Định nghĩa:
Một đại số A được gọi là đơn tâm trên một trường F nếu A là đại số đơn có F là tâm.
Bổ đề 3.2.1:
Nếu A là đại số đơn tâm trên trường F và B là một đại số đơn chứa F trong tâm của nó thì 𝐴⨂𝐹𝐵là đơn.
Chứng minh:
Ta cần chứng minh𝐴⨂𝐹𝐵 không có ideal thực sự Cho 𝑈 ≠ (0) là 1 ideal của𝐴⨂𝐹𝐵
Do𝑈 ≠(0) nên∃𝑢 ≠ (0) ∈ 𝑈
Ta có thể viết𝑢 =∑ 𝑎𝑖⨂𝑏𝑖(𝑎𝑖 ∈ 𝐴,𝑏𝑖 ∈ 𝐵)trong đó𝑏𝑖là độc lập tuyến tính trên trường F.
Ta gọi số lượng các số 𝑎𝑖khác 0 trong khai triển của u là độ dài của u. Chọn 𝑢 ∈ 𝑈,𝑢 ≠(0)có độ dài 𝑚ngắn nhất.
𝑢 =� 𝑎𝑖⨂𝑏𝑖
𝑚
1
Với 𝑟,𝑠 ∈ 𝐴khi đó theo tích Tensor các đại số ta có:
(𝑟⨂1)𝑢(𝑠⨂1) =� 𝑟𝑎𝑖𝑠⨂𝑏𝑖
𝑚
1
∈ 𝑈
𝑟𝑎𝑖𝑠 =𝑎𝑖′ ∈ 𝐴 ,𝑖 = 1,������𝑚
Không mất tính tổng quát ta có thể sắp xếp các𝑎𝑖′ sao cho 𝑎𝑖′ = 1
Do đó, ta có phần tử 𝑢1 ∈ 𝑈có độ dài bằng u và nó có dạng: 𝑢1= 1⨂𝑏1+𝑎2′⨂𝑏2+ … +𝑎𝑚′ ⨂𝑏𝑚 Cho 𝑎 ∈ 𝐴khi đó: (𝑎⨂1)𝑢1− 𝑢1(𝑎⨂1)∈ 𝑈(do U là ideal) = (𝑎⨂1)�� 𝑎′𝑖⨂𝑏𝑖 𝑚 1 � − �� 𝑎′𝑖⨂𝑏𝑖 𝑚 1 �(𝑎⨂1) =� 𝑎𝑎′𝑖⨂𝑏𝑖 𝑚 1 − � 𝑎′𝑖𝑎⨂𝑏𝑖 𝑚 1 =�(𝑎𝑎′𝑖− 𝑎′𝑖𝑎)⨂𝑏𝑖 (∗) 𝑚 1 Vì 𝑎′1 = 1⇒ 𝑎𝑎′1− 𝑎′1𝑎 =𝑎 − 𝑎 = 0 Do đó: (∗) = �(𝑎𝑎′ 𝑖 − 𝑎′ 𝑖𝑎)⨂𝑏𝑖 𝑚 1 =�(𝑎𝑎′𝑖 − 𝑎′𝑖𝑎)⨂𝑏𝑖 𝑚 2 = (𝑎𝑎′2− 𝑎′2𝑎)⨂𝑏2+ (𝑎𝑎′ 3− 𝑎′ 3𝑎)⨂𝑏3+ … + (𝑎𝑎′ 𝑚− 𝑎′ 𝑚𝑎)⨂𝑏𝑚 ∈ 𝑈 Ta thấy (*) có độ dài là 𝑚 −1 <𝑚
