3 IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT VÀ ĐỒ THỊ HOÀN HẢO
3.2.Iđêan nguyên tố liên kết và đồ thị hoàn hảo
Từ Ví dụ 3.1.10, ta có thể thấy là các siêu đồ thị con cảm sinh tới hạn của một siêu đồ thị G có thể không giúp tìm ra tất cả các nguyên tố liên kết của S/Js. May mắn là có một siêu đồ thị liên quan mà những đồ thị con cảm sinh tới hạn của nó cho ta một danh sách đầy đủ các nguyên tố liên kết. Trước hết, ta định nghĩa một mở rộng của siêu đồ thị để dùng như là một công cụ quan trọng cho các nội dung sau.
Định nghĩa 3.2.1. Cho G là một siêu đồ thị với tập đỉnh V ={x1, . . . , xn} và tập các cạnh E, và giả sử s là một số nguyên dương. Ta tạo ra một siêu đồ thị mới Gs, được gọi là sự mở rộng thứ s của G như sau. Ký hiệu các tập đỉnh
V1 ={x1,1, . . . , xn,1}, . . . , Vs ={x1,s, . . . , xn,s}.
Tập đỉnh của Gs là tập V(Gs) =
s S i=1
Vi. Mỗi xi,j, với j = 1, . . . , s, có thể xem là mộtphiên bản (hoặc cái bóng) của xi với i= 1, . . . , n. Các cạnh củaGs bao gồm tất cả các cạnh xi,jxi,k nối tất cả các phiên bản khác nhau của một đỉnh (đỉnh xi), và tất cả các cạnh phát sinh từ việc nối các phiên bản của các đỉnh trong một cạnh của G.
Ánh xạ biến tất cả các phiên bản xi,j của xi trở lại thành xi được gọi là một
khử cực, tương tự như việc đi ngược lại quá trình phân cực hóa iđêan trong đại số.
{x1,1, x1,2, . . . , x5,1, x5,2}. Tập cạnh của nó bao gồm các cạnh x1,1x1,2, . . . , x5,1x5,2, xi,jxi+1,j0,
trong đó1≤j ≤j0 ≤2, và chỉ số dưới đầu tiên lấy theo modul 5. Như vậy, ví dụ cạnh x1x2 củaG cho ra bốn cạnh x1,1x2,1, x1,1x2,2, x1,2x2,1 và x1,2x2,2 trong G2.
Hình 13. Đồ thị mở rộng thứ hai của một chu trình 5
Mục tiêu của phần này là hiểu được các đơn thức sinh tối tiểu của đối ngẫu Alexander tổng quát (J(G)s)[s], trong đó s là vectơ (s, . . . , s), một đầu gắn với mỗi đỉnh củaG. Theo đối ngẫu Alexander tổng quát, các iđêan trong một phân tích tối giản của J(G)s, tương ứng với các nguyên tố liên kết của S/J(G)s.
Bằng đối ngẫu Alexander tổng quát, Định lý 3.1.9 đồng nhất các các đơn thức sinh tối tiểu không chính phương của (J(G)s)[s]. Hiểu về các đơn thức sinh cần các định lý sau đây. Đối với một tập các đỉnh T, viết mT để biểu thị tích các các biến tương ứng.
Định lí 3.2.3. Cho G là một siêu đồ thị với iđêan phủ J =J(G), và giả sử s là một số nguyên dương. Khi đó
(Js)[s] = (mT |χ(GsT)> s),
trong đó mT là khử cực của mT.
Chứng minh. Chứng minh dựa trên mô tả đặc điểm của các phần tử sinh của I(Gs){s} từ Định lý 3.1.9. Ta cần phải chứng minh rằng (Js)[s] là sự khử cực của
I(Gs){s}, trong đó yêu cầu một số kết quả đạt được. Theo Định lý 3.1.9 ta có: I(Gs){s}= (mT |χ(GsT)> s).
