Phương pháp trung bình bình phương và một số ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN CHÍ THÂN PHƯƠNG PHÁP TRUNG BÌNH BÌNH PHƯƠNG VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN KHẢI HÀ NỘI, 2014 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn thầy giáo TS. Nguyễn Văn Khải. Sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình song nghiêm túc thầy suốt trình thực luận văn giúp tác giả trưởng thành nhiều cách tiếp cận vấn đề mới. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc thầy. Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, thầy cô giáo nhà trường thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập. Tác giả xin chân thành cảm ơn Sở GD-ĐT Hà Nội, Ban giám hiệu, thầy cô giáo, đồng nghiệp trường Trung học phổ thông Bất Bạt gia đình, người thân, bạn bè giúp đỡ, động viên tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa học Thạc sĩ hoàn thành luận văn này. Hà Nội, ngày 19 tháng 02 năm 2014 Tác giả Nguyễn Chí Thân Lời cam đoan Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn TS. Nguyễn Văn Khải. Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng tôi. Trong trình nghiên cứu hoàn thành luận văn kế thừa thành khoa học nhà khoa học đồng nghiệp với trân trọng biết ơn. Tôi xin cam đoan thông tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc. Hà Nội, ngày 19 tháng 02 năm 2014 Tác giả Nguyễn Chí Thân Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chương 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . . . . . . . . . . 1.1. Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Không gian vecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Không gian định chuẩn không gian Banach . . . . . . . . . . . . 10 1.4. Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5. Không gian L2 [a; b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.6. Chuỗi Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Chương 2. XẤP XỈ TRUNG BÌNH BÌNH PHƯƠNG . . 18 2.1. Xấp xỉ tốt không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2. Xấp xỉ tốt L2 [a; b] đa thức đại số. . . . . 21 2.3. Xấp xỉ tốt L2 [a; b] hệ đa thức trực giao . . 24 2.3.1. Định nghĩa đa thức trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3.2. Một số tính chất đa thức trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3.3. Đa thức trực giao Jacobian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3.4. Đa thức trực giao Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3.5. Đa thức trực giao Chebyshev loại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3.6. Đa thức trực giao Chebyshev loại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3.7. Đa thức trực giao Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.3.8. Đa thức trực giao Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.3.9. Đa thức trực giao Laghe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.3.10. Đa thức trực giao lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.4. Xấp xỉ hàm cho dạng bảng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.4.1. {ϕ} sở đại số ϕi = xi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.4.2. {ϕ} = {1, sin x, cos x, . . . , sin mx, cos mx}, x ∈ [0; 2π] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 2.4.3. {ϕ} = {emx } . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Chương 3. MỘT SỐ ỨNG DỤNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Mở đầu 1. Lí chọn đề tài Trong thực tế tính toán, ta thường gặp số khó khăn thực phép toán với toán mà hàm số f (x) có biểu thức phức tạp hàm số cho dạng bảng. Để khắc phục vấn đề người ta xây dựng hàm số P (x) đơn giản hơn, xấp xỉ với f (x). Có nhiều phương pháp để xấp xỉ hàm phương pháp có nhiều ứng dụng phương pháp xấp xỉ trung bình bình phương. Với mong muốn tìm hiểu sâu phương pháp xấp xỉ trung bình bình phương ứng dụng nó, chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ “Phương pháp trung bình bình phương số ứng dụng”. 2. Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày hệ thống lý thuyết xấp xỉ trung bình bình phương nêu số ứng dụng nó. Lý thuyết xấp xỉ tốt không gian Hilbert, xấp xỉ tốt L2 [a; b], phương pháp bình phương tối thiểu. Một số ứng dụng ví dụ khác nhau. 3. Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Phương pháp xấp xỉ trung bình bình phương. Phạm vi nghiên cứu: Xấp xỉ tốt không gian Hilbert, không gian L2 [a; b] phương pháp bình phương tối thiểu. 4. Phương pháp nghiên cứu Đọc, tìm hiểu tư liệu sách, báo. Sử dụng phương pháp giải tích. Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu đề tài. 5. Dự kiến đóng góp đề tài Trình bày cách có hệ thống rõ ràng số vấn đề lý thuyết xấp xỉ trung bình bình phương. Ứng dụng lý thuyết xấp xỉ trung bình bình phương để giải sáng tạo lớp toán. Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Không gian metric Định nghĩa 1.1. Cho tập hợp tùy ý X = ø. Một metric X ánh xạ d:X ×X →R thỏa mãn điều kiện sau: i) d (x, y) ≥ ∀x, y ∈ X; d (x, y) = ⇔ x = y; ii) d (x, y) = d (y, x) ∀x, y ∈ X; iii) d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y) ∀x, y, z ∈ X. Tập hợp X metric X gọi không gian metric, ký hiệu (X, d). Số d (x, y) gọi khoảng cách điểm x y. Nếu M tập khác rỗng X M với d hạn chế M không gian metric không gian metric X. Định nghĩa 1.2. Dãy điểm {xn } không gian metric (X, d) gọi hội tụ tới điểm x ∈ X lim d (xn , x) = 0. n→∞ Ký hiệu lim xn = x hay xn → x n → ∞. n→∞ Định nghĩa 1.3. Một dãy điểm {xn } không gian metric (X, d) gọi dãy (hay dãy Cauchy) lim d (xm , xn ) = 0. m,n→∞ Định nghĩa 1.4. Không gian metric (X, d) gọi đầy đủ dãy X hội tụ tới phần tử X. Định lý 1.1. Mọi tập đóng không gian metric đầy đủ không gian metric đầy đủ. Chứng minh. Giả sử F tập đóng không gian metric đầy đủ (X, d). Giả sử {xn } dãy F tức lim d (xm , xn ) = 0. m,n→∞ Suy {xn } dãy X. Do X không gian đầy đủ nên dãy {xn } hội tụ, tức ∃x0 ∈ X : xn → x0 , n → ∞ Như (xn ) ⊂ F : xn → x0 ∈ X, n → ∞. Do F tập đóng nên x0 ∈ F . Vậy F không gian metric đầy đủ. Ví dụ 1.1. Xét X = R với khoảng cách d(x, y) = |x − y|. Khi X không gian metric, X không gian metric đầy đủ. Ví dụ 1.2. Xét X = Q với khoảng cách d(x, y) = |x − y|. Khi X không gian metric, X không gian metric đầy đủ. Ví dụ 1.3. Trong không gian metric đầy đủ (X, d), hình cầu đóng S (x0 , r) = {x ∈ X : d (x, x0 ) ≤ r} , r ∈ R+ không gian metric đầy đủ. Định nghĩa 1.5. Cho hai không gian metric tùy ý (X, d1 ) (Y, d2 ). Ánh xạ A : X → Y gọi ánh xạ co tồn số α ∈ [0, 1) cho ∀x1 , x2 ∈ X ta có d2 (A(x1 ), A(x2 )) ≤ αd1 (x1 , x2 ) , α gọi hệ số co ánh xạ co A. Định lý 1.2. (Nguyên lý Banach ánh xạ co) Mọi ánh xạ co A ánh xạ không gian metric đầy đủ (X, d) vào có điểm bất động nhất. Chứng minh. Lấy điểm x0 ∈ X lập dãy xn = A (xn−1 ) , n = 1, 2, . ta d (x2 , x1 ) = d (Ax1 , Ax0 ) ≤ αd (x1 , x0 ) = αd (Ax0 , x0 ) , d (x3 , x2 ) = d (Ax2 , Ax1 ) ≤ αd (x2 , x1 ) ≤ α2 d (Ax0 , x0 ) , . d (xn+1 , xn ) = d (Axn , Axn−1 ) ≤ αd (xn , xn−1 ) ≤ αn d (Ax0 , x0 ) , n = 1, 2, . Từ suy ∀n, p = 1, 2, . ta có p d (xn+p , xn ) ≤ p αn+k−1 d (Axn+k , Axn+k−1 ) ≤ d (Ax0 , x0 ) k=1 n k=1 n+p n α α −α d (Ax0 , x0 ) ≤ d (Ax0 , x0 ) . 1−α 1−α Vì ≤ α < nên lim d (xn+p , xn ) = 0, ∀p ∈ N∗ nghĩa (xn ) = n→∞ dãy không gian metric đầy đủ (X, d). Từ tồn lim xn = x∗ ∈ X. Ta có n→∞ d (Ax∗ , x∗ ) ≤ d (Ax∗ , xn ) + d (xn , x∗ ) = d (Ax∗ , Axn−1 ) + d (xn , x∗ ) ≤ αd (xn−1 , x∗ ) + d (xn , x∗ ) , ∀n = 1, 2, .  12 − 12α 6α +  a= + ln α ln2 α 6α − 2α +  b= − ln α ln α β [−ex + ax + b]2 dx. 3.4.14. I14 = α x−α Đổi biến t = . β−α Suy dx = (β − α) dt. β −e I14 = (β − α) (β−α)t+α + a (β − α) t + aα + b dx α (β−α)t 2α −e = (β − α) e a (β − α) aα + b + t + dx eα eα Theo 3.4.12 ta có   a (β − α) 12 − 12e(β−α) 6e(β−α) +   = +  eα (β − α) (β − α)2 (β−α) (β−α) b + aα 6e − 2e +4     eα = + (β − α) (β − α)  α (β−α)  e 12 − 12e 6e(β−α) +   + a= (β − α) (β − α) (β − α) ⇔ (β−α) (β−α) − 18 8e + 10  α 18e   b = e −  (β − α) (β − α)2 I14 e2β − e2α − = (β − α) (β − α) eβ − eα β−α eβ + eα 2eβ − 2eα −3 − β−α (β − α)2 −enx + ax2 + bx + c dx. 3.4.15. I15 = Sử dụng lí thuyết xấp xỉ trung bình bình phương: Đổi biến t = 2x − 1. Suy I15 = −e t+1 n at2 b + a 4c + 2b + a + + t+ dt. 2 −1 84 . Xấp xỉ hàm số f (t) = e t+1 n đa thức Legendre có bậc không vượt 2: 4c + 2b + a at2 b + a + t+ . P2 (t) = c0 L0 (t) + c1 L1 (t) + c2 L2 (t) = 4 Khi c0 = e t+1 n en − dt = ; n −1 c1 = te t+1 n (en + 1) (−en + 1) dt = + ; n n2 −1 c2 = 3t2 − e t+1 n 1 + 2+ 6n n n dt = −30 1 − 2+ 6n n n + 30en −1  a   = c2    a+b = c1      a + b + c = c0 − c2  1 1  n  a = −180 + + + 180e − +    6n n2 n3 6n n2 n3   24 168 360 36 192 360 ⇔ + + − en − + b=  n n n n n n    60 60 36   + + + en + + c=− n n n n n2 n3 Giá trị cực tiểu