Tính toán ngẫu nhiên và một số ứng dụng vào lĩnh vực tài chính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN THỊ PHƢƠNG THUỶ TÍNH TỐN NGẪU NHIÊN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG VÀO LĨNH VỰC TÀI CHÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – Năm 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN THỊ PHƢƠNG THUỶ TÍNH TOÁN NGẪU NHIÊN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG VÀO LĨNH VỰC TÀI CHÍNH Chuyên ngành: Lý thuyết Xác suất Thống kê toán học Mã số: 60 46 15 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS NGUYỄN THỊNH Hà Nội – Năm 2012 BẢNG KÝ HIỆU  Tập số tự nhiên  Tập số hữu tỉ  Tập số thực  Tập số nguyên   Tập số phức n Không gian n - chiều ,  Thuộc, không thuộc ,  Tồn tại, với A B A tập B A B Hợp A B A  B  AB Giao A B a i i Tổng số a Tích số i i x  X : x  P  x  X x inf E lim  limsup n  lim  liminf n  Tập phần tử x  X có tính chất P Chuẩn x sup E n  x  P n  P  A P A F  EX :  X   dP E ( X )  E( X F ) Cận E Cận E Giới hạn Giới hạn Xác suất A Xác suất có điều kiện A F Kỳ vọng X F Kỳ vọng có điều kiện X F MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU CHƢƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ Phần Cơ sở giải tích ngẫu nhiên 1.1 Một số kiến thức liên quan tới trình ngẫu nhiên 1.1.1 Quá trình đo 1.1.2 Quá trình đo dần 1.1.3 Q trình khả đốn 1.1.4 Quá trình thích nghi với lọc 10 1.1.5 Quá trình khuếch tán .11 1.1.6 Quá trình Ornstein-Uhlenbeck 12 1.1.7 Quá trình Wiener (Chuyển động Brown) 13 1.2 Tích phân ngẫu nhiên Bài toán lọc 14 1.2.1 Tích phân ngẫu nhiên Itơ cơng thức Itơ 14 1.2.2 Lý thuyết lọc ngẫu nhiên .18 Phần Martingale với thời gian rời rạc 22 1.3 Khái niệm tương thích dự báo 23 1.4 Thời điểm Markov thời điểm dừng 23 1.4.1 Thời điểm dừng .23 1.4.2 Quá trình dừng .24 1.4.3 Thời điểm Markov 24 1.4.4 Quá trình Markov 25 1.4.5 Hai điều kiện tương thích trình Markov 25 1.4.6 Các tính chất thời điểm Markov thời điểm dừng .25 1.5 Martingale .26 1.5.1 Các định nghĩa 26 1.5.2 Các tính chất 28 1.5.3 Phép biến đổi Martingale 28 1.5.4 Ví dụ 29 1.6 Một số bất đẳng thức định lý 30 1.6.1 Bất đẳng thức Kolmogorov 30 1.6.2 Định lý Kolmogorov 30 1.6.3 Bất đẳng thức Doob 30 1.6.4 Bất đẳng thức cắt ngang 31 1.6.5 Định lý hội tụ Doob .31 1.6.6 Định lý tồn lời giải 32 1.6.7 Lời giải yếu lời giải mạnh 37 CHƢƠNG TÍNH TỐN NGẪU NHIÊN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG VÀO LĨNH VỰC TÀI CHÍNH 38 2.1 Thị trường, danh mục đầu tư thị trường có độ chênh lệch thị giá 38 2.1.1 Định nghĩa .38 2.1.2 Định nghĩa .42 2.1.3 Định nghĩa .42 2.1.4 Ví dụ 43 2.1.5 Định lý Dudley 45 2.1.6 Bổ đề 45 2.1.7 Định nghĩa .46 2.1.8 Định lý 47 2.1.9 Ví dụ 49 2.2 Tính đạt tính đầy đủ 50 2.2.1 Bổ đề .50 2.2.2 Bổ đề .50 2.2.3 Bổ đề 52 2.2.4 Định nghĩa .53 2.2.5 Định lý 54 2.2.6 Hệ 57 2.2.7 Ví dụ 57 2.2.8 Ví dụ 57 CHƢƠNG ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN 59 3.1 Định nghĩa .60 3.2 Định lý 60 3.3 Định lý 65 3.4 Định lý 66 3.5 Ví dụ 67 3.6 Định lý (Công thức tổng quát Black & Scholes) 69 Quyền chọn kiểu Mỹ (American options) 74 3.7 Định nghĩa .74 