Từ việc xây dựng (Js)[s] cho mỗi i, bậc cao nhất của đỉnh xi trong bất kỳ phần tử sinh tối thiểu của (Js)[s] lớn nhất là s. Điều này nói rằng nếu xi xuất hiện trong một đơn thức M với bậc lớn hơn s, khi đó M /∈(Js)[s] khi và chỉ khi M/xi ∈/ (Js)[s]. Do đó, đơn thức M, trong đó mỗi xi xuất hiện với bậc lớn nhất là s và không thuộc (Js)[s] khi và chỉ khi tồn tại một đơn thức tiêu chuẩn của I(Gs){s} để đơn thức này khử cực thành M.
Đặt V là tập tất cả các phủ đỉnh tối thiểu của G. Khi đó I(G) = \
w∈V
xw và J =J(G) = (mw |w∈ V). Do đó, Js = Qsi=1mwi |w1, . . . , ws ∈ V.
Mặt khác, theo ký hiệu Định nghĩa 1.1.13 ta có: (Js)[s]= \
w1,...,ws∈V
(xs+1−ki
i |xi thuộc đúng ki >0 phủ đỉnh trong các w1, . . . , ws). Giả sử M /∈ (Js)[s] là một đơn thức trong đó mỗi xi xuất hiện với lũy thừa lớn nhất làs. Khi đó, từ các mô tả của(Js)[s] cho thấy tồn tại một tập các phủ đỉnh {w1, . . . , ws} ⊆ V để với mỗi xi ∈V(G), nếu xi thuộc đúng ki >0 phủ đỉnh trong các w1, . . . , ws thì xs+1−ki
i không chia hết M, tức là bậc cao nhất của xi trong M là s−ki lớn nhất.
Giả sửY ={xi |xi chia hết M}. Giả sửM˜ là sự khử cực của M trong vành đa thức liên kết đến (GY)s, và giả sử Y˜ ={xij | xij chia hết M˜}. Khi đó, mY˜ = ˜M là khử cực thành M. Đối với mỗi t = 1, . . . , s, giả sử Yt = Y \wt. Khi đó, Yt là một tập độc lập của G. Hơn nữa, nếu một đỉnh xi ∈VG không có trong Sst=1Yt thì hoặc xi∈VG\Y hoặc xi thuộc tất cả các phủ đỉnh {w1, .., ws}. Trong trường hợp thứ hai, nếuxi không chia hếtM kéo theo bậc cao nhất của xi trong M lớn nhất là s−s = 0. Như vậy, trong cả hai trường hợp, chúng ta có xi ∈/ Y. Như vậy, Sst=1Yt =Y.
Bằng phép gán màu t cho các đỉnh trong Yt, chúng ta tô màu GY với s màu. Ở đây việc tô màu mỗi đỉnh có thể nhận nhiều màu, và nếu {xi1, . . . , xir} là một cạnh của GY thì không tồn tại một màu nào để gán cho tất cả các đỉnh {xi1, . . . , xir}. Xét một đỉnh xi ∈Y được gán s−k màu khi xi được chứa trong k
tập của bộ các tập {w1, . . . , ws} đây là trường hợp khi hầu hết các s−k phiên bản củaxi xuất hiện trong M˜. Chúng ta sẽ sử dụng (s−k)màu để gán màu cho các phiên bản của xi xuất hiện trong M˜. Do đó, đây là một s-tô màu cho Gs˜
Y. Như vậy, mY˜ là một đơn thức tiêu chuẩn của I(Gs){s}. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Ngược lại, giả sử M là một đơn thức, trong đó mỗi xi xuất hiện với lũy thừa lớn nhất là s, như vậy tồn tại một đơn thức tiêu chuẩn N củaI(Gs){s} mà phân cực đếnM. Khi đó, theo định lý về phân tích đơn thức tiêu chuẩn ta có N có thể được viết nhưmT1. . .mTs, trong đómT1, . . . ,mTs là các đơn thức tiêu chuẩn của I(Gs). Quan sát rằng nếu mw là một đơn thức tiêu chuẩn củaI(Gs), vàxij |mw, thì bằng cách thay thế xij bằng phiên bản bất kỳ xil của xxi trong w mà không chứa trongw, chúng ta vẫn nhận được một đơn thức tiêu chuẩn củaI(Gs). Hơn nữa, mỗi xi xuất hiện trong M với lũy thừa lớn nhất là s. Vì vậy, với mỗi i, N chứa ít nhất s phiên bản của xi (tính cả bội). Do đó, bằng cách thay thế một phiên bản xij củaxi bởi tập các phiên bản phân biệt nếu cần thiết, chúng ta có thể thừa nhận rằng T1, . . . , Ts đôi một rời nhau.
