một số ứng dụng của định lý wedderburn – artin

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH  Hồ Thị Anh Tú MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ WEDDERBURN – ARTIN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH  Hồ Thị Anh Tú MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ WEDDERBURN – ARTIN Chuyên ngành: Đại Số Và Lí Thuyết Số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS.BÙI TƯỜNG TRÍ Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 LỜI CÁM ƠN  Trước tiên qua luận văn xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành lời chúc sức khỏe tốt đẹp đến thầy: PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ, PGS.TS MỴ VINH QUANG, TS TRẦN HUYÊN, PGS.TS BÙI XUÂN HẢI thầy cô trực tiếp giảng dạy truyền đạt kiến thức cho bạn học viên cao học khóa 20 Đặc biệt thành kính gửi lòng biết ơn sâu sắc đến thầy PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ tận tình bảo trình thực luận văn Qua xin chân thành cám ơn đến tất bạn học viên cao học khóa 20 gắn bó với trình học tập trường quý thầy cô khoa Toán phòng Sau Đại Học tạo điều kiện thuận lợi để học tập, nghiên cứu Và cuối xin cám ơn gia đình người bạn hỗ trợ, động viên để hoàn thành luận văn TP Hồ Chí Minh, tháng 12 năm 2011 Tác giả luận văn Hồ Thị Anh Tú MỤC LỤC MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU .5 CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CƠ SỞ .7 1.1 MÔĐUN 1.2 RADICAL CỦA MỘT VÀNH 10 1.3 RADICAL CỦA ĐẠI SỐ VÀ VÀNH NỬA ĐƠN 13 1.4 VÀNH ARTIN 19 1.5 VÀNH ARTIN NỬA ĐƠN 24 1.6 ĐỊNH LÝ DÀY ĐẶC 30 CHƯƠNG II: ĐỊNH LÝ WEDDERBURN – ARTIN 36 2.1 Định lý 2.1: (Định lý Wedderburn – Artin) 36 2.2 Định lý 2.2: 40 2.3 Định lý 2.3: 40 2.4 Định lý 2.4 40 CHƯƠNG III: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ WEDDERBURN – ARTIN 41 3.1 ĐỊNH LÝ BURNSIDE, TÍNH HỮU HẠN ĐỊA PHƯƠNG CỦA NHÓM MA TRẬN: 41 Định lý 3.1.1 41 Định lý 3.1.2: 43 Định lý 3.1.3 44 Định lý 3.1.4: 44 Định nghĩa: 46 Bổ đề 3.1.1: .47 Bổ đề 3.1.2: .48 Bổ đề 3.1.3: .48 Bổ đề 3.1.4: .49 Định lý 3.1.5 (BURNSIDE) 50 3.2 MÔ TẢ VÀ XÂY DỰNG NHÓM BRAUER: 52 Định nghĩa: 52 Bổ đề 3.2.1: .52 Định lý 3.2.1: 54 Định lý 3.2.2: 56 Hệ quả: 56 Định lý 3.2.3: 56 Định nghĩa (quan hệ tương đương): 59 Bổ đề 3.2.2: .59 Nhóm Brauer: 60 Mô tả nhóm Brauer số trường hợp cụ thể trường F .61 3.3 LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN NHÓM: 65 Định nghĩa: 65 Định nghĩa: 66 Định lý: 3.3.1: 68 Định lý 3.3.2: 69 Định lý 3.3.3: 70 Bổ đề 3.3.1: .71 Định nghĩa: 73 Định lý 3.3.4: 73 KẾT LUẬN .76 TÀI LIỆU THAM KHẢO 77 LỜI MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Lý thuyết vành đại bắt đầu J.H.M Wedderburn chứng minh định lý phân lớp cho đại số nửa đơn hữu hạn chiều Hai mươi năm sau E.Noether E.Artin đưa Điều kiện dây chuyền tăng Điều kiện dây chuyền giảm thay cho số chiều hữu hạn, Artin chứng minh tương tự định lý