tích phân  I15 = [f (x) − P2 (x)]2 dx = −1 2n n 1 −1 n 2 e2nx dx − 2c20 − c21 − c22  −1 e −1 1+e 2en − = − −3 − 2n n n n2 1 1 −180 + + − en − 2+ 6n n n 6n n n Sử dụng phương pháp sơ cấp: e  85 . e2nx − 2ax2 enx − 2benx x − 2cenx + a2 x4 + b2 x2 I15 = +c2 + 2abx3 + 2acx2 + 2bcx dx e2n−1 2 c = − 2en − + a+ − b+ 2n n n n n n a b 2a a2 b 2ac ab c− + + + + c2 + + + bc + n n n 3 2 b a en − 6(en + 1) 12 (en − 1) = c+ + − a+b− + + n 12 n n2 2 e2n − en − 1 + en 2en − − − + −3 2n n n n2 1 1 + a + 180 + + − 180en − 2+ 180 6n n n 6n n n 2 1 + + − en − 2+ −180 6n n n 6n n n 2 n n n 2n e −1 1+e 2e − e −1 − −3 − ≥ 2n n n n2 2 1 n + + − + −180 −e . 6n n2 n3 6n n2 n3 Vậy [f (x) − P2 (x)] dx = I15 = −1 2n = e 2 e2nx dx − 2c20 − c21 − c22 n e −1 −1 − 2n n −180 −1 n 1+e 2en − −3 − n n2 1 1 + + − en − 2+ 6n n n 6n n n  b a en −   c + + − =0   n   6(en + 1) 12 (en − 1) a+b− + =0 n n    1 1   + + − 180en − 2+  a + 180 6n n n 6n n n 86 =0  1 1   a = −180 + + + 180en − 2+    6n n n 6n n n   36 192 360 24 168 360 + + − en − + ⇔ b=  n n n n n n    60 36 60   + + + en + 2+ c=− n n n n n n Giá trị cực tiểu tích phân −1 2n = e 2 e2nx dx − 2c20 − c21 − c22 [f (x) − P2 (x)]2 dx = I15 = n e −1 −1 − 2n n −180 −1 n 2en − 1+e − −3 n n2 2 1 + + − en − 2+ 6n n n 6n n n . . −αx + ax2 + bx + c dx ; α > 0. 3.4.16. I16 = Trường hợp đặc biệt 3.4.15 thay n = ln α, với α số thực dương. Ta có 2 α−1 + α 2α − α2 − − −3 − I16 = ln α ln α ln α (ln α)2 1 2 + − −180 + + −α ln α ln2 α ln3 α ln α ln2 α ln3 α  1 1    a = −180 + 180α + + − +   ln α ln α ln α ln α ln α ln α   36 192 360 24 168 360 b= + + − + −α  ln α ln α ln α ln α ln α ln α    36 60 60   c=− + + +α + + ln α ln α ln α ln α ln α ln α π ax2 + bx + c − cos x dx. 3.4.17. I17 = Sử dụng lí thuyết xấp xỉ trung bình bình phương: π Đổi biến x = (t + 1). 87 π aπ 2 aπ bπ π aπ bπ −cos t+ + t + + t+ + + c dt. Suy I17 4 16 8 −1 π π Xấp xỉ hàm số f (t) = cos t+ đa thức Legendre có bậc 4 không vượt 2: π = P2 (t) = c0 L0 (t) + c1 L1 (t) + c2 L2 (t) aπ 2 aπ bπ aπ bπ = t + + t+ + + c. 16 8 Khi c0 = cos −1 c1 = tcos −1 π π π t+ dt = ; 4 π π 6π − 24 ; t+ dt = 4 π2 30 −384 + 96π + 8π π π 3t − cos t+ dt = . 4 24π c2 = −1 Từ ta có   30 −384 + 96π + 8π aπ       = c2 a=     π5  162  aπ bπ −5760 + 1536π + 96π ⇔ + = c1 b=   π4       aπ bπ c −480 + 144π + 6π 2     + + c = c0 − c= 16 π3 Giá trị cực tiểu tích phân I17 = [f (x) − P2 (x)]2 dx = −1 cos2 π π t+ dt − 2c20 − c21 − c22 4 −1 900 384 − 96π − 8π π (24π − 96) = − + + π 96π 5760π 88 Sử dụng phương pháp sơ cấp: aπ bπ π a2 π b2 π c2 π 2acπ abπ + + + + −2 + + c − b − 2a + I17 = 160 24 24 4 2 π aπ bπ π2 aπ 24π − 96 = + − − c+ + b+ 12 π 96 π3 30 384 − 96π − 8π π5 + a+ 5760 π5 (24π − 96)2 900 384 − 96π − 8π π + + + − π 96π 5760π π (24π − 96)2 900 384 − 96π − 8π ≥ − + + π 96π 5760π Giá trị cực tiểu tích phân I17 (24π − 96)2 900 384 − 96π − 8π π + + = − π 96π 5760π   30 −384 + 96π + 8π