Giả sử T là tập các biến xuất hiện trong N và Y là tập các biến xuất hiện trong M. Xét Ti là tập độc lập trong Gs, ta gán màu j cho các đỉnh trong Ti để nhận được một s-tô màu cho GsT. Với mỗi xi ∈Y giả sử Ci là một tập của các màu mà các phiên bản của xi xuất hiện trong T thu được. Chúng ta gọi Ci là lớp màu của xi. Cho mỗi t= 1, . . . , s tạo nên các tập
wt =Y \ {xi∈Y|t ∈Ci}.
Để ý rằng nếu{xi1, . . . , xir} là cạnh trongGY thì {xi1l1, . . . , xirlr}là một cạnh của GsY với bất kỳ 1 ≤ l1, . . . , lr ≤ s, và Trj=1Cij =∅. Điều này cho thấy với bất kỳ 1≤t ≤s thì
{xi1l1, . . . , xirlr}* {xi ∈Y|t∈Ci}.
Nó kéo theo wt là một phủ đỉnh của GY với mọi t = 1, . . . , s. Hơn nữa, với mỗi xi∈Y thuộc đúng ki phủ đỉnh trong {w1, . . . , ws} thì lớp màuCi của xi có đúng s−ki màu. Từ đây, tập của bất kỳ hai phiên bản phân biệt của xi là một cạnh trong Gs, và những phiên bản này không nhận màu giống nhau. Như vậy, có đúng s−ki phiên bản của xi xuất hiện trongT. Vậy, trong các trường hợp trên, bậc cao nhất của xi xuất hiện trong M đúng bằng s−ki với mọi i. Do vậy, M không thuộc (Js)[s].
Hệ quả 3.2.4. Cho G là một siêu đồ thị với iđêan phủ J = J(G). Khi đó,
P = (xi1, . . . , xir) ∈ Ass(S/Js) khi và chỉ khi có một tập con T các đỉnh của Gs
sao cho GsT là (s+ 1)-màu tới hạn, và T có chứa ít nhất một phiên bản của mỗi biến trong P nhưng không là phiên bản của các biến khác.
Ta phác họa ý tưởng cơ bản của chứng minh như sau: Nếu P ∈ Ass(S/Js), khi đó(xeii1
1 , . . . , xeiir
r ) là một thành phần tối tiểu bất khả quy của Js, đối với một số eij > 0. Điều này mang lại một phần tử sinh tối tiểu của (Js)[s] tương ứng với tập hợp con W của các đỉnh của Gs sao cho GsW là (s+ 1)-màu tới hạn, và W khử cực thành xeii1
1 . . . xeiir
r . Ngược lại, có một siêu đồ thị mở rộng (s+ 1)-màu tới hạn GsT, chúng ta nhận được một phần tử sinh tối tiểu của (Js)[s] có dạng xeii1
1 . . . xeiir
r , trong đó 1≤eij ≤s với mọi ij. Các tích đối ngẫu là thành phần bất khả quy của Js với căn P.
Hệ quả 3.2.4 giải thích tại sao m∈Ass(S/J3) trong Ví dụ 3.1.10. Giả sử T là tập các đỉnh T = {x1,1, x2,1, x2,2, x3,1, x4,1, x5,1, x6,1}, là một tập hợp con của các đỉnh của G3. Khi đó, G3T là 4-màu tới hạn.