Nhỏ hơn độ dài của 𝑢1. Suy ra vô lý vì𝑢1 có độ dài ngắn nhất Do đó, (𝑎⨂1)𝑢1− 𝑢1(𝑎⨂1). Hay �(𝑎𝑎′ 𝑖− 𝑎′ 𝑖𝑎)⨂𝑏𝑖 𝑚 2 = 0
⇒ �(𝑎𝑎′𝑖− 𝑎′𝑖𝑎)(1⨂𝑏𝑖) 𝑚
2
= 0
Mặt khác vì các 𝑏𝑖là độc lập tuyến tính trên F, theo tính chất của tích Tensor ta có 1⨂𝑏𝑖là độc lập tuyến tính trên 𝐴⨂1
Suy ra 𝑎𝑎′𝑖 − 𝑎′𝑖𝑎= 0 ⇒ 𝑎𝑎′𝑖 =𝑎′𝑖𝑎 𝑖 = 2,������𝑚,∀𝑎 ∈ 𝐴
Suy ra 𝑎′𝑖 ∈ 𝐶(𝐴) do đó phải thuộc F Do đó, đặt 𝑎′𝑖 =𝛼𝑖 ∈ 𝐹. Ta có
𝑢1 = 1⨂𝑏1+𝛼2⨂𝑏2+ … +𝛼𝑚⨂𝑏𝑚 = 1⨂(𝑏1+𝛼2⨂𝑏2+ … +𝛼𝑚⨂𝑏𝑚) ∈ 𝑈
Do 𝑏𝑖 là độc lập tuyến tính trên F, các 𝛼𝑖 =𝑎′𝑖 ≠0 nên
𝑏1+𝛼2⨂𝑏2+ … +𝛼𝑚⨂𝑏𝑚 ≠0 Đặt 𝑏 =𝑏1+𝛼2⨂𝑏2+ … +𝛼𝑚⨂𝑏𝑚 ≠0 Xét (1⨂𝐵)𝑢1(1⨂𝐵) , ta có: (1⨂𝐵)𝑢1(1⨂𝐵) = 1⨂𝐵𝑏𝐵 = 1⨂𝐵 ⊂ 𝑈 ⇒(𝐴⨂1)(1⨂𝐵)⊂ 𝑈 (𝑑𝑜𝑈𝑙à 𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙) ⇒ (𝐴⨂1)(1⨂𝐵) = (𝐴⨂𝐵)⊂ 𝑈 Mà U ⊂(𝐴⨂𝐵) (𝑑𝑜𝑈là ideal) ⇒ 𝐴⨂𝐵 =𝑈 Do đó 𝐴⨂𝐹𝐵là đơn.
Nếu A và B đều là đơn tâm trên trường F theo bổ đề trên chúng ta có 𝐴⨂𝐹𝐵là đơn. Tuy nhiên, ở đây chúng ta có thể tính toán rõ ràng tâm của nó.
Định lý 3.2.1:
Chứng minh:
Theo bổ đề trên, ta có A và B là đơn nên ta có 𝐴⨂𝐹𝐵là đơn. Để chứng minh định lý, ta phải chứng minh rằng tâm của 𝐴⨂𝐹𝐵 là F.
Giả sử rằng 𝑧 =∑ 𝑎𝑖⨂𝑏𝑖là phần tử thuộc tâm của 𝐴⨂𝐹𝐵, trong đó 𝑎𝑖 ∈ 𝐴,𝑏𝑖 ∈ 𝐵,𝑏𝑖 độc lập tuyến tính trên trường F.
Với mọi 𝑎 ∈ 𝐴 ta có: 𝑎𝑧 =𝑧𝑎 ⇒ 𝑎𝑧 − 𝑧𝑎 = 0 ⇒(𝑎⨂1)𝑧 − 𝑧(𝑎⨂1) = 0 ⇒ � 𝑎𝑎𝑖⨂𝑏𝑖 − � 𝑎𝑖𝑎⨂𝑏𝑖 = 0 ⇒ �(𝑎𝑎𝑖 − 𝑎𝑖𝑎)⨂𝑏𝑖 = 0 Do 𝑏𝑖 độc lập tuyến tính ⇒ 𝑎 − 𝑎𝑖𝑎= 0,𝑣ớ𝑖 𝑚ọ𝑖𝑎𝐴 ⇒ 𝑎𝑖 ∈ 𝐶(𝐴) ⇒ 𝑎𝑖 ∈ 𝐹 Đặt 𝑎𝑖 =𝛼𝑖 ∈ 𝐹 khi đó, ta có: 𝑧 = 1⨂ ∑ 𝑎𝑖𝑏𝑖 = 1⨂𝑏 ⇒ 𝑧 ∈ 𝐶(𝐴⨂𝐵 ) ∀𝑥 ∈ 𝐵 𝑧(1⨂𝑥)−(1⨂𝑥)𝑧 = 0 ⇒0 = (1⨂𝑏)(1⨂𝑥)−(1⨂𝑥)(1⨂𝑏) = 1⨂𝑏𝑥 −1⨂𝑥𝑏= 1⨂(𝑏𝑥 − 𝑥𝑏) ⇒ 𝑏𝑥 − 𝑥𝑏 = 0,∀𝑥 ∈ 𝐵 ⇒ 𝑏 ∈ 𝐶(𝐵)
⇒ 𝑏 ∈ 𝐹
Hay nói cách khác 𝑧 = 𝛽(1⨂1) với 𝛽 ∈ 𝐹
Chúng ta thấy rằng tâm của A⨂𝐹𝐵 là 𝐹(1⨂1), đó là F nếu ta đồng nhất F với𝐹(1⨂1)
Vậy A⨂𝐹𝐵là đại số đơn tâm trên trường F
Định lý 3.2.2:
Nếu D là một đại số chia có chiều hữu hạn trên tâm Z của nó thì chiều của D trên Z là một số chính phương.
Chứng minh:
Cho 𝑍�là một đại số đóng của Z, do D hiển nhiên là đơn tâm trên Z theo bổ đề 1 chúng ta có 𝐷� = D⨂ZZ� là đơn , hơn nữa [𝐷:𝑍] = [𝐷�:𝑍̅]
Bây giờ theo định lý Wedderburn, bởi vì 𝐷� là đơn và hữu hạn chiều trên trường đại số đóng 𝑍̅,𝐷� ≈ 𝑍̅𝑛
Do đó [𝐷�:𝑍̅] =𝑛2
Mà [𝐷:𝑍] = [𝐷�:𝑍̅] nên [𝐷:𝑍] =𝑛2
Nếu A là đơn và có chiều hữu hạn trên tâm Z của nó theo định lý
Wedderburn. 𝐴 ≈ 𝐷𝑚với D là một đại số chia hữu hạn chiều với Z là tâm của nó. Theo định lý trên [𝐷:𝑍] =𝑛2do đó [𝐴:𝑍] = (𝑛.𝑚)2
Hệ quả:
Nếu A là một đại số đơn có chiều hữu hạn trên tâm Z của nó thì [𝐴:𝑍] là số chính phương.
Định lý 3.2.3:
Nếu A là một đại số đơn có chiều hữu hạn trên tâm F của nó thì 𝐴⨂𝐹𝐴∗ ≃ 𝐹𝑛 với
𝑛 =𝑑𝑖𝑚𝐹𝐴
Xem xét A như là một không gian vectơ trên F. Gọi 𝐿(𝐴) vành các phép biến đổi tuyến tính của A trên F.
𝐿(𝐴) = {𝑓:𝐴 ⟶ 𝐴}trong đó f là một phép biến đổi tuyến tính.
Theo định nghĩa, các phần tử trong 𝐿(𝐴) là ánh xạ tuyến tính nên mỗi phần tử sẽ tương ứng với một ma trận cấp 𝑛×𝑛trong 𝐹𝑛
Do đó 𝐿(𝐴) ≃ 𝐹𝑛và 𝐿(𝐴) có chiều 𝑛2trên F
Để chứng minh định lý, ta cần chứng minh: 1) 𝐴⨂𝐴∗ ≈ 𝐴𝑟⨂𝐴𝑙 2) 𝐴⨂𝐴∗ ≈ 𝐴𝑟𝐴𝑙 3) 𝐴𝑟𝐴𝑙 =𝐿(𝐴) Chứng minh 𝐴⨂𝐴∗ ≈ 𝐴𝑟⨂𝐴𝑙: Đặt𝐴𝑟 = {𝑇𝑎|𝑎 ∈ 𝐴} với 𝑇𝑎 ∈ 𝐿(𝐴),𝑥 ↦ 𝑥𝑎 𝐴𝑙 = {𝐿𝑎|𝑎 ∈ 𝐴} với𝐿𝑎 ∈ 𝐿(𝐴),𝑥 ↦ 𝑥𝑎 Rõ ràng 𝐴𝑟 ≃ 𝐴và𝐴𝑙 ≃ 𝐴∗
Do đó theo tính chất của tích Tensor ta có: 𝐴⨂𝐴∗ ≈ 𝐴𝑟⨂𝐴𝑙 (1)
Chứng minh 𝐴⨂𝐴∗ ≈ 𝐴𝑟𝐴𝑙:
Tiếp theo ta chứng minh 𝐴⨂𝐴∗≈ 𝐴𝑟𝐴𝑙
Ta đặt ánh xạ 𝜑 từ 𝐴⨂𝐴∗⟶ 𝐴𝑟𝐴𝑙 ⊂ 𝐿(𝐴) theo quy tắc 𝜑(∑ 𝑇𝑎⨂𝐿𝑏) =
∑ 𝑇𝑎𝐿𝑏với𝑇𝑎⨂𝐿𝑏 ∈ 𝐴𝑟⨂𝐴𝑙
Hiển nhiên ta có 𝜑 là toàn ánh từ 𝐴⨂𝐴∗vào𝐴𝑟𝐴𝑙
Ta chứng minh là 𝜑đồng cấu Ta có
�𝑇𝑎.𝐿𝑏(𝑥) = 𝑇𝑎(𝑏𝑥) = 𝑏𝑥𝑎 𝐿𝑏.𝑇𝑎(𝑥) =𝐿𝑏(𝑥𝑎) =𝑏𝑥𝑎
⇒ 𝑇𝑎.𝐿𝑏 =𝐿𝑏.𝑇𝑎
Như vậy, bất kỳ phần tử trong 𝐴𝑟 giao hoán với mỗi phần tử trong𝐴𝑙
∀𝑇𝑎⨂𝐿𝑏,𝑇𝑎′⨂𝐿𝑏′ ∈ 𝐴𝑟⨂𝐴𝑙
𝜑�(𝑇𝑎⨂𝐿𝑏). (𝑇𝑎′⨂𝐿𝑏′)�=𝜑(𝑇𝑎𝑇𝑎′⨂𝐿𝑏𝐿𝑏′) =𝑇𝑎𝑇𝑎′𝐿𝑏𝐿𝑏′ =𝑇𝑎𝐿𝑏𝑇𝑎′𝐿𝑏′ = (𝑇𝑎𝐿𝑏)(𝑇𝑎′𝐿𝑏′) = 𝜑(𝑇𝑎⨂𝐿𝑏)𝜑(𝑇𝑎′⨂𝐿𝑏′)
Ta có𝐴𝑟 và 𝐴𝑙 là đơn tâm trên F vì thế theo định lý 3.2.1 𝐴𝑟⨂𝐴𝑙 cũng đơn tâm Mà 𝑘𝑒𝑟𝜑là ideal của𝐴𝑟⨂𝐴𝑙
Suy ra 𝑘𝑒𝑟𝜑 = 0 nên 𝜑 là đơn cấu Do đó ánh xạ 𝜑 là đẳng cấu ⇒ 𝐴⨂𝐴∗ ≈ 𝐴𝑟𝐴𝑙 (2) 4) Chứng minh𝐴𝑟𝐴𝑙 =𝐿(𝐴) Mặt khác 𝑛2 =𝑑𝑖𝑚𝐹𝐿(𝐴) ≥ 𝑑𝑖𝑚𝐹𝐴𝑟𝐴𝑙 =𝑑𝑖𝑚𝐹(𝐴⨂𝐴∗) =(𝑑𝑖𝑚𝐹𝐴)2 =𝑛2 ⇒ 𝑑𝑖𝑚𝐹𝐿(𝐴) =𝑑𝑖𝑚𝐹𝐴𝑟𝐴𝑙
Do 𝐴𝑟𝐴𝑙là không gian con của 𝐿(𝐴) chúng ta suy ra 𝐴𝑟𝐴𝑙 =𝐿(𝐴)
Từ (1), (2) và (3) suy ra 𝐴⨂𝐴∗ ≈ 𝐴𝑟𝐴𝑙 =𝐿(𝐴)
Từ các kết quả của các định lý và bổ đề trên, ta đã có các công cụ cần thiết để phục vụ cho việc xây dựng nhóm Brauer.
Ta bắt đầu xây dựng nhóm Brauer của các đại số đơn tâm trong trường F bằng cách định nghĩa một quan hệ tương đương thích hợp.
Định nghĩa (quan hệ tương đương):
Nếu A và B là đại số đơn tâm hữu hạn chiều trên trường F khi đó 𝐴~𝐵nếu có số nguyên m và n sao cho𝐴⨂𝐹𝐹𝑚 ≈ 𝐵⨂𝐹𝐹𝑛
Thật vậy, nếu A và B là đại số đơn tâm hữu hạn chiều trên trường F thì
𝐴⨂𝐹𝐹𝑚𝑣à𝐵⨂𝐹𝐹𝑛 cũng đơn tâm hữu hạn chiều trên trường F. Theo định lý Wedderburn – Artin 𝐴⨂𝐹𝐹𝑚 ≈ 𝐵⨂𝐹𝐹𝑛 ≈ 𝐷𝑘 , với𝐷𝑘 là vành các ma trận vuông cấp k trên vành chia D. 𝐷𝑘 được xác định duy nhất, sai khác một đẳng cấu.
Một cách xem xét khác về quan hệ tương đương này như sau: Theo định lý Wedderburn A≈D1⊗Fnvà B≈D2⊗Fm với D ,D1 2là các đại số chia chiều hữu hạn nhận F là tâm. Khi đó ABkhi và chỉ khiD1 ≈D2
Hay nói cách khác, quan hệ tương đương xác định trên các đại số đơn trên trường F thành quan hệ xác định trên các đại số chia trên trường F.
Bổ đề 3.2.2:
Nếu F là một trường, khi đó:
i. 𝑅𝑛 ≃ 𝑅⨂𝐹𝐹𝑛với mọi đại số R với đồng nhất thức trên F ii. 𝐹𝑚⨂𝐹𝑛 ≃ 𝐹𝑚𝑛
Chứng minh:
i. Xét ánh xạ tuyến tính trong F sau
𝜑:𝑅×𝐹𝑛 ⟶ 𝑅𝑛
�𝑟,�𝑎𝑖𝑗�� ⟼ 𝑟𝑎𝑖𝑗
Có một mở rộng tuyến tính duy nhất 𝜑 thành một ánh xạ tuyến tính trên F từ 𝑅⨂𝐹𝐹𝑛 vào𝑅𝑛. Ánh xạ có
𝜑 ��𝑟⨂�𝑎𝑖𝑗��.�𝑟′⨂�𝑎′𝑖𝑗���
Và do mỗi 𝜑 là một đồng cấu trên F đại số. Nếu { 𝑟𝑡} là một không gian vectơ cơ sở trên R trên F và nếu �𝐸𝑖𝑗�là một cơ sở thông thường của𝐹𝑛, khi đó
và nó kéo theo rằng 𝜑 biến một không gian vectơ cơ sở vào một không gian vectơ cơ sở. Do đó, 𝜑 là ánh xạ 1 - 1
ii. Từ kết quả câu (a) cho ta 𝐹𝑚⨂𝐹𝑛 ≃(𝐹𝑚 )𝑛và mỗi phần tử của (𝐹𝑚 )𝑛 có thể đồng nhất với một phần tử của𝐹𝑚𝑛 ma trận cấp 𝑚𝑛 theo tính chất của phép nhân của các ma trận.
Nhóm Brauer:
1. Chứng minh ~ là quan hệ tương đương:
• Phản xạ: 𝐴~𝐴là hiển nhiên vì𝐴⨂𝐹𝐹𝑛 ≅ 𝐴⨂𝐹𝐹𝑛 • Đối xứng:⇒ 𝐴⨂𝐹𝐹𝑛 ≅ 𝐵⨂𝐹𝐹𝑚𝐵⨂𝐹𝐹𝑚 ≅ 𝐴⨂𝐹𝐹𝑛 ⇒ 𝐵~𝐴 • Bắc cầu: Theo bổ đề 3.2.2 ta có: �𝐴𝐵~~𝐵 ⇒ ∃𝑚𝐶 ⇒ ∃𝑡,,𝑛𝑙::𝐵⨂𝐴⨂𝐹𝐹𝑛 ≅ 𝐵⨂𝐹𝐹𝑚 𝐹𝐹𝑡 ≅ 𝐶⨂𝐹𝐹𝑙 ⇒ �𝐴⨂𝐵⨂𝐹𝐹𝑛⨂𝐹𝑡 ≅ 𝐵⨂𝐹𝐹𝑚⨂𝐹𝑡 𝐹𝐹𝑡⨂𝐹𝑚 ≅ 𝐶⨂𝐹𝐹𝑙⨂𝐹𝑚 ⇒ �𝐴⨂𝐵⨂𝐹𝐹𝑛𝑡 ≅ 𝐵⨂𝐹𝐹𝑚𝑡 𝐹𝐹𝑡𝑚≅ 𝐶⨂𝐹𝐹𝑙𝑚 (𝑡ℎ𝑒𝑜𝑏ổđề 3.2.2) ⇒ �𝐴⨂𝐵⨂𝐹𝐹𝑛𝑡 ≅ 𝐵⨂𝐹𝐹𝑚𝑡 𝐹𝐹𝑚𝑡 ≅ 𝐶⨂𝐹𝐹𝑙𝑚 ⇒ 𝐴⨂𝐹𝐹𝑛𝑡 ≅ 𝐶⨂𝐹𝐹𝑙𝑚 ⇒ 𝐴~𝐶
2. Chứng minh quan hệ ~được định nghĩa tốt:
Giả sử rằng, vì 𝐴~𝐴′ và𝐵~𝐵′
Ta có, với 𝐴 ≃ 𝐷𝑚 và 𝐴′ ≃ 𝐷𝑚′,𝐵 ≃ 𝐸𝑛,𝐵′ ≃ 𝐸𝑛′. Trong đó D và E là các đại số chia. Khi đó, theo bổ đề 3.2.2 ta có:
𝐴⨂𝐹𝐵 ≃ 𝐷𝑚⨂𝐹𝐸𝑛 ≃ 𝐷⨂𝐹𝐹𝑚⨂𝐹𝐸⨂𝐹𝐹𝑛 ≃ 𝐷⨂𝐹𝐹𝑚⨂𝐹𝐹𝑛⨂𝐹𝐸 ≃(𝐷⨂𝐹𝐸)⨂𝐹𝐹𝑚𝑛 ≃(𝐷⨂𝐹𝐸)𝑚𝑛 Tương tự 𝐴′⨂𝐹𝐵′≃(𝐷⨂𝐹𝐸)𝑚′𝑛′ Do đó𝐴⨂𝐹𝐵 ∼ 𝐴′⨂𝐹𝐵′ 3. Chứng minh B(F) là nhóm Aben:
Đặt B(F) như là tập hợp các lớp tương đương theo quan hệ tương đương ∼
của đại số đơn tâm hữu hạn chiều trên F
Ký hiệu [𝐴] ∈ 𝐵(𝐹) là một lớp các đại số đơn tâm hữu hạn chiều trên F tương đương với A
Trên B(F) ta định nghĩa phép toán nhân như sau:
Với [𝐴], [𝐵]∈ 𝐵(𝐹) ta có phép toán [𝐴]. [𝐵] = [𝐴⨂𝐹𝐵]
Theo định lý 3.2.1 thì B(F) là đóng với phép toán này Ta chứng minh B(F) là nhóm Aben với phép toán trên
• Kết hợp: ([𝐴]. [𝐵])[𝐶] = [𝐴⨂𝐹𝐵]. [𝐶] = [(𝐴⨂𝐹𝐵)⨂𝐹𝐶] = [𝐴⨂𝐹(𝐵⨂𝐹𝐶)] = [𝐴]. [𝐵⨂𝐹𝐶] = [𝐴]([𝐵]. [𝐶]) • Giao hoán: [𝐴]. [𝐵]=[𝐴⨂𝐹𝐵] = [𝐵⨂𝐹𝐴] = [𝐵]. [𝐴] • Phần tử đơn vị là [𝐹]: : [𝐴]. [𝐹]=[𝐴⨂𝐹𝐹] = [𝐴] vì 𝐴⨂𝐹𝐹 =𝐴 • Phần tử nghịch đảo Theo định lý 3.2.3 ta có𝐴⨂𝐹𝐴∗ ≃ 𝐹𝑛 Do đó ∀[𝐴] ∈ 𝐵(𝐹),∃[𝐴∗]∈ 𝐵(𝐹) 𝑠ao cho[𝐴]. [𝐴∗] = [𝐹]
Nên [𝐴∗] là phần tử đối của phần tử [𝐴]
Vậy B(F) là nhóm Aben
B(F) được gọi là nhóm Brauer của F.
Mô tả nhóm Brauer trong một số trường hợp cụ thể của
trường F
Ở phần trên, ta đã chứng minh được bất kỳ một trường F thì B(F) là nhóm Abel. Tuy nhiên, bởi vì định nghĩa về nhóm Brauer của một trường F cố định là một định nghĩa rất trừu tượng nên để hiểu rõ hơn ta sẽ đưa ra một số ví dụ xây dựng những hình ảnh cụ thể về nhóm Brauer trong trường cụ thể .
a) Nhóm Brauer trong trường đóng đại số
Một trường F được gọi là một trường đóng đại số nếu mọi đa thức khác hằng
( )
f ∈F X có ít nhất một nghiệm trong F.
Nhận xét: Từ định nghĩa trên, ta có một đa thức bậc n trong trường đóng đại số sẽ có đủ n nghiệm trong F nếu mỗi nghiệm được tính số lần bằng số bội của nó. Một thí dụ điển hình về trường đóng đại số là tập số phức .
Định nghĩa
Nếu K và F là các trường và K là một trường con của F. Chúng ta nói rằng F là một mở rộng của K, ký hiệu là F K . Bậc của mở rộng, ký hiệu là [F K: ] là số chiều dimK( )F . F K là mở rộng đại số nếu với mọi phần tử α của F, tồn tại một đa thức khác hằng f ∈K X[ ]sao cho f ( )α =0
Bổ đề
Nếu ta có mở rộng trường K ≤F ≤L khi đó [L K: ] [= L F F K: ][ : ]
Định nghĩa
F là bao đóng đại số của K nếu F K là mở rộng đại số và F là trường đóng đại số
Định lý
Với mọi trường K, bao đóng đại số F của K là duy nhất sai khác một đẳng cấu
Mệnh đề (một hệ quả của định lý Wedderburn – Artin)
Cho K là một trường đóng đại số. Nếu D là K – đại số chia hữu hạn chiều thì
K =D
Chứng minh
Rõ ràng là K ⊆D. Đặt n=dimK( )D và x∈D. Khi đó, 2
1, ,x x ,...,xn là độc lập tuyến tính. Tồn tại a a0, ,...,1 an không đồng thời bằng 0 sao cho
2
0 1 2 ... n n 0
a +a x+a x + +a x = . Do đó, tồn tại một đa thức không vô hạn f ∈K X[ ]
sao cho f x( )=0. Nhưng K là một trường đóng đại số, vì thế x∈K. Suy ra D⊆K
Hệ quả
Nếu K là trường đóng đại số thì B K là m( ) ột nhóm tầm thường
Chứng minh
Theo hệ quả của định lý Wedderburn – Artin, ta có K – đại số chia hữu hạn chiều duy nhất là K. Do đó, tồn tại duy nhất một lớp tương đương trongB K( ), đó là [ ]K . Do đó B K( )là một nhóm tầm thường.
Trong trường hợp đặc biệt chúng ta thấy rằng B( ) cũng là một nhóm tầm thường bởi vì là một trường đóng đại số.
b) Nhóm Brauer trong trường hữu hạn
K là trường hữu hạn thì B K là nhóm t( ) ầm thường
Chứng minh:
Ta đi tìm các phần tử của B K( ). Cho D là K – đại số chia đơn tâm. Theo định lý Wedderburn, ta có D là giao hoán nên D cũng là tâm, vì thế Z D( )=K =D. Do đó, chỉ có một phần tử thuộc B K( ), đó là [ ]K .
c) Nhóm Brauer trong trường số thực
Những ví dụ trên đều cho các nhóm Brauer là nhóm tầm thường. Trong phần này ta sẽ thấy điều này không đúng đối với tập số thực . Đầu tiên ta nhắc lại khái niệm Quarternions
Định nghĩa
Quaternions, ký hiệu là , là một không gian vecto 4 chiều trên với các cơ sở là
{1, , ,i j k}, và phép nhân được định nghĩa sao cho 1 là phần tử đơn vị và
2 2 2
1
i = j =k = −
ij= − =ji k jk = − =kj i
ki= − =ik j
Mặt khác cũng là một – đại số. Với mọi phần tử q= + + +a bi cj dk∈ ,
0, , , , q≠ a b c d∈ ta có ( ) ( 2 2 2 2) a bi cj dk a b c d − − − + + +
là phần tử nghịch đảo của q. Do đó, thực sự là một – đại số chia.
Bổ đề
Trường mở rộng duy nhất của là và
Định lý (FROBENIUS)
Nếu D là đại số chia với nằm trong tâm của nó và [D:]< ∞ thì D=,
hoặc
Hệ quả: B( ) 2
Chứng minh
Ta đi tìm các phần tử của B( ) . Cho D là – đại số chia hữu hạn chiều trên
Theo định lý Fobenius, D chỉ có thể là , hoặc . Nhưng trong đó, chỉ có và
là các đại số chia hữu hạn chiều và đơn tâm trên (vì tâm của không phải là
)
Như vậy, chỉ có 2 lớp tương đương là [ ] và []. Suy ra B( ) có chính xác 2 phần tử. Do đó, B( ) 2
Chú ý rằng phần tử đồng nhất của nhóm B( ) chính là [ ] và phần tử khác đơn vị chính là []. Vì thế ta có [][]=[ ] , nghĩa là, ⊗ nvới n nào đó. Vì có số chiều là 4 nên ⊗ có số chiều là 16. Ta có ⊗ M4( )
Ta cũng có thể kết luận rằng mỗi đại số đơn tâm hữu hạn chiều trên đẳng cấu với một ma trận đại số trên hoặc .