Wedderburn cho vành nửa đơn tổng quát Định lý Wedderburn – Artin từ trở thành tảng lý thuyết vành không giao hoán có nhiều ứng dụng sâu sắc MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI Luận văn đặt mục tiêu trình bày lại dạng khác định lý Wedderburn – Artin khả ứng dụng đa dạng lý thuyết vành không giao hoán định lý Burnside, tính hữu hạn địa phương nhóm ma trận, mô tả nhóm Brauer, lý thuyết biểu diễn nhóm ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU − Định lý Wedderburn – Artin − Các ứng dụng định lý Wedderburn – Artin trong: • Định lý Burnside, tính hữu hạn địa phương nhóm ma trận • Mô tả xây dựng nhóm Brauer • Lý thuyết biểu diễn nhóm PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU - Phương pháp tổng hợp DỰ KIẾN NỘI DUNG LUẬN VĂN Chương 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ Các khái niệm kết sử dụng Chương 2: ĐỊNH LÝ WEDDERBURN – ARTIN Trình bày định lý Wedderburn – Artin dạng khác định lý Chương 3: CÁC ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ WEDDERBURN – ARTIN Định lý Burnside, tính hữu hạn địa phương nhóm ma trận 2.Ứng dụng mô tả xây dựng nhóm Brauer 3.Ứng dụng lý thuyết biểu diễn nhóm CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 MÔĐUN Định nghĩa M gọi R – môđun trung thành với r ∈ R mà Mr = (0) r = {r ∈ R : Mr = (0)} Cho M R – môđun Ký hiệu A( M ) = Bổ đề 1.1.1 A(M) iđêan hai phía R Hơn nữa, M R A( M ) - môđun trung thành Cho M R – môđun Với r ∈ R , ta tự đồng cấu nhóm cộng Tr : M → M , Tr (m)= mr , ∀m ∈ M Ký hiệu E(M) tập tất tự đồng cấu nhóm cộng M Trên E(M) ta trang bị hai phép toán cộng nhân sau: Phép cộng: ∀ϕ, ψ ∈ E ( M ), (ϕ + ψ)(m) = ϕ(m) + ψ(m), ∀m ∈ M Phép nhân: ∀ϕ, ψ ∈ E ( M ), (ϕ.ψ )(m) =ϕ(ψ (m)), ∀m ∈ M Khi đó, (E(M), +, ) vành Xét ánh xạ φ : R → E ( M ), φ(r )= Tr , ∀r ∈ R Rõ ràng φ đồng cấu vành Kiểm tra trực tiếp ta Ker φ = A( M ) Do đó, theo định lý Noether ta R A( M ) ≅ Imφ Bổ đề 1.1.2 R A( M ) đẳng cấu với vành vành E(M) Định nghĩa Cho M R – môđun Ta định nghĩa commuting vành R C ( M ) = {ϕ ∈ E ( M ) : Tr ϕ = ϕTr , ∀r ∈ R} Định nghĩa: M gọi R – môđun bất khả quy thỏa hai tính chất 1) MR ≠ (0) 2) M có hai môđun (0) M Định lý 1.1.1 (bổ đề Schur) Nếu M R – môđun bất khả quy C(M) vành chia Chứng minh Do C(M) vành vành E(M) nên ta phải chứng minh phần tử khác không C(M) khả nghịch Tuy nhiên, ≠ ϕ∈ C ( M ) mà có ϕ−1 ∈ E ( M ) từ ϕTr = Tr ϕ ⇒ ϕTr ϕ−1 = Tr ϕϕ−1 ⇒ Tr ϕ−1 = ϕ−1Tr ⇒ ϕ−1 ∈ C ( M ) Do đó, ta cần chứng minh phần tử khác không C(M) khả nghịch E(M) Với ≠ ϕ∈ C ( M ) , ta có ϕ( M ) ≠ (0) , mà M môđun trung thành nên ϕ( M ) = M Tức ϕ toàn cấu Mặt khác, Kerϕ ≠ (0) M môđun trung thành nên Ker ϕ = M , suy ϕ =0 (MT) Do đó, Kerϕ =(0) hay ϕ đơn cấu Vậy ϕ đẳng cấu Suy ϕ có đồng cấu ngược ϕ−1 ∈ E ( M ) Đây điều ta cần chứng minh Định nghĩa Một iđêan phải ρ vành R gọi quy tồn r ∈ R cho x − rx ∈ρ, ∀x ∈ R Bổ đề 1.1.3 Nếu M R– môđun