3.8 Định lý (Công thức định giá quyền chọn kiểu Mỹ) 75 Trường hợp Khuyếch tán Itô: Liên kết với tối ưu dừng 78 3.9 Định lý 80 3.10 Ví dụ 80 KẾT LUẬN 82 LỜI MỞ ĐẦU Ngày trình ngẫu nhiên ứng dụng rộng rãi nhiều ngành khoa học như: tin học, sinh học, y học, vật lý, tài Trong có kiến thức lý thuyết trình ngẫu nhiên, lý thuyết martingale, lý thuyết lọc ngẫu nhiên, lý thuyết khuyếch tán, tích phân ngẫu nhiên, công thức Itô Bản luận văn gồm chương: Dựa sở phần nội dung lý thuyết trình ngẫu nhiên để nghiên cứu vận dụng vào mơ hình toán đáng tin cậy áp dụng nhiều thực tế đặc biệt ngành tài Các mơ hình nghiên cứu mơ hình chung (có thể khơng liên tục) mơ hình nửa martingale mơ hình làm sở cho q trình ngẫu nhiên mà khơng cần nửa martingale chuyển động Brown Chương Trình bày số khái niệm giải tích ngẫu nhiên Đó trình liên quan tới trình ngẫu nhiên như: trình đo được, đo dần, trình khả đốn, q trình thích nghi, q trình khuyếch tán, trình Ornstein - Uhlenbeck, trình Wiener (chuyển động Brown) Đó Martingale với thời gian rời rạc nội dung chủ yếu Thời điểm Markov thời điểm dừng, Mactingale; Các bất đẳng thức Định lý Kolmogorov, Doob Chương Trình bày tính tốn ngẫu nhiên Ito khái niệm đầy đủ thị trường Chương đưa định nghĩa thị trường đầu tư, danh mục đầu tư, danh mục đầu tư chấp nhận (có độ chênh lệch thị giá - arbitrage) để so sánh với thị trường thực tế khơng có độ chênh lệch thị giá -no arbitrage (Định nghĩa 2.1.1, 2.1.2); Nội dung chương đưa Bổ đề, sở nêu định nghĩa tính đạt tính đầy đủ (Định nghĩa 2.2.4); Định lý quan trọng (2.2.5) đưa điều kiện cần đủ để thị trường đầy đủ, hệ ví dụ cụ thể thị trường đầy đủ Chương Dùng kỹ thuật tính tốn ngẫu nhiên trình bày chương để tính giá (pricing) chiến lược đầu tư tương ứng (hedging) cho thị trường đầy đủ, sau áp dụng cho mơ hình Black & Scholes trường hợp riêng thị trường đầy đủ Trong lĩnh vực tài ta biết hoạt động tiêu biểu hoạt động ngân hàng kinh tế thị trường hoạt động thường có dịch vụ chủ chốt như: dịch vụ khách hàng, ngoại thương, nhận tiền gửi, dịch vụ cho vay kinh doanh dịch vụ khác Trong dịch vụ ấy, có nhiều cơng đoạn hoạt động với lãi lỗ khác thay đổi theo thời gian Vì điều quan trọng là: xác định giá quyền chọn mua thời điểm đầu tư số tiền bảo chứng cho vừa phải để đảm bảo cho hoạt động kinh doanh Có hai loại quyền chọn mua chủ yếu: - Quyền chọn kiểu Châu Âu (European options) - Nhà đầu tư mua quyền bán mua, cho phép kinh doanh thời điểm cố định - Quyền chọn kiếu Mỹ (American options) kinh doanh thời điểm trước thời điểm kết thúc kinh doanh Hiện quyền chọn kiểu Châu Âu phổ biến nội dung phần đưa định nghĩa giá, người mua phải trả cho quyền chọn mua người bán chấp nhận quyền chọn bán (Định nghĩa 3.1) Bên cạnh đưa sở lý luận cho việc đầu tư quay vòng để đạt yêu cầu? thể nội dung (Định lý 3.4) tìm danh mục đầu tư quay vòng để đạt yêu cầu F cho trước Hiểu rõ vấn đề luận văn đưa ví dụ cụ thể (Ví dụ 3.5) Lý thuyết xác suất nói chung lý thuyết q trình ngẫu nhiên nói riêng áp dụng có hiệu ngành tài năm gần đây, đặc biệt sử dụng mô hình Black & Scholes để xác định xác giá chi phí cho quyền