Cây bao trùm trong đồ thị và một số ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN THÂN THỊ LAN ANH CÂY BAO TRÙM TRONG ĐỒ THỊ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN THÂN THỊ LAN ANH CÂY BAO TRÙM TRONG ĐỒ THỊ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TSKH PHAN THỊ HÀ DƯƠNG Hà Nội – Năm 2017 Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung khóa luận, xin bày tỏ lòng cảm ơn tới thầy cô khoa Toán, trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2, thầy cô tổ môn Toán ứng dụng, thầy cô tham gia giảng dạy tận tình truyền đạt tri thức quý báu, động viên, quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành tốt nhiệm vụ khóa học khóa luận Bên cạnh đó, xin bày tỏ lòng cảm ơn tới thầy cô Viện Toán học tạo điều kiện cho học tập làm việc, anh chị nhóm nghiên cứu giúp đỡ, trao đổi để hiểu vấn đề Đặc biệt, xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Phan Thị Hà Dương, người trực tiếp hướng dẫn, bảo tận tình giúp đỡ để hoàn thành khóa luận Hà Nội, tháng năm 2017 Sinh viên Thân Thị Lan Anh Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đề tài thực Đó kết trình học tập nghiên cứu hướng dẫn PGS TS Phan Thị Hà Dương đề tài không trùng với kết nghiên cứu khóa luận tác giả khác Hà Nội, tháng năm 2017 Sinh viên Thân Thị Lan Anh Mục lục Lời mở đầu 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 1.2 Một số khái niệm đồ thị 1.1.1 Các khái niệm đồ thị 1.1.2 Một số ma trận định nghĩa đồ thị 10 1.1.3 Cây số tính chất 13 Đếm số bao trùm đồ thị 15 1.2.1 Đếm số bao trùm đồ thị vô hướng 15 1.2.2 Đếm số bao trùm đồ thị có hướng 19 ĐẾM SỐ CÂY BAO TRÙM TRONG ĐỒ THỊ THÁP HÀ NỘI 25 2.1 Bài toán tháp Hà Nội 25 2.1.1 Bài toán tháp Hà Nội 25 2.1.2 Thuật giải 26 Đồ thị tháp Hà Nội 26 2.2.1 Định nghĩa đồ thị Tháp Hà Nội 27 2.2.2 Số bao trùm Hn 32 2.2 i Khóa luận tốt nghiệp Đại học THÂN THỊ LAN ANH Lời mở đầu Lí chọn đề tài Trong chương trình đại học trường sư phạm chuyên ngành Toán ứng dụng, phân phối chương trình, sinh viên tìm hiểu sơ lược cấu trúc số tính chất nó, có nội dung bao trùm Trong thực tế, toán tìm số bao trùm đồ thị thu hút quan tâm nhà nghiên cứu toán không đơn giản Với lòng yêu thích mong muốn tìm hiểu sâu nội dung phạm vi khóa luận tốt nghiệp, xin trình bày số hiểu biết đề tài "Cây bao trùm đồ thị số ứng dụng" Chúng tin kiến thức phương pháp giúp ích cho việc học tập giảng dạy tương lai Nội dung nghiên cứu Trong toán học đại, lý thuyết đồ thị quan tâm phát triển ngày sâu rộng Đồ thị cấu trúc biểu diễn mối quan hệ hai ngôi, mô tả nhiều toán thực tế Trong đó, cấu trúc dạng đặc biệt đồ thị thể tính liên thông đỉnh Bài toán đếm thu hút nhiều quan tâm nhà nghiên cứu, đặc biệt toán đếm số bao trùm Cây đồ thị liên thông chu trình Cây bao Khóa luận tốt nghiệp Đại học THÂN THỊ LAN ANH trùm đồ thị G đồ thị G có cấu trúc chứa tất đỉnh G Vì nghiên cứu số nội dung bao trùm nên khóa luận này, xét đồ thị khuyên Định lý số bao trùm đồ thị vô hướng Kirchhoff chứng minh lần vào năm 1847 việc sử dụng ma trận Laplace đồ thị để tính toán Năm 1948, Tutte giải toán đếm số bao trùm đồ thị có hướng dựa ma