aπ bπ       c+ + − =0 a=     12 π π5   aπ 24π − 96 −5760 + 1536π + 96π ⇔ b+ − = b =   π3 π4       30 384 − 96π − 8π −480 + 144π + 6π     a+ =0 c= π5 π3 π ax3 + bx2 + cx + d − sin x dx. 3.4.18. I18 = −π Sử dụng lí thuyết xấp xỉ trung bình bình phương: Đổi biến x = πt. aπ t3 + aπ t2 + cπt + d − sin πt dt. Suy I18 = π −1 Xấp xỉ hàm số f (t) = sin πt đa thức Legendre có bậc không vượt 3: 89 P3 (t) = c0 L0 (t) + c1 L1 (t) + c2 L2 (t) + c3 L3 (t) = aπ t3 + aπ t2 + cπt + d. Khi c0 = c1 = sin πtdt = 0; −1 t sin πtdt = −1 3t2 − sin πtdt = 0; c3 = c2 = ; π −1 7π − 105 . 5t − 3t sin πtdt = π3 −1 Từ ta có   15 −15 + π      aπ = c = a=     2π       15 21 − π  bπ = c2  c = ⇔ 2π     cπ = c1 − c3   b=0       c    d = c0 −  d=0 Giá trị cực tiểu tích phân [f (x) − P3 (x)]2 dx I18 = ρ23 = π −1 2 sin2 πxdx − 2c20 − c21 − c22 − c23 −1   15 − π  = π − 2π  + 21 π π6 = Sử dụng phương pháp sơ cấp: 2acπ 2bdπ a2 π b2 π c2 π + + +d+ + − 2a π − − 2c I18 = π + 2π 5 2 35 15 − π bπ 4b2 π π 3aπ 12 = 2π d + + + c+ − + a+ 45 π 175 2π   15 − π  +π − 2π  + 21 π π 90 Do  I18 15 − π π6 = π − 2π  + 21 π     bπ 35 15 − π     d + =   a=−     2π     3aπ   15 21 − π  c+  − =0 c = π ⇔ 2π   35 15 − π     a+ =0 b=0     2π        b2 = d=0 π −x2 + a0 + a1 sin x + a2 cos x dx. 3.4.19. I19 = −π Sử dụng lí thuyết xấp xỉ trung bình bình phương: Xấp xỉ hàm số f (x) = x2 đa thức lượng giác có bậc không vượt 1: P1 (t) = a0 + a1 sin x + a2 cos x. Khi π a0 = 2π π π2 x dx = ; a1 = π −π π x2 sin xdx = 0; a2 = π −π x2 cosxdx = −4. −π Giá trị cực tiểu tích phân π I19 = ρ21 [f (x)] dx − π = −π Sử dụng phương pháp sơ cấp: 91 2a20 + a21 + a22 8π = − 16π. 45 2π 4π a0 I19 = π + + + − + 8πa2 π2 8π 2 − 16π = πa1 + π(a2 + 4) + 2π a0 − + 45 8π ≥ − 16π. 45 8π Do I19 = − 16π 45 2a20 a21 a22 a0 = π2 ; a1 = 0; a2 = −4. 2π −x2 + a0 + a1 sin x + a2 cos x dx. 3.4.20. I20 = Sử dụng lí thuyết xấp xỉ trung bình bình phương: Đặt x = π − t. π − t2 − 2πt + a0 − π + a1 sin t − a2 cos t dt. Suy I20 = −π Xấp xỉ hàm số f (t) = t2 − 2πt đa thức lượng giác có bậc không vượt 1: P1 (t) = a0 − π + a1 sin x − a2 cos x. Khi      a0 − π =        π   a1 = π    −π   π      a2 =   π  π 2π π2 t − 2πt dt =  4π  −π   a =   t − 2πt sin tdt = −4π ⇔ a1 = −4π      a2 = t2 − 2πt cos tdt = −π 92 Giá trị cực tiểu tích phân π I20 = ρ21 [f (x)] dx−π a0 − π = 2 + a21 + a22 8π − π2 − . = 16π 45 −π Sử dụng phương pháp sơ cấp: 32π 16π a0 2 I20 = + π 2a0 + a1 + a2 − + 8π a1 − 8πa2 4π 8π 2 − π2 − = π(a1 + 4π) + π(a2 − 4) + 2π a0 − + 16π 45 8π ≥ 16π − π2 − . 45 8π − π − Do I20 = 16π 45 4π a0 = ; a1 = −4π; a2 = 4. − x2 −x2 + ax + b dx. 3.4.21. I21 = −1 Sử dụng lí thuyết xấp xỉ trung bình bình phương: Xấp xỉ hàm số f (t) = t2 − 2πt đa thức Chebyshev loại có bậc không vượt 1: P1 (x) = c0 U0 (x) + c1 U1 (x) = ax + b. Khi      b = c =   π  π cos2 θsin2 θdθ = −π π     a = c =   π  cos2 θ sin θ sin 2θdθ = −π Giá trị cực tiểu tích phân I21 = ρ21 = −1 [f (x) − P1 (x)]2 √ dx = − x2 93 −1 [f (x)]2 π π √ dx− 2c20 + c21 = . 