∈ NC(xi) với |vi| < ε, |xi− x| < ε, i = 1, 2, (chỉ cần chọn ε < r

với intB(x, ε) ⊂ O)

Ta có thể giả thiết rằng (2.14) vẫn đúng khi vi ∈ ∂FδC(xi) với |vi| <

ε, |xi − x| < ε, i = 1, 2 Có điều này là vì tập ∂FδC(x) là luôn nằm trongbao đóng của bao lồi của NC(x), điều đó giống như NC(x) trong một lâncận của x (theo hệ quả 2.3.1)

Trước tiên ta chỉ ra rằng trong một lân cận của x PC là đơn trị và liêntục Lipschitz trong miền xác định của nó

Mệnh đề 2.3.4 Cho 0 < λ ≤ ρ với λ < 2 Với i = 1, 2, cho x0i ∈ PC(xi),

Từ đây ta kết luận được |x1 − x2| ≥ [1 − (λ/2)] |x01 − x02|

Điều này tương đương với |x01 − x02| ≤ (2/(2 − λ)) |x1 − x2|

Với 0 < λ ≤ ρ mà λ < 2 , x1, x2 là hai điểm của intB(x, λε/2ρ)

d2C+ (λ/(2 − λ))|.|2 là lồi trong intB(x, λε/2ρ)chúng ta kết luận rằng ánh

xạ đạo hàm Gâteaux của d2C trên intB(x, λε/2ρ) là 2(I − PC) Suy ra d2C

là C1+ trên intB(x, λε/2ρ)

Cố địnhλ > 0vớiλ < min {ρ, 1} ChoT (x) = NC(x)∩intB(0, λε/2ρ)

với x ∈ C ∩ intB(x, λε/2ρ), mặt khác T (x) = φ Ta còn phải chỉ ra rằng

(I + T )−1(x) = PC(x) khi x ∈ intB(x, λε/2ρ) Điều đó có thể dễ dàngđược xác nhận PC(x) ⊂ (I + T )−1(x) với x đang nói đến

Ta biết rằng PC(x) là khác rỗng khi x ∈ intB(x, λε/2ρ), vì vậy dấubằng sẽ xảy ra khi ta chỉ ra được (I + T )−1(x) là một tập có nhiều nhấtmột phần tử

Với i = 1, 2 cho xi0 ∈ (I + T )−1(x), với x ∈ intB(x, λε/2ρ), suy ra

(x − xi0) ∈ T (xi0)

Bằng cách chọn T, ta có xi 0 ∈ C ∩ intB(x, λε/2ρ với 2ρ |x − xi 0| <

λε < ε (vì λ < 1) Kết hợp (2.14) ta có:

−2ρ|x01 − x02|2 = h2ρ(x − x01) − 2ρ(x − x02), x01 − x02i ≥ −ρ|x01 − x02|2.Điều này kéo theo x01 = x02 Công thức đối với đạo hàm của dC được suy

ra ngay từ công thức đối với đạo hàm của d2C

Trong định lý 2.3.1, (e) rõ ràng kéo theo (b) và điều đó cũng kéotheo (c) Trước khi tiếp tục, chúng ta cần chỉ ra là nếu hàm khoảng cáchkhả vi Fréchet thì phép chiếu ánh xạ là liên tục mạnh

Bổ đề 2.3.1 Cho C là tập con đóng, khác rỗng của H Nếu d2C là khả vi

Fréchet trên tập mở O hoặc tương đương dC là khả vi Fréchet trên O\C

thì PC là (đơn trị và) liên tục mạnh trên O

Chứng minh Như chúng ta đã chỉ ra trong phần chứng minh của mệnh

đề 2.3.3, đạo hàm Fréchet của d2C tại điểm u là 2(u − PC(u)) Hàm −d2

Mặt khác, ta biết rằng đạo hàm của một hàm lồi là liên tục mạnh-yếu

vì vậy suy ra đạo hàm của d2C và do đó PC là liên tục mạnh-yếu trên O.Cho xk hội tụ mạnh đến x, ở đây x ∈ O Ta có D(d2C)(xk) hội tụ yếuđến D(d2C)(x)

Ta cũng có

D(d2C)(xk)

= 2dC(xk) hội tụ đến

D(d2C)(x)

... thuộc tính sau vào thuộc tính tương đương

(v) PC đơn trị liên tục mạnh-yếu O

Chứng minh Trước tiên ta nhớ lại rằng, đạo hàm Fréchet d2C một? ?iểm u 2(u... data-page="38">

Mệnh đề 2.3.7 Một tập đóng C H qui gần kề x khi

và C có tính chất Shapiro x

Chứng minh Giả sử tập C qui gần kề x Suy tồn r >

và lân cận O x cho pháp tuyến... σ|.|2 lồi mộtlân cận x, hàm d2C có gradient Fréchet điểm trongmột lân cận x, điều với −d2

C Vì ta thấy trongchứng minh bổ đề 2.3.1