bất khả quy M đẳng cấu (như môđun) với R– môđun thương R ρ , ρ iđêan phải tối đại, quy R Ngược lại, ρ iđêan phải tối đại, quy R R ρ R – môđun bất khả quy Chứng minh Vì M R – môđun bất khả quy nên MR ≠ (0) {u ∈ M : uR = (0)} Ký hiệu: S = Dễ thấy S môđun M Do MR ≠ (0) nên S ≠ M , mà M môđun bất khả quy nên S = (0) Điều có nghĩa ∃m ∈ M \{0}: mR ≠ (0) Nhưng mR môđun môđun trung thành M nên mR = M ) mr ∀r ∈ R Ta có ϕ( R) = mR = M nên ϕ Xét R- đồng cấu ϕ : R → M , ϕ(r= ρ Ker ϕ Ta phải chứng minh toàn cấu Theo định lý Noether, M ≅ R ρ , với = = ρ Ker ϕ iđêan tối đại quy ρ Ker ϕ iđêan tối đại R: giả sử ρ′ iđêan phải R thỏa +) = ρ ⊂ ρ′ Khi ≠ đó, ρ′ ρ ≠ (0) Mặt khác, M ≅ R ρ nên R ρ môđun quy, đo, ρ′= R ⇒ = ρ′ R ρ ρ Tức ρ iđêan phải tối đại R ρ Ker ϕ quy: mR = M nên ta suy +) = ∃r ∈ R : mr = m ⇒ mrx = mx ⇔ m( x − rx) = 0, ∀x ∈ R ⇔ x − rx ∈ Ker ϕ = ρ, ∀x ∈ R ρ Ker ϕ iđêan quy Tức = Ngược lại, giả sử ρ iđêan phải tối đại, quy R, ta chứng minh R ρ R– môđun bất khả quy +) R ρ= R R ≠ (0) ρ +) Giả sử ρ′ ρ môđun khác không R ρ Khi đó, ρ ⊂ ρ′ ≠ Nhưng ρ iđêan phải tối đại R nên ρ′ =R , tức ρ′ ρ = R ρ Vậy R ρ R – môđun bất khả quy 63 Hệ Nếu K trường đóng đại số B ( K ) nhóm tầm thường Chứng minh Theo hệ định lý Wedderburn – Artin, ta có K – đại số chia hữu hạn chiều K Do đó, tồn lớp tương đương B ( K ) , [ K ] Do B ( K ) nhóm tầm thường Trong trường hợp đặc biệt thấy B (  ) nhóm tầm thường  trường đóng đại số b) Nhóm Brauer trường hữu hạn K trường hữu hạn B ( K ) nhóm tầm thường Chứng minh: Ta tìm phần tử B ( K ) Cho D K – đại số chia đơn tâm Theo định lý Wedderburn, ta có D giao hoán nên D tâm, Z ( D= ) K= D Do đó, có phần tử thuộc B ( K ) , [ K ] c) Nhóm Brauer trường số thực  Những ví dụ cho nhóm Brauer nhóm tầm thường Trong phần ta thấy điều không tập số thực  Đầu tiên ta nhắc lại khái niệm Quarternions Định nghĩa Quaternions, ký hiệu , không gian vecto chiều  với sở {1, i, j, k} , phép nhân định nghĩa cho phần tử đơn vị i = j = k = −1 ij = − ji = k jk = −kj = i 64 ki = −ik =j Mặt khác   – đại số Với phần tử q = a + bi + cj + dk ∈  , q ≠ 0, a, b, c, d ∈  ta có ( a − bi − cj − dk ) (a + b2 + c2 + d ) phần tử nghịch đảo q Do đó,  thực  – đại số chia Bổ đề Trường mở rộng    Định lý (FROBENIUS) Nếu D đại số chia với  nằm tâm [ D :  ] < ∞ D =  ,   Hệ quả: B (  )   Chứng minh Ta tìm phần tử B (  ) Cho D  – đại số chia hữu hạn chiều  Theo định lý Fobenius, D  ,   Nhưng đó, có   đại số chia hữu hạn chiều đơn tâm  (vì tâm  ) Như vậy, có lớp tương đương [  ] [] Suy B (  ) có xác phần tử Do đó, B (  )   65 Chú ý phần tử đồng nhóm B (  ) [  ] phần tử khác đơn vị [] Vì ta có [][] = [  ] , nghĩa là,  ⊗    n với n Vì  có số chiều nên  ⊗  có số chiều 16 Ta có  ⊗   M (  ) Ta kết luận đại số đơn tâm hữu hạn chiều  đẳng cấu với ma trận đại số   3.3 LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN NHÓM: Trong định lý Maschke, đại số nhóm