Tính toán ngẫu nhiên và một số ứng dụng vào lĩnh vực tài chính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN THỊ PHƢƠNG THUỶ TÍNH TỐN NGẪU NHIÊN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG VÀO LĨNH VỰC TÀI CHÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – Năm 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN THỊ PHƢƠNG THUỶ TÍNH TOÁN NGẪU NHIÊN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG VÀO LĨNH VỰC TÀI CHÍNH Chuyên ngành: Lý thuyết Xác suất Thống kê toán học Mã số: LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN THỊNH Hà Nội – Năm 2012 BẢNG KÝ HIỆU Tập số tự nhiên Tập số hữu tỉ Tập số thực Tập số nguyên Tập số phức n Không gian n - chiều ,  Thuộc, không thuộc ,  Tồn tại, với AB A tập B AB AB  AB i i Hợp A B  a  a Giao A B i i x  X : x  P   x  X x  P sup E inf E lim  lim sup n lim  lim inf n n PA PA F Tích số Tập phần tử x  X có tính chất P Chuẩn x x n Tổng số Cận E Cận E Giới hạn Giới hạn Xác suất A Xác suất có điều kiện A F EX :  X dP Kỳ vọng X EF(X)  E(X F) Kỳ vọng có điều kiện X F MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU CHƢƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ Phần Cơ sở giải tích ngẫu nhiên 1.1 Một số kiến thức liên quan tới trình ngẫu nhiên 1.1.1 Quá trình đo 1.1.2 Quá trình đo dần 1.1.3 Quá trình khả đoán 1.1.4 Q trình thích nghi với lọc 10 1.1.5 Quá trình khuếch tán 11 1.1.6 Quá trình Ornstein-Uhlenbeck 12 1.1.7 Quá trình Wiener (Chuyển động Brown) 13 1.2 Tích phân ngẫu nhiên Bài toán lọc 14 1.2.1 Tích phân ngẫu nhiên Itơ công thức Itô 14 1.2.2 Lý thuyết lọc ngẫu nhiên 18 Phần Martingale với thời gian rời rạc 22 1.3 Khái niệm tương thích dự báo 23 1.4 Thời điểm Markov thời điểm dừng 23 1.4.1 Thời điểm dừng 23 1.4.2 Quá trình dừng 24 1.4.3 Thời điểm Markov 24 1.4.4 Quá trình Markov 25 1.4.5 Hai điều kiện tương thích q trình Markov 25 1.4.6 Các tính chất thời điểm Markov thời điểm dừng 25 1.5 Martingale 26 1.5.1 Các định nghĩa 26 1.5.2 Các tính chất 28 1.5.3 Phép biến đổi Martingale 28 1.5.4 Ví dụ 29 1.6 Một số bất đẳng thức định lý 30 1.6.1 Bất đẳng thức Kolmogorov 30 1.6.2 Định lý Kolmogorov 30 1.6.3 Bất đẳng thức Doob 30 1.6.4 Bất đẳng thức cắt ngang 31 1.6.5 Định lý hội tụ Doob 31 1.6.6 Định lý tồn lời giải 32 1.6.7 Lời giải yếu lời giải mạnh 37 CHƢƠNG TÍNH TỐN NGẪU NHIÊN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG VÀO LĨNH VỰC TÀI CHÍNH 38 2.1 Thị trường, danh mục đầu tư thị trường có độ chênh lệch thị giá .38 2.1.1 Định nghĩa 38 2.1.2 Định nghĩa 42 2.1.3 Định nghĩa 42 2.1.4 Ví dụ 43 2.1.5 Định lý Dudley 45 2.1.6 Bổ đề 45 2.1.7 Định nghĩa 46 2.1.8 Định lý 47 2.1.9 Ví dụ 49 2.2 Tính đạt tính đầy đủ 50 2.2.1 Bổ đề 50 2.2.2 Bổ đề 50 2.2.3 Bổ đề 52 2.2.4 Định nghĩa 53 2.2.5 Định lý 54 2.2.6 Hệ 57 2.2.7 Ví dụ 57 2.2.8 Ví dụ 57 CHƢƠNG ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN 59 3.1 Định nghĩa 60 3.2 Định lý 60 3.3 Định lý 65 3.4 Định lý 66 3.5 Ví dụ 67 3.6 Định lý (Công thức tổng quát