Như là một hệ quả, sau khi đặc biệt hóa lên đồ thị, chúng ta nhận được hai tính chất đại số độc lập của đồ thị hoàn hảo trong Định lý đồ thị hoàn hảo mạnh. Đồ thị không hoàn hảo tối tiểu là các lỗ lẻ và phản lỗ lẻ. Mục đích của chúng tôi là đưa ra tính chất đại số của đồ thị hoàn hảo mà không sử dụng định lý này.
Chúng ta có một đồ thị G không hoàn hảo tối tiểu là một đồ thị χ(G)-màu tới hạn. Dựa vào Hệ quả 3.2.4, ta có kết quả sau.
Bổ đề 3.2.5. Giả sử rằng G là một đồ thị không hoàn hảo tối tiểu trên V =
{x1, . . . , xn} với iđêan phủ J. Khi đó
(x1, . . . , xn)∈Ass(S/Jχ(G)−1).
Bây giờ, ta có thể đặc trưng tính chất đại số của đồ thị hoàn hảo trong hai cách khác nhau [4, Theorem 5.9]. Điểm mấu chốt là cho các đồ thị hoàn hảo, các lũy thừa của các iđêan nguyên tố liên kết của iđêan phủ tương ứng chính xác với các đồ thị con cảm sinh đầy đủ trong đồ thị.
Định lí 3.2.6. Cho G là một đồ thị đơn với iđêan phủ J. Khi đó, các phát biểu sau là tương đương:
(1) G là đồ thị hoàn hảo.
(2) Với mọi s, 1 ≤ s < χ(G), iđêan P = (xi1, . . . , xir) ∈ Ass(S/Js) nếu và chỉ nếu đồ thị cảm sinh trên {xi1, . . . , xir} là một đồ thị con đầy đủ với kích thước
1< r≤s+ 1 trong G.
Chứng minh. Chúng tôi phác họa (1) suy ra (2) để đưa ra một ý tưởng về cách mở rộng được sử dụng. Giả sửGlà một đồ thị hoàn hảo. Một kết quả tiêu chuẩn trong lý thuyết đồ thị cho thấy rằngGs cũng là hoàn hảo [4]. Cho P ∈Ass(S/Js), do đóP tương ứng với một tập conT của các đỉnh củaGs như vậy GsT là(s+ 1)- màu tới hạn. Vì Gs là hoàn hảo, chỉ số clique của GsT cũng là s+ 1, có nghĩa là tồn tại một tập conT0 củaT như vậyG0T là một đồ thị con đầy đủ vớis+ 1đỉnh. Như vậy G0T cũng là một (s+ 1)-màu tới hạn chứa trong GsT, suy ra T =T0. Do đó GsT là một đồ thị con đầy đủ, và sự hỗ trợ của phương pháp khử cực mT là một đồ thị con đầy đủ với ít nhất s+ 1 đỉnh. Vì vậy GT là một đồ thị con đầy đủ.
(2)⇒(1). Giả sử rằng G không là đồ thị hoàn hảo. Khi đó, tồn tại P ⊆V(G) sao cho GT là một đồ thị không hoàn hảo tối tiểu, với χ(GT)≤ χ(G). Dựa vào Bổ đề 3.2.5, chúng ta có P ∈ Ass(S/Jχ(GT)−1). Nhưng GT không là đồ thị đầy đủ. Điều này trái giả thiết (2). Vậy G là đồ thị hoàn hảo.
Ví dụ 3.2.7.Cho đồ thịGgồm các đỉnhx1, x2, x3, x4và các cạnhx1x2, x1x3, x1x4, x2x3 (Hình 11). Để kiểm tra tính hoàn hảo của đồ thị G ta dựa vào Định lý 3.2.6. Trước hết, ta có iđêan phủ của G (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
J = (x1x3, x1x2x4, x2x3x4)
= (x1, x2)∩(x1, x3)∩(x1, x4)∩(x2, x3)∩(x3, x4).
