Phép tính tenxơ và một số ứng dụng trong cơ học vật rắn biến dạng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - ĐÀO THỊ BÍCH THẢO PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - ĐÀO THỊ BÍCH THẢO PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG Mã số: 60440107 Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS VŨ ĐỖ LONG Hà Nội- Năm 2014 LỜI CẢM ƠN Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy PGS.TS Vũ Đỗ Long tận tình hƣớng dẫn, tạo điều kiện thuận lợi thƣờng xuyên động viên để tác giả hoàn thành luận văn Tác giả trân trọng cảm ơn thầy, cô giáo Bộ môn Cơ học, Trƣờng đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN thầy, Khoa Tốn – Cơ – Tin học quan tâm, giúp đỡ tạọ điều kiện thuận lợi suốt thời gian tác giả học tập nghiên cứu Khoa Tác giả xin cảm ơn nhà khoa học, thầy cô giáo seminar Cơ học vật rắn biến dạng có góp ý q báu q trình tác giả thực luận văn Tác giả xin cảm ơn thầy, giáo, cán Phịng Sau đại học, Trƣờng Đại học Khoa học Tự nhiên – ĐHQGHN tạo điều kiện thuận lợi trình nghiên cứu tác giả Tác giả xin chân thành cảm ơn gia đình bạn bè thân thiết tác giả, ngƣời bên cạnh động viên giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn Tác giả Đào Thị Bích Thảo MỤC LỤC TỔNG QUAN Chƣơng - CÁC HỆ THỨC CƠ SỞ PHÉP TÍNH TENXƠ 1.1 Một số khái niệm 1.2 Phép biến đổi tọa độ 1.2.1 Hệ tọa độ Đề 1.2.2 Hệ tọa độ cong 1.2.3 Phép biến đổi tọa độ 1.2.4 Tenxơ metric không gian Euclide 14 1.3 Thành phần vật lý tenxơ 20 1.3.1 Tenxơ hạng 20 1.3.2 Tenxơ hạng hai 21 1.3.3 Khai triển cụ thể 21 1.4 Đạo hàm hiệp biến 23 1.4.1 Đạo hàm véctơ sở 23 1.4.2 Kí hiệu Christoffel 25 1.4.3 Đạo hàm hiệp biến tenxơ hạng 31 1.4.4 Đạo hàm hiệp biến tenxơ hạng hai 32 Chƣơng - MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH TENXƠ 33 2.1 Ứng dụng tenxơ xác định phƣơng trình cân bằng- chuyển động 33 2.2 Ứng dụng tenxơ xác định thành phần liên hệ biến dạng- chuyển vị 42 2.3 Ứng dụng tenxơ toán vỏ mỏng 48 2.3.1 Trình bày lý thuyết vỏ mỏng đàn hồi 48 2.3.2 Thành phần biến dạng vỏ mỏng 49 2.3.3 Phƣơng trình cân 52 2.3.4 Khai triển cho vỏ trụ, vỏ cầu 53 TỔNG QUAN Tenxơ khái niệm toán học phục vụ cho việc thiết lập giải vấn đề vật lý nhiều lĩnh vực nhƣ học môi trƣờng liên tục, lý thuyết đàn hồi, lý thuyết tƣơng đối rộng… Tenxơ lần đƣợc nghiên cứu nhà toán học Tullio Levi-Civita Gregorio Ricci- Curbastro số nhà toán học khác Trong luận văn tenxơ đƣợc sử dụng để biểu diễn quan hệ ánh xạ tập véctơ hình học Để giải toán lý thuyết đàn hồi ngƣời ta thƣờng sử dụng hệ phƣơng trình cân bằng, phƣơng trình chuyển động, hệ thức Cơsi liên hệ biến dạng chuyển vị