Hệ phương trình elliptic á tuyến tính cấp hai

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN - THÂN NGOC THÀNH Hfi PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC Á TUYEN TÍNH CAP HAI Chun ngành: TỐN GIAI TÍCH Mã so: 60.46.01.02 LU¾N VĂN THAC SY KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC: PGS.TS HÀ TIEN NGOAN Hà N®i – Năm 2016 Mnc lnc Ma đau Các kien thÉc chuan b% 1.1 Không gian Sobolev 1.1.1 Không gian hàm Lp(Ω), ≤ p < ∞ .4 1.1.2 Không gian Wl,p (Ω) (1 ≤ p < +∞; l ∈ N) 1.1.3 Không gian W0 l,p (Ω) (1 ≤ p < +∞; l ∈ N) 1.2 Không gian Holder .7 1.2.1 Không gian C(Ω), Cl(Ω) 1.2.2 Không gian C0,γ(Ω) 1.2.3 Không gian Cl,γ(Ω) 1.3 Đ%nh lý Leray-Schauder 1.3.1 Đ%nh lý Arzelá-Ascoli 1.3.2 Đánh giá Schauder đoi vói nghi¾m cna phương trình ellip- tic tuyen tính cap hai 1.3.3 Đ%nh lý Leray-Schauder ve điem bat đ®ng cna m®t HQ ánh xa 1.4 Phương trình elliptic tuyen tính cap hai 10 Bài tốn Dirichlet cho h¾ phương trình elliptic tuyen tính cap hai 12 2.1 H¾ phương trình elliptic tuyen tính cap hai Bài tốn Dirichlet12 2.1.1 H¾ phương trình elliptic tuyen tính cap hai 12 2.1.2 Bài toán Dirichlet .12 2.2 Đánh giá chuan Holder cna đao hm cap l cna nghiắm qua cỏc đ lún v đao hàm cap m®t cna 13 2.3 Đánh giá chuan Holder cna an hàm 14 2.4 Đánh giá đ® lún ao hm cap mđt cna nghiắm trờn biờn 17 2.5 Đánh giá đ® lón đao hàm cap m®t cna nghi¾m tồn mien 19 2.6 Đ%nh lý ton tai nghi¾m cna tốn Dirichlet 22 Ket lu¾n 26 Mnc lnc Tài li¾u tham khao 27 Me ĐAU Muc tiêu cna Lu¾n văn trình bày sn mo r®ng ket qua ve tính giai đưoc cna tốn Dirichlet cho m®t phương trình elliptic tuyen tính cap hai sang trưịng hop h¾ phương trình elliptic tuyen tính cap hai Dưói sn hưóng dan cna PGS TS Hà Tien Ngoan, tác gia hồn thành lu¾n văn vói đe tài "H¾ phương trình elliptic tuyen tính cap hai" Lu¾n văn đưoc chia làm hai chương: • Chương 1: Các kien thúc chuan b% ã Chng 2: Bi toỏn Dirichlet cho hắ phương trình elliptic tuyen tính cap hai Chương trình bày m®t so kien thúc chuan b% khơng gian Sobolev, Holder, Đ%nh lí Leray-Schauder đe làm so chúng minh đ%nh lí ton tai nghi¾m cho h¾ phương trình elliptic tuyen tính cap hai Chương nđi dung chớnh cna Luắn vn, trỡnh by bi toỏn Dirichlet cho h¾ phương trình elliptic tuyen tính cap hai Xây dnng chúng minh đánh giá tiên nghi¾m cho h¾ Cuoi chi sn ton tai nghi¾m cna h¾ bang cách áp dung Đ%nh lí Leray-Schauder Tài li¾u tham khao cho lu¾n văn tài li¾u [2] M¾c dù có nhieu co gang, song thũi gian v trỡnh đ cũn han che nờn luắn văn khó tránh khoi nhung thieu sót Vì v¾y tác gia rat mong nh¾n đưoc sn góp ý cna thay ban đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n Qua lu¾n văn này, em xin bày to lòng biet ơn sâu sac