Lý thuyết định tính của phương trình elliptic tuyến tính cấp hai

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN ——————————— NGUYEN TH± HÀ LÝ THUYET бNH TÍNH CUA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYEN TÍNH CAP HAI LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN HOC HÀ N®I - 2014 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN ——————————— NGUYEN TH± HÀ LÝ THUYET бNH TÍNH CUA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYEN TÍNH CAP HAI Chun ngành: TỐN GIAI TÍCH Mã so: 60.46.01.02 LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC: PGS.TS HÀ TIEN NGOAN HÀ N®I - 2014 Lài cám ơn Tác gia xin bày to lòng biet ơn chân thành sâu sac cna tói PGS.TS Hà Tien Ngoan, ngưịi t¾n tình giúp đõ chi bao tơi suot q trình hồn thành lu¾n văn tot nghi¾p Qua xin chân thành cám ơn sn giúp đõ cna thay giáo, giáo tő Tốn giai tích trưịng Đai HQc Khoa HQc tn nhiên - Đai HQc quoc gia Hà N®i, nhung ngưịi giúp đõ tơi suot q trình HQc t¾p nghiên cúu tai trưòng Tác gia xin trân TRQNG cam ơn Trưòng Đai hQc Sao Đo, Khoa Khoa HQc Cơ ban đong nghi¾p tao MQI đieu ki¾n giúp đõ đe tác gia an tâm HQc t¾p hồn thành tot lu¾n văn Do mói làm quen vói cơng tác nghiên cúu khoa HQc han che ve thòi gian thnc hi¾n nên lu¾n văn khơng the tránh khoi nhung thieu sót Tác gia kính mong nh¾n đưoc ý kien đóng góp cna thay ban e luắn oc hon thiắn hn H Nđi, nm 2014 Mnc lnc Ma đau Phương trình elliptic cap hai dang khơng bao tồn vái h¾ so b% ch¾n đo đưac 1.1 Đieu ki¾n elliptic đeu Nghi¾m manh .7 1.2 Nguyên lý cnc đai 1.3 Bő đe ve đao hàm theo hưóng vào 15 1.4 Bat thúc Harnack 19 1.5 Đ%nh lý kieu Phragmen-Lindelof 23 Phương trình elliptic cap hai dang bao ton 25 2.1 Nghiắm suy rđng Nguyờn lý cnc đai 25 2.2 Tính liờn tuc cna nghiắm suy rđng .27 2.3 Bat thúc Harnack 31 2.4 Hàm Green 33 2.5 Đ%nh lý kieu Phragmen-Lindelof 36 Ket lu¾n 42 Tài li¾u tham khao 43 Ma đau Các phương trình Laplace ∆u = phương trình Poisson ∆u = f phương trình đao hàm riêng elliptic cap hai cő đien, khoi nguon cna lý thuyet đao hàm riêng hi¾n đai Đã tù lâu, nhieu ket qua đ%nh tính cna phương trình đưoc biet đen như: nguyên lý cnc đai, bat thúc Harnack, đ%nh lý Liouville Fragmen-Lindelof đoi vói nghi¾m cő đien Ngày nay, ket qua đoi vói hai phương trình cő đien đưoc mo r®ng cho phương trình elliptic cap hai tuyen tính tőng quát đưoc xét o hai dang khác nhau: dang khơng bao tồn dang bao tồn Dna chn yeu vào chương I cna tài li¾u [3], lu¾n văn trình bày tőng quan lý thuyet đ%nh tính cna phương trình elipptic cap hai dang tőng qt o ca hai dang khơng bao tồn bao tồn Lu¾n văn gom hai chương Chương I nghiên cúu