Phân tích thống kê mô hình ARCH và một số ứng dụng trong tài chính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐÀO VIỆT HÙNG PHÂN TÍCH THỐNG KÊ MƠ HÌNH ARCH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG TÀI CHÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐÀO VIỆT HÙNG PHÂN TÍCH THỐNG KÊ MƠ HÌNH ARCH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG TÀI CHÍNH Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60 46 15 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS Nguyễn Văn Hữu Hà Nội - 2012 Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung khóa luận, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc GS.TS Nguyễn Văn Hữu - Đại học KHTN ĐHQGHN, người thầy động viên, tận tình hướng dẫn để tác giả hồn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, dạy bảo tác giả tận tình suốt trình học tập khoa Tác giả xin gửi lời cám ơn tới tập thể thầy cô giáo Bộ mơn Tốn, trường Đại học Thủy Lợi, nơi tác giả công tác, tạo điều kiện, chia sẻ gánh vác công việc để tác giả hồn thành q trình học tập luận văn Nhân dịp tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè cổ vũ, động viên, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập thực đề tài Một lần nữa, tác giả xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 01 tháng 07 năm 2012 Học viên Đào Việt Hùng Mục lục MỞĐẦU Chương Mở đầu chuỗi thời gian 1.1 Mơ hình hóa chuỗi thời gian trình ngẫu nhiên 1.2 Tính dừng mạnh dừng yếu 11 1.3 Ví dụ 14 1.4 Quá trình phi tuyến 16 1.4.1 Thống kê "cái treo áo" (statistique portmanteau) 16 1.4.2 Một số hệ giả thiết nhiễu trắng 17 Chương Mô hình ARCH 19 2.1 Mơ hình ARCH chiều 19 2.1.1 Mơ hình với phương sai khơng cấp 19 2.1.2 Tính chất q trình sai số et 20 2.1.3 Tính chất trình fYt ; t Zg 21 2.1.4 Phân bố sai số 22 2.2 Tính chất chung mơ hình ARCH 23 2.2.1 Các hướng mở rộng khác 23 2.2.2 Tính dừng mơ hình GARCH(p,q) 25 2.2.3 Độ nhọn (Kurstosis) 26 2.2.4 Phương trình Yule - Walker cho bình phương trình GARCH 27 MỤC LỤC Chương Ước lượng kiểm định (Mơ hình ARCH biến) 29 3.1 Ước lượng phương pháp giả hợp lý cực đại 29 3.1.1 Phương pháp chung 29 3.1.2 Trường hợp mẫu độc lập 30 3.1.3 Mô hình hồi qui với sai số có phương sai khơng 32 3.1.4 Mơ hình hồi qui với sai số ARCH 36 3.1.5 Áp dụng mơ hình GARCH 38 3.2 phương pháp ước lượng theo bước 39 3.2.1 Mô tả phương pháp 39 3.2.2 So sánh phương pháp ước lượng với giả thiết phân bố chuẩn có điều kiện 40 3.2.3 Nghiên cứu độ hiệu 41 3.3 Khoảng dự báo 43 3.4 Kiểm định tính phương sai 46 3.4.1 Mơ hình hồi qui với sai số có phương sai khơng 46 3.4.2 Một biểu diễn thống kê tiêu chuẩn 48 3.4.3 Áp dụng cho mơ hình hồi qui với sai số ARCH GARCH 49 3.4.4 Ví dụ minh họa 51 Chương Mơ hình ARCH nhiều biến 56 4.1 Các mơ hình khơng có buộc 56 4.1.1 Mơ hình GARCH nhiều biến 56 4.1.2 Các ràng buộc tính dương 58 4.1.3 Các buộc tính ổn định 58 4.1.4 Ví dụ 59 4.1.5 Khai triển phổ 60 4.2 Mơ hình ràng buộc 62 4.2.1 Mơ hình đường chéo (Bollerslev Engle Wooldridge (1988)) 62 4.2.2 Mơ hình tương quan có điều kiện số (Bollerslev (1987)) 64 4.2.3 Mơ hình với hệ số ngẫu nhiên 65 4.2.4 Mơ hình dựa phân tích phổ (Baba - Engle - Kraft - Kroner (1987) ; Engle - Ridrigues (1987) 66 4.2.5 Mơ hình ARCH với nhân tố ( Dicbold-Nerlove(1988,1989)) 67 MỤC LỤC 4.3 Ước lượng