Từ đây suy ra
Ass(S/J) = {(x1, x2),(x1, x3),(x1, x4),(x2, x3),(x3, x4)}.
Theo cách xác định iđêan nguyên tố liên kết của J2 ở Hệ quả 2.2.13, ta có Ass(S/J2) ={pe :e∈E(G)} ∪ {pW :GW là một chu trình lẻ cảm sinh}
={(x1, x2),(x1, x3),(x1, x4),(x2, x3),(x3, x4)} ∪ {(x1, x2, x3),(x1, x3, x4)}.
Nếu P ∈ Ass(S/J) thì P = (xi, xj), xixj ∈ E(G). Khi đó, đồ thị con cảm sinh GP trên {xi, xj} với mọi xixj ∈E(G) là đồ thị đầy đủ.
NếuP ∈Ass(S/J2)thìP = (xi, xj), xixj ∈E(G)hoặcP ∈ {(x1, x2, x3),(x1, x3, x4)}. Khi đó, đồ thị con cảm sinh trên {xi, xj} với mọi xixj ∈ E(G) hoặc đồ thị con cảm sinh trên các tập đỉnh{x1, x2, x3},{x1, x3, x4} là đồ thị đầy đủ. Vậy G là đồ thị hoàn hảo.
KẾT LUẬN
Luận văn đã hoàn thành được các nội dung cơ bản sau:
1. Trình bày các khái niệm và những tính chất liên quan đến siêu đồ thị, đồ thị, đồ thị đơn; các khái niệm và các tính chất của iđêan phủ, iđêan cạnh của siêu đồ thị và ví dụ minh họa.
2. Trình bày một số kiến thức mở đầu số màu của đồ thị và các tính chất đại số đặc trưng liên hệ giữa số màu và chu trình lẻ của đồ thị.
3. Trình bày khái niệm và các tính chất đồ thị hoàn hảo và đặc trưng tính chất tổ hợp của đồ thị hoàn hảo thông qua iđêan cạnh, iđêan nguyên tố liên kết của iđêan phủ của nó.
4. Đưa ra nhiều ví dụ cụ thể minh họa cho từng phần nội dung, dựa trên nội dung của tài liệu tham khảo chính.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] M. Chudnovsky, N. Robertson, P. Seymour and R. Thomas (2002), The strong perfect graph theorem, preprint (June 2002, revised Octorber 2002 and Febuary 2003).
[2] Christopher A. Francisco, Huy Tai Ha and Jeffrey Mermin, Powers of squarefree monomial ideals and combinatorics, preprint available at: http://arxiv.org/abs/1303.6642v1.
[3] C. A. Francisco, H. T. Hà, and A. Van Tuyl (2010), Associated primes of monomial ideals and odd holes in graphs. J. Algebraic Combin. 32 (2010), no. 2, 287–301.
[4] C. A. Francisco, H. T. Hà, and A. Van Tuyl (2011), Colorings of hyper- graphs, perfect graphs, and associated primes of powers of monomial ideals. J. Algebra 331, 224-242.
[5] J. Herzog, T. Hibi, N.V. Trung (2007),Symbolic powers of monomial ideals and vertex cover algebras. Adv. Math. 210, 304–322.
[6] J¨urgen Herzog and Takayuki Hibi (2010),Monomial Ideals, Graduate Texts in Mathematics, New Delhi.
[7] L. Lovász (1972), Normal Hypergraphs and the Perfect Graph conjecture, Discrete Mathematics 2, 253-267.
[8] E. Miller and B. Sturmfels (2004), Combinatorial Commutative Algebra. GTM 227, Springer-Verlag.
[9] B. Sturmfels and S. Sullivant (2006),Combinatorial Secant Varieties, Pure and Applied Mathematics quarterly.