Luận văn thạc sĩ phương pháp toán tử đơn điệu và ứng dụng nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán biên đối với phương trình ELLIPTIC không tuyến tính

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN NGUYEN TH± DUYÊN PHƯƠNG PHÁP TOÁN TU ĐƠN ĐIfiU VÀ ÚNG DUNG NGHIÊN CÚU SU TON TAI NGHIfiM CUA BÀI TỐN BIÊN ĐOI VéI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHƠNG TUYEN TÍNH TĨM TAT LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN HOC Hà N®i - Năm 2012 NGUYEN TH± DUYÊN PHƯƠNG PHÁP TOÁN TU ĐƠN ĐIfiU VÀ ÚNG DUNG NGHIÊN CÚU SU TON TAI NGHIfiM CUA BÀI TOÁN BIÊN ĐOI VéI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHƠNG TUYEN TÍNH Chun ngành: TỐN GIAI TÍCH Mã so : 60 46 01 TĨM TAT LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC PGS.TS HỒNG QUOC TỒN Hà N®i - Năm 2012 KÍ HIfiU Rn không gian thnc n chieu Ω mien b% ch¾n có biên trơn Rn ∂Ω biên cna Ω α = (α1 , αn ), αi ∈ N(i = 1, , n) đưoc GQi đa chi so |α| = α1 + + αn đưoc GQi cap cna đa chi so α ǁuǁX chuan cna u ∈ X, X khơng gian Hilbert (u, v): tích cna u v không gian Hilbert ∂|α|αu ∂xα1 ∂x ∂xαn D αu = n D u = {D u : |α| = k} Σ ∂ u ∂ u ∂ ; ; u ∇u 2 ; ∂x ∂x ∂u ∂ = ∂x ∂2u u ∆u + + + = ∂x2 ∂x2 ∂x2 k α n Các không gian hàm: Ck(Ω) = {u : Ω → R kha vi liên tuc đen cap k} ∞ C∞(Ω) = \ Ck(Ω) : hàm kha vi vô han Ω k=0 k ∞ C (Ω), C (Ω) kí hi¾u hàm Ck(Ω), C∞(Ω)vói giá compact 0 W 1,p (Ω) = {u ∈ Lp(Ω)|Du ∈ Lp(Ω)}vói chuan ǁuǁW 1,p = ǁuǁLp(Ω) + ǁ∇uǁLp(Ω) W01,p(Ω) = {u ∈ W 1,p (Ω)|u = ∂Ω} vói chuan ǁuǁW 01,p = ǁ∇uǁLp(Ω) (Ω)không gian đoi1ngau cna W −1;q W H (Ω) : không gian hàm W 1,p 1,p (Ω), p (Ω) vói p = + q = H−1(Ω) : không gian W−1,q(Ω) vói p = q = Mnc lnc Lài nói đau Phương pháp tốn tE đơn đi¾u 1.1 Giói thi¾u chung 1.2 Bài toán xuat phát 1.3 Toán tu Rn 1.4 Tốn tu khơng gian Hilbert thnc 1.5 Tốn tu khơng gian Hilbert thnc tách đưoc .24 SE ton tai nghi¾m cua tốn biên đoi vái phương trình elliptic khơng tuyen tính 27 2.1 M®t so kien thúc chuan b% 27 2.1.1 Phương trình đao hàm riêng 27 2.1.2 Không gian Sobolev 28 2.1.3 Toán tu −∆ 31 2.1.4 M®t so đ%nh lí 33 2.2 Bài tốn Dirichlet đoi vói phương trình elliptic cap nua tuyen tính 35 2.2.1 Bài toán Dirichlet đoi vói phương trình elliptic cap nua tuyen tính 35 Muc luc 2.2.2 Bài tốn Dirichlet đoi vói phương trình elliptic cap nua tuyen tính phu thu®c tham so 42 2.2.3 Bài toán Dirichlet đoi vói phương trình elliptic cap