Black & Scholes) 69 Quyền chọn kiểu Mỹ (American options) 74 3.7 Định nghĩa 74 3.8 Định lý (Công thức định giá quyền chọn kiểu Mỹ) 75 Trường hợp Khuyếch tán Itô: Liên kết với tối ưu dừng 78 3.9 Định lý 80 3.10 Ví dụ 80 KẾT LUẬN 82 LỜI MỞ ĐẦU Ngày trình ngẫu nhiên ứng dụng rộng rãi nhiều ngành khoa học như: tin học, sinh học, y học, vật lý, tài Trong có kiến thức lý thuyết trình ngẫu nhiên, lý thuyết martingale, lý thuyết lọc ngẫu nhiên, lý thuyết khuyếch tán, tích phân ngẫu nhiên, cơng thức Itơ Bản luận văn gồm chương: Dựa sở phần nội dung lý thuyết trình ngẫu nhiên để nghiên cứu vận dụng vào mơ hình tốn đáng tin cậy áp dụng nhiều thực tế đặc biệt ngành tài Các mơ hình nghiên cứu mơ hình chung (có thể khơng liên tục) mơ hình nửa martingale mơ hình làm sở cho trình ngẫu nhiên mà không cần nửa martingale chuyển động Brown Chương Trình bày số khái niệm giải tích ngẫu nhiên Đó q trình liên quan tới trình ngẫu nhiên như: trình đo được, đo dần, q trình khả đốn, q trình thích nghi, trình khuyếch tán, trình Ornstein - Uhlenbeck, q trình Wiener (chuyển động Brown) Đó Martingale với thời gian rời rạc nội dung chủ yếu Thời điểm Markov thời điểm dừng, Mactingale; Các bất đẳng thức Định lý Kolmogorov, Doob Chương Trình bày tính tốn ngẫu nhiên Ito khái niệm đầy đủ thị trường Chương đưa định nghĩa thị trường đầu tư, danh mục đầu tư, danh mục đầu tư chấp nhận (có độ chênh lệch thị giá - arbitrage) để so sánh với thị trường thực tế khơng có độ chênh lệch thị giá -no arbitrage (Định nghĩa 2.1.1, 2.1.2); Nội dung chương đưa Bổ đề, sở nêu định nghĩa tính đạt tính đầy đủ (Định nghĩa 2.2.4); Định lý quan trọng (2.2.5) đưa điều kiện cần đủ để thị trường đầy đủ, hệ ví dụ cụ thể thị trường đầy đủ Chương Dùng kỹ thuật tính tốn ngẫu nhiên trình bày chương để tính giá (pricing) chiến lược đầu tư tương ứng (hedging) cho thị trường đầy đủ, sau áp dụng cho mơ hình Black & Scholes trường hợp riêng thị trường đầy đủ Trong lĩnh vực tài ta biết hoạt động tiêu biểu hoạt động ngân hàng kinh tế thị trường hoạt động thường có dịch vụ chủ chốt như: dịch vụ khách hàng, ngoại thương, nhận tiền gửi, dịch vụ cho vay kinh doanh dịch vụ khác Trong dịch vụ ấy, có nhiều cơng đoạn hoạt động với lãi lỗ khác thay đổi theo thời gian Vì điều quan trọng là: xác định giá quyền chọn mua thời điểm đầu tư số tiền bảo chứng cho vừa phải để đảm bảo cho hoạt động kinh doanh Có hai loại quyền chọn mua chủ yếu: - Quyền chọn kiểu Châu Âu (European options) - Nhà đầu tư mua quyền bán mua, cho phép kinh doanh thời điểm cố định - Quyền chọn kiếu Mỹ (American options) kinh doanh thời điểm trước thời điểm kết thúc kinh doanh Hiện quyền chọn kiểu Châu Âu phổ biến nội dung phần đưa định nghĩa giá, người mua phải trả cho quyền chọn mua người bán chấp nhận quyền chọn bán (Định nghĩa 3.1) Bên cạnh đưa sở lý luận cho việc đầu tư quay vịng để đạt yêu cầu? thể nội dung (Định lý 3.4) tìm danh mục đầu tư quay vòng để đạt yêu cầu F cho trước Hiểu rõ vấn đề luận văn đưa ví dụ cụ thể (Ví dụ 3.5) Lý thuyết xác suất nói chung lý thuyết q trình ngẫu nhiên nói riêng áp dụng có hiệu ngành tài năm gần đây, đặc biệt sử dụng mơ hình Black & Scholes để xác định xác giá chi phí cho quyền chọn mua kiểu Châu Âu (Định lý 3.6) Quyền chọn kiểu Mỹ có khác biệt với quyền chọn kiểu Châu Âu người mua tự chọn lựa thời điểm kinh doanh trước thời điểm kết thúc kinh doanh Chương đưa định nghĩa quyền chọn kiểu Mỹ công thức định giá quyền chọn kiểu Mỹ (Định lý 3.8) CHƢƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ Phần Cơ sở giải tích ngẫu nhiên Trong chương này, kiến thức chuẩn bị giải tích ngẫu nhiên đưa gồm khái niệm, tính chất định lý có liên quan ứng dụng vào lĩnh vực tài Trong có kiến thức lý thuyết trình ngẫu nhiên, lý thuyết martingale, lý thuyết lọc ngẫu nhiên, lý thuyết khuyếch tán, tích phân ngẫu nhiên, cơng thức Itơ 1.1 Một số kiến thức liên quan tới trình ngẫu nhiên 1.1.1 Quá trình đo đƣợc Cho (,F ,P) X   X t ,t  0 B F Điều  :X t ,   chứa tập có dạng 0,t A với t   t, , AF 1.1.2 Quá trình đo đƣợc dần Cho   trường Borel 0, t Cho trình ngẫu nhiên chế X đoạn 0, t, với t cố định thuộc Ta X :  0, t Trên tích 0, t, ta xét   trường tích   trường tích với t  thì trìnhXlà trình đo dần 1.1.3 Q trình khả đốn   trường khả đoán   trường nhỏ tập  , mà trình liên tục trái đo Cho q trình ngẫu nhiên X  X t, thích nghi với Ft  Nếu hàm t ,    X t, (từ   ) P  đo ta nói X hàm khả đoán Ft  a   trường tập hoàn toàn đo     trường O tập   nhỏ mà q trình liên tục bên phải có giới hạn trái đo b Nếu X  X t, ánh xạ đo từ    ,O ,Bta nói X q trình hồn tồn đo 1.1.4 Q trình thích nghi với lọc 1.1.4.1 Một họ   trường Ft điều kiện sau: (i) Họ họ tăng, tức F s  F (ii) Họ liên tục phải, tức F t  Ft  (iii) Mọi tập P bỏ qua AF Ft ) 1.1.4.2 Cho trình ngẫu nhiên sinh biến ngẫu nhiên Xt , tức Ft X   0 Ft X ,t X s ,0  s  t  Khi họ  gọi lọc tự nhiên trình 1.1.4.3 Cho lọc X , hay lịch sử X Ft ,t   W, F  Một trình Y gọi thích nghi với lọc với Yt đo   trường Ft Mọi trình X   X t ,t  là thích nghi với lịch sử nóFtX,t 1.1.4.4 Cho q trình X với lịch sử kỳ thích nghi với lịch sử Ft X Ft X ,t   Một trình Y bất q trình X Yt  biểu diễn dạng Yt   ft X s1   , X s2 ,  s1 , s2 , dãy phần tử 0,t và ft hàm Borel thực  10 Giả sử y  , tồn thời điểm dừng   T danh mục đầu tư chấp a) nhận  cho Khi chứng minh Định lý 3.2 ta nhận   y  i s  s i Lấy kỳ vọng theo Q ta nhận  EQ    F    sup EQ    F   y  T Vì bất đẳng thức với y nên ta có kết luận sau: p A F   sup EQ    F    T Tương tự, giả sử z  tồn danh mục đầu tư chấp nhận  cho Vz t,  z  t s dX s   F t  h.c.c Khi phần   T thời điểm dừng ta có  z  n  i i1 Lấy kỳ vọng theo Q lấy sup vượt   T ta có z  sup EQ    F    T Do bất đẳng thức với  nên q A F   sup EQ    F  z b) Giả sử thêm điều kiện thị trường dừng   T Ta đặt đặt   T (3.46) 76 Khi Gk T -yêu cầu bị chặn, nên từ tính đầy đủ ta tìm yk   k  cho thoả mãn Khi từ (2.8)-(2.9),  y k    k   s  d Từ kết kết hợp với (2.8)-(2.9) ta có  yk   k  s dX s F