F(G) nhóm hữu hạn G bậc o(G) trường F đặc số p nửa đơn, p /| o(G ) Từ định lý mà chứng minh chất vành artin nửa đơn, cấu trúc F(G) chưa đủ Những thông tin thu thập cách F(G) cho phép tìm hiểu sâu chất tập G Đó tương tác G F(G), kết mục đính mà học chương Giả sử F trường số phức – tất làm cho trường đóng đại số có đặc số p, p /| o(G ) Định lý Cayley lý thuyết nhóm hữu hạn khẳng định nhóm hữu hạn đẳng cấu với nhóm phép đó; phép có biểu diễn đẹp ma trận gồm phần tử Định nghĩa: → L(V ) L(V ) Ta gọi biểu diễn G đồng cấu ψ : G  tập phép biến đổi tuyến tính đại số không gian vecto V trường F ψ (1) = I : phép biến đổi đơn vị 66 Ta gọi V biểu diễn modun G theo ψ , V có cấu trúc F(G)modun, cách định nghĩa : vg = vψ ( g ) , g ∈ G , v ∈ V Ngược lại, cho M F(G)-modun, cho biểu diễn G F(G); điều có → L( M ) thỏa thể làm cách định nghĩa ψ : L(G )  mg mψ ( g ) , g ∈ G , m ∈ M = Do việc nghiên cứu biểu diễn G tương đương với việc nghiên cứu F(G)-modun Ta nói biểu diễn ψ bất khả quy biểu diễn modun V theo ψ F(G)modun Cho hai biểu diễn ψ θ G có biểu diễn modun V W, ta nói chúng tương đương V đẳng cấu với W F(G)-modun Điều cho ta sơ đồ sau giao hoán với g ∈ G : V ψ (g) ↓ V P  → W ≈ ↓ θ (g) P  → W ≈ Ta có Pθ= ( g ) ψ ( g ) P, ∀g ∈ G , P không gian vecto gồm phép = θ ( g ) P −1ψ ( g ) P, ∀g ∈ G Đây đẳng cấu từ V lên W, tương đương, quan hệ tương đương Thông thường ta nói biểu diễn nghĩa nói lớp tương đương Định nghĩa: Nếu ψ biểu diễn G đặc trưng ψ : χψ : G → F g  χψ ( g ) = trψ ( g )    Nếu nhầm lẫn viết χ thay cho χψ 67 Chú ý χψ không phụ thuộc vào ψ phụ thuộc vào lớp tương −1 đương ψ , ψ & θ tương đương θ ( g ) = P ψ ( g ) P ⇒ χθ ( g ) = trθ ( g ) = trP −1ψ ( g ) P = trψ ( g ) = χψ ( g ) Cũng ý χ hàm lớp χ= ( g ) χ ( x −1 gx ) , ∀x, g ∈ G ψ ( x −1 gx ) = ψ ( x ) ψ ( g )ψ ( x ) −1 χ (= x −1 gx ) trψ ( x ) ψ ( g = ψ (g) χ (g) )ψ ( x ) tr= −1 Theo định lý Wedderburn – Artin R vành Artin nửa đơn R-modun tổng trực tiếp R-modun bất khả quy Vì F(G) vành Artin nửa đơn (đại số) nên F(G) modun tổng trực tiếp F(G)-modun bất khả quy Nếu V F(G)-modun V = ⊕Vi , Vi F(G)-modun bất khả quy ψ biểu diễn G liên hợp với V ψ i liên hợp với Vi ta viết: ψ = ψ ⊕ ⊕ψ m ⊕ Ta gọi ψ i cấu thành bất khả quy ψ Nếu mi số V j đẳng cấu modun với Vi , V hữu hạn chiều tất mi hữu hạn, kí hiệu ψ = ∑ miψ i gọi mi bội số ψ i trongψ χ = ∑ mi χ i χ đặc số ψ χ i đặc số củaψ i Bằng cách mở rộng liên quan đến biểu diễn bất khả quy đặc trưng G Với R-modun nào, R vành Artin nửa đơn,đều đẳng cấu với ideal phải tối tiểu R điều với F(G) F ( G ) ≈ Fn1 ⊕ ⊕ Fnk , Fn vành ma trận vuông ni × ni F i Ideal tối tiểu F(G) Fni Trong ideal tối tiểu Fni đẳng cấu với 68  α1 α  ( i )  p1 =      0    α ni       aj ∈ F          () Fni tổng trực tiếp đẳng cấu ni p1 G có số i hữu hạn biểu diễn bất khả quy không tương đương, chẳng hạn k số k (1) (k ) biểu diễn cho idean phải tối tiểu p1 , , p1 Fn1 , , Fnk tương ứng thực không tương đương Fni = ei F ( G ) ei tâm lũy đẳng F ( G ) ei e=j 0, i ≠ j (i ) (i ) (i ) Do i ≠ j , p1 ei = p1 p1( )ei = ( ) p1 j ( j) p1 đẳng cấu F ( G ) − modun Do G có xác k biểu diễn bất khả quy phân biệt Đặt k = dim F Z ( F ( G ) ) Z ( F ( G ) ) tâm F ( G ) (i ) Nếu ψ i biểu diễn bất khả quy có p1 modun biểu diễn ta gọi ni bậc ψ i Biểu diễn quy phải τ F ( G ) định nghĩa: τ ( a ) = Ta xTa= xa, ∀x ∈ F ( G ) F ( G ) modun biểu diễn τ Vì F ( G ) = Fn1 ⊕ ⊕ Fnk Fni tổng trực tiếp đẳng cấu ni (i ) p1 ta có định lý sau: Định lý: 3.3.1: τ = ∑ niψ i , biểu diễn bất khả quy G cấu thành biểu diễn quy bậc 69 3.3.1.1 Hệ k o ( G ) = ∑ ni i =1 3.3.1.2 Hệ 2: = χτ ( g ) Nếu g ≠ , g ∈ G n χ (g) ∑= i i Chứng minh: Sử dụng nhóm phần tử G sở F ( G ) Ta có: g ≠ 1, giT0 ≠ gi , T0 ma trận sở có đường chéo có phần tử Do χτ (= g ) T= τ T0 Vì χτ ( g ) = ∑ n χ ( g ) nên ta có đpcm i i Chú ý biểu diễn G, ψ : G  →1 biểu diễn bất khả quy G bậc Do n1 = Ta gọi ψ biểu diễn đơn vị χ1 đặc số đơn vị G Nếu ψ biểu diễn bất khả quy bậc ta gọi biểu diễn tuyến tính G Vậy G có biểu diễn tuyến tính? Định lý 3.3.2: Nếu G′ nhóm hoán tử G số biểu diễn tuyến tính G o ( G G′ ) Chứng minh: 70 G G′ aben nên F ( G G′ ) giao hoán, đại số đơn cấu thành đơn trường đẳng cấu với F Mặt khác, biểu diễn bất khả quy G G′ tuyến tính Nếu θ biểu diễn bất khả quy G G′ Ta định nghĩa: biểu diễn θ G thỏa θ ( g ) = θ ( gG′ ) Đây biểu diễn tuyến tính G Do tất biểu diễn tuyến tính phân biệt o ( G G′ ) G G′ chứa biểu diễn tuyến tính phân biệt G (1) Mặt khác θ biểu diễn tuyến tính G θ ( G ) - nhóm F – aben Do G′ ⊂ kerθ ′ ) θ ( g ) , ∀g ∈ G = Một biểu diễn θ G G′ định nghĩa: θ ( gG Vì G′ ⊂ kerθ nên định nghĩa tốt biểu diễn tuyến tính G G′ Do G có hầu hết biểu diễn tuyến tính phân biệt o ( G G′ ) (2) Kết hợp (1) (2) cho ta đpcm Nếu H ảnh đồng cấu G biểu diễn bất khả quy H chứa biểu diễn bất khả quy G Ngược lại biểu diễn G mà ker ( G  → H ) nằm hạt nhân định nghĩa biểu diễn H Định lý 3.3.3: Số biểu diễn bất khả quy, không tương đương phân biệt G số lớp liên hợp phân biệt G 71 Chứng minh: Số biểu diễn bất khả quy không tương đương phân biệt G dim F Z ( F ( G ) ) Nếu g ∈ G , đặt C ( g ) lớp liên hợp g G, C g = ∑ x x∈C ( g ) C g tổng lớp g Rõ ràng C g giao hoán với tất phần tử G Do với phần tử thuộc F ( G ) , C g ∈ Z ( F ( G ) ) Vì phần tử nhóm độc lập tuyến tính F nên phần tử C g độc lập tuyến tính F Vậy phần tử C g cấu thành sở Z ( F ( G ) ) F Đặt z= ∑ α g ∈ Z ( F ( G ) ) ,α ∈ F , g ∈ G i Nếu x ∈ G i i ∑α g = i i z= xzx −1= i ∑α xg x i −1 i Vì phần tử nhóm độc lập tuyến tính F từ việc so sánh hệ số đầu cuối hệ thức ta có liên hợp g i biểu thức z liên hợp g i Do z = ∑ α i C gi Do dim F Z ( F ( G ) ) số lớp liên hợp G Bổ đề 3.3.1: Cho A đại số hữu hạn chiều trường đóng đại số E có đặc số p ≠ S không gian vecto A sinh ab − ba, a, b ∈ A , F { } Đặt T = x ∈ A