Luận văn thạc sĩ phương pháp lyapunov schmidt và bài toán dirichlet đối với phương trình eliptic nửa tuyến tính trong miền không bị chặn

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN KHOA TOÁN CƠ TIN ĐÀM VĂN THƯeNG PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV - SCHMIDT VÀ BÀI TOÁN DIRICHLET ĐOI VéI PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC NUA TUYEN TÍNH TRONG MIEN KHƠNG B± CH¾N LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN HOC Chun ngành: TỐN GIAI TÍCH Mã so : 60 46 01 NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC PGS.TS HỒNG QUOC TỒN Hà N®i - Năm 2012 Mnc lnc Cơ sa lý thuyet 1.1 M®t so đ%nh lý điem bat đ®ng ban 1.1.1 Nguyên lý điem bat đ®ng Brouwer 1.1.2 Nguyên lý ánh xa co Bannach 1.1.3 Đ%nh lý điem bat đ®ng Schauder 1.2 Phő cna tốn tu tuyen tính b% ch¾n 1.2.1 Phő cna tốn tu tuyen tính b% ch¾n khơng gian Bannach 1.2.2 Phő cna tốn tu b% ch¾n không gian Hilbert 1.3 Các đ%nh nghĩa ban ve phương trình đao hàm riêng, phương trình elliptic 1.4 Không gian Sobolev 10 1.4.1 Đ%nh lý vet 11 1.4.2 Đ%nh lý nhúng 11 1.4.3 Bat thúc Poincare 12 1.5 Đ%nh lý Lax Milgram 12 1.6 lý Dirichlet Lax Milgram đoi vói không gianLaplace 17 Hilbert phúc 14 1.7 Đ%nh Bài tốn đoi vói phương trình 1.7.1 1.7.2 1.7.3 1.7.4 Không gian Sobolev H10(Ω) 17 Bài tốn Dirichlet nghi¾m suy r®ng .18 Tốn tu cna tốn Dirichlet 19 Sn ton tai nghiắm suy rđng cna bi toỏn Dirichlet 20 Phng pháp Lyapunov - Schmidt toán Dirichlet đoi vái phương trình elliptic nEa tuyen tính mien khơng b% ch¾n 27 2.1 Bài tốn Dirichlet vói phan toỏn tu Schroădinger 28 i q 2.1.1 Khụng gian V 0(Ω) 28 2.1.2 Bi toỏn Dirichlet v nghiắm suy rđng 2.1.3 Toán tu cna toán Dirichlet 2.2 Sn ton tai nghi¾m cna tốn Dirichlet 2.2.1 Phương pháp Lyapunov - Schmidt 2.2.2 Đieu ki¾n ton tai nghi¾m cna tốn Dirichlet 2.2.3 Sn ton tai điem re nhánh cna toán Dirichlet 29 31 36 36 36 40 Ket lu¼n 43 Tài li¼u tham khao 44 ii Danh mnc kí hi¾u Rnn C không gian thnc n - chieu không gian phúc n - chieu ∂u ∂u Du = ∂x , , Σ = (D1 x u, , n Dx u), ∂x Σ toán tu Laplace n ∂ u = ∂ u ∂x2 ∆u ∂x i ∂x + · · · + n i= ∂ u = α = (α1 , , αn ) vói αi ∈ N (i = 1, 2, , n),đưoc GQI m®t đa chi so b¾c |α| = α1 + · · · + αn D α u = Dα Dα Dα n đao hàm cap α cna hàm u n 2 Q x1 x2 xn ket thúc chúng minh iv Lài Ma Đau Lý thuyet ton tai nghi¾m đoi vói phương trình h¾ phương trình đao hàm riêng Elliptic tuyen tính đưoc nghiên cúu đay đn Van đe tương tn đoi vói phương trình h¾ phương trình Elliptic khơng tuyen tính đưoc nghiên