Điều giá đưa có dạng điểm dừng   T người mua quyền chọn kiểu Mỹ chấp nhận với yêu cầu Fk t, Do pA Cho k  ta nhận hội tụ đơn điệu theo k p A Phần lại ta đặt z  sup EQ    F   77 tồn danh mục đầu tư chấp nhận  s, với siêu lặp F t,,  z  t  s ,   dX s  F t,với t ,  Trƣờng hợp Khuyếch tán Itô: Liên kết với tối ƣu dừng Định lý 3.8 việc định giá quyền chọn kiểu Mỹ toán tối ưu dừng Trong trường hợp tổng qt nghiệm tốn biểu diễn số hạng bao hình Snell Định nghĩa bao hình Snell (the Snell envelope) nhƣ sau:  S t   sup EQ    F   t  T S t  siêu martingale theo Q Ft Meyer ta viết S t   M t   A  t ;  M t  Q, Ft m -martingale với M 0   S 0  z At  q trình khơng giảm với A0  Chúng ta nghiên cứu nội dung cụ thể sau: Giả sử thị trường khuyếch tán Itô n1-chiều t    X t , X t , , X n t ; t  có dạng (xác định (1.1)- X (1.2)) dX (t )  (t , X t ) X (t ) dt ; m dX i (t )   i (t , X t ) dt  ij (t , X t ) dB j (t ) j 1   i (t , X t ) dt  i (t , X t ) dB (t ); xi (3.51) X i (0)  với  , i , ij hàm thoả mãn điều kiện Hơn giả sử điều kiện tương ứng với (2.12)-(2.13) thoả mãn, điều u t , x m1 cho, với t , x  x0 , x1 , , xn , 78  i t , x  u t , x   i t , x     t , x  xi với i 1, , n x E x thường ký hiệu kỳ vọng theo x  1, x1 , , xn  Với  t  T đặt M t   M t, định nghĩa, (2.2), độ đo xác suất Q F m Tiếp tục giả sử F t, T -yêu cầu đạt kiểu Mỹ có dạng Markovian điều với g:  hàm  X  t lý 3.8 sau:  p A F  t0,T    sup E    T sup E  E  M T    g  , X   F      T  sup E     T   sup E  M      g  , X   T  coi M t  P -martingale n 1  Đặt 79 dK t    t , X t K t dt  u t , X t K t dBt  Khi Do ta định nghĩa khuyếch tán Itơ n  3 -chiều Y t  sau: 1 0  K  dt  0          dX           Ta thấy  T với G  y  G s , k , x   kg s , x  ; 3.9 Định lý Giá pA F  T -yêu cầu xảy kiểu Mỹ F có dạng Markovian (3.56) nghiệm toán tối ưu dừng (3.60), với khuyếch tán Itô Y t  cho (3.59) 3.10 Ví dụ Xem xét thị trường Black Scholes sau: dX t    X t dt ; X 0 1 dX t    X t dt   X t dB t ; X 0  x1  với  ,  ,  số,   Khi phương trình (3.52) trở thành  điều x1u x1    x1  x1 80  1 Do B t    Giả sử yêu cầu kiểu Mỹ cho  F t,  g t , X1 t  với hàm là:  T Nếu ta coi giá pA F  hàm s , k , x điểm bắt đầu y  s , k , x trình dY t   dt , dK t , dX t , tìm  thoả mãn tìm hàm  s , k , x thoả mãn điều kiện Trong trường hợp L  s , k , x   Nếu T  ta khơng thể loại bỏ phụ thuộc vào thời gian s Do trường hợp vấn đề phải tìm  mạnh nhiều Để giải vấn đề khó khăn đơn giản hố cách giả sử    (nên P  Q ) g t , x1   a  x1  với a  số Khi tốn trở thành tìm giá đầu tƣ cho quyền chọn kiểu Mỹ (the American put option price) pA  F   sup E  e  T 81 KẾT LUẬN Bằng việc nghiên cứu vận dụng kiến thức giải tích ngẫu nhiên, luận văn đưa sở lý thuyết để tính giá (pricing) chiến lược đầu tư tương ứng (hedging) cho thị trường đầy đủ số ứng dụng lĩnh vực tài chính, luận văn đưa số mơ hình phương pháp xây dựng thị trường có lợi cho nhà đầu tư hoạt động kinh doanh thị trường tài Tuy nhiên, kết luận luận văn hạn chế chưa vận