đen PGS.TS Hà Tien Ngoan Thay ln t¾n tình hưóng dan, giúp đõ em suot q trình tìm hieu đe tài Sn nhi¾t tình đ®ng viên em rat nhieu đe có the hồn thành lu¾n văn Me Tác gia xin chân thành cam ơn Ban Giám hi¾u, Phịng Đào tao Sau đai HQc, ĐAU Khoa Tốn-Cơ-Tin, thay tao đieu ki¾n thu¾n loi cho em hồn thành ban lu¾n văn Em xin chân thành cam ơn! Me ĐAU Hà N®i, ngày tháng 12 năm 2016 Tác gia Thân NGQc Thành Chương Các kien thÉc chuan b% 1.1 1.1.1 Không gian Sobolev Không gian hàm Lp(Ω), 1≤p 0) K ρ Lay ρ đn nho cho cc(s)ρα < Khi tù bat thúc (2.22) ta nh¾n đưoc ∫ V n ζ dx ≤ c1ρα ∫ s+2 [V Ks Kρ 2 | s+1 | ζ +V |∇ζ| ]dx, (2.23) + 1)|∇ζ|2dx (2.24) Σk ∇uxk =1 hang so c1 xác đ%nh tù c, c(s), ρα Tù bat thúc (2.23) (2.21) ta có đánh giá s s+2 ∫ n Σ λ Σ Σ Kρ dx ≤ |∇uxk | V ζ + V (V s+1 c1(s) ∫ k=1 Kρ Các bat thúc (2.23) (2.24) vói MQI s = 0, 1, 2, Ket hop vói vi¾c Kρ∫∩ |∇u|2dx b% ch¾n, thu đưoc V s+1 dx ≤ c(s, ΩJ ) (2.25) ∫ Ω ΩJ vói ΩJ ⊂ Ω, s = 0, 1, Đ¾t w(x) = V (x)ζ = |∇|2 ζ ζ(x) hàm xác đ%nh hình cau Kρ ⊂ Ω bat kì.Xét phương trình ∫ Lu Aθ ∂ ∂x [(w 2− θ)ζ ux k k ]dx = 0, Lu ve trái cna h¾ phương trình (2.1) cịn Aθ t¾p điem x ∈ ΩJ thoa mãn w(x) > θ ≥ Theo Đ%nh lí 3.1, Chương 4, [2] ta có đánh giá ∫ |∇w|2dx ≤ c(s) mes1−s Aθ, (2.26) Aθ s lón 0, nho tùy ý c(s) → ∞ s → Áp dung Bő đe 5.2, Chương 2, [2], hàm w(x) b% ch¾n mien ΩJ boi hang so xác đ%nh boi s, cG ǁwǁL1 (Ω ) J Theo Đ%nh lí 4.1, ta đ¾t M2 = max |∇u| S Tiep tuc ta se chúng minh (2.25) vói phan giao cna hình cau Kρ mien Ω Vói s ≥ 1, (2.20) thay ξ(x) xác đ%nh boi 2(V (x) − M2 )s ζ (x), V (x) ≥ M22 (2.27) ξ(x) = 0, V (x) ≤ M2 ta thu đưoc đánh giá tù (2.21) đen (2.24), tù chúng minh đưoc (2.25) Vói s = 0, đ¾t  (2.28) V (x) ≥ 0, s 2 ξ(x) = 2(V (x) − M ) ζ (x), M 2 M +1  2ζ2, ≤ V (x) ≤ M V (x) ≥ M22 + tương tn ta chúng minh đưoc (2.25) Như v¾y ta chúng minh đưoc đánh ∫ giá V dx ≤ c(s), s = 0, 1, s+1 Ω max |∇u| ≤ const Ω 2.6 Q Đ%nh lý ton tai nghi¾m cua toán Dirichlet Trên so đánh giá tiên nghi¾m thu đưoc o muc trưóc, ta se xem xét sn ton tai nghi¾m cna tốn Dirichlet đoi vói h¾ (2.1) Lu ≡ aij(x, u)ul + bi(x, u, ux)ul xi xj + bl(x, u, ux) = 0, (2.1) x i u = (u , u , , u ) an hàm,aij, bi bl đai lưong vơ hưóng, aij thoa mãn đieu ki¾n (2.2) Ta se xem h¾ trưịng hop đ¾c bi¾t cna HQ h¾ phương trình sau vói N t τ=1: (2.29) Lτ (u) ≡ (1 − τ )L0(u) + τ L(u) = 0, tham so τ ∈ [0, 1] L0 = ∆u − u, ∆ tốn tu Laplace Vói HQ h¾ (2.29), ta gia su đieu ki¾n sau đưoc thoa mãn bu ≡ bl(x, u, p)ul ≤ −c1|u|2 + c2, c1 = (2.30) Khi đó, xét tích vơ hưóng const > 0, c2 ≥ cna (2.29) vói véc tơ 2u, ta thu đưoc bieu dien [(1 − τ )δj + τa ij(x, u)] i i ∂v ∂2v ∂xi∂xj − 2uxi uxj Σ +τbi ∂x − 2[(1 − τ )v − τbu] = v = |u(x, τ )|2 , δ j = i 0, i