cúu nhieu van toán mà quan tâm capnày nua tuyen tính tốn vói phan chínhđoi tốn tu Schroădinger trongtrỡnh TrongElliptic luắn tỏc gia xột bi Dirichlet vúi mđt lúp phng mien khụng b% chắn ( + q(x)) u − λu = f (x, u) − h(x) P (λ) : Ω, u|∂Ω = 0, u(x) → |x| → +∞ n Ω mien khơng b% ch¾n vói biên ∂Ω trơn R , λ > 0, q(x) hàm so xác đ%nh Ω thoa mãn q(x) ∈ C0(R), ∃q0 > 0, q(x) > q0, ∀x ∈ Ω q(x) →theo +∞bien |x| → +∞, f (x, u) liên tuc Lipschitz u vói hang so k |f (x, u1 ) − f (x, u2 )| ≤ k|u1 − u2 | Nhieu tốn biên đoi vói phương trình đao hàm riêng mà đ¾c bi¾t phương trình khơng tuyen tính khơng có nghi¾m trơn, ca tính nhat nghi¾m khơng cịn nua Trong trưịng hop nghiắm cna bi toỏn phai oc hieu theo ngha rđng Vì v¾y, ngưịi ta đen khái ni¾m nghi¾m suy r®ng cna tốn Các phương pháp thưịng đưoc su dung nghiên cúu phương trình vi phân khơng tuyen tính là: Phương pháp bien phân, phương pháp đơn đi¾u, phương pháp nghi¾m trên, nghi¾m dưói, phương pháp dna đ%nh lý ve điem bat đ®ng Bannach Schauder Trong lu¾n văn tác gia su dung phương pháp Lyapunov - Schmidt mà thnc chat l phng phỏp trnc giao Nđi dung luắn bao gom hai chương: Chương tác gia trình bày m®t so đ%nh lý ban ve điem bat đ®ng; phő cna tốn tu tuyen tính b% ch¾n; đ%nh nghĩa ban ve phương trình đao hàm riêng, phương trình elliptic; khơng gian Sobolev; đ%nh lý Lax Milgram; tốn Dirichlet đoi vói phương trình Laplace Chương tác gia t¾p trung tìm hieu phương pháp Lyapunov - Schmidt, tù trình bày đieu ki¾n ton tai nghi¾m đieu ki¾n ton tai điem re nhánh cna tốn Dirichlet đoi vói phương trình elliptic nua tuyen tính mien khơng b% ch¾n Chương Cơ sa lý thuyet Trong chương tác gia trình bày kien thúc ban ve: Đ%nh lý điem bat đ®ng; phő cna tốn tu tuyen tính; đ%nh lý Lax Milgram; tốn Dirichlet đoi vói phương trình Laplace 1.1 M®t so đ%nh lý điem bat đ®ng ban Các đ%nh lý điem bat đ®ng câu tra lịi cho m®t tốn tőng qt sau đây: Cho C mđt cna mđt khụng gian X, T l m®t ánh xa tù C vào tai x0 C ki¾n mà Tnào x0 = x0C, ? Điem v¾ythe khang GQI điem bat cna X m®t Phai điem đ¾t nhung đieu X vàxT0 đe có đ%nh sn ton đ®ng cna ánh xa T Trong rat nhieu trũng hop quan TRQNG, viắc giai mđt phng trỡnh oc quy ve viắc tỡm iem bat đng cna mđt ánh xa thích hop Chang han, neu X m®t khơng gian tuyen tính, S m®t ánh xa X, y m®t phan tu co đ %nh cna X nghiắm cna=phng =y chớnh iem batgiúi đng cna mđt ánh xa xác đ%nh boi Tx Sx + trình x − Sx y, ∀x ∈ X Saulàđây ta se thiắu so T %nh lý iem bat đng c ban nhat 1.1.1 Nguyên lý điem bat đ®ng Brouwer Rn1.1.