nua tuyen tính vói so hang phi tuyen phu thu®c gradient45 2.2.4 Bài tốn Dirichlet đoi vói phương trình elliptic cap phu thu®c tham so vói so hang phi tuyen phu thu®c gradient 48 2.3 Bài tốn Neumann đoi vói phương trình elliptic cap nua tuyen tính 50 2.3.1 Bài toán Neumann đoi vói phương trình elliptic cap nua tuyen tính phu thu®c tham so .50 2.3.2 Bài tốn Neumann đoi vói phương trình elliptic cap nua tuyen tính vói so hang phi tuyen phu thu®c gradient.54 2.3.3 Bài tốn Neumann đoi vói phương trình elliptic cap nua tuyen tính phu thu®c tham so vói so hang phi tuyen phu thu®c gradient .57 Ket lu¾n 60 Tài li¾u tham khao 62 Lài nói đau Các phương pháp cna giai tích phi tuyen có vai trị quan TRQNG vi¾c nghiên cúu phương trình đao hàm riêng khơng tuyen tính Trong lu¾n văn này, tác gia trình bày ve phương pháp tốn tu đơn đi¾u úng dung nghiên cúu sn ton tai nghi¾m cna tốn biên đoi vói phương trình elliptic khơng tuyen tính Lu¾n văn gom hai chương: Chương bao gom kien thúc ban ve toán tu đơn đi¾u Rn, khơng gian Hilbert thnc, khơng gian Hilbert thnc tách đưoc Chương cna lu¾n văn xét vi¾c áp dung phương pháp tốn tu đơn đi¾u nghiên cúu sn ton tai nhat nghi¾m cna tốn Dirichlet Neumann vói nhung lóp phương trình elliptic cap nua tuyen tính vói phan tốn tu Laplace − ∆u = g(x, u) ho¾c − ∆u = h(x, u, ∇u) mien b% ch¾n Ω vói biên trơn ∂Ω Rn Trong q trình viet lu¾n văn, tác gia nh¾n đưoc sn hưóng dan nhi¾t tình cna PGS.TS Hồng Quoc Tồn Tác gia xin chân thành cam ơn thay Tác gia xin gui lịi cam ơn sâu sac tói thay tő Giai tích cna khoa Tốn-Cơ-Tin HQc giúp đõ tao đieu ki¾n đe tác gia bao v¾ lu¾n văn thịi han Tác gia xin chân thành cam ơn gia đình, ban bè, đong nghi¾p ln cő Muc luc vũ, nng h® tao đieu ki¾n thu¾n loi đe tác gia hồn thành lu¾n văn Lu¾n văn khơng the tránh khoi nhung thieu sót, han che Tác gia rat mong nh¾n đưoc sn góp ý cna quý ban ĐQc Tác gia Nguyen Th% Duyên -4- Chương Phương pháp tốn tE đơn đi¾u 1.1 Giỏi thiắu chung Giai tớch phi tuyen l mđt lnh vnc tương đoi r®ng Ve m®t khía canh cho nhung tốn thnc te so vói giai tích tuyen tính Vì the vi¾c giai tốn phi tuyen khó khăn ta thưịng su dung ket qua cna tốn tuyen tính tương úng M®t so phương pháp truyen thong thưịng đưoc su dung giai quyet tốn phi tuyen là: Phương pháp hàm Green, phương pháp bien phân, phương pháp b¾c ánh xa, phương pháp nghi¾m trờn - nghiắm dúi, phng phỏp iem bat đng, phng pháp