trận Laplace việc tính định thức ma trận Tuy nhiên, việc tính định thức ma trận Laplace công việc đơn giản Đối với số đồ thị đặc biệt, để tìm số bao trùm đồ thị không thiết phải sử dụng ma trận Laplace mà dùng cấu trúc đệ quy đặc biệt Cụ thể, Chương 2, trình bày số bao trùm đồ thị tháp Hà Nội Bài toán tháp Hà Nội chất quen thuộc với sinh viên để sâu vào nghiên cứu cần phải trang bị kiến thức toán cao cấp Trong khóa luận này, vừa tìm hiểu cấu trúc đệ quy đồ thị Hà Nội cách phân tích đồ thị thành thành phần, vừa thực tính toán phức tạp phương pháp quy nạp Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu sâu đồ thị, cây, đặc biệt bao trùm toán đếm số bao trùm số đồ thị dạng đặc biệt Khóa luận tốt nghiệp Đại học THÂN THỊ LAN ANH - Làm quen hiểu cách phân tích đồ thị thành thành phần, chứng minh công thức tính toán phức tạp cấu trúc đệ quy phương pháp quy nạp - Trang bị kiến thức để phục vụ việc học dạy đồ thị Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tổng hợp tài liệu - Học tập cấu trúc đệ quy, phương pháp đếm cách quy nạp Cấu trúc khóa luận Nội dung đề tài bao gồm chương sau: • Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày khái niệm tính chất đồ thị, ma trận đồ thị • Chương 2: Đếm số bao trùm đồ thị Hà Nội Chương trình bày toán tháp Hà Nội, cách xây dựng đồ thị Hà Nội phương pháp tính bao trùm đồ thị Hà Nội Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số khái niệm đồ thị Trong chương này, trước tiên trình bày số khái niệm đồ thị cây, số ma trận đồ thị, đặc biệt ma trận Laplace Tiếp theo, trình bày hai định lý để tính số bao trùm đồ thị vô hướng có hướng 1.1.1 Các khái niệm đồ thị Định nghĩa 1.1 [1] Một đơn đồ thị G = (V, E) gồm tập V mà phần tử gọi đỉnh tập E mà phần tử gọi cạnh, cặp không thứ tự đỉnh phân biệt Định nghĩa 1.2 [1] Một đa đồ thị G = (V, E) gồm tập đỉnh V (G), tập cạnh E(G) hàm f : E −→ {{u, v}|u, v ∈ V, u = v} Khóa luận tốt nghiệp Đại học THÂN THỊ LAN ANH Hình 1.1: Một đơn đồ thị vô hướng với đỉnh a, b, c, d, e cạnh {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, d}, {b, e}, {c, d}, {d, e} Các cạnh e1 e2 gọi cạnh song song hay cạnh bội f (e1 ) = f (e2 ) Hình 1.2: Một đa đồ thị vô hướng với đỉnh a, b, c, d cạnh {a, b}, {a, c}, {a, c}, {b, d}, {c, d}, {a, c} cạnh bội Định nghĩa 1.3 [1] Hai đỉnh u v đồ thị vô hướng G gọi liền kề (hay láng giềng) {u, v} cạnh G Nếu e = {u, v} e gọi cạnh liên thuộc với đỉnh u v Cạnh e gọi cạnh nối đỉnh u v Các đỉnh u v gọi điểm đầu mút cạnh e Định nghĩa 1.4 [1] Một đồ thị có hướng G = (V, E) gồm tập đỉnh V tập cạnh E cặp có thứ tự phần tử thuộc V Khóa luận tốt nghiệp Đại học THÂN THỊ LAN ANH Hình 2.11: Minh họa cấu hình để tìm sn+1 Xét đồ thị GA , GB , GC ba đồ thị sinh ba tập A, B, C Trong Hn có ba cạnh đặc biệt nối ba đồ thị e1 , e2 , e3 Nếu đồ thị GA , GB , GC nối với cạnh ei (1 i n) không nối với cạnh ei Hn+1 bao trùm không liên thông Do có trường hợp sau xảy Trường hợp 1: Các đồ thị GA , GB , GC nối với hai ba cạnh e1 , e2 , e3 Không tính tổng quát, giả sử đồ thị nối với cạnh e1 e2 Gọi T bao trùm đồ thị Hn+1 chứa hai cạnh e1 e2 Nhận thấy T hạn chế