mơ hình động phương sai không 68 4.3.1 Ước lượng phương pháp giả hợp lý cực đại 68 4.3.2 Tính chất tiệm cận phương pháp giả hợp lý cực đại 70 4.3.3 Mơ hình với tương quan có điều kiện số 71 Chương Danh mục đầu tư hiệu danh mục đầu tư bảo hộ 73 5.1 Xác định danh mục đầu tư hiệu 73 5.2 Tiêu chuẩn trung bình phương sai 75 5.3 Danh mục đầu tư hiệu theo tiêu chuẩn trung bình - phương sai 76 5.3.1 Xác định danh mục hiệu khơng tồn chứng khốn khơng rủi ro 76 5.3.2 Sử dụng để phân loại chứng khoán 78 5.3.3 Xác định danh mục tối ưu trường hợp có chứng khốn khơng rủi ro 78 5.4 Tính chất tập danh mục đầu tư hiệu 79 5.4.1 Tập danh mục đầu tư hiệu 79 5.4.2 Sự tồn nhân tố 81 5.5 Danh mục đầu tư bảo hộ 83 KẾTLUẬN 86 MỞ ĐẦU Sự phát triển mơ hình chuỗi thời gian phát triển nhanh để mô tả biến đổi theo thời gian chuỗi biến ngẫu nhiên kinh tế, kỹ thuật phục vụ cho việc chẩn đốn tính mùa, dự báo, điều khiển hệ Vào năm 70 lớp mơ hình loại ARMA nghiên cứu Các mơ hình dựa giả thiết giá trị chuỗi biểu diễn tuyến tính qua giá trị khứ chuỗi nhiều ngẫu nhiên Tuy nhiên mơ hình có bất tiện, dựa tính chất tuyến tính phải hạn chế tham số để mô tả cấu trúc tượng Trong lĩnh vực ứng dụng mô hình ARMA cổ điển, mơ hình ARMA bộc lộ nhược điểm nghiên cứu toán kinh tế, tài tiền tệ Trước tiên, chuỗi thể tính phi tuyến : biến thiên giá trị chuỗi, độ biến động phụ thuộc (phi tuyến) vào giá trị khứ Mặt khác có lý thuyết tài tiền tệ dựa học thuyết cân thái độ hợp lý hãng can thiệp vào thị trường lẽ tự nhiên phải đưa kiểm định buộc cấu trúc tham số Các mơ hình ARCH mơ hình phương sai sai số có điều kiện tự hồi quy (Conditionally autoregressive heterosedastivity) đưa Engle 1982 Có khoảng 50 báo hàng chục luận án nghiên cứu mơ hình ARCH Sự phát triển nhanh chóng cơng trình nghiên cứu thể tầm quan trọng mơ hình ARCH lý thuyết thống kê áp dụng Về phương diện thống kê mơ hình ARCH lập nên lớp mơ hình phi tuyến Với mơ hình người ta cần nghiên cứu số toán cổ điển : Kiểm tra chế ngẫu nhiên, xác định khoảng dự báo MỤC LỤC Trong lĩnh vực tài người ta áp dụng mơ hình ARCH biến động (Voltality) chuỗi phụ thuộc vào thời gian Người ta sử dụng mơ hình ARCH tài để nghiên cứu danh mục đầu tư tối ưu (optimal portefolio), định giá quyền chọn, hiệu thông tin khác thị trường Cấu trúc luận văn: Chương : Mở đầu chuỗi thời gian Chương : Mơ hình ARCH biến Chương : Ước lượng kiểm định mơ hình chương : Mơ hình ARCH nhiều biến chương : Danh mục đầu tư hiệu danh mục đầu tư bảo hộ Chương Mở đầu chuỗi thời gian 1.1 Mơ hình hóa chuỗi thời gian q trình ngẫu nhiên Việc phân tích động học chuỗi kinh tế dựa quan sát liệu theo thời gian nói chung chuỗi bộc lộ số tính chất thơng thường : Các thành phần bùng nổ tuần hoàn (xem : chuỗi thời gian số người thất nghiệp Pháp), xu thế, lợi tức trình kinh doanh chuỗi xem thể theo thời gian trình ngẫu nhiên Một q trình ngẫu nhiên (QTNN) với thời gian rời rạc dãy biến ngẫu nhiên xác định không gian xác suất (W; A; P) Các biểu ngẫu nhiên nhiều chiều gắn với số thời gian t Để đơn giản ta giả thiết thời điểm quan sát cách gắn số nguyên QTNN ký hiệu : Y = (Yt ; t t) Trong t N Z (N : tập số nguyên, Z : tập số nguyên mở rộng) Khi Y trình ngẫu nhiên n chiều ta viết : Yt = (Yj t ; j = 1; : : : ; n) CHƯƠNG MỞ ĐẦU VỀ CHUỖI THỜI GIAN Tương tự ta có : CHƯƠNG