32 − x2 Sử dụng phương pháp sơ cấp: Đặt x = cosθ. Ta có π sin2 θ −cos2 θ + a cos θ + b dθ I21 = π sin2 θ cos4 θ + a2 cos2 θ + b2 − 2bcos2 θ − 2acos3 θ + 2abcosθ dθ = a2 π b2 π π a2 π π π + + −b = + b− = 16 8 π a = 0; b = . Do I21 = 32 + π π ≥ 32 32 − x2 −x3 + ax2 + bx + c dx. 3.4.22. I22 = −1 Sử dụng lí thuyết xấp xỉ trung bình bình phương: Xấp xỉ hàm số f (t) = t2 − 2πt đa thức Chebyshev loại có bậc không vượt 2: P2 (x) = c0 U0 (x) + c1 U1 (x) + c2 U2 (x) = ax2 + bx + c Khi  π     c = c = cos3 θsin2 θdθ =   π    −π   π   1 b = c1 = cos3 θ sin θ sin 2θdθ = π    −π   π      a = c1 = cos3 θ sin θ sin 3θdθ =   π  −π Giá trị cực tiểu tích phân I22 = ρ22 = −1 [f (x) − P2 (x)]2 √ dx = − x2 94 −1 [f (x)]2 π π √ dx− 2c20 + c21 + c22 = . 128 − x2 Sử dụng phương pháp sơ cấp: Đặt x = cos θ. Suy π sin2 θ −cos3 θ + acos2 θ + b cos θ + c dθ I22 = a2 π b π c π π acπ 5π + + + −b + = 128 16 8 π cπ π π = b− + + (a + 2c)2 + 16 128 π . ≥ 128 π Do I22 = a = c = 0; b = . 128 1− 3.4.23. I23 = x2 −(x + α) + ax + bx + c dx. −1 − x2 −x3 + (a − 3α) x2 + b − 3α2 x + c − α3 dx. Suy I23 = −1 Theo 3.4.22 ta có      a = 3α  a − 3α =     c = α3 c − α3 = ⇔        b = 3α2  b − 3α2 = π I23 = . 128 3.4.24. I24 = −1 −x2 + ax + b √ dx. − x2 Sử dụng lí thuyết xấp xỉ trung bình bình phương: Xấp xỉ hàm số f (t) = t2 − 2πt đa thức Chebyshev loại có bậc không vượt 1: P2 (x) = c0 U0 (x) + c1 U1 (x) = ax + b. 95 Khi      b = c =   π  π cos2 tdt = −π π     a = c =   π  cos3 tdt = −π Giá trị cực tiểu tích phân I24 = ρ21 = −1 [f (x) − P1 (x)]2 √ dx = − x2 √ −1 π x4 π dx− 2c20 + c21 = . 2 − x2 Sử dụng phương pháp sơ cấp: Đặt x = sin t. Suy π −sin2 t + a sin t + b dt I24 = − π2 π sin4 t + a2 sin2 t + b2 + 2ab sin t − 2asin3 t − 2bsin2 t dt = − π2 3π a2 π + + b2 π − bπ = π b − = 2 Do I24 = π a = 0; b = . 2 96 a2 π π π + + ≥ . 2 Kết luận Cùng với việc trình bày toán xấp xỉ trung bình bình phương, luận văn trình bày có hệ thống vài tính chất đặc trưng đa thức trực giao, từ tính chất tổng quát đến tính chất đa thức trực giao đặc biệt. Luận văn giải tương đối trọn vẹn hoàn chỉnh lớp toán tìm cực trị tích phân. Những toán đưa dùng bồi dưỡng học sinh lớp 12, sinh viên năm thứ trường đại học. Luận văn có số hạn chế hệ thống tập đưa chưa đa dạng, hàm sử dụng đơn giản . . . Cuối cùng, lần em xin chân thành cảm ơn thầy, cô giảng dạy chuyên ngành Toán Giải tích, thầy cô phòng sau đại học trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Em xin chân thành cảm ơn thầy TS. Nguyễn Văn Khải tận tình hướng dẫn em hoàn thành luận văn này. Em xin bày tỏ cảm ơn đóng góp thầy cô giúp luận văn hoàn chỉnh hơn. 97 Tài liệu tham khảo [1] Tôn Tích Ái (2001), Phương pháp số, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội. [2] Phạm Kỳ Anh (2005), Giải tích số, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội. [3] Trần