Việc thiết lập phƣơng trình dựa hệ tọa độ cong nhƣ hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu ,….là tƣơng đối phức tạp Vì báo hay giáo trình học nói chung thƣờng nêu trực tiếp phƣơng trình cân bằng, hệ thức Cơsi mà khơng nói rõ bƣớc biến đổi để thu đƣợc kết Luận văn trình bày rõ ràng khái niệm, phép tính bản, phép biến đổi tenxơ Trên sở vận dụng phép tính tenxơ để xác định phƣơng trình liên hệ biến dạng - chuyển vị, phƣơng trình cân bằng- chuyển động hệ tọa độ cong Từ kết sau biến đổi, tác giả thu đƣợc phƣơng trình liên hệ biến dạng – chuyển vị nhƣ hệ phƣơng trình cân hệ tọa độ trụ hệ tọa độ cầu Luận văn bao gồm phần mục lục, tổng quan, hai chƣơng, phần kết luận tài liệu tham khảo Nội dung luận văn bao gồm: - Chƣơng trình bày khái niệm, thành phần vật lý tenxơ, số phép tính tenxơ đạo hàm hiệp biến ten xơ hạng nhất, hạng hai Đồng thời tác giả trình bày cách biến đổi để thu đƣợc hệ véctơ sở, tenxơ mêtric hiệp biến phản biến, thành phần kí hiệu Christoffel, hệ số Lamé hệ tọa độ cong, cụ thể hệ tọa độ trụ cầu, từ giúp ích cho việc xác định phƣơng trình cân bằng- chuyển động, phƣơng trình liên hệ biến dạng- chuyển vị chƣơng - Chƣơng vận dụng hệ thức sở phép tính tenxơ để xây dựng phƣơng trình cân bằng- chuyển động xây dựng phƣơng trình liên hệ biến dạng- chuyển vị Đồng thời trình bày ứng dụng tenxơ toán vỏ mỏng, cụ thể áp dụng khai triển cho vỏ trụ vỏ cầu Nội dung luận văn đƣợc trình bày chi tiết dƣới đây: Chƣơng - CÁC HỆ THỨC CƠ SỞ PHÉP TÍNH TENXƠ 1.1 Một số khái niệm Định nghĩa Tenxơ trƣờng hợp riêng hệ thống phần tử, thành phần hệ số hàm số xác định hệ sở cho, với phép biến đổi tuyến tính hệ sở thành thay đổi theo quy luật xác định Hệ thống kí hiệu Các kí hiệu hệ thống đặc trƣng hay nhiều số dƣới Ví dụ nhƣ , , , Theo quy cá 13 giá 21 trị 1,2,3 Ví dụ, hiệu nghĩa biểu thị ƣớc: số chữ la tinh 11lấy12 22 23 31 32 kí 33 phần tử , , biểu thị phần tử , , , , , , , , Hạng tenxơ Hạng tenxơ xác định số lƣợng số kí hiệu tenxơ Nhƣ phụ thuộc vào số nên hệ thống hạng bao gồm hạng tử phụ thuộc vào số( , ) nên hệ thống hạng bao gồm = phần tử Tổng quát: hệ thống phụ thuộc n số hệ thống hạng n gồm phần tử Quy ƣớc số Chỉ số hệ thống tenxơ tuân theo quy ƣớc: “ Trong biểu thức, số lặp lại lần , biểu thị tổng từ đến 3” Chỉ số nhƣ số câm nên thay chữ khác Ví dụ: Hệ thống đối xứng Xét hệ thống hạng hai = = 1 + 2 + 3 Nếu thay đổi chỗ số cho nhau, thành phần hệ thống khơng thay đổi dấu giá trị hệ thống gọi hệ thống đối xứng = Nếu thay đổi vị trí số cho nhau, thành phần hệ thống thay đổi dấu mà không thay đổi giá trị tuyệt đối hệ thống hệ thống phản đối xứng =− Mở rộng cho