dụng lý thuyết pricing hegding cho thị trường đầy đủ để xử lí liệu thật thị trường thơng qua giải phương trình đạo hàm riêng Mont Carlo sử dụng Matlab phần mềm tương ứng Đặc biệt xử lí số liệu hoạt động ngân hàng kinh tế thị trường để thấy rõ mặt có lợi yếu tố rủi ro ảnh hưởng đến nhà đầu tư Cuối cùng, xin cam đoan thông tin sử dụng luận văn hoàn toàn thật Xin chân thành cảm ơn thầy đóng góp cho ý kiến để luận văn hoàn chỉnh 82 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Đào Hữu Hồ, (1998), Xác suất Thống kê, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Nguyễn Viết Phú, Nguyễn Duy Tiến, (1983), Cơ sở lý thuyết Xác suất, NXB Đại học trung học chuyên nghiệp, Hà Nội Đặng Hùng Thắng, (1998), Mở đầu lý thuyết Xác suất ứng dụng, Trần Hùng Thao, (2000), Tích phân ngẫu nhiên Phương trình vi phân ngẫu nhiên, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội Nguyễn Duy Tiến, Đặng Hùng Thắng, (2000), Các mơ hình xác suất ứng dụng, Phần 2: Quá trình dừng ứng dụng, NXB Đại học Quốc gia, Hà Nội Nguyễn Duy Tiến, Vũ Việt Yên, (2000), Lý thuyết xác suất, NXB Giáo dục Nguyễn Duy Tiến, (2005), Các mơ hình xác suất ứng dụng, Phần 3: Giải tích ngẫu nhiên, NXB Đại học Quốc gia, Hà Nội Tiếng Anh Bernt Oksendal, (2000), Stochastic Diffferential Equations, An Introduction with Applications, Springer-Verlag, Berlin and New York A.N Shiryaev, (1996), Probability, Springer-Verlag, New York 10 G.A Edgar and Louis Sucheston, (1992), Stopping Times and Directed Processes, Cambridge Univ Press 11 H Cramer, M.R Leadbetter, (1967), Stationary and Relaled Stochastic Processes, John Wiley, New York - London - Sydney 12 Kai Lai Chung, (1982), Lectures from Markov Processes to Brownnian Motion, Springer-Verlag, Berlin and New York 83 13 Kai Lai Chung, R.J Williams, (1983), Introduction to Stochastic Integartions, Birkhauser 14 Michael Meyer, (2000), Continuous Stochastic Calculus with AppliCations to Finance, Springer-Verlag, London, New York and Washington D.C 15 N Ikeda S Wantanabe, (1981), Stochastic Differential Equations and Diffusion Process, Noth-Holand Publishing Co 16 P.A Meyer, (1972), Martingales and Stochastic Integrals, SpringerVerlag, Heidelberg, New York 17 S Kwapien, W.A Woyczynski, (1992), Random Series and Stochastic Integrals, Birkhauser, Boston, Besel, Berlin 84 85 ... ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN THỊ PHƢƠNG THUỶ TÍNH TỐN NGẪU NHIÊN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG VÀO LĨNH VỰC TÀI CHÍNH Chuyên ngành: Lý thuyết Xác suất Thống kê toán học Mã số: LUẬN VĂN THẠC... giải 32 1.6.7 Lời giải yếu lời giải mạnh 37 CHƢƠNG TÍNH TỐN NGẪU NHIÊN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG VÀO LĨNH VỰC TÀI CHÍNH 38 2.1 Thị trường, danh mục đầu tư thị trường có... tích ngẫu nhiên Trong chương này, kiến thức chuẩn bị giải tích ngẫu nhiên đưa gồm khái niệm, tính chất định lý có liên quan ứng dụng vào lĩnh vực tài Trong có kiến thức lý thuyết trình ngẫu nhiên,