Anh Bảo, Nguyễn Văn Khải, Phạm Văn Kiều, Ngô Xuân Sơn (2002), Giải tích số, Nhà xuất Đại học Sư phạm, Hà Nội. [4] Nguyễn Minh Chương, Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường (2009), Giải tích số, Nhà xuất Giáo dục Hà Nội. [5] Tạ Văn Đĩnh (2007), Phương pháp tính, Nhà xuất Giáo dục Hà Nội. [6] Phan Văn Hạp (1981), Các phương pháp giải gần đúng, Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội. [7] Phan Văn Hạp, Lê Đình Thịnh (2001), Phương pháp tính thuật toán, Nhà xuất Giáo dục Hà Nội. [8] Doãn Tam Hòe (2005), Toán học tính toán, Nhà xuất giáo dục, Hà Nội. [9] Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật, Hà Nội. 98 [10] Lê Đình Thịnh (1995), Phương pháp tính, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật. [11] Phạm Phú Triêm, Nguyễn Bường (2000), Giải tích số, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội. [12] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội. [13] Dương Thủy Vỹ (1999), Phương pháp tính, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật. 99 [...]... (2.1) Hệ phương trình (2.1) là hệ phương trình đại số tuyến tính Hệ {e1 , , en } độc lập tuyến tính nên định thức của ma trận hệ số là G(e1 , , en ) = 0, vậy hệ (2.1) có nghiệm duy nhất ci , i = 1, n Từ đó h0 là tồn tại Định lí được chứng minh n Nhận xét 2.1 Như vậy để tìm xấp xỉ tốt nhất h0 = ci ei ta cần giải i=1 hệ (2.1) ở trên, ngoài ra ta có ước lượng bình phương sai số còn gọi là phương. .. đây tác giả sử dụng phần mềm Maple 16 để tính toán, các kết quả được làm tròn đến 10 chữ số sau dấu chấm thập phân Ví dụ 2.1 Xấp xỉ trung bình bình phương hàm số f (x) = 3x trên [−1; 1] bằng đa thức đại số bậc 5 5 Lời giải Tìm đa thức xấp xỉ tốt nhất dưới dạng P5 (x) = ai x i i=0 Trước hết ta tính 1 1 − (−1)k+1 x dx = k+1 k ck = −1 22 (k = 0, 10) 1 xi 3x dx bi = (i = 0, 5) −1 Thay vào hệ (2.5) ta... 1.11 Cho n là một số nguyên dương và X là một không gian vecto Nếu tồn tại n vecto x1 , , xn ∈ X độc lập tuyến tính và 9 mọi hệ n + 1 vecto trong X đều phụ thuộc tuyến tính thì ta nói không gian X có số chiều là n và kí hiệu dimX = n Nếu không tồn tại n như vậy ta nói không gian X là vô hạn chiều Định nghĩa 1.12 Cho X là không gian vecto Tập hợp các phần tử x1 , , xn ∈ X được gọi là một cơ sở của... XẤP XỈ TRUNG BÌNH BÌNH PHƯƠNG 2.1 Xấp xỉ tốt nhất trong không gian Hilbert Bài toán Cho H0 là không gian con đóng hữu hạn chiều của không gian Hilbert H và x là phần tử cho trước thuộc H Tìm h0 ∈ H0 sao cho x − h0 = d0 := inf h∈H0 x − h = d (x, H0 ) Ta kí hiệu h0 = arg min x − h và gọi là xấp xỉ tốt nhất của x h∈H0 trong H0 Mệnh đề 2.1 h0 = arg min x − h khi và chỉ khi x − h0 ⊥H0 h∈H0 Chứng minh... mệnh đề được chứng minh Hệ quả 2.1 Một đa thức tùy ý bậc không vượt quá n là một tổ hợp tuyến tính duy nhất của {Q0 (x), Q1 (x), , Qn (x)} Mệnh đề 2.4 Trong L2 [a; b] hai hệ đa thức trực giao chỉ sai khác nhau những thừa số hằng số Chứng minh Gọi {P0 (x), , Pn (x)} và {Q0 (x), , Qn (x)} là hai hệ đa thức trực giao trong L2 [a; b] Ta sẽ chỉ ra Pk (x) = αk Qk (x), αk = 0∀k Ta chứng minh khẳng định... 0.1818181818a5 = 0.3654838456 Giải hệ phương trình ta có nghiệm gần đúng a0 = 1.000054696, a1 = 1.098645949, a2 = 0.6023299334, a3 = 0.2206990321, a4 = 0.06410480778, a5 = 0.01397425472 Như vậy P3 (x) = 1.000054696 + 1.098645949x + 0.6023299334x2 + 0.2206990321x3 +0.06410480778x4 + 0.01397425472x5 Ví dụ 2.2 Xấp xỉ trung bình bình phương hàm số f (x) = |x| trên [−1; 1] bằng đa thức đại số bậc 5 5 Lời giải Tìm đa... ∀α ∈ R 1.3 Không gian định chuẩn và không gian Banach Định nghĩa 1.14 Cho X là không gian vecto trên R Chuẩn trong X, ký hiệu , là một ánh xạ từ X vào tập số thực R thỏa mãn các tiên đề sau i) (∀x ∈ X) x ≥ 0, x = 0 ⇔ x = θ; ii) (∀x ∈ X) (∀α ∈ R) αx = |α| x ; iii) (∀x, y ∈ X) x + y ≤ x + y 10 Số x gọi là chuẩn (hay độ dài) của vecto x Một không gian vecto X cùng với một chuẩn xác định trong không gian... (x)] > 0, ∀k, x Hệ quả 2.3 Pi2 (x) = Chứng minh Từ bổ đề trên suy ra k Pi (x)Pi (y) = i=0 λk+1 Pk (y) [Pk+1 (x) − Pk+1 (y)] − Pk+1 (y) [Pk (x) − Pk (y)] λk x−y Cho y −→ x ta thu được điều phải chứng minh Ta chứng minh mệnh đề 2.7 Chứng minh Không mất tính tổng quát ta chứng minh mệnh đề 2.7 cho hệ đa thức trực chuẩn Pk (x)n có hệ số cao nhất là 1 k=0 Ta chỉ cần chứng minh giữa hai nghiệm liên tiếp của... một cơ sở của X nếu với mỗi x ∈ X, x luôn biểu diễn được dưới dạng một tổ hợp tuyến tính của x1 , , xn và biểu diễn này là duy nhất Định lý 1.3 Không gian vecto X có số chiều n khi và chỉ khi cơ sở của X gồm n phần tử Nếu X có số chiều là n thì mọi hệ vectơ độc lập tuyến tính gồm n phần tử đều là cơ sở của nó Định nghĩa 1.13 Giả sử X và Y là hai không gian vecto Khi đó, ánh xạ A : X → Y được gọi là... là một vecto, các điều kiện trên được 8 gọi là các tiên đề về không gian vecto Định nghĩa 1.7 Giả sử X là một không gian vecto Tập con X1 của X được gọi là một không gian vecto con của không gian X nếu X1 cùng với hai phép toán cảm sinh của X trên X1 tạo thành một không gian vecto Định nghĩa 1.8 Cho X là một không gian vecto Biểu thức dạng αi ∈ R, xi ∈ X α1 x1 + α2 x2 + + αn xn ; được gọi là một . phương pháp để xấp xỉ hàm và một trong những phương pháp có nhiều ứng dụng là phương pháp xấp xỉ trung bình bình phương. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về phương pháp xấp xỉ trung bình bình phương. xỉ trung bình bình phương và nêu một số ứng dụng của nó. Lý thuyết xấp xỉ tốt nhất trong không gian Hilbert, xấp xỉ tốt nhất trong L 2 [a; b], phương pháp bình phương tối thiểu. Một số ứng dụng. tài Trình bày một cách có hệ thống và rõ ràng một số vấn đề của lý thuyết xấp xỉ trung bình bình phương. Ứng dụng của lý thuyết xấp xỉ trung bình bình phương để giải và sáng tạo một lớp bài toán. 4 Chương