(Brouwer) T : C → C Gia m®t xa liên T có điem bat đ®ng Đ %nh lý su Cỏnh l mđt tắptnc conKhi loi,ú compact, khỏc rng Chỳng minh Chúng minh đ%nh lý có the tìm thay [3] 1.1.2 Nguyên lý ánh xa co Bannach Có le đ%nh lý điem bat đ®ng đơn gian nhat đưoc su dung r®ng rãi nhat nguyên lý ánh xa co Bannach Trưóc phát bieu nguyên lý női tieng này, ta se đ%nh nghĩa ánh xa co Đ%nh nghĩa M®t GQI ánhlàxa gian d) cho vào khơng gian metric (Y,1.2 ρ) đưoc ánhT xatùcokhông neu ton tai metric k ∈ [0,(X, 1) ρ(Tx, Ty) ≤ k.d(x, y)∀x, y ∈ X Như v¾y ánh xa co trưòng hop riêng cna ánh xa Lipschitz hien nhiên liên tuc Đ%nh ánh xa co Bannach) n ∗ Cho (X, d) m®t khơng mà Tx∗ = lý x∗1.3.(Nguyên Ngoài ra, ∀xlý gian ∈ X ta có T x0 → x n → ∞ metric đay đu T ánh xa co X Khi ton tai nhat x∗ ∈ X Chúng minh Chúng minh đ%nh lý có the tìm thay [2], [3] 1.1.3 Đ%nh lý điem bat đ®ng Schauder khơng gian Bannach, M l mđt tắpxicon chắn cua X, T : Gia X → xa Đ%nh lý 1.4.(Đ%nh lý xap cácb% toán tE compact) suYX,làYánh n ∈ N ton tai m®t tốn tu compact Pn : M → Y cho cho Khi đó, T compact chs đieu ki¾n sau thóa mãn: Vái mői x∈ M ||T (x) − Pn(x)|| ≤ 1/n dim(spanPn(M )) < ∞ sup Chúng minh Phan chúng minh đ%nh lý xem [5] compact, khác rőng cua m®t bat khơng gianSchauder) Bannach X.Gia Giasu suM T :làMt¾p →M ánhxa Đ %nh lý 1.5.(Đ%nh lý điem đ®ng conlàloi, liên tnc Khi đó, T có điem bat đ®ng gian Bannach X Gia : Mcon → loi, M toánb% tu compact Khirőng T điem bat H¼ qua 1.6 Gia su MsulTtắp úng, chắn, khỏc cuacúmđt khụng đng Phan chỳng minh đ%nh lý h¾ qua đưoc tìm thay [5] 1.2 Pho cua tốn tE tuyen tính b% ch¾n 1.2.1 Pho cua tốn tE tuyen tính b% ch¾n khơng gian Bannach Cho X khơng gian đ%nh chuan trưòng P (P trưòng so thnc R ho¾c trưịng so phúc C), A tốn tu tuyen tính b% ch¾n ánh xa khơng gian X vào (hay cịn nói tốn tu A tác dung khơng gian X) Ta xét phương trình dang (A − λI)x = y; x, y ∈ X, λ ∈ P, (1.1) I tốn tu đong nhat Và phương trình thuan nhat tương úng vói (1.1) có dang (A − λI)x = 0, x ∈ X, λ ∈ P (1.2) Neu phương trình (1.2) có nghi¾m x ƒ= vói giá tr% λ0 đay λ0 GQI giá tr% riêng cna toán tu A, x0 GQI vectơ riêng cna toán tu A úng vói giá −1 R tốn trưịng tu Aλ = A này, − λI,hien phương vơ λ = (A − λI) nghi¾m tr% riêng λ0cna Trong hop nhiên khơngtrình ton (1.1) tai tốn tu ngưoc vói MQI y ƒ= Toán tu Rλ đưoc GQI toán tu giai hay giai thúc cna toán tu A Đ%nh nghĩa 1.7 So λ GQI giá tr% quy (hay điem quy) cna tốn tu A, neu ton tai tốn tu giai Rλ xác đ%nh b% ch¾n tồn khơng gian X So λ đưoc GQI phő (hay điem phő) cna