chọn mua kiểu Châu Âu (Định lý 3.6) Quyền chọn kiểu Mỹ có khác biệt với quyền chọn kiểu Châu Âu người mua tự chọn lựa thời điểm kinh doanh trước thời điểm kết thúc kinh doanh Chương đưa định nghĩa quyền chọn kiểu Mỹ công thức định giá quyền chọn kiểu Mỹ (Định lý 3.8) CHƢƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ Phần Cơ sở giải tích ngẫu nhiên Trong chương này, kiến thức chuẩn bị giải tích ngẫu nhiên đưa gồm khái niệm, tính chất định lý có liên quan ứng dụng vào lĩnh vực tài Trong có kiến thức lý thuyết trình ngẫu nhiên, lý thuyết martingale, lý thuyết lọc ngẫu nhiên, lý thuyết khuyếch tán, tích phân ngẫu nhiên, công thức Itô 1.1 Một số kiến thức liên quan tới trình ngẫu nhiên 1.1.1 Quá trình đo đƣợc Cho (, F , P) không gian xác suất Một trình ngẫu nhiên X   X t , t  0 gọi đo đo   trường tích B   F Điều có nghĩa với tập Borel  , tập hợp t ,  : X t ,   B thuộc   trường tích B   F Đó   trường nhỏ chứa tập có dạng 0, t   A với t    , A  F 1.1.2 Q trình đo đƣợc dần Cho khơng gian xác suất lọc ( , F ,  F t t 0 , P ) Gọi B0,t    trường Borel 0,t  Cho trình ngẫu nhiên X   X t t chế X đoạn 0,t  , với   0,  Xét hạn t cố định thuộc   Ta có ánh xạ X : 0, t      Trên tích 0,t    , ta xét   trường tích B0,t   Ft Nếu X đo   trường tích với t    trình X trình đo dần 1.1.3 Q trình khả đốn   trường khả đoán   trường nhỏ tập     , mà q trình liên tục trái đo Cho trình ngẫu nhiên X   X  t ,    thích nghi với  Ft  Nếu hàm  t,    X  t,   (từ       ) P  đo ta nói X hàm khả đốn  Ft  a   trường tập hoàn toàn đo       trường O tập     nhỏ mà q trình liên tục bên phải có giới hạn trái đo b Nếu X   X  t,    ánh xạ đo từ     , O     , B  ta nói X q trình hồn tồn đo 1.1.4 Q trình thích nghi với lọc 1.1.4.1 Một họ   trường F t  F gọi lọc thoả mãn điều kiện sau: (i) Họ họ tăng, tức F ss  F t s  t (ii) Họ liên tục phải, tức F t  F   0 t  (iii) Mọi tập P  bỏ qua AF chứa F (do nằm F t ) 1.1.4.2 Cho trình ngẫu nhiên X   X t , t  0 Xét họ   trường F t X sinh biến ngẫu nhiên X t   , tức F t X    X s ,  s  t  Khi họ F X t  , t  gọi lọc tự nhiên trình X , hay lịch sử X   1.1.4.3 Cho lọc F t , t    W, F  Một trình Y gọi thích nghi với lọc với Yt đo   trường F t     Mọi trình X  X t , t   thích nghi với lịch sử F t X , t     1.1.4.4 Cho trình X với lịch sử F t X , t   Một trình Y thích nghi với lịch sử F t X trình X Yt   biểu diễn dạng Yt    ft  X s1   , X s2   ,  s1 , s2 , dãy phần tử  0,t  f t hàm Borel thực    10 ... ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN THỊ PHƢƠNG THUỶ TÍNH TỐN NGẪU NHIÊN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG VÀO LĨNH VỰC TÀI CHÍNH Chuyên ngành: Lý thuyết Xác suất Thống kê toán học Mã số: 60 46 15 LUẬN... lời giải 32 1.6.7 Lời giải yếu lời giải mạnh 37 CHƢƠNG TÍNH TỐN NGẪU NHIÊN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG VÀO LĨNH VỰC TÀI CHÍNH 38 2.1 Thị trường, danh mục đầu tư thị trường có... tích ngẫu nhiên Trong chương này, kiến thức chuẩn bị giải tích ngẫu nhiên đưa gồm khái niệm, tính chất định lý có liên quan ứng dụng vào lĩnh vực tài Trong có kiến thức lý thuyết trình ngẫu nhiên,