hệ có nhiều hệ số Hệ thống đối xứng với hai số đấy, thành phần khơng thay đổi đổi chỗ hai số cho Ví dụ: Nếu hệ thống đối xứng theo số ( , ) Hệ thống Levi-Civita hệ thống phản đối xứng hạng −1, Cụ thể: 123 = 231 = 312 = , 132 = 213 = 321 = −1, Cách thành phần lại Loại tenxơ Loại tenxơ (phản biến, hiệp biến, hỗn hợp) đƣợc xác định vị trí số Hệ thống hạng hai gọi tenxơ hiệp biến hạng hai Hệ thống hạng hai Hệ thống hạng hai gọi tenxơ phản biến hạng hai gọi tenxơ hỗn hợp hạng hai 1.2 Phép biến đổi tọa độ 1.2.1 Hệ tọa độ Đềcác O Hình Véc tơ đƣợc biểu diễn dƣới dạng = 1+ 2+ 3==1,2,3 Xét điểm Q lân cận điểm P = độ dài bình phƣơng vơ nhỏ = = = Do hệ tọa độ Đềcác hệ véctơ sở 1, 2, véctơ đơn vị trực giao nên tích vơ hƣớng =0 ≠ , = = nên = Suy ra: = = = 12 + 22 + = 32 a Các phép tính tenxơ hạng ( vectơ) Xét hệ thống có thành phần Phép cộng + = = 1+ + = 1+ hệ sở Nhân với số Nhân vô hƣớng ++ 2 + + 3 Nhân véctơ = 23 −32 1+ Hay viết dƣới dạng: = × = = Tích hỗn hợp × = 31 −13 2+ 12 −21 × = = × − 12 21 13 32 23 31 3− 3− 2− 1+ 1+ 23 −32 1+ 31 −13 2+ 12 −21 = = =123−132−213+231+312 = =123+231+312−132−213 −321 −321 ⊗) Tích tenxơ ( ký hiệu tích tenxơ ⨂ = = 1 ⊗ 1⨂ + = 1⨂ + ⨂ 1⨂ + + 2 2⨂ 2⨂ + + 2 2⨂ 3⨂ + 3⨂ + 3 3⨂ b Các phép tính tenxơ hạng hai Tenxơ hạng cao Đối với tenxơ hạng hai tenxơ hạng cao, phép tính đƣợc thực tƣơng tự nhƣ tenxơ hạng Chú ý phép tính cộng, trừ áp dụng đƣợc với tenxơ hạng loại Phép nhân thực với hai tenxơ có hạng Ví dụ: xét tenxơ hạng hai : = Tổng hợp biểu thức ta đƣợc thành phần tenxơ biến dạng hệ tọa độ cầu = = = 1 = = 11 = 2.3 Ứng dụng tenxơ toán vỏ mỏng 2.3.1 Trình bày lý thuyết vỏ mỏng đàn hồi Vỏ mỏng vật thể giới hạn hai mặt cong, độ dày vỏ nhỏ so với kích thƣớc khác Mặt chia đôi độ dày vỏ gọi mặt Tùy thuộc vào dạng mặt phân biệt vỏ cầu, vỏ nón,v v… Ở xét vỏ có độ dày khơng đổi P O Khi phần tử đƣờng đƣợc xác định công thức 48 Với = 2.3.2 Thành phần biến dạng vỏ mỏng Vỏ mỏng đàn hồi sử dụng giả thiết Đoạn thẳng vật chất giao với mặt trƣớc biến dạng thẳng trực giao với mặt sau biến dạng ( giả thiết pháp tuyến thẳng Kirchhoff) Thành phần ứng suất theo pháp tuyến với mặt nhỏ so với thành phần ứng suất khác nên bỏ qua Chọn = hệ trục tọa độ trực = , khúc ( đƣờng có tiếp tuyến điểm trùng với phƣơng chính) mặt giữa( Hình 6) Ta sử dụng cơng thức (2.19) để xác định thành phần biến dạng vỏ mỏng Vỏ có độ dày nhỏ nên Trong Theo giả thiết thứ “ đoạn thẳng vật chất trực giao với mặt trƣớc biến dạng trực giao với mặt sau biến dạng” dẫn đến biến dạng trƣợt ∗ 13 = ∗ 23 = Thay giá trị ta suy = ∗ , ∗ , ∗ công thức (2.34) vào giá trị ∗ 13 , ∗ 23 (2.19 ) 49 Hệ số nhân biến đổi