x p ∈ S , n ∈  , với Khi T không gian A, n 72 số thành phần đơn A J ( A ) với số chiều A T không gian vecto E Chứng minh: Nếu a, b ∈ A khai triển kết hợp quy tắc sử dụng hoán vị vòng tròn ta được: ( a + b ) ≡ a p + b p mod S p { Do ( ab − ba ) ≡ ( ab ) − ( ba ) ≡ a ( ba ) p p p p −1 } { b − ( ba ) p −1 } b a ≡ mod S Nói cách khác lũy thừa thứ p phần tử thuộc S thuộc S Do S ⊂ T Nếu a, b ∈ T ( a + b ) pk ≡ a p + b p mod S nên T không gian k k A Nếu A đơn theo định lý Wedderburn bao đóng đại số E ta có A ≈ En 0} Do dim A S = Trong trường hợp S = {a ∈ En tra = 1  Vì S ⊂ T ⊂ A A ≠ T    0 0     0  0 ∉ T nên ta có S = T   0 dim A T = Vì J ( A ) lũy linh nên J ( A ) ⊂ T A J ( A ) = A ta có T = T J ( A ) dim A T = dim A T Vì A tổng trực tiếp đại số đơn Ai T tổng trực tiếp Ti , dim Ai Ti = nên dim A T số phần tử đơn A Do dim A T = dim A T ⇒ đpcm 73 Định nghĩa: Nếu g ∈ G g gọi p − quy, p số nguyên tố, cấp g không chia hết cho p Nếu p /| o(G ) phần tử G p − quy Định lý 3.3.4: Cho G nhóm hữu hạn, E trường đóng đại số có đặc số p ≠ Khi số biểu diễn bất khả quy không tương đương phân biệt E ( G ) số lớp liên hợp phần tử p − quy G Chứng minh: Đặt A = E ( G ) , S T bổ đề 3.3.1 J ( A ) ⊂ kerψ với biểu diễn bất khả quy ψ A Khi biểu diễn bất khả quy A bất khả quy A J ( A ) Cho g ∈ G , từ phân tích Sylow nhóm cyclic G sinh g, ta có = g ab = ba a p − quy b có cấp p k ( ab − a ) pk ≡ a p b p − a p ≡ a p − a p ≡ mod S k k k k k Do ab − a ∈ T g ≡ a mod T Vậy g ≡ a mod T , ∀g ∈ G , a p − quy Nếu g1 , g ∈ G g2 = xg1 x −1 = x ( g1 x −1 ) − ( g1 x −1 ) x + g1 ⇒ g ≡ g1 mod S ⇒ g ≡ g1 mod T 74 Ta có x ∈ A, x ≡ ∑α a mod T , a đại diện lớp i i i p − quy Do mở rộng A T Ta chứng minh chúng độc lập tuyến tính modun T Giả sử x ≡ ∑α a i i ≡ mod T , đại diện lớp p − quy riêng biệt Đặt q = p k đủ lớn để x q ∈ S q = (vì p − quy) q Do x ≡ ∑α q i q ≡ ∑ α i q ≡ mod S Do x q ∈ S nên tổng hệ số lớp liên hợp ⇒ α i q =0 ⇒ α i =0 Vậy lớp đại diện p − quy tạo nên chuẩn A modun T Theo mệnh đề trước, dim A T số lớp nên ta có đpcm Chú ý định lý 3.1.2 trường hợp đặc biệt kết – n cho trường đóng đại số - o ( G ) = p G có lớp p − quy {1} Chúng ta quay lại lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn trường số phức Đặt χ đặc số biểu diễn ψ G Vì g ∈ G ( ) (ψ ( g ) )= o G ( ) (G ) ψ g o= ψ= (1) I Nghiệm đặc trưng ψ ( g ) đơn vị Do χ ( g ) = trψ ( g ) tổng nghiệm đặc trưng ψ ( g ) tổng nghiệm đơn vị 75 Do χ ( g ) nguyên đại số 76 KẾT LUẬN Qua trình nghiên cứu tài liệu, dẫn, lý giải thêm thầy hướng dẫn, nắm số nội dung sau: Trong chương 1, luận văn trình bày kiến thức Trong chương 2, luận văn trình bày định lý Wedderburn – Artin dạng khác hệ trực tiếp mà ta dùng việc trình bày ứng dụng định lý chương Trong chương 3, luận văn trình bày ứng dụng định lý Wedderburn – Artin trong: • Định lý Burnside, tính hữu hạn địa phương nhóm ma trận • Mô tả xây dựng nhóm