A, B, C bao trùm TA , TB , TC tương ứng A, B, C Thật vậy: TA chu trình TA có chu trình T có chu trình (mâu thuẫn với giả thuyết T cây) TA liên thông Thật vậy, giả sử đỉnh u, v thuộc A Ta chứng minh có đường từ u đến v A Nếu có đường nối hai đỉnh u v nằm A hiển nhiên TA liên thông Nếu A đường nối u v đường nối phải 35 Khóa luận tốt nghiệp Đại học THÂN THỊ LAN ANH Hình 2.12: Minh họa cấu hình sn+1 trường hợp A Cách A qua đỉnh đầu mút a cạnh e1 Như vậy, có đường A nối từ đỉnh v tới đỉnh a Tương tự có đường nối từ đỉnh v đến a Suy u, v có đường nối với A, hay nói cách khác hai đỉnh u, v có đường A Từ ta có TA liên thông Do T bao trùm Hn+1 nên TA phải chứa tất đỉnh A Vậy TA bao trùm A Tương tự ta có TB , TC bao trùm B, C Khi đó, số bao trùm GA , GB , GC số bao trùm Hn sn Mặt khác, có cách chọn cạnh e1 , e2 , e3 để nối đồ thị GA , GB , GC Do số bao trùm Hn+1 trường hợp 3s3n Trường hợp 2: Các đồ thị GA , GB , GC nối với ba cạnh e1 , e2 , e3 Khi đó, để có bao trùm Hn+1 ba đồ thị GA , GB , GC phải chứa hai rời ba đồ thị liên thông tạo chu trình T , 36 Khóa luận tốt nghiệp Đại học THÂN THỊ LAN ANH cụ thể chu trình đỉnh u A đến đỉnh a, đỉnh b, đỉnh B, đỉnh c, đỉnh d, đỉnh C, đỉnh f , đỉnh e kết thúc đỉnh u (mâu thuẫn với T cây) Hình 2.13: Trường hợp ba đồ thị GA , GB , GC liên thông tạo chu trình T Giả sử đồ thị GA chứa hai bao trùm có hai trường hợp T H1A , T H2B xảy sau: Hình 2.14: Minh họa trường hợp GA chứa hai bao trùm Trường hợp T H3A xảy GA chứa đỉnh phía 000 đường tới đỉnh khác, tức T không liên thông (mâu thuẫn T cây) Khi số bao trùm đồ thị Hn+1 GA chứa hai bao trùm 2s2n pn 37 Khóa luận tốt nghiệp Đại học THÂN THỊ LAN ANH Mặt khác, ta có cách chọn ba đồ thị GA , GB , GC chứa hai bao trùm nên số bao trùm Hn+1 trường hợp 6s2n pn Kết hợp hai trường hợp ta thu số bao trùm đồ thị Hn+1 sn+1 = 3s3n + 6s2n pn Khi phương trình (2.3) chứng minh Bổ đề 2.2 [8] Cho đồ thị Hà Nội Hn Khi pn+1 = s3n + 7s2n pn + 7sn p2n + s2n ln (2.4) Hình 2.15: Minh họa cấu hình để tìm pn+1 Chứng minh Sơ đồ chứng minh bổ đề 2.2 thể qua Hình vẽ 2.13 Chứng minh tương tự Bổ đề 2.1 việc chia nhỏ trường hợp xảy ta thu phương trình (2.4) Vậy ta có điều cần chứng minh 38 Khóa luận tốt nghiệp Đại học THÂN THỊ LAN ANH Bổ đề 2.3 [8] Cho đồ thị Hà Nội Hn Khi ln+1 = s3n + 12s2n pn + 3s2n ln + 36sn p2n + 12sn pn ln + 14ln3 (2.5) Hình 2.16: Minh họa cấu hình để tìm ln+1 Chứng minh Sơ đồ chứng minh bổ đề 2.3 thể qua Hình vẽ 2.14 Chứng minh tương tự Bổ đề 2.1 việc chia nhỏ trường hợp xảy ta thu phương trình (2.5) Vậy ta có điều cần chứng minh Bổ đề 2.4 [8] Trong đồ thị Hà Nội Hn với n sn ln = 3.p2n (2.6) Chứng minh Ta chứng minh Bổ đề 2.4 phương pháp quy nạp Với n = 1, dùng điều kiện ban đầu với s1 = 3, p1 = 1, l1 = ta 3.1 = 3.12 (luôn đúng) 39 Khóa luận tốt nghiệp Đại học THÂN THỊ LAN ANH Giả thiết phương trình (2.6) với n = k, ta cần chứng minh phương trình (2.6) với n = k + Thật vậy: Ta có phương trình (2.6) với n = k nên sk lk = 3.p2k Mặt khác sử dụng Bổ đề 2.1 với n = k ta có: sk+1 = 3s3k + 6s2k pn pk+1 = s3k + 7s2k pk + 7sk pn k + s2k lk lk+1 = s3k + 12s2k pk + 3s2k lk + 36sk p2k + 12sk pk lk + 14lk3 Ta xét sk+1 lk+1 − 3.p2k+1 = (3s3k + 6s2k pn )(s3k + 12s2k pk + 3s2k lk + 36sk p2k + 12sk pk lk + 14lk3 ) − 3(s3k + 7s2k pk + 7sk pn k + s2k lk ) = 3s2k (s2k + 4sk pk + 7p2k − sk pk )(sk lk − 3p2k ) = Suy sk+1 lk+1 = 3.p2k+1 Vậy ta có phương trình (2.6) chứng minh Bổ đề 2.5 [8] Cho đồ thị tháp Hà Nội Hn với n sn+1 5n = n−1 s3n Khi (2.7) Chứng minh Ta chứng minh bổ đề dựa vào Bổ đề 2.1 Bổ đề 2.4 Từ phương trình (2.3) Bổ đề 2.1, chia hai vế cho s3n ta được: sn+1 s3n + 6s2n pn 6pn = = + s3n s3n sn 40 Khóa luận tốt nghiệp Đại học THÂN THỊ LAN ANH Hay viết là: pn = sn sn+1 −3 s3n (2.8) Từ phương trình (2.4) Bổ đề 2.1 chia hai vế cho s3n ta được: p n ln pn+1 p2n = + + + s3n sn sn s2n (2.9) Từ Bổ đề 2.4 ta có: sn ln = 3.p2n hay ln 3p2 = 2n sn sn (2.10) Thay phương trình (2.8) phương trình (2.10) vào phương trình (2.9) ta có: sn+1 10 sn+1 sn+1 5s2n+1 pn+1 =1+ −3 + − =− + s3n s3n s3n 2sn 18s6n Xét pn+1 pn+1 s3n sn+1 5sn+1 s3n 5sn+1 = = − + = − + sn+1 sn sn+1 2sn 18s6n sn+1 18s3n Theo phương trình (2.3) ta có: sn+2 = 3s3n+1 + 6s2n+1 pn+1 Hay viết là: 6pn+1 5sn+1 sn+2 =3+ =3+6 − + sn+1 sn+1 18s3n Mặt khác, ta có: s1 = 3, p1 = 41 = 5sn+1 3s3n Khóa luận tốt nghiệp Đại học THÂN THỊ LAN ANH Từ phương trình (2.3) Bổ đề 2.1 sn+1 = 3s3n + 6s2n pn Với n = 1, s1 = 3, p1 = thay vào phương trình ta thu được: s2 = 3s31 + 6s21 p1 = 3.33 + 6.32 = 135 Khi s2 = s31 Sau đây, ta chứng minh phương trình (2.7) theo phương pháp quy nạp sn+1 5n = n−1 s3n Với n = ta phương trình (2.7) Giả thiết phương trình (2.7) với n = k, tức là: sk+1 5k = s3k 3k−1 Ta cần chứng minh phương trình (2.7) với n = k + Thật vậy: Xét sk+2 5sk+1 5.5k 5k+1 = = = k s3k+1 3s3k 3.3k−1 Vậy ta có điều cần chứng minh Định lý 2.1 [8] Cho đồ thị Hà Nội Hn với n 42 Khi số bao Khóa luận tốt nghiệp Đại học THÂN THỊ LAN ANH trùm sn số đồ thị bao trùm pn , ln là: n 1 n 1 sn = + n− − n− 5n − 3n 3n − n+ 3n + n− pn = 4 4 5n n 3 n 1 ln = (3n − 5n )2 − n+ − n− (2.11) (2.12) (2.13) Chứng minh Từ Bổ đề 2.5 ta có: sn+1 = s3n 5n 3n−1 (2.14) Với điều kiện ban đầu s1 = ta chứng minh phương trình (2.11) phương pháp quy nạp Với n = ta phương trình (2.11) Giả thiết phương trình (2.11) với n = k, tức k sk = + 12 k− 14 k − 12 k− 14 Ta chứng minh phương trình (2.11) với n = k + Thật vậy: Xét sk+1 = k sk k−1 = (3 k 1 + k− k+1 = 343 k 1 − k− + 12 (k+1)− 14 5k ) k−1 k+1 3 − 21 (k+1)− 14 Vậy ta chứng minh phương trình (2.11) Từ Bổ đề 2.1 ta có: sn+1 − 3s3n pn = 6s2n 43 (2.15) Khóa luận tốt nghiệp Đại học THÂN THỊ LAN ANH Thay phương trình (2.14) phương trình (2.11) vào phương trình (2.15) ta được: 5n 3 s − 3s n n 3n−1 6s2n 5n = sn 6.3n−1 n n n + n− 14 14 3n − 12 n− 41 − =3 2.3n n n n n 1 − = − n− + n− 6.5n pn = Từ Bổ đề 2.4 ta có: 3p2n ln = sn (2.16) Thay phương trình (2.11) phương trình (2.12) vào phương trình (2.16) ta được: n 3 n 1 ln = (3n − 5n )2 − n+ − n− Vậy ta có điều cần phải chứng minh 44 Kết luận chương Trong chương này, trình bày phương pháp tìm số bao trùm đồ thị Tháp Hà Nội dựa cấu trúc đặc biệt Để có thành công này, tác giả phân tích phức tạp cụ thể cấu trúc đồ thị Hn , tính toán số bao trùm thông qua năm tham số Từ đó, họ xây dựng phương trình đệ quy Các phương trình không đơn giản giúp tính tham số phương pháp quy nạp Các kết quan trọng trình bày chương gồm: Tóm tắt toán Tháp Hà Nội thuật giải Phương pháp tìm số bao trùm phương trình đệ quy để tính số bao trùm Hn 45 KẾT LUẬN Khóa luận "Cây bao trùm đồ thị số ứng dụng" trình bày tổng quan vấn đề: Hệ thống lại số kiến thức đồ thị Trình bày hai toán: đếm số bao trùm đồ thị vô hướng, đếm số bao trùm đồ thị có hướng Đưa toán Tháp Hà Nội thuật giải Trình bày đồ thị Tháp Hà Nội số bao trùm Những đóng góp khóa luận xếp, trình bày tường minh, cụ thể định nghĩa với ví dụ minh họa cách rõ ràng Bên cạnh đó, trình bày chứng minh cách chi tiết, phân tích trường hợp sử dụng lập luận chặt chẽ Các chứng minh dựa việc tìm hiểu rõ cấu trúc cây, đặc biệt bao trùm Trong báo, tác giả chủ yếu sử dụng hình vẽ để mô tả cách tính mà không viết chứng minh Điển hình chứng minh Bổ đề 2.1 công phu phức tạp, gần xây dựng hoàn toàn Đề tài "Cây bao trùm đồ thị số ứng dụng" đề tài mẻ sinh viên trường sư phạm, chuyên ngành Toán ứng dụng nên việc nghiên cứu mang lại cho 46 Khóa luận tốt nghiệp Đại học THÂN THỊ LAN ANH nhiều tri thức mẻ, đặc biệt đồ thị, cây, cấu trúc đệ quy, phương pháp quy nạp, phương pháp đếm Do thời gian nghiên cứu hạn chế nên đề tài khó tránh khỏi thiếu sót định Vì vậy, mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô giáo bạn sinh viên khoa để đề tài hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! 47 Tài liệu tham khảo [1] Kenneth H.Rosen, Toán rời rạc ứng dụng tin học, NXB Giáo dục, 2007 [2] Nguyễn Đức Nghĩa, Nguyễn Tô Thành, Toán rời rạc, NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 2003 [3] Vũ Thị Kim Nhung, Cấu trúc số toán đếm, Viện Toán học - Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam, 2014 [4] Ngô Đắc Tân, Lý thuyết tổ hợp đồ thị, NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 2013 [5] Alexander E Holroyd, Lionel Levine, Karola Mészáros, Yuval Peres, James Propp and David B Wilson, Chip-firing and rotorrouting on directed graphs, In and Out of Equilibrium II, Progress in Probability vol 60, 2008 [6] Hoang Anh Duc, The matrix-tree theorem and some related problems, Đại học quốc gia Hà Nội, 2012 [7] László Lovász, Combinatorial Problems and Exercises, AMS Chelsea Publishing, 2007 48 Khóa luận tốt nghiệp Đại học THÂN THỊ LAN ANH [8] Zhongzhi Zhang, Shunqi Wu, Mingyun Li, The number and degree distribution of spanning trees in the Tower of Hanoi graph, Preprint arXiv:1510.07949, 2016 49 ... [6], trình bày hai toán đếm cây: đếm số bao trùm đồ thị vô hướng số bao trùm có hướng đồ thị có hướng 1.2.1 Đếm số bao trùm đồ thị vô hướng Bài toán Tính số bao trùm đồ thị vô hướng Kết toán nêu... đồ thị 1.1.1 Các khái niệm đồ thị 1.1.2 Một số ma trận định nghĩa đồ thị 10 1.1.3 Cây số tính chất 13 Đếm số bao trùm đồ thị 15 1.2.1 Đếm số bao trùm đồ. .. xét đồ thị khuyên Định lý số bao trùm đồ thị vô hướng Kirchhoff chứng minh lần vào năm 1847 việc sử dụng ma trận Laplace đồ thị để tính toán Năm 1948, Tutte giải toán đếm số bao trùm đồ thị có