DANH MỤC ĐẦU TƯ HIỆU QUẢ VÀ DANH MỤC ĐẦU TƯ BẢO HỘ80 p(a )=1 Như a danh mục đầu tư sử dụng để biến đổi lợi suất trung bình rủi ro khơng thay đổi chi phí Một danh mục đầu tư với chi phí khơng gọi danh mục đầu tư khơng có độ chênh thi giá Các tính chất thống kê danh mục đầu tư a a sau : Tính chất : Ta có m(a ) = m 0 (m S e) m(a ) = Hơn lợi suất danh mục đầu tư không tương quan Một danh mục đầu tư hiệu ln có dạng a a + c0 a Ứng với chi phí ban đầu c0 đem lại thu nhập trung bình m(a ) + c0 m(a ) 2a phương sai h (a) = Với chi phí c0 cho, danh mục đầu tư hiệu có phương sai cực tiểu c0 a Danh mục c0 a thể danh mục đầu tư danh mục với rủi ro cực tiểu Hơn danh mục cho phép ta hiểu rõ kết thu trường hợp có tồn chứng khốn khơng rủi ro : a thay cách tự nhiên chứng khốn khơng rủi ro Vả lại, với c0 cho ta vẽ đường cong hiệu thể tiến triển giá trị trung bình lợi suất danh mục đầu tư hiệu hàm phương sai Đường cong có dạng nửa parabole CHƯƠNG DANH MỤC ĐẦU TƯ HIỆU QUẢ VÀ DANH MỤC ĐẦU TƯ BẢO HỘ81 Trong trường hợp có tồn chứng khốn khơng rủi ro xây dựng danh mục tối ưu kết hợp (xem (5:3:5),(:::)) cho 0 m(aˆ; aˆ0) = m diag p aˆ p aˆ + R0aˆ0 aˆ0 h (aˆ; aˆ0) = Đường cong hiệu có phương trình hiển : Nửa parabole tiếp xúc với trục tung tăng theo S 5.4.2 Sự tồn nhân tố Việc biết trọng số cho phép ta xây dựng danh mục đầu tư hiệu đóng vai trị quan trọng thực hành Nhưng có ích cho việc mơ hình hóa phương sai phụ thuộc vào thời gian Tại thời điểm (không tính đến chi phí giao dịch), danh mục đầu tư tối ưu nói chung cần phải : aˆt = 2a +c phụ thuộc vào thời gian Hơn danh mục đầu tư sở phụ thuộc thời gian Giả sử ma trận phương sai tức thời chấp nhận phân tích nhân tố dạng : n St = å lit bi bi i=1 Trong vecto bi; i = 1; : : : ; n lập nên sở trực chuẩn R khơng phụ thuộc vào thời gian Ta có : n St n = å l bi bi i=1 it CHƯƠNG DANH MỤC ĐẦU TƯ HIỆU QUẢ VÀ DANH MỤC ĐẦU TƯ BẢO HỘ82 Khi ta biểu diễn danh mục đầu tư hiệu dựa danh mục đầu tư sở không tương quan bi; i = 1; : : : ; n : diag(pt )aˆt = +c lit Trong trường hợp có nhân tố cảm sinh có rủi ro yếu, tức có l it = 0, giả sử n r nhân tố cuối ứng với số i = r + 1; : : : ; n có tính chất lit = li lt với li ! ; i = r + 1; : : : ; n ta có diag(p )aˆ t t ta phân biệt trường hợp : Nếu với chứng khốn có số r + 1; : : : ; n (ít có số) cho : lim t!¥ li số thành phần aˆ t trở thành vô hạn (với giả thiết hiển nhiên giá bị chặn) Khi có tồn chứng khốn xấp xỉ khơng rủi ro có lợi suất trung bình khác nhau, theo tính chất có độ chênh thị giá, số chứng khốn ta hy vọng chứng khốn có thu nhập vơ hạn Trong trường hợp giới hạn biểu thức vế trái trường hợp CHƯƠNG DANH MỤC ĐẦU TƯ HIỆU QUẢ VÀ DANH MỤC ĐẦU TƯ BẢO HỘ83 không, 8i = r + 1; : : : ; n, danh mục đầu tư tối ưu trở thành diag(p )aˆ t t j=r+1 Danh mục xem hàm r + danh mục đầu tư sở bi ; i = 1; : : : ; r bất biến theo thời gian danh mục : j=r+1 Như vậy, công thức với nhân tố xây dựng, ta xác định danh mục đầu tư xấp xỉ không rủi ro để thấy thu nhập thực nhận hay khơng, ngược lại thu nhập danh mục khơng đáng kể chứng khốn ghép lại thành chứng khốn với trọng số thích hợp, sau danh mục đầu tư tối ưu xây dựng cách kết hợp chứng khốn với chứng khốn có rủi ro 5.5 Danh mục đầu tư bảo hộ Trong mục trước ta nghiên cứu việc chọn danh mục đầu tư theo tiêu chuẩn