tốn tu đơn đi¾u Moi phương pháp đeu có nhung ưu - nhưoc điem riêng mà neu nam rõ chúng, ta có the lna cHQN su dung đoi vói tùng toán cu the Trong chương se tìm hieu ve phương pháp tốn tu đơn đi¾u 1.2 Bài tốn xuat phát Đ%nh nghĩa 1.2.1 Cho m®t tốn tu F : R → R Ta nói: (i) F đơn đi¾u tăng neu F (x) ≤ F (y),∀x < y 1.2 Bài toán xuat phát (ii) F đơn đi¾u giam neu F (x) ≥ F (y),∀x < y (iii)F đơn đi¾u tăng thnc sn neu F (x) < F (y), ∀x < y (iv) F đơn đi¾u giam thnc sn neu F (x) > F (y), ∀x < y (v) F đơn đi¾u neu F đơn đi¾u tăng ho¾c đơn đi¾u giam (vi) F đơn đi¾u thnc sn neu F đơn đi¾u tăng ho¾c đơn đi¾u giam thnc sn Đ%nh lý 1.2.1 Cho m®t hàm so F : R → R liên tnc Khi đieu ki¾n can đu đe phương trình F (x) = y (1.1) có nghi¾m nhat x ∈ R vái mői y ∈ R là: (i) F đơn đi¾u thnc sn (i) |F (x)| → ∞ |x| → ∞ Chúng minh Đieu ki¾n can: (i) Gia su ngưoc lai F khơng đơn đi¾u thnc sn The ton tai u < v < x thoa mãn F (u) < F (x) < F (v) Vì F liên tuc nên ton tai z ∈ (u, v) cho F (z) = F (x) Đieu mâu thuan vói tính nhat nghi¾m cna phương trình F (x) = y Do F đơn đi¾u thnc sn (ii) Hien nhiên Đieu ki¾n đn: gia su F liên tuc đơn đi¾u thnc sn R suy F song ánh R Tù ta có đieu phai chúng minh -6- dx V¾y A1 tốn tu liên tuc dx | |  Ω u(x) v(x) | | Ω Đ¾t T = L1 − λA1 − S1 Đe chúng minh tốn (2.22) có nghi¾m yeu nhat, ta se chúng minh T tốn tu liên tuc đơn đi¾u manh T toán tu liên tuc L1, A1, S1 toán tu liên tuc T tốn tu đơn đi¾u manh vì∫vói u1, u2 ∈ H1(Ω), áp dung (2.9) ta có (T (u1) − T (u2), u1 − u2) = ∇(u1(x) − u2(x))∇(u1(x) − u2(x))dx Ω∫ − λ (u1(x) − u2(x))(u1(x) − u2(x))dx ∫Ω − [g(x, u1(x)) − g(x, u2(x))] (u1(x) − u2(x))dx Ω ∫ ∫ |∇(u1(x) − u2(x))| dx − ≥ λ |u1(x) − u2(x)| Ω dx Ω ≥ γ0ǁu1 − u2ǁ ,γ0 = min(1, |λ|) V¾y theo H¾ qua 1.4.1 ta suy đieu phai chúng minh 2.3.2 Bài tốn Neumann đoi vái phương trình elliptic cap nEa tuyen tính vái so hang phi tuyen phn thu®c gradient Xét toán biên Neumann   −∆u(x) = h(x, u(x), ∇u(x)) Ω  ∂u = ∂Ω n Ω mien b% ∂nch¾n có biên trơn R (2.25) Đ%nh ∈ H1(Ω) nghi¾m yeu cua toán (2.25) neu ∫ nghĩa 2.3.2 Hàm u ∫ ∇u(x)∇v(x)dx = Ω Ω h(x, u(x), ∇u(x))v(x)dx,∀v ∈ C∞(Ω) Đ%nh lý 2.3.2 Gia su h(x, s, t) hàm Caratheodory thóa mãn đieu ki¾n sau: (i) Ton tai c1, c2 > cho |h(x, s1, t1) − h(x, s2, t2)| ≤ c1|s1 − s2| + c2|t1 − t2|, h.k.n x ∈ Ω (2.26) (ii) h(x, s, t) đơn đi¾u giam manh theo s, đeu ∀t, túc là: ton tai γ0 > (h(x, s1, t) −h(x, s2, t))(s1 −s ) ≤ −γ0|s1 −s 2| 2, c2 so dương cho < min(1, γ0) γ0 h.k.n x ∈ Ω (2.27) Khi tốn (2.25) có nghi¾m yeu nhat u ∈ H1(Ω) 1 Chúng minh Xét toán tu ∫ S3 : H (Ω) → H (Ω) đưoc xác đ%nh sau (S3(u), v) = h(x, u(x), ∇u(x))v(x)dx, u, v ∈ H1(Ω) Ω De thay tốn tu S3 liên tuc, th¾t vắy, gia su dóy {un} hđi tu en u H1(Ω), phép nhúng tù H1(Ω) vào L2(Ω) compact nên ta có un → u L2(Ω) Áp dung bat thúc Holder ta có Ω | (S3(un) − S3(u), v)∫|≤= (h(x, un(x), ∇un(x)) − h(x, u(x), ∇u(x)))v(x)dx |h(x, un(x), ∇un(x)) − h(x, u(x), ∇u(x))||v(x)| ∫ dx  ≤  2 ∫ |h(x, un(x), ∇un(x)) − h(x, u(x), ∇u(x))| dx Ω    |v(x)|2 dx ∫ Do ≤ ǁh(x, un(x), ∇un(x)) − h(x, u(x), ∇u(x))ǁL2(Ω)ǁvǁH1(Ω) Σ ≤ c1ǁun − uǁL2(Ω) + c2ǁ∇un − ∇uǁL2(Ω) ǁvǁH1(Ω) ǁS3(un) − S3(u)ǁH1(Ω) ≤ c1ǁun − uǁL2(Ω) + c2ǁ∇un − ∇uǁL2(Ω) Cho n → ∞ ǁun − uǁL2(Ω) → ǁ∇un − ∇uǁL2(Ω) → Tù suy S3(un) → S3(u) n → ∞ V¾y S3 tốn tu liên tuc Đ¾t T (u) = L (u) − S (u), L1 tốn tu đưoc xác đ%nh Đ%nh lí 2.3.1.1 Khi ta3 có T toán tu liên tuc L1, S3 toán tu liên tuc T toán tu đơn đi¾u manh vói u1, u2 ∈ H1(Ω) ta có (T (u1) − T (u2), u1 − u2) = ∫ ∇(u1(x) − u2(x))∇(u1(x) − u2(x))dx Ω − ∫ h(x, u1(x), ∇u1(x)) − h(x, u2(x), ∇u2(x))Σ.u1 (x) − u2 (x)Σdx Ω = ∫ |∇(u1(x) − u2(x))| dx Ω − ∫ h(x, u1(x), ∇u1(x)) − h(x, u2(x), ∇u1(x))Σ.u1 (x) − u2 (x)Σdx Ω ∫ − Ω h(x, u2 (x), ∇u1 (x)) − h(x, u2 (x), ∇u2 (x))Σ.u1(x) − u2(x)Σdx Tù (2.26) (2.27) ta có Σh(x, u1(x), ∇u1(x)) − h(x, u2(x), ∇u1(x))Σ(u1(x) − u2(x)) ≤ −γ0|u1(x) − u2(x)| , .h(x, u2(x), ∇u1(x)) − h(x, u2(x), ∇u2(x)) ≤ c2|∇u1(x) − ∇u2(x)| Vì v¾y (T (u1) − T (u2), u1 − u2) ≥ ∫ |∇u1(x) − ∇u2(x)|2dx + ∫ γ0 |u1(x) − u2(x)| dx Ω ∫ Ω − c2 |∇u1(x) − ∇u2(x)||u1(x) − u2(x)|dx Ω 2 ≥ γ1 ||u1 − u2|| L 2(Ω) + ||∇u1 − ∇u2|| L 2(Ω) Σ ∫−c2 |u Σ 2 (x)| dx (x) − (x)| + | (x) − Ω u2 ∇u1 Tù đó suyγ1ra= min(1, γ0) ∇u2 γ1c − 2 Σ ǁu1 − u2ǁH1(Ω) (T (u1) − T (u2), u1 − u2 ) ≥ V¾y theo H¾ qua 1.4.1 ta suy phương trình T (u) = có nghi¾m nhat hay tốn (2.25) có nghi¾m yeu nhat 2.3.3 Bài tốn Neumann đoi vái phương trình elliptic cap nEa tuyen tính phn thu®c tham so vái so hang phi tuyen phn thu®c gradient Xét toán biên Neumann   −∆u(x) = λu(x) + h(x, u(x), ∇u(x)) Ω  ∂u = ∂Ω ∂n b% ch¾n có biên trơn Rn Ω mien (2.28) Đ%nh nghĩa 2.3.3 Hàm ∫ ∫ u ∈ H (Ω) nghi¾m yeu cua ∫ tốn (2.28) neu ∇u(x)∇v(x)dx = h(x, u(x), u(x)v(x)dx, ∀v ∈ C∞(Ω) ∇u(x))v(x)dx+λ Ω Ω Ω Đ%nh lý 2.3.3 Gia su h(x, s, t) hàm Caratheodory thóa mãn đieu ki¾n sau: (i) Ton tai c1, c2 > cho |h(x, s1, t1) − h(x, s2, t2)| ≤ c1|s1 − s2| + c2|t1 − t2|, h.k.n x ∈ Ω (2.29) (ii)0h(x, đi¾u giam manh −s theo)s,≤đeu γ0 >x (h(x,s,st), đơn t) −h(x, s , t))(s −γ∀t, |s túc −slà:| 2ton , tai h.k.n ∈ Ω (2.30) so dương cho c2 2 γ0 − λ) < min(1, γ0 Khi tốn (2.28) có nghi¾m yeu nhat u ∈ H1(Ω) Chúng Đ¾txác T (u) = Lnhư − AĐ%nh L , A1, Khi S3 làđó 1(u) 1(u) −líS 3(u), tu đưoc đ%nh 2.3.1 Đ%nh lí 12.3.2 ta cótốnminh T toán tu liên tuc L1, S3, A1 toán tu liên tuc T toán tu đơn đi¾u manh vói u1, u2 ∈ H1(Ω) ta có = (T ∫ (u1) − T (u2), u1 − u2) ∫ ∇(u1(x) − u2(x))∇(u1(x) − u2(x))dx − λ Ω Ω ∫ − |u1(x) − u22(x)| dx h(x, Ω ∫ = Ω u1 (x), ∇u1 (x)) − h(x,∫u2 (x), ∇u2 (x))Σ.u1(x) − u2(x)Σdx |∇(u1(x) − u2(x))|2dx − λ |u1(x) − u2(x)| dx Ω − ∫ h(x, u1(x), ∇u1(x)) − h(x, u2(x), ∇u1(x))Σ.u1 (x) − u2 (x)Σdx Ω ∫ − Ω h(x, u2 (x), ∇u1 (x)) − h(x, u2 (x), ∇u2 (x))Σ.u1(x) − u2(x)Σdx Tù (2.29) (2.30) ta có [h(x, u1(x), ∇u1(x)) − h(x, u2(x), ∇u1(x))](u1(x) − u2(x)) ≤ −γ0|u1(x) − u2(x)| , ∇u1(x)) − h(x, u2(x), ∇u2(x)) ≤ c2|∇u1(x) − ∇u2(x)| h(x, u2(x), Vì v¾y (T ∫ (u1) − T (u2), u1 − u2) ≥ λ ∫ |∇u1(x) − ∇u2(x)| dx − 2 Ω Ω ∫ |u1(x) − u2(x)| dx ∫ + γ0 |u1(x) − u2(x)| dx − c2 u2(x)|dx Ω |∇u1(x) − ∇u2(x)||u1(x) − Ω 2 ≥ γ2 c.ǁu1 − u2ǁ L (Ω)2 + ǁ∇u12− ∇u2ǁ L (Ω)2 Σ ∫− |u (x) − u (x)| + |∇u (x) − ∇u 2 (x) | Σ dx, Ω Tù đó suyγ2ra= min(1, γ0 − λ) γ2c − 2 Σ ǁu1 − u2ǁH1(Ω) (T (u1) − T (u2), u1 − u2 ) ≥ Suy T toán tu liên tuc, đơn đi¾u manh V¾y theo H¾ qua 1.4.1 ta suy phương trình T (u) = có nghi¾m nhat hay tốn (2.28) có nghi¾m yeu nhat Ket lu¾n Lu¾n văn trình bày thu đưoc: Tìm hieu phương pháp tốn tu đơn đi¾u không gian Rn, không gian Hilbert thnc, không gian Hilbert thnc tách đưoc Nói chung phương pháp có ưu điem đơn gian, de hieu, có nhưoc điem đieu ki¾n đơn đi¾u phai ch¾t nghi¾m nh¾n đưoc nghi¾m yeu Áp dung phương pháp tốn tu đơn đi¾u chi sn ton tai nghi¾m yeu cna tốn biên đoi vói phương trình elliptic cap nua tuyen tính.Cu the tốn biên sau: (i) Bài tốn Dirichlet đoi vói phương trình elliptic cap nua tuyen tính −∆u(x) = g(x, u(x))  (ii) Ω u = ∂Ω Bài toán Neumann đoi vói phương trình elliptic cap nua tuyen tính phu thu®c tham so   −∆u(x) = λu(x) + g(x, u(x)) Ω  ∂u = ∂n ∂Ω Và mo r®ng lên thành tốn biên đoi vói phương trình elliptic cap nua tuyen tính có so hang phi tuyen phu thu®c gradient: 60 2.3 Bài tốn Neumann đoi vói phương trình elliptic cap nua tuyen tính (iii) Bài tốn Dirichlet đoi vói phương trình elliptic cap nua tuyen tính vói so hang phi tuyen phu thu®c gradient −∆u(x) = h(x, u(x), ∇u(x)) Ω  u = (iv) Bài toán Neumann đoi vói phương trình elliptic cap nua tuyen ∂Ω tính vói so hang phi tuyen phu thu®c gradient   −∆u(x) = h(x, u(x), ∇u(x)) Ω  ∂u = ∂Ω ∂n Tù tőng quát hóa lên thành tốn biên đoi vói phương trình elliptic cap nua tuyen tính phu thu®c tham so có so hang phi tuyen phu thu®c gradient (v) Bài tốn Dirichlet đoi vói phương trình elliptic cap nua tuyen tính phu thu®c tham so vói so hang phi tuyen phu thu®c gradient −∆u(x) = λu(x) + h(x, u(x), ∇u(x)) Ω  u = (vi) Bài toán Neumann đoi vói phương trình elliptic cap nua tuyen ∂Ω tính phu thu®c tham so vói so hang phi tuyen phu thu®c gradient   −∆u(x) = λu(x) + h(x, u(x), ∇u(x)) Ω  ∂u = ∂Ω ∂n Hưóng nghiên cúu có the phát trien tù luắn vn: Ta cú the mo rđng vúi cỏc bi tốn biên khơng gian W 1,p (Ω), trơn Rn -61- vói Ω mien b% ch¾n có biên Tài li¾u tham khao Tieng vi¾t [1]Hồng Tuy (2005), Hàm thnc giai tích hàm, NXB - ĐHQG HN [2]Pham Kỳ Anh, Tran Đúc Long (2011), Giáo trình hàm thnc giai tích hàm, NXB - ĐHQG HN [3] Tran Đúc Vân (2005), Lý thuyet phương trình vi phân đao hàm riêng, NXB - ĐHQG HN [4] B® mơn Giai tích, Khoa Tốn - Cơ - Tin HQc, ĐH KHTN (2006), Seminar ve phương trình đao hàm riêng, T¾p 2, Hà N®i Tieng Anh [5] Eberhard Zeidler, Applied Functional Analysis, Applicantions to Mathe- matical Physis, Volum 108 [6] Marianne Olsson (2008), G-convergence and Homogenization of some Monotone operators [7] Pavel Drábek, Jaroslav Milota (2007), Methods of nonlinear analysis, Applications to Differential equations, Birkhauser - Basel - Boston Berlin [8] Yuli Eidelman, Vitali Milman, Antonis Tsolomitis, Functional Analysis, An Introduction, Graduate Studies in Mathematics, Volum 66 62 ...NGUYEN TH± DUYÊN PHƯƠNG PHÁP TOÁN TU ĐƠN ĐIfiU VÀ ÚNG DUNG NGHIÊN CÚU SU TON TAI NGHIfiM CUA BÀI TỐN BIÊN ĐOI VéI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHƠNG TUYEN TÍNH Chun ngành: TỐN GIAI TÍCH... tuyen tính 35 2.2.1 Bài tốn Dirichlet đoi vói phương trình elliptic cap nua tuyen tính 35 Muc luc 2.2.2 Bài toán Dirichlet đoi vói phương trình elliptic cap nua tuyen tính phu... 48 2.3 Bài tốn Neumann đoi vói phương trình elliptic cap nua tuyen tính 50 2.3.1 Bài tốn Neumann đoi vói phương trình elliptic cap nua tuyen tính phu thu®c tham so .50 2.3.2 Bài tốn