phương trình dang khơng bao tồn Phương trình loai có loai nghi¾m manh, nghi¾m nghi¾m dưói Các ngun lý cnc đai đoi vói loai nghi¾m đưoc phát bieu Bat thúc Harnack Đ%nh lý Fragmen-Lindelof đưoc mo r®ng đoi vói loai phương trình tőng qt Do tốn tu Laplace ∆ có the viet ca dưói dang bao tồn nên chng II cna luắn se trỡnh by mđt so tớnh chat nghiắm suy rđng cna phng trỡnh elliptic dang bao tồn mà có the xem tương tn tính chat cna hàm đieu hịa Các van đe cna chương I lai đưoc xét chương II, song vói sn thay đői nhat đ%nh cho phù hop vói lóp phương trình elliptic dang bao tồn Do tài li¾u [3] o dang bách khoa tồn thư, nên chn yeu dành cho vi¾c phát trien h¾ thong ket qua ban cna lý thuyet mà thieu chúng minh chi tiet Lu¾n văn tìm cách bő sung chúng minh chi tiet cna m®t so đ%nh lý Chương Phương trình elliptic cap hai dang khơng bao tồn vái h¾ so b% ch¾n đo đưac 1.1 Đieu ki¾n elliptic đeu Nghi¾m manh Xét tốn tu có dang: n Σ ∂2 aik (x) + c(x), i,k=1 ∂xi∂xk L= (1.1) x = (x1 , x2 , , xn ), aik (x) = aki (x) h¾ so cna tốn tu L đưoc gia thiet hàm đo đưoc Toán tu L đưoc GQI elliptic tai x ∈ Rn neu ma tr¾n vng ǁaik (x)ǁ cap n xác đ%nh dương Tốn tu L đưoc GQI elliptic mien G ⊂ Rn neu elliptic tai MQI điem mien Tốn tu L đưoc GQI elliptic đeu G neu ∃λ > 0, M > cho n λ−1|ξ|2 ≤ Σ aik(x)ξiξk ≤ λ|ξ|2, c(x) ≤ M (1.2) i,k=1 i, k = 1, , n; ξ ∈ Rn; x ∈ G Hàm u(x) ∈ C2(G) thoa mãn phương trình: Lu = đưoc gQI nghi¾m manh cna phương trình Hàm so u(x) ∈ C2(G) (1.3) thoa mãn bat phương trình Lu ≤ (Lu ≥ 0) đưoc gQI nghi¾m (nghi¾m dưói) Ví dn 1.1 Neu c ≡ 0, v(x) nghi¾m dưái hàm f (t) xác đ%nh sau: inf v ≤ t ≤ sup v G G thóa mãn đieu ki¾n f j (t) ≥ f ” (t) ≥ 0, hàm w(x) = f (v(x)) nghi¾m dưái Lài giai Ta có w(x) = f (v(x)), wxi = fv J vxi wxi xk = fv JJ vxi vxk + fv J vxi xk M¾t khác c ≡ nên Lw = ΣΣ aik fv J n v xi xk Σ+ n v i,k i,k = = 1 =Σfv J n i,k = JJ vxi vxk kf JJ aik.vxi n x k + fv aik vxivxk i,k = Ta có v(x) nghi¾m dưói tù đieu kiên (1.2) ta suy Σ n aik.vxixk ≥ 0; i, k aik vxivxk ≥ i,k=1 Theo gia thiet f j (t) ≥ f ” (t) ≥ nên suy Lw ≥ V¾y w(x) nghi¾m dưói Ví dn 1.2 Xét hàm so v(x) = , |x − x0|s s hang so dương đu lán Hàm v(x) nghi¾m dưái neu: s ≥ nλ2 − 2; c(x) ≡ Σ (2(A0 +1) n−2 − √ 2A0 √ n−2 )v A +1 m < C J 2A0 · √ n−2 · vA m vói C J > phu thu®c vào n Do Et0 chúa Ht0 , theo bat l0 (n−1)/n n1 · ds ≥ (measH1)(n−1)/n ≥ v Et (2.21) bat thúc Cauchy-Buniakovsky ∫ ∫ Σ2 Et0 = 1· ds , ∫ ∂n Et0 ∫ ∂u ∂u Σ Σ2 ∂n ∂u ∂u ≤ | Et0 hay ∫ Et ∂n |ds ds/| Et0 ∂n | ∂u ∂u ds · ∫ ds, ≥ v (2n−2)/n l ∂n .