trung bình phương sai với ràng buộc chi phí c Các tiêu chuẩn khác với ràng buộc khác sử dụng thực hành Ví dụ, người ta mong muốn xây dựng danh mục đầu tư dựa số chứng khốn cho lợi suất thời kỳ gần sát dãy lãi suất Bài tốn đặt ngữ cảnh khác Sau ta đưa số ví dụ : Một số nước phát triển cần phải tốn nợ với nước ngồi Các nợ phải trả theo ngoại tệ Đôla, Yên, Mark với tỷ lệ ngoại hối thay đổi Rõ ràng việc phân bổ nợ theo ngoại hối khác CHƯƠNG DANH MỤC ĐẦU TƯ HIỆU QUẢ VÀ DANH MỤC ĐẦU TƯ BẢO HỘ84 cần phải tính đến việc bảo hộ trước rủi ro thay đổi tỷ lệ ngoại hối Một cách tự nhiên, trước tiên phải lựa chọn việc phân bố nợ theo ngoại hối sở cho lượng phải trả sát với tỷ lệ cho trước vượt giá Một số thể chế tài muốn đặt thị trường danh mục đầu tư cho phép tái tạo số chung số (Dow - Jones , CAC 40, ) để đối chọi lại với số không rủi ro quan trọng Trên thị trường hàng hóa : sắt thép, cà phê, lúa mì, ca cao, người ta thường tiến hành mua bán theo quyền chọn mua, bán để tạo điều kiện cho hãng tự bảo hộ trước thay đổi bất thường giá thị trường Xác định danh mục đầu tư xấp xỉ dãy lãi suất Ta giữ nguyên ký hiệu phần trước Chuỗi lãi suất doanh thu fz t g thời kỳ cho : z z t+1 = + t+1 zt z t zt Ta chọn danh mục đầu tư n chứng khoán xét cho lợi suất thơ gần với zt+1=zt Bài toán đặt xác định danh mục đầu tư cho : a > > < Et với điều kiện : > > : Ta xét lời giải tốn có chứng khốn khơng rủi ro với lợi suất thô biết R0 ;t+1 Như phần trước, chứng khốn khơng rủi ro thêm vào tập n chứng khốn có rủi ro xét tốn trở thành : Thay a0 xác định a1 ;:::;an m CHƯƠNG DANH MỤC ĐẦU TƯ HIỆU QUẢ VÀ DANH MỤC ĐẦU TƯ BẢO HỘ85 Nếu ký hiệu pt = (p1t ; : : : ; pnt ); Rt+1 = (R1 ;t+1; : : : ; Rn ;t+1), lời giải toán : ˆ [ Et (Rt+1 diag(pt )a = Cơng thức biểu diễn qua lợi suất trung bình độ biến động lợi suất : [cov Trong St+1 = Var(Rt+1) KẾT LUẬN Luận văn trình bày lớp mơ hình GARCH khác với mơ hình hồi quy tuyến tính cổ điển phương sai sai số thay đổi theo thời gian Các mơ hình mơ tả tương đối phù hợp q trình kinh tế tài chính, việc nhận dạng, phân tích xử lý thống kê phức tạp nhiều so với mơ hình cổ điển Hiện chưa có chương trình phần mềm xử lý mơ hình ARCH nhiều chiều có ứng dụng quan trọng tài 86 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Hữu, Nguyễn Hữu Dư Phân tích thống kê dự báo, NXB : Đại học Quốc Gia Hà Nội 2003 [2] Box G.et Jenkins G (1070), Times series Analysis Forcasting and control, San Francisco, Holden Day [3] Box G., Pierce O (1970), Distrilretion of Redisual Autocorrelation in Autore- gressive Integrated Moving Average Time Series models, JASA 70, 70-79 [4] Black, F.et Scholes M.,(1973), The Pricing of options and corporate Liabili-ties, Journal pf Political Economy, 81; 637-654 [5] Bollerslev T ,(1986), Generalixed Autoregrestive conditional Heteroscedas-ticity, Journal of Econometric, 31, 307-327 [6] Baba Y., Engle R., Kraft D., Kroner K., (1987), Multivariate Simultaneous Generalixed ARCH, UCSD D.P [7] Bollerslev T (1987), A conditionallly Heteroskeclastic Time Series Model for security Prices and Rate of Return Data To appear in Review of Economies and Statistics [8] Bollerslev T., Engle R., Wooldridge J., (1988), A Capital Asset fricing Model with Time Varying Covariances, Jourmal of Political Economy, 96, 116-131 [9] Bollerslev T.et Engle R.,(1989), Common Persistence in Conditional vari-ances, U.C.S.D.D.P 87 TÀI LIỆU THAM KHẢO [10] Bollerslev T.et Wooldridge J.M, Quasi - maximum likelehood estimation of dynamic models with time varying covariances, D.P.MIT [11] Dicblod F, Nerlove M (1989), The Dynamie of Exchange Rate Votatility A Multivariate Latent Factor ARCH Model, Journal of Applied Econometrics, 4, 1-22 [12] Dicblod F., Nerlove M., (1988), Endogeneous Risk in a Portfolio Balance Ra-tional Expectation Model of the Deutchmamrk - Dollar rate, European Eco-nomic Review, 32, 27-53 [13] Engle R.F ,(1982), Autoregrestive conditional Heteroscedasticity with Esti-mate of the variances of U.K.Inflation, Econometrica 50, 987-1008 [14] Engle R.F.et Bollerslev (1986), Modelling the persistence of conditional cari-ances, Econometric Review, 5,1-50 [15] Engle R.F.Lilien D and Robbins R ,(1987), Estimating Time varying Risk Premia in the structure : The ARCH-M model, Econometrica, 55, 391-407 [16] Engle R., Rodrigues A., (1987), Tests of International CAPM with time vary-ing covariances, NBER DP 2054 [17] Gourierous C., Monfort A., Trognon A (1984), Pseudo - Maximum Likeli-hood Methods : Theory, Econometrica, 52, 681-700 [18] Gallant R.A (1987), Non Linear Statistical Models, Wiley [19] Gourierous C., Monfort A., (1989), Statistique et Modeles Econometriques, Economica, tomes [20] Gourierouse C et Monfort A (1990), Sinulation based inference in models with heterogeneity, Annales d’ economie et de Statistique [21] Gourieroux C., (1992), Modeles ARCH et Applications Financiesres, Eco-nomica 1992 [22] Keeman D.M (1985), A Tukey Nonadditivity - Type test for time Series Non Linearity, Biometrika, 72, 39-44 TÀI LIỆU THAM KHẢO [23] Ljung B.G., Box G.E.P., (1978), on a Measure of Lack of Fit in Time Series Models, Biometrika, 65, 297-303 [24] Markowitz H, (1976), Portfolio Selection, Yale University Press [25] MeLeod A.I., Li W.K., (1983), Diagnostic checking ARMA Time Series Mod-els Using Squared Residual Autocorrelations, J.T.S.A 4, 269-273 [26] Nisio M (1960), On Pollynomial Approximation for strictly Stationary Pro-cess, Journal of the mathematical Society of Japan, 12, 207-226 [27] Nisio M (1961), Remark on the canonical Representation of Strictly Station-ary Process, Journal of the mathematics (Kyoto), 1, 129-146 [28] Sharpe, W.F., (1984), Factor Models, CAPM’S and the A.P.T, Journal of Port-folio Management, 11, 21-25 [29] Weiss A.A (1986), ARCH and Bilinear Time Serie models : Comparison and combination, Journal of Business and Economic statistics 4, 59-70 ... HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐÀO VIỆT HÙNG PHÂN TÍCH THỐNG KÊ MƠ HÌNH ARCH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG TÀI CHÍNH Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60 46 15 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA... cứu thể tầm quan trọng mơ hình ARCH lý thuyết thống kê áp dụng Về phương diện thống kê mơ hình ARCH lập nên lớp mơ hình phi tuyến Với mơ hình người ta cần nghiên cứu số toán cổ điển : Kiểm tra... xét mơ hình hồi qui tuyến tính với sai số GARCH: ( Yt = Xt b + et (2.2.5) Trong et GARCH(p,q) Ví dụ 2: Mơ hình ARMA với sai số GARCH ( f(B)Yt = q (B)et (2.2.6) Trong et thỏa mãn mơ hình GARCH(p,q)