Brauer • Lý thuyết biểu diễn nhóm Định lý Wedderburn – Artin đá tảng đại số Định lý có nhiều ứng dụng quan trọng đại số nói chung lý thuyết vành không giao hoán nói riêng Luận văn trình bày số ứng dụng định lý lý thuyết vành không giao hoán, mở hướng nghiên cứu thêm ứng dụng định lý đại số nói chung Cuối cùng, làm luận văn khởi đầu cho hướng nghiên cứu Tôi hy vọng học tập nghiên cứu thêm ứng dụng đề tài 77 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] : I.N.HESTEIN, Noncommutative rings, the Carus mathematical monographs, published by the mathematical association of America [2] : T.Y.LAM, A first course in Noncommutative rings, Graduate Texts in Mathematics, Springer Verlag [3]: STEVEN H.WEINTRAUB , Representation theory of finite groups: Algebra and Arithmetic, American mathematical society [4]: Richard Pierce, Associative algebras Graduate Texts in Mathematics, 88 Studies in the History of Modern Science, Springer-Verlag, New York-Berlin, 1982 [5]: Schap, James Richard (Sc.M.: Mathematics, 1969), The Brauer group [...]... RADICAL CỦA ĐẠI SỐ VÀ VÀNH NỬA ĐƠN Định nghĩa A được gọi là một đại số trên trường F nếu 1) A là một vành 2) A là không gian vectơ trên F 3) k(ab) = (ka)b = a(kb), ∀k ∈ F , ∀a, b ∈ A 14 Các khái niệm đại số con, iđêan, đồng cấu, của đại số được định nghĩa tương tự như của vành Chẳng hạn, B là đại số con của đại số A trên trường F nếu B vừa là vành con, vừa là không gian véctơ con của A Radical của đại số. .. một B(R) – modun con chính là một idean của vành R Từ đó vành R là vành đơn khi và chỉ khi R là B(R) – modun bất khả quy, hay B(R) là vành nguyên thủy Định nghĩa Phỏng tâm của vành R là tập hợp tất cả các phnầ tử của E(R) mà giao hoán với các phần tử của B(R) Bổ đề 1.6.4 Nếu R = R 2 thì phỏng tâm của R là giao hoán Định lý 1.6.5 Nếu R là một vành đơn thì phỏng tâm của nó là một trường và R là đại số. .. tối tiểu của A(eo ) Do đó, không thể xảy ra A(eo ) =/ 0 Vậy định lý được chứng minh Hệ quả 1 Nếu R là vành Artin nửa đơn và A là một iđêan của R thì tồn tại một phần tử lũy đẳng e thuộc tâm của R để A = eR = Re Chứng minh Vì A là iđêan của R nên theo định lý 1.5.2, tồn tại một phần tử lũy đẳng e ∈ R sao cho A = eR Từ đây ta suy ra ∀x ∈ A, x =ex {x − xe : x ∈ A} Vì A là Ta chỉ còn phải chứng minh... là lũy linh hoặc tồn tại một đa thức q(x) với hệ số nguyên sao cho e = aq(a) là phần tử lũy đẳng khác không Định lý 1.4.2 Nếu R là vành Artin và ρ ≠ 0 là một iđêan phải không lũy linh của R thì ρ có chứa một phần tử lũy đẳng khác không Chứng minh Vì ρ không lũy linh nên theo định lý 1.4.1 ρ không nằm trong J(R) Ký hiệu R=R J ( R) Theo định lý 1.3.1, J ( R) = 0 mà mọi nil-idean của R đều nằm trong J (... i i  min i Định nghĩa Một vành được gọi là Noetherian phải nếu mọi tập không rỗng các iđêan phải của nó đều có phần tử tối đại 30 Định lý 1.5.5 Mọi nil-ideal một phía trong vành Noetherian