∂n (2.22) Et 0 Ket hop (2.21) (2.22) ta đưoc: ∫ ∂ u ds > C mvl0|n−2|/n Et ∂v JJ , √ l0 n−2 = C JJJ rn−2 ∂u ∂u C JJ C JJJ phu thu®c vào n > CIV (C I V phu thu®c vào λ ∂v ∂n n), m < C V theo bat thúc Harnack u(x) < C2|x|2−n, 21−s|x| < 2−1 M¾nh đe 2.1 đưoc chúng minh Ta chi rang ton tai Hàm Green G(x, 0) hình cau đơn v% vói điem kì d% tâm hình cau thoa mãn: C1|x|2−n < G(x, 0) < C2|x|2−n (2.23) Đe chúng minh ta xét vs s → ∞ HQ {vs } tien compact C Ω(t) Ω = {x : < |x| < t} Giói han hàm thnc chat G(x, 0) can tìm t vói t co đ%nh e (t) hàm 2.5 Đ%nh lý kieu Phragmen-Lindelof Ta se xét trưòng hop n > Gia su rang E ⊂ Rn t¾p b% ch¾n Ta đ%nh nghĩa dung lưong cna E, ký hi¾u capE boi thúc sau: capE = sup à(E), ú l đ o Borel E cho ∫ dµ(y) E |x − y| n−1 ≤ 1, ∀x ∈/ E Bo đe 2.1 (Bő đe tăng) Xét R0 > R m®t so cho < R < R0 T¾p má D đưac chúa hình cau Q4R Đ¾t Γ = ∂D ∩ Q xo D ∩ R Qx0 R ƒ= φ Lay D mđt nghiắm u cua phng trỡnh (2.15), liờn tnc D, dương D bang Γ Khi Σ cap(Q D x0 sup u R + \ D)Rn− > ξ (2.24) sup u, x0 D∩QR ξ phn thu®c vào hang so bat thúc (2.2) R0, đong thài vái E ⊂ Q1 hình cau đơn v% xo Chúng minh Ta có Hàm Green G(x, y) đưoc xác đ%nh Q , thoa mãn R vói x, y ∈ Q R v¾y (x, y) ∈ Q , đieu ki¾n x0 x0 C1 o C2 R ≤ G(x, y) ≤ , (2.25) |x − y|n−2 |x − y|n−2 C1 > 0, C2 ≥ C1 phu thu®c vào hang so cna đieu ki¾n (2.2) R0 Đ¾t V = sup u.1 − D Σ ∫ G(x, y)dµ(y) + C2 3n−2 E Khi đó: lim V > lim x→∂ D x∈D (x,y)→∂D (x,y)∈D u\ Γ theo nguyên lý cnc đai ta có u < V Do sup u D∩Q x0 R ≤ C1 CΣ2 u D − 1 n−2 sup 2n−2 3n−2 R capEΣ C1 ξ= C2 2n− − 3n− Σ Đ%nh lý 2.9 (Đ%nh lý kieu Pharagmen-Lindelof) Cho R0 γ hai so co đ%nh, < R < R0 G ⊂ Rn l mđt mien khụng b% chắn cú ng kớnh khơng vưat q Rγ, u ∈ W nghi¾m phương trình (2.15) G Đ¾t: M (r) = sup u(x) | |x|=R | x∈R Khi neu u ƒ≡ 0, r đu lán M (r) > e(α/R)r, α > phn thu®c vào R0, γ, λ, M đieu ki¾n (2.2) Chúng minh Gia su u(x) khơng đong nhat bang khơng Khi ∃x0 ∈ G cho u(x0) có x0 Gia su u(x0) = a > Xét hình cau2 QR Tù Bő đe tăng ta x0 Q R sup u > (1 + ξγ)a x0 QR ∩G Do ∃x1 ∈ G cho |x1 − x0| ≤ R u(x1) > (1 + ξγ)a Xét hình cau Qx1 Qx0 , ta se tìm điem x2 ∈ G vói |x2 − x1| ≤ R u(x ) > (1 + ξγ) a 2 R R Tiep tuc q trình ta đưoc m®t dãy x0, x1 cho |xi − xi−1| ≤ R u(xi) > (1 + ξγ)ia Do theo nguyên lý cnc cho nghiắm suy rđng ta oc: M (r) > (1 + ξγ)((r−|x0|)/R)−1 a = a(1 + ξγ)(−|x0/R)−1 · e(ln(1+ξγ)r)/R neu α < ln(1 + ξγ) Khi vói r đn lón M (r) > e(α/R)r Tiep theo ta xét ví du ve mien có đưịng kính nho R tói Rγ Xét dãy so nguyên Rn Đ¾t MQI điem cna dãy o tâm cna đĩa (n − 1)_chieu có bán kính khơng nho r, 0 hang so phu thu®c D R vào λ µ cna bat thúc (2.2) n R0 Theo nguyên lý cnc đai ta có the ket lu¾n sau Bo đe 2.2 Vái ∀A>0 ∃ε0 > cho neu D ⊂ Qx0 ,R00 phn thu®c vào λ, M r Chúng minh