ƒ= j 1, i = j (2.31) Gia su v(x) đat giá tr% lón nhat tai điem x0 cna Ω Khi đó, ta có Σ [(1 − τ )δj + τa ij(x, u)] i ∂2v ∂xi∂ − 2uxi ux Σ x0 ≤ 0, j xj ∂ = v x0 τbi ∂x Suy i (1 − τ )v − τbu ≤ Theo gia thiet (2.30), ta có (1 − τ )v + τc v − τc ≤ 0, ≤ v Do c2 min(1; c1) Như v¾y, vói gia thiet (2.30), nghi¾m cő đien u(x, τ ) cna (2.29) b% ch¾n đeu τ ∈ [0, 1] Cu the ta có c2 max |u(x, τ )| ≤ M = max{max |u|, } (2.32) S Ω min(1; c1) Bây giò ta xét tốn Dirichlet (2.1), (2.3) vói ϕ = Ta viet lai HQ h¾ phương trình (2.29) dưói dang Aij (x, u, τ )uxi xj + Bi (x, u, ux , τ )uxi + B(x, u, ux , τ.) = 0, u S (2.33) Aij(x, u, τ ) = (1 − iτ )δj + τaij(x, u), Bi(x, u, ux, τ ) = τbi(x, u, ux), B(x, u, ux, τ ) = (1 − τ )u + τb(x, u, ux) Xét Aij(x, u, τ )ξiξj = (1 − τ )ξiξj + τaij(x, u)ξiξj Theo (2.7), ta có (1 − τ )|ξ|2 + τλ|ξ|2 ≤ Aij(x, u, τ )ξiξj ≤ (1 − τ )|ξ|2 + τµ|ξ|2 Do đó, ta suy = λ1|ξ|2 ≤ Aij(x, u, τ )ξiξj ≤ µ1|ξ|2, (2.34) λ1 = − τ + τλ, µ1 = − τ + τµ Theo (2.8) − (2.9), ta có |Bi(x, u, p, τ )| = |τbi(x, u, p)| ≤ |bi(x, u, p)| ≤ µ(1 + |p|), (2.35) |B(x, u, p, τ )| = |(1 − τ )u + τb(x, u, ux)| ≤ (1 − τ )M + τ [s + P (p, M )](1 + 2|p| ), (2.36) ≤ [s1 + P1(p, M )](1 + |p| ) ∂Aij(x, u, τ ) ∂Aij(x, u, τ ) ≤ µ ; ∂u ∂x (2.37) l k Tù đánh giá (2.32) (2.34) − (2.37), theo Đ%nh lí 2.5, ta thu đưoc (2.38) max |∇u(x, τ )| ≤ M1, ∀τ ∈ [0, 1] Ω Dưói đ%nh lý ve sn ton tai nghi¾m cő đien cna tốn Dirichlet (2.1), (2.3) vói ϕ = Đ%nh lý sau sn mo r®ng cna Đ%nh lý 2.5 sang h¾ phương trình Đ%nh lý 2.6 Gia su bat thúc (2.30) vái MQI x ∈ Ω, u, p bat kì Đong thài bat thúc (2.7) − (2.10) vái s(M )(2M + 10N ) < λ vái MQI x ∈ Ω, |u| ≤ M (vái M đưac cho bái đánh giá (2.32)) p bat kì Ta gia su hàm bi (x, u, p) b(x, u, p) liên tnc Holder vái so mũ β t¾p R{x ∈ Ω, |u| ≤ M,|p| ≤ M1}, M1 đưac cho đánh giá (2.38) Khi đó, neu S ∈ C2,β u = S h¾ phng trỡnh (2.1) cú ớt nhat mđt nghiắm thuđc C2,() Neu thờm ieu kiắn aij, bi, b thuđc lỏp Ck,(R) vái k ≥ S ∈ Ck+2,β nghi¾m u(x) ∈ Ck+2,β(Ω) ChÚng minh Tù gia thiet cna Đ%nh lý đánh giá (2.32), (2.38), theo Đ%nh lý 2.1, ton tai γ ∈ (0, 1) hang so M2 cho |ux(x, τ )|γ,Ω ≤ M2 (2.39) ∀τ ∈ [0, 1] Vói moi hàm véc tơ v(x) co đ%nh, ta xét h¾ phương trình tuyen tính tương úng vói (2.33) sau Aij(x, v, τ )wl + Bi(x, v, vx, τ )wl + Bl(x, v, vx, τ ) xi xj = 0, x i w vói l = 1, 2, , N, w(x) = (w1(x), w2(x), , wN (x)) an hàm Xét ánh xa tương úng vói phương trình thú l Φl(v, τ ) : M × [0, 1] → C2,γβ(Ω) (v, τ ) → wl(x) S =0 (2.40) M t¾p hop hàm v(x) thoa mãn bat thúc max |v(x)| ≤ M + s, max |∇v(x)| ≤ M1 + s, |vx|γ,Ω ≤ M2 + s, Ω Ω (2.41) vói s so thnc dương bat kỳ Do v(x) ∈ M ⊂ C1,γ(Ω) nên vx ∈ Cγ(Ω) Ket hop vói gia thiet ve h¾ so cna h¾ phương trình (2.1), ta