mặt song song cách mặt khoảng =1; = = 2 có dạng 1− ; (2.37) 1− ; Trong đó: 1, hệ số nhân biến đổi tọa độ biểu thức phần tử đƣờng mặt 1, bán kính khúc Sử dụng cơng thức (2.37) thay vào công thức (2.36) cho = ta xác định đƣợc =− =0 =− =0 Thay giá trị (2.38) vào (2.34) ta nhận đƣợc thành phần chuyển dịch theo hƣớng 1, Do ≪ , ý ∗ 13 50 ∗ = 11 = 1+ 1− 122 111 ∗ = 22 + = 2+ 2− 221212 ∗ = 12 = ∗ ∗ ∗ 51 Với = 11 = 22 = 12 1 = 1 = = 12 Trong , 0 11 , 22 , 2, 1, 1, 2 hệ số nhân biến đổi tọa độ biểu thức phần tử đƣờng mặt giữa, bán kính khúc 2.3.3 Phƣơng trình cân Để khảo sát thành phần cân bằng, ta khảo sát thành phần lực tác dụng vào phần tử vỏ lấy trục , hƣớng theo tiếp tuyến với đƣờng cong tọa độ 1, Tổng lực theo trục = + Tổng lực theo trục = + Tổng lực theo trục = 1 52 Mômen đối v − Mômen đối v − Momen đối v 2.3.4Khai triển cho vỏ trụ, vỏ cầu a Vỏ trụ Đối với vỏ trụ tròn ta chọn hệ tọa độ nhƣ sau ( Hình 7) Chọn đƣờng tọa độ trùng với đƣờng sinh trụ tròn, đƣờng trùng với đƣờng tròn mặt phẳng thẳng góc với trục Bán kính trụ trịn , phần tử đƣờng có dạng 2 +2 = , x ds a Hình suy = 1, = = , = = ∞, = (2.47) Các thành phần biến dạng vỏ trụ xác định theo công thức (2.40) Thay đại lƣợng (2.47) vào công thức (2.41) ta thu đƣợc kết sau 53 0 = Vậy ta có thành phần biến dạng vỏ trụ ∗ ∗ ∗ Phƣơng trình cân vỏ trụ trịn đƣợc xác định theo cơng thức (2.42)(2.46) ,2= ,12= ,1= ,2= 54 b Vỏ cầu Chọn hệ trục tọa độ nhƣ sau (Hình 8) Trục tiếp truyến với đƣờng cong tọa độ r Trục tiếp tuyến đƣờng cong tọa ds độ Bán kính vỏ cầu , phần tử R đƣờng có dạng =2 22+22, suy 2= 1= , 1=, 2= Hình = , = (2.51) Các thành phần biến dạng vỏ cầu đƣợc xác định theo công thức (2.40) Ta thay đại lƣợng (2.51) vào (2.41) thu đƣợc Vậy thành phần tenxơ biến dạng ∗ Mômen trục đại lƣợng nhỏ bậc cao nên bỏ qua 55 ∗ 56 Các phƣơng trình cân vỏ cầu mỏng đƣợc xác định theo công thức (2.42)(2.46) = Kết luận Luận văn trình bày khái niệm, phép tính bản, phép biến đổi tenxơ Trên sở vận dụng phép tính tenxơ để xác định phƣơng trình liên hệ biến dạng - chuyển vị, phƣơng trình cân bằng- chuyển động hệ tọa độ cong Từ kết sau biến đổi thu đƣợc phƣơng trình tính biến dạng – chuyển vị nhƣ hệ phƣơng trình cân hệ tọa độ trụ hệ tọa độ cầu Luận văn đạt đƣợc số kết sau: i Trình bày phép biến đổi để thu đƣợc - Các véctơ sở hiệp biến, phản biến hệ tọa độ trụ hệ tọa độ cầu - Các thành phần tenxơ mêtric hiệp biến hệ tọa độ trụ hệ tọa độ cầu - Các thành phần tenxơ mêtric phản biến hệ tọa độ trụ hệ tọa độ cầu - Các hệ số Lamé hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu - Dẫn đƣợc biểu thức liên hệ thành phần Christoffel đạo hàm