phải đều là iđêan lũy linh 1.6 ĐỊNH LÝ DÀY ĐẶC Định nghĩa R được gọi là vành nguyên thủy nếu nó có một môđun trung thành và bất khả quy Định lý 1.6.1 Vành R là nguyên thủy nếu và chỉ nếu tồn tại một iđêan phải,... tuyến tính trên ∆ và một hệ hữu hạn bất kỳ của M thì bao giờ cũng có một phép biến đổi tuyến tính biến hệ độc lập này thành hệ kia Chú ý rằng, nếu dim ∆ M = n < ∞ thì Hom∆ ( M , M ) = R Định lý 1.6.2 (Định lý dày đặc) Cho R là vành nguyên thủy và M là một R – môđun trung thành bất khả quy Nếu ∆ =C ( M ) thì R là vành dày đặc các phép biến đổi tuyến tính của M trên ∆ Để chứng minh định lý ta cần bổ đề 31... số A là giao của tất cả các iđêan phải, tối đại, chính quy của đại số A Một câu hỏi đặt ra là: radical của đại số A có khác gì so với radical của vành A không? Câu trả lời là hai radical này trùng nhau vì ta có thể dễ dàng chứng minh được rằng: nếu ρ là một iđêan phải, tối đại, chính quy của vành A thì ρ cũng là không gian véctơ con của không gian véctơ A trên trường F Do đó, theo định lý 1.2.2, ta... tiện ta hiểu J(R) định nghĩa như trên là iđêan phải Định nghĩa Cho ρ là một iđêan phải của R Ta định nghĩa (ρ : R)= {x ∈ R : Rx ⊂ ρ} ) (ρ : R) Định lý 1.2.1: J ( R= với ρ chạy khắp tập các iđêan phải, tối đại, chính quy của R và (ρ : R) là iđêan hai phía của R lớn nhất nằm trong ρ Chứng minh Ta có J ( R) =  A( M ) Với mỗi R – môđun bất khả quy M, theo bổ M _ bkq đề 1.1.3, tồn tại một iđêan phải,... nghĩa Một phần tử r ∈ R được gọi là tựa chính quy phải nếu tồn tại r ′ ∈ R sao cho r + r ′ + rr ′ = 0 , r ′ được gọi là một tựa nghịch đảo phải của r Một iđêan phải của R được gọi là tựa chính quy phải nếu mọi phần tử của nó đều tựa chính quy phải Nhận xét 1) J(R) là iđêan phải tựa chính quy phải của R 2) Nếu ρ là iđêan phải tựa chính quy phải của R thì ρ ⊂ J ( R) Chứng minh 1) Từ phép chứng minh định lý. .. đặc trong V và commuting của R trên V là D Định lý 1.6.4 Cho R là một vành nguyên thủy Thì với một vành chia ∆ hoặc R đẳng cấu với vành các ma trận vuông cấp n trên ∆ ( ∆ n ) hoặc với mỗi số nguyên dương m, tồn tại vành con S m của R sao cho có ánh xạ toàn cấu từ S m lên ∆ m Chứng minh Vì R là vành nguyên thủy nên có một R – môđun trung thành bất khả quy V Khi đó, theo định lý dày đặc, R dày đặc trong ... khái niệm kết sử dụng Chương 2: ĐỊNH LÝ WEDDERBURN – ARTIN Trình bày định lý Wedderburn – Artin dạng khác định lý Chương 3: CÁC ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ WEDDERBURN – ARTIN Định lý Burnside, tính... ⊕ Fnk 2.4 Định lý 2.4 Nếu R vành Artin nửa đơn R – modun tổng trực tiếp R – modun bất khả quy 41 CHƯƠNG III: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ WEDDERBURN – ARTIN Định lý Wedderburn – Artin dạng đóng... WEDDERBURN – ARTIN 36 2.1 Định lý 2.1: (Định lý Wedderburn – Artin) 36 2.2 Định lý 2.2: 40 2.3 Định lý 2.3: 40 2.4 Định lý 2.4 40 CHƯƠNG III: MỘT SỐ ỨNG DỤNG