Trong Bő đe 2.2 ta đ¾t R= tìm ε0 thích hop Đ¾t r , A = 2n max |u| = 2M = |u(x0)| Gia su u(x0) = 2M (neu u(x0) = −2M ta có the thay u bang -u) Đ¾t u1 = u − M D1 = ,x ∈ r/2 ∩ G : u1 > 0, , Qx0 đe cho u|D1 > M r Σn Neu , meas D1 ≥ ∫ ε0 udx > M đ¾t C =ε02.4 r n , ta đưoc bat thúc can tìm Cho G meas D1 < ε0 r Σn ton tai ρ1, < ρ1 < , r cho meas D1 ∩ Qx0 =1 ρ n ε0ρ Áp dung Bő đe 2.2 vói hình cau Qx0 , t¾p D1 ∩ x0 Q ρ1 hàm u, ta tìm ρ1 đưoc m®t điem x1 ∈ G, |x0 − x1| ≤ ρ1 cho : u2 > 0, Neu u(x1) > n 2.2 M Tiep theo, đ¾t u2 = u − M D2 = ,x ∈ Qx1 r/2 meas D2 ≥ ε0 r Σn , ta đưoc đieu phai chúng minh vói giá tr% cna C giong o Cho meas D2 < ε0 Σ r ,n ton tai ρ2, < ρ2 < cho r meas D2 ∩ Qx0 = ρ ε0ρn2 Áp dung Bő đe 2.2 vói hình cau Qx1 , t¾p D2 ∩ Qx1 hàm u2, ta tìm đưoc ρ2 ρ2 m®t điem x2 ∈ G, |x2 − x1| ≤ ρ2 cho u(x2) > 2.2n.M Tiep tuc trình, ta nhắn oc mđt dóy 1, , k, Cho k so đau tiên cho r ρ + .+ ρ k > Ta có u(xk) → ∞ k → ∞ ur/2b% ch¾n hình cau Qx0 m®t so i0, ≤ i0 ≤ k cho ρi0 > r Σn · 2i Trên t¾p Di có u > 2i0 M r D i N h ≥2 i ω n v ¾ y G n ∫ udx > ωn r Σ Do v¾y ton tai n , ωn the tích cna hình cau đơn v%, ta đưoc bat phương trình sau max |u| |u| dx, J G ≤ Cωn ∫ G G hang so xác đ %nh o Ket lu¾n Lu¾n văn trình bày lóp phương trình elliptic tuyen tính cap hai tőng quát o ca hai dang: không bao toàn bao toàn Ca hai dang đeu chúa phương trình Laplace Poisson cő đien trưịng hop đ¾c bi¾t Nhieu tính chat cna nghi¾m phương trình Laplace Poisson đưoc khái quát mđt cỏch thớch hop oi vúi cỏc nghiắm cna cỏc loai phương trình dang khơng bao tồn dang bao tồn Đó ngun lý cnc đai, bat thúc Harnack, đ%nh lý Liouville Fragmen-Lindelof Tài li¾u tham khao [1] Nguyen Thùa Hop, (2004), Lý thuyet phương trình đao hàm riêng, NXB Đai HQc Quoc gia Hà N®i [2] Tran Đúc Vân, (2005), Phương trình đao hàm riêng, NXB Đai HQc Quoc gia Hà N®i [3] Kondrat’ev V.A., Landis E.M., (1995), Partial Differential Equations III, Springer-Verlag (in Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Volume 32, Yu.V.Egorov and M.A.Shubin (Eds)) ... lu¾n văn trình bày tőng quan lý thuyet đ%nh tính cna phương trình elipptic cap hai dang tőng qt o ca hai dang khơng bao tồn bao tồn Lu¾n văn gom hai chương Chương I nghiên cúu phương trình dang... vói nghi¾m cő đien Ngày nay, ket qua đoi vói hai phương trình cő đien đưoc mo r®ng cho phương trình elliptic cap hai tuyen tính tőng quát đưoc xét o hai dang khác nhau: dang khơng bao tồn dang... 2.5 Đ%nh lý kieu Phragmen-Lindelof 36 Ket lu¾n 42 Tài li¾u tham khao 43 Ma đau Các phương trình Laplace ∆u = phương trình Poisson ∆u = f phương trình đao hàm riêng elliptic cap hai cő đien,