toán tu A, neu so λ khơng giá tr% quy cna tốn tu A Đ%nh nghĩa 1.8 T¾p hop tat ca giá tr% phő cna toán tu A GQI phő cna toán tu A L¾p lu¾n chúng to, phő cna tốn tu A chúa tat ca giá tr% riêng cna tốn tu A T¾p hop tat ca giá tr% riêng cna A GQI phő điem cna toán tu A, t¾p hop giá tr% cịn lai cna phő cna tốn tu GQI phő liên tuc váitính MQI so α > tốn tu A chs cú huu han vect riờng đc lắp tuyen %nh lý 1.9 Neu A toán tu compact tác dnng không gian Bannach X, tương úng vái giá tr% riêng λ mà |λ| ≥ α Chúng minh Gia su toán tu compact A có vơ han n ) vectơ riờng đc lắp tuyen tớnh tng ỳng vúi dóy cỏcmđt giá dãy tr% riêng (λn(x ) mà |λn | ≥ α vói MQI n = 1, 2, 3, Xn khơng gian đóng sinh boi n các=vectơ 1, x2, , xn (n = Ta 1, kí 2,hi¾u 3, ) Khi đó, đoi vóicon moi so tn nhiên 1, 2,x3, ton tai phan tu yn ∈ Xn, ||yn|| = cho inf ∈Xn −1 d(yn, Xn−1) ||yn − x|| > y h®i tu Khi dãy n Σ b% ch¾n dãy Ayn Σ không chúa dãy = x λn n k=1 λn akxk n ΣTh¾t v¾y, gia su y Σ yn A λn = =n akAxk k=1 zn n−1 Σ a λk k = k=1 λn n−1 = Σaλ k k k λk + = an xn yn + z n, k=1 − xk ∈ Xn−1(n = 1, 2, ) Σ Vói hai so tn nhiên bat kỳ p, q, p > q ta có yp yq + z )|| = A −A = || + z − y (y ||y p p q λp λq q − (y p )|| > , +z− z q q p yq + zq − zp ∈ Xp−1 Bat thúc mâu thuan vói tính compact cna tốn tu A Vì v¾y chi có huu han vect riờng đc lắp tuyen tớnh tng ỳng vói giá tr% riêng λ mà |λ| ≥ α 1.2.2 Pho cua tốn tE b% ch¾n khơng gian Hilbert 1.2.2.1 Pho cua toán tE tE liên hap Đ%nh nghĩa 1.10 Tốn tu tuyen tính b% ch¾n A ánh xa khơng gian Hilbert H vào GQI tn liên hop, neu (Ax, y) = (x, Ay), ∀x, y ∈ H Tốn tu tn liên hop cịn GQI tốn tu đoi xúng 2.2 SE ton tai nghi¾m cua toán Dirichlet Ta thay hàm u ∈ Vq0(Ω) nghi¾m cna tốn (2 1) chi u = (Hq)−1[λu + f (x, u) − h] (2.7) Do (Hq)−1 toán tu compact L2(Ω), toán tu F : L2(Ω) → L2(Ω), đưoc xác đ%nh boi F (u) = (Hq)−1[λu + f (x, u) − h], qu ∈ V (Ω), compact 2.2.1 Phương pháp Lyapunov - Schmidt Ta có phân tích V 0(Ω) = X ⊕ Y q X = (ϕ không gian sinh boi ϕ1, Y = X ⊥ thành 1) = {tϕ1 : t ∈ R} phan trnc giao cna X V 0(Ω) q q Khi đó, moi u ∈ V 0(Ω) đeu đưoc bieu dien dưói dang u = v + w, v ∈ X, w ∈ Y Kí hi¾u P, Q toán tu chieu cna u lan lưot lên X Y , phương trình (2.7) tương úng vói h¾ Pu = v = P (Hq)−1[λ(v + w) + f (., v Qu = w = Q(Hq)−1[λ(v + w) + f (., v + (2.8) +w) w)−−h] h], Neu (v; w) nghi¾m cna h¾ (2.8) u = v + w nghi¾m cna phương trình (2.7) túc nghi¾m cna tốn (2 1) 2.2.2 Đieu ki¾n ton tai nghi¾m cua tốn Dirichlet Xét trưịng hop λ = λ1 toán (2 1) tro thành Hqu − λ1u = f (x, u) − h(x) Ω, ): P (λ1 u|∂Ω = 0, u(x) → |x| → +∞ (2.9) Đ%nh lý 2.11 Gia thiet rang a f ∈ C (Rn+1 , Rn+1 ) : |f (x, u) − f (x, v)| ≤ k|u − v|, ∀u, v ∈ R, λ1 + k < λ2 , b f b% ch¾n, c h(x) ∈ L∞(Ω), Khi ton tai (a, b) ∈ R cho toán (2.9) ∫ i Có nghi¾m, neu hϕ1dx ∈ (a, b) Ω ∫ Ω ii Khơng có nghi¾m, neu hϕ1 dx ∈/ [a, b] Chúng minh Xét toán λ u = f (x, u) − h(x) Hqu − Ω, 1u|∂Ω = 0, u(x) → ) : |x| → +∞ P (λ1 h(x) ∈ L∞(Ω), f : Rn × R → R liên tuc Lipschitz Nhó lai rang q u ∈ V 0(Ω) nghi¾m cna tốn (2.9) chi h¾ v = P (Hq)−1[λ1(v + w) + f (., v + w) − h], w = Q(Hq)−1[λ1(v + w) + f (., v + w) − h] có nghi¾m Khi đó, nghi¾m cna toán P (λ1) u = v + w Vói v co đ%nh X, ta xét phương trình w = Q(Hq)−1[λ1(v + w) + f (., v + w) − h], v ∈ X (2.10) Khi đó, toán tu Q(Hq)−1[λ1(v + w) + f (., v + w) − h] phép co tù Y sang Y Th¾t v¾y, vói MQI w1 , w2 ∈ Y , ta có (2.11) ||Q(Hq)−1[λ1(v + w1) + f (., v + w1) − h] − Q(Hq)−1[λ1(v + w2) + f (., v + w2) − h]|| ≤||Q(Hq )−1 ||[λ1 ||w1 − w2 || + ||f (., v + w1 ) − f (., v + w2 )||] Do f liên tuc Lipschitz nên ưóc lưong |f (., v + w1 ) − f (., v + w2 )| ≤ k|w1 − w2 | )−1|| ≤ , || Q(Hq λ vói λ2 giá tr% riêng thú cna tốn tu Hq Vì v¾y ||Q(Hq)−1[λ1(v + w1) + f (., v + w1) − h] − Q(Hq)−1[λ1(v + w2) + f (., v + w2) − h]|| ≤ [λ1||w1 − w2|| + k|w1 − λ λ1 + ||w1 − w2|| k λ2 w2|] = Theo gia thiet (a) λ1 + k < suy λ1 + < k λ2 λ2 Khi đó, tốn tu (2.11) phép co tù Y lên Y cna tu xáclýđ%nh boico (2.11) Khithì ton phương trìnhnhat (2.10) bat nhatđ®ng m®t Theotốn ngun ánh xa Bannach tai w làcóđiem nghi¾m w ∈ Y úng vói moi v ∈ X co đ%nh Đ¾t T : X → Y ánh xa cho T (v) ∈ Y điem bat đ®ng cna (2.10) T (v) = Q(Hq)−1[λ1(v + T (v)) + f (., v + T (v)) − h] Khi đó, T ánh xa liên tuc Th¾t v¾y, neu {vn} ⊂ X : → v X ⊂ Vq 0(Ω), ta có đánh giá ||T (vn) − T (v)|| = ||Q(Hq)−1[λ1(vn + T (vn)) + f (., + T (vn) − h] − Q(Hq)−1[λ1(v + T (v)) + f (., v + T (v)) − h]|| ≤ ||Q(Hq)−1||[(λ1 + k)||vn − v|| + (λ1 + k)||T (vn) − T (v)||] λ1 + k Tù suy ≤ λ λ1 + ||vn − v|| k λ2 ||T (vn − T (v))|| + ||T (vn) − T (v)|| ≤ V¾y {vn} → v {T (vn)} → T λ1+k λ2 λ1+ k λ2 n ||v − (v) 1− Tiep theo, ta chi đieu ki¾n ton tai nghi¾m cna tốn P (λ1) Vói w = v|| T (v), λ = λ1 v = P (Hq)−1[λ1(v + T (v)) + f (., v + T (v)) − h] (2.12) Vì P (Hq)−1T (v) = P (Hq)−1(λ1v) = v Thay vào (2.12), ta có = P (Hq )−1 [f (., v + T (v)) − h] V¾y (2.10) có nghi¾m chi ton tai v ∈ X : [f (., v + T (v)) − h] ∈ Y, túc ∫ ∫ hϕ1dx = Ω Ω f (., v + T (v))ϕ1dx (2.13) ∫ Đ¾t v = tϕ1 ve phai cna (2.13) xác đ%nh hàm Γ(t) = f (., tϕ1 + T (tϕ1))ϕ1dx Do f T liên tuc nên Γ liên tuc Đ¾t a = inf Γ(t); b = sup Γ(t), (o a có the −∞ b có the +∞) t∈R t∈R ∫ Neu hϕ1dx (a, b) nghi¾m cna tốn u = v + w = tϕ1 + T (tϕ1) Ω trưịng hop a, b huu han ta có Trong ∈ Ω ∫ Ω Neu hϕ1 dx ∈/ [a, b] tốn vơ nghi¾m Đ%nh lý 2.12 Gia thiet rang a f ∈ C (Rn+1 , Rn+1 ) : |f (x, u) − f (x, v)| ≤ k|u − v|, ∀u, v ∈ R, λ1 + k < λ2 , b f b% ch¾n, c f (x, 0) = 0, d fuJ (x, 0) < 0s→+∞ và f (x, s) = −b < 0, lim f (x, s) = a > lim s→−∞ Khi đó,ton tai nhat nghi¾m cua tốn Hqu − λu = f (x, u) (2.14) P (λ) : Ω, u = ∂Ω Chúng u =khác khụng mđt ngiắm bi(2.14) toỏn Bõy ta can chi ton tai ítminh nhat Ta haithay, nghi¾m cna bàicna tốn Xétgiò hàm ∫ Γ(t) = f (., tϕ1 + T (tϕ1))ϕ1dx (2.15) Vì T (0) 0, ftheo (x,t0) nên Γ(0) Do f, T b% ch¾n nên Γ b% ch¾n Đao=hàm hai=ve0(2.15), ta = đưoc ∫ ∫ ΓJ (t) = Ω = Ω Ω fuJ (., tϕ1 + T (tϕ1 ))(ϕ1 + ϕ1 T J (tϕ1 ))ϕ1 dx J fu (., tϕ1 + T (tϕ1 ))(1 + T (tϕ1 ))ϕ2 dx Cho t = suy J ∫ fuJ (x, 0)(1 + T J (0))ϕ2 dx = fuJ ΓJ (0) = ϕ2 dx = f J (x, 0) ∫ Ω (x, 0) 1 Ω Tù gia thiet (d), ta có fuJ (x, 0) = ΓJ (0) < 0, lim f (x, s) = a > 0; lim s→−∞ f (x, s) = −b < 0, ∫ s→+∞ nên lim Γ(t) = t→+∞ lim t→+ ∞ Ω ∫ lim Γ(t) = t→−∞ lim t→− ∞ Ω f (., tϕ1 + T (tϕ1))ϕ1dx = a ∫ ϕ1dx > Ω f (., tϕ1 + T (tϕ1))ϕ1dx ∫ ϕ1dx < = −b Ω Do đó, ton tai giá tr% t > t < cho + − Γ(t+) = Γ(t−) = (2.16) v¾y, tù (2.16) phươngcótrình hai nghi¾m v1 = làt+ϕ v+2 = t−+ϕVì hai (2.10) nghi¾mcókhơng tam thưịng [t1+ϕ T Do −bài tốn (2.9) − (t ϕ1)] [t ϕ1 + T (t ϕ1)] Chú ý 2.13 Chúng ta se nh¾n đưoc ket qua tương tn neu thay gia thiet (d) bang gia thiet fuJ (x, 0) > f (x, s) − = a lim < lim f (x, s) = b > s→+∞ →−∞ 2.2.3 SE ton tai điem re nhánh cua toán Dirichlet Đ%nh lý 2.14 Gia thiet rang a f ∈ C (Rn+1 , Rn+1 ) : |f (x, u) − f (x, v)| ≤ k|u − v|, ∀u, v ∈ R, λ1 + k < λ2 , b f b% ch¾n, c f (x, 0) = 0, d fuJ (x, 0) < f (x, s) = a > f (x, s) = −b < 0, lim lim s→+∞ s→−∞ e sf (x, s) < neu s ƒ= m®t lân c¾n đu nhó cua s tai 0, Khi đó, toán Hqu − λu = f (x, u) P (λ) : Ω, u = ∂Ω có m®t điem re nhánh tai (λ1, 0) (2.17) Chúng minh Neu λ < λ1 (2.17) có nghi¾m u ≡ nghi¾m nhat Xét λ > λ1, λ1 + k < λ2 nên ton tai ε > cho λ ∈ [λ1, λ1 + ε] λ + k < λ2 Ta có T (λ, v) = Q(Hq)−1[λ(v + T (λ, v)) + f (., v + T (λ, v))], ∀λ ∈ [λ1, λ1 + ε] ánh xa T : X → Y liên tuc b% ch¾n Xét phương trình v = P (Hq)−1[λ(v + T (λ, v)) + f (., v + T (λ, v))] Tác đ®ng Hq vào hai ve, ta đưoc Hqv = P [λ(v + T (λ, v)) + f (., v + T (λ, v))] = P (λv) + PT (λ, v) + Pf (., v + T (λ, v)) = λv + Pf (., v + T (λ, