Trong định lý của Maschke, chúng ta đã chỉ ra rằng đại số nhóm F(G) của nhóm hữu hạn G bậc o(G) trên trường F đặc số 0 hoặc p là nửa đơn, trong đó p o G/| ( ). Từ các định lý mà chúng ta đã chứng minh về bản chất của vành artin nửa đơn, cấu trúc của F(G) là chưa đủ. Những thông tin chúng ta thu thập được bằng cách này về F(G) cho phép chúng ta tìm hiểu sâu hơn bản chất tập G. Đó là sự tương tác giữa G và F(G), và các kết quả của nó chính là mục đính mà chúng ta học trong chương này. Giả sử rằng F là 1 trường số phức – đó là tất cả những gì chúng ta có thể làm cho bất cứ một trường đóng đại số nào có đặc số 0 hoặc p, trong đó p o G| ( )/
Định lý của Cayley trong lý thuyết nhóm hữu hạn khẳng định rằng mọi nhóm hữu hạn đều đẳng cấu với một nhóm các phép thế nào đó; những phép thế này có một biểu diễn đẹp là ma trận gồm các phần tử là 0 và 1.
Định nghĩa:
Ta gọi một biểu diễn của G là một đồng cấu ψ :G→L V( ) trong đó L V( )
là tập các phép biến đổi tuyến tính đại số của không gian vecto V trên trường F.
(1) I
Ta gọi V là biểu diễn modun của G theo ψ, V có cấu trúc của một F(G)- modun, bằng cách định nghĩa :vg=vψ( )g , g∈G, v V∈ . Ngược lại, cho M là F(G)-modun, cho chúng ta một biểu diễn của G và của F(G); điều này có thể làm được bằng cách định nghĩa ψ : ( )L G →L M( ) thỏa
( ), ,
mg =mψ g g∈G m∈M .
Do đó việc nghiên cứu biểu diễn của G là tương đương với việc nghiên cứu F(G)-modun.
Ta nói biểu diễn ψlà bất khả quy nếu biểu diễn modun V theo ψ là F(G)- modun
Cho hai biểu diễn ψ và θ của G có biểu diễn modun là V và W, ta nói chúng tương đương nếu V đẳng cấu với W như F(G)-modun.
Điều này cho ta sơ đồ sau là giao hoán với mọi g∈G:
( ) W ( ) W P P g g V V ψ θ ≈ ≈ → ↓ ↓ →
Ta có Pθ( )g =ψ( )g P,∀ ∈g G, P là một không gian vecto gồm các phép đẳng cấu từ V lên W, hoặc tương đương, ( ) 1 ( )
,
g P g P g G
θ = −ψ ∀ ∈ . Đây là
một quan hệ tương đương. Thông thường khi ta nói một biểu diễn nghĩa là chúng ta sẽ nói về lớp tương đương của nó.
Định nghĩa:
Nếu ψ là một biểu diễn của G thì đặc trưng của ψ :
( ) ( ) : G F g g tr g ψ ψ χ χ ψ → =
Chú ý rằng χψkhông phụ thuộc vào ψ nhưng phụ thuộc vào lớp tương đương của ψ , do đó nếu ψ θ& là tương đương thì ( ) 1 ( )
g P g P θ = −ψ ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) g tr g trP g P tr g g θ ψ χ θ −ψ ψ χ ⇒ = = = = Cũng chú ý rằng χ là một hàm lớp trong đó ( ) ( 1 ) , , g x gx x g G χ =χ − ∀ ∈ ( 1 ) ( ) ( ) ( )1 x gx x g x ψ − =ψ − ψ ψ ( 1 ) ( ) ( ) ( )1 ( ) ( ) x gx tr x g x tr g g χ − = ψ − ψ ψ = ψ =χ
Theo định lý Wedderburn – Artin nếu R là vành Artin nửa đơn thì bất kì R-modun nào cũng là tổng trực tiếp của các R-modun bất khả quy. Vì F(G) là vành Artin nửa đơn (đại số) nên bất kỳ F(G) modun đều là tổng trực tiếp của các F(G)-modun bất khả quy. Nếu V là một F(G)-modun thì V = ⊕Vi,Vi là F(G)-modun bất khả quy và nếu ψ là biểu diễn của G liên hợp với V và
i
ψ liên hợp với Vi ta viết: ψ ψ= 1⊕ ⊕... ψm ⊕...
Ta gọi ψilà cấu thành bất khả quy của ψ . Nếu milà số Vjđẳng cấu modun với Vi, khi đó V là hữu hạn chiều và tất cả micũng hữu hạn, chúng ta kí hiệu
i i
m
ψ =∑ ψ và gọi milà bội số của ψitrongψ . χ =∑miχi trong đó χlà đặc số của ψ và χilà đặc số củaψi. Bằng cách đó và mở rộng ra đều liên quan đến biểu diễn bất khả quy và đặc trưng của G.
Với bất kỳ một R-modun nào, R là vành Artin nửa đơn,đều đẳng cấu với một ideal phải tối tiểu của R. vì thế điều này cũng đúng với F(G).
( ) 1 ... k n n F G ≈F ⊕ ⊕F , trong đó i n F là vành ma trận vuông ni×nitrên F Ideal tối tiểu của F(G) là Fni.
( ) 1 2 1 0 0 0 0 0 0 i n i j p a F α α α = ∈ và i n
F là một tổng trực tiếp các đẳng cấu nicủa 1( )i
p do đó G chỉ có một số hữu hạn các biểu diễn bất khả quy không tương đương, chẳng hạn k số. k biểu diễn này cho chúng ta những idean phải tối tiểu của ( )1 ( )
1 ,..., 1k
p p của
1,...,
k
n n
F F tương ứng thì thực sự không tương đương.
( )
i
n i
F =e F G trong đó ei là tâm lũy đẳng trong F G( )và e ei j =0,i ≠ j
Do đó nếu i≠ j , ( ) ( ) 1 1 i i i p e = p và p1( )j ei =( )0 thì ( ) 1 i p và ( ) 1 j p không thể đẳng cấu như F G( )−modun. Do đó G có chính xác k biểu diễn bất khả quy phân biệt.
Đặt k=dimFZ F G( ( )) trong đó Z F G( ( ))là tâm của F G( )
Nếu ψilà biểu diễn bất khả quy có 1( )i
p là modun biểu diễn thì ta gọi n là bi ậc của ψi
Biểu diễn chính quy phải τ của F G( ) được định nghĩa: τ( )a =Ta trong đó
( )
,
a
xT = xa ∀ ∈x F G
( )
F G cũng là một modun biểu diễn của τ
Vì ( ) 1 .... k n n F G =F ⊕ ⊕F trong đó i n F là một tổng trực tiếp các đẳng cấu ni của 1( ) i p ta có định lý sau: Định lý: 3.3.1: i i n
τ =∑ ψ , mỗi biểu diễn bất khả quy của G là một cấu thành của biểu diễn chính quy như bậc của nó.
3.3.1.1 Hệ quả 1 ( ) 2 1 k i i o G n = =∑ 3.3.1.2 Hệ quả 2: Nếu g ≠1, g∈G thì χτ( )g =∑niχi( )g =0 Chứng minh:
Sử dụng nhóm các phần tử của G như một cơ sở của F G( ). Ta có:
0
1, i i
g≠ g T ≠ g , T0là một ma trận trong cơ sở này có đường chéo chỉ có các phần tử 0.
Do đó χτ( )g =T Tτ 0 =0
Vì χτ( )g =∑niχi( )g nên ta có đpcm.
Chú ý rằng biểu diễn của G, ψ1:G→1 là một biểu diễn bất khả quy của G bậc 1.
Do đó n1 =1
Ta gọi ψ1là biểu diễn đơn vị và χ1là đặc số đơn vị của G.
Nếu ψ1là một biểu diễn bất khả quy bậc 1 thì ta gọi nó là biểu diễn tuyến tính của G.
Vậy G có bao nhiêu biểu diễn tuyến tính?
Định lý 3.3.2:
Nếu G′là nhóm con hoán tử của G thì số các biểu diễn tuyến tính của G bằng o G G( ′)
G G′ là aben nên F G G( ′) giao hoán, đại số đơn và do đó sự cấu thành đơn của nó là trường và đẳng cấu với F.
Mặt khác, các biểu diễn bất khả quy của G G′là tuyến tính Nếu θ là một biểu diễn bất khả quy của G G′
Ta định nghĩa: một biểu diễn θ của G thỏa θ( )g =θ ( )gG′
Đây là một biểu diễn tuyến tính của G.
Do đó tất cả các biểu diễn tuyến tính phân biệt o G G( ′)của G G′ đều chứa các biểu diễn tuyến tính phân biệt của G (1)
Mặt khác nếu θ là một biểu diễn tuyến tính của G thì θ( )G - nhóm con của F – là aben.
Do đó G′ ⊂kerθ
Một biểu diễn θ của G G′được định nghĩa: θ ( ) ( )gG′ =θ g ,∀ ∈g G
Vì G′ ⊂kerθ nên được định nghĩa tốt và là một biểu diễn tuyến tính của
G G′.
Do đó G có hầu hết các biểu diễn tuyến tính phân biệt o G G( ′) (2) Kết hợp (1) và (2) cho ta đpcm.
Nếu H là ảnh đồng cấu của G thì bất kỳ biểu diễn bất khả quy nào của H cũng chứa 1 biểu diễn bất khả quy của G. Ngược lại bất kỳ biểu diễn nào của G mà ker(G→H) nằm trong hạt nhân của chính nó thì được định nghĩa là một biểu diễn trên H.
Định lý 3.3.3:
Số biểu diễn bất khả quy, không tương đương phân biệt của G bằng số lớp liên hợp phân biệt trong G.
Chứng minh:
Số các biểu diễn bất khả quy không tương đương phân biệt của G bằng
( )
( )
dimFZ F G
Nếu g∈G, đặt C g( )là lớp liên hợp của g trong G,
( ) g x C g C x ∈ = ∑ g C là tổng lớp của g.
Rõ ràng Cggiao hoán với tất cả các phần tử của G Do đó với mọi phần tử thuộc F G( ),Cg∈Z F G( ( ))
Vì các phần tử nhóm độc lập tuyến tính trên F nên các phần tử của Cg cũng độc lập tuyến tính trên F.
Vậy các phần tử của Cgcấu thành một cơ sở của Z F G( ( )) trên F. Đặt z=∑αigi∈Z F G( ( )),αi∈F g, i∈G
Nếu x∈G thì ∑αigi = =z xzx−1=∑αixg xi −1
Vì các phần tử nhóm độc lập tuyến tính trên F và từ việc so sánh hệ số giữa đầu và cuối của hệ thức ta có mọi liên hợp của gitrong biểu thức của z cũng như các liên hợp của gi.
Do đó z=∑αiCgi
Do đó dimFZ F G( ( ))bằng số lớp liên hợp trong G.
Bổ đề 3.3.1:
Cho A là một đại số hữu hạn chiều trên 1 trường đóng đại số E có đặc số
0
p≠ . S là không gian vecto trong A sinh ra bởi ab ba− , a b, ∈A, trên F. Đặt T = ∈{x A xpn ∈S n, ∈}, với Khi đó T là một không gian con của A,
và số thành phần đơn của A J A b( ) ằng với số chiều của A T như một không gian vecto trên E.
Chứng minh:
Nếu a b, ∈A thì bằng khai triển và kết hợp các quy tắc sử dụng hoán vị vòng tròn ta được: (a+b)p ≡ap +bpmodS
Do đó ( ) ( ) ( ) {( ) 1 } {( ) 1 }
0 mod
p p p p p
ab−ba ≡ ab − ba ≡a ba − b − ba − b a≡ S
Nói cách khác lũy thừa thứ p của phần tử thuộc S thì thuộc S. Do đó S ⊂T
Nếu a b T, ∈ thì do ( ) mod
k k k
p p p
a+b ≡a +b S nên T là không gian con của A
Nếu A là đơn thì theo định lý Wedderburnvà bao đóng đại số của E ta có
n
A≈E .
Trong trường hợp này S ={a∈E tran =0}. Do đó dimA S =1
Vì S ⊂ ⊂T A và A≠T do và 1 0 0 0 0 0 ... ... ... 0 0 0 T ∉ nên ta có S =T và dimA T =1
Vì J A( ) là lũy linh nên J A( )⊂T do đó trong A J A( )= A ta có
( )
T =T J A và dimA T =dimA T.
VìA là tổng trực tiếp của các đại số đơn Ai và T là tổng trực tiếp của Ti,
dimA Ti i =1 nên dimA Tlà số phần tử đơn của A. Do dimA T =dimA T ⇒đpcm.
Định nghĩa:
Nếu g∈G thì gđược gọi là p−chính quy, p là số nguyên tố, nếu cấp của
gkhông chia hết cho p.
Nếu p o G/| ( ) thì mọi phần tử của G đều p−chính quy.
Định lý 3.3.4:
Cho G là nhóm hữu hạn, E là trường đóng đại số có đặc số p≠0. Khi đó số biểu diễn bất khả quy không tương đương phân biệt của E G( )
bằng số lớp liên hợp của phần tử p−chính quy trong G.
Chứng minh:
Đặt A=E G( ), S và T như trong bổ đề 3.3.1. J A( )⊂kerψ với mọi biểu diễn bất khả quy ψcủa A.
Khi đó biểu diễn bất khả quy của A là bất khả quy củaA J A( )
Cho g∈G, từ phân tích Sylow nhóm cyclic của G sinh bởi g, ta có
g=ab=batrong đó a là p−chính quy và b có cấp k p ( ) 0 mod k k k k k k p p p p p p ab−a ≡a b −a ≡a −a ≡ S Do đó ab a T− ∈ và g≡amodT
Vậy g ≡amodT, ∀ ∈g G, a là p−chính quy Nếu g g1, 2∈G ( ) ( ) 1 1 1 2 1 1 1 1 g = xg x− =x g x− − g x− x+g 2 1mod g g S ⇒ ≡ 2 1mod g g T ⇒ ≡
Ta có x∈A x, ≡∑αi ia modT, trong đó ailà đại diện của lớp p−chính quy. Do đó mở rộng ra A T .
Ta sẽ chứng minh chúng độc lập tuyến tính modun T.
Giả sử x≡∑αi ia ≡0 modT, trong đó ailà đại diện của lớp p−chính quy riêng biệt. Đặt k q= p đủ lớn để q x ∈Svà q i i a =a(vì ailàp−chính quy) Do đó xq ≡∑αiqaiq ≡∑αiqai ≡0 modS
Do xq∈S nên tổng hệ số của nó trên mỗi lớp liên hợp là 0
0 0
q
i i
α α
⇒ = ⇒ =
Vậy các lớp đại diện p−chính quyaitạo nên 1 chuẩn của A modun T. Theo mệnh đề trước, do dimA Tbằng số lớp nên ta có đpcm.
Chú ý rằng định lý 3.1.2 là trường hợp đặc biệt của kết quả này – ít nhất cho trường đóng đại số - khi nếu ( ) n
o G = p thì G có duy nhất một lớp
p−chính quy là { }1 .
Chúng ta quay lại lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn trên trường số phức
Đặt χlà một đặc số của biểu diễn ψcủa G. Vì g∈G
( )
(ψ g )o G( ) =ψ ( )go G( ) =ψ ( )1 =I
Nghiệm đặc trưng của ψ( )g là căn của đơn vị
Do đó χ( )g =trψ( )g là một tổng các nghiệm đặc trưng của ψ( )g và do đó là tổng các nghiệm của đơn vị.
KẾT LUẬN
Qua quá trình nghiên cứu tài liệu, được sự chỉ dẫn, lý giải thêm của thầy hướng dẫn, chúng tôi đã nắm được một số nội dung sau:
Trong chương 1, luận văn trình bày các kiến thức cơ bản.
Trong chương 2, luận văn trình bày định lý Wedderburn – Artin và các dạng khác nhau cũng như các hệ quả trực tiếp của nó mà ta sẽ dùng trong việc trình bày các ứng dụng của định lý trong chương 3.
Trong chương 3, luận văn trình bày các ứng dụng của định lý Wedderburn – Artin trong:
• Định lý Burnside, tính hữu hạn địa phương của nhóm ma trận.
• Mô tả và xây dựng nhóm Brauer
• Lý thuyết biểu diễn nhóm
Định lý Wedderburn – Artin là hòn đá tảng trong đại số. Định lý có nhiều ứng dụng quan trọng trong đại số nói chung và trong lý thuyết vành không giao hoán nói riêng. Luận văn trình bày được một số ứng dụng của định lý trong lý thuyết vành không giao hoán, mở ra hướng nghiên cứu thêm về các ứng dụng của định lý trong đại số nói chung.
Cuối cùng, những gì chúng tôi làm được trong luận văn chỉ là một khởi đầu cho một hướng nghiên cứu mới. Tôi hy vọng được học tập và nghiên cứu thêm về các ứng dụng của đề tài này.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] : I.N.HESTEIN, Noncommutative rings, the Carus mathematical monographs,
published by the mathematical association of America
[2] : T.Y.LAM, A first course in Noncommutative rings, Graduate Texts in Mathematics, Springer Verlag.
[3]: STEVEN H.WEINTRAUB , Representation theory of finite groups: Algebra
and Arithmetic, American mathematical society.
[4]: Richard Pierce, Associative algebras. Graduate Texts in Mathematics, 88. Studies in the History of Modern Science, 9. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1982.