véctơ sở - Xác định đƣợc thành phần kí hiệu Christoffel hệ tọa độ trụ hệ tọa độ cầu - Dẫn đƣợc biểu thức đạo hàm hiệp biến tenxơ hạng đạo hàm hiệp biến tenxơ hạng hai ii Trình bày đƣợc phƣơng trình chuyển động hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu, iii Tính đƣợc thành phần tenxơ biến dạng hệ tọa độ trụ, hệ tọa độ cầu iv Vận dụng phép tính sở tenxơ vào tốn vỏ trụ trịn, vỏ cầu i Giải gần phƣơng pháp số số toán đặt tải đơn giản vỏ trụ, vỏ cầu theo phƣơng pháp thiết lập ii Giải gần phƣơng pháp số số toán đàn hồi cho chữ nhật tròn theo phƣơng trình thiết lập 57 Tài liệu tham khảo [1] Đào Huy Bích(2000), Lý thuyết đàn hồi, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [2] Đào Huy Bích, Nguyễn Đăng Bích(2003), Cơ học mơi trường liên tục, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [3] A W Joshi (1995), Matrices and Tensors in Physics, 3rd ed Wiley [4] D.A Danielson(2003), Vectors and Tensor In Engineering And Physics: [5] Bernard Schutz (1980), Geometrical Methods of Mathematical Physics, Cambridgr University Press [6] Gantmacher FR (1959), The Theory of Matric, Chelsea Publishing Company, New York [7] Halmos PR (1958) Finite- Dimensional Vecctor Space, Van Nostrand, New York [8] I.N Broustein, K.A Semendyayev, G Musiol,H Muehlig (2004), Handbook of Mathematics, Spinger, Berlin Heidelberg New York [9] J.H Heinbocked (2001), Introduction to Tensor Calculus and Continuum Mechanics, Trafford Publishing [10] Mikhail Itskow, Tensor Algebra and Tensor Analysis for Engineers, Spinger Dordrecht Heidelberg London New York [11] Ralph Abraham, J E Marsden, T Ratiu (1988), Tensor Analysis, and Applications, 2nd ed, Springer-Verlag, New York [12] R.Bishop, S.Goldberg (1980), Tensor Analysis on Manifolds, New York: Dover [13] R.Aris (1989), Vectors, Tensors, and the Basic Equations of Fluid Mechanics, New York: Dover [14] Sokolnikoff IS (1964), Tensor Analysis, Theory and Applications to Geometry and Mechanics of Continua, John Wiley & Sons, New York 58 ...ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - ĐÀO THỊ BÍCH THẢO PHÉP TÍNH TENXƠ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG Mã số: 60440107 Chuyên ngành: Cơ học vật. .. - MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH TENXƠ 33 2.1 Ứng dụng tenxơ xác định phƣơng trình cân bằng- chuyển động 33 2.2 Ứng dụng tenxơ xác định thành phần liên hệ biến dạng- chuyển vị 42 2.3 Ứng dụng. .. - CÁC HỆ THỨC CƠ SỞ PHÉP TÍNH TENXƠ 1.1 Một số khái niệm Định nghĩa Tenxơ trƣờng hợp riêng hệ thống phần tử, thành phần hệ số hàm số xác định hệ sở cho, với phép biến đổi tuyến tính hệ sở thành