có AJij (x) = Aij (x, v, τ ), BiJ (x) = Bi (x, v, vx , τ ), B Jl (x) = B l (x, v, vx , τ ) hàm thu®c lóp Cγβ(Ω) Biên S ∈ C2,β ⊂ C2,γβ nên theo đ%nh lý ton tai nghi¾m đoi vói phương trình elliptic tuyen tính cap hai, phương trình thú l cna h¾ (2.40) có nghi¾m nhat wl(x) ∈ C2,γβ Do đó, ánh xa Φl(v, τ ) hoàn toàn xác đ%nh Áp dung đánh giá Schauder cho phương trình thú l cna h¾ (2.40) thu đưoc |wl (x)|2,γβ,Ω ≤ C(max |w| + |B Jl (x)|γβ,Ω ), Ω (2.42) C = const Các so hang o ve phai b% ch¾n đánh giá o gia thiet ve h¾ so cna đ%nh lý Do |wl(x)|2,γβ,Ω b% ch¾n đeu Theo đ%nh lý Arzelá-Ascoli, t¾p hàm wl(x) C2,γβ(Ω) compact tương đoi không gian C1,γ hay Φl(v, τ ) hoàn toàn liên tuc trờn M ì [0, 1] Bat ang thỳc (2.42) chi Φl(v, τ ) liên tuc đeu theo τ Đ¾t Φ(v, τ ) = Φ1(v, τ ), Φ2(v, τ ), , ΦN (v, τ ) vói Φl(v, τ ), l = 1, 2, , NΣ đưoc đ%nh nghĩa Nghi¾m cna tốn biên (2.33) điem bat đ®ng cna ánh xa Φ Theo ket qua vùa trình bày, Φ(v, τ ) thoa mãn đieu ki¾n (1), (2) cna đ%nh lý Leray-Schauder Xét phương trình Φ(u, τ ) = u(x) (2.43) Do đánh giá tiên nghi¾m cna u(x, τ ) cách cHQN mien M o boi (2.41) phương trình (2.42) khơng the có nghi¾m biên cna M Cuoi cùng, vói τ = 0, tốn xét phương trình Poisson nên (2.43) có nghi¾m nhat Theo Đ%nh lý Leray-Schauder, phương trình (2.42) có nhat mđt nghiắm vúi MQI [0, 1] Núi riờng, vói τ = 1, ta có ket lu¾n cna Đ%nh lý 2.6 Q KET LU¾N Lu¾n văn trình bày van đe sau - Các khơng gian Sobolev, Holder, đ%nh lí Leray-Schauder, khái ni¾m phương trình elliptic ỏ tuyen tớnh cap hai - Xột mđt lúp hắ phương trình elliptic tuyen tính cap hai, xây dnng chúng minh đưoc đánh giá tiên nghi¾m đoi vói loai h¾ phương trình elliptic tuyen tính cap hai này, tù chúng minh đưoc sn ton tai nghi¾m cna tốn Dirichlet đoi vói loai h¾ phương trình đưoc xét 44 TÀI LIfiU THAM KHAO [1] D.Gillarg, N Trudinger (2001), Elliptic partial differential equations of second order, Springer [2] O Ladyzhenskaya, N Ural’tseva, (1968), Linear and quasilinear elliptic equations, Univerrsity of Southern California 45 TÀI LIfiU THAM KHAO 46 TÀI LIfiU THAM KHAO 47 Σ TÀI LIfiU THAM KHAO 48 ... hắ phương trình elliptic tuyen tính cap hai 2.1 H¾ phương trình elliptic tuyen tính cap hai Bài tốn Dirichlet 2.1.1 H¾ phương trình elliptic tuyen tính cap hai Vói x ∈ Ω ⊂ Rn, xét h¾ phương trình. .. tuyen tính cap hai 10 Bài toán Dirichlet cho h¾ phương trình elliptic tuyen tính cap hai 12 2.1 H¾ phương trình elliptic tuyen tính cap hai Bài tốn Dirichlet12 2.1.1 H¾ phương trình elliptic. .. vói phương trình elliptic tuyen tính cap hai, phương trình thú l cna h¾ (2.40) có nghi¾m nhat wl(x) ∈ C2,γβ Do đó, ánh xa Φl(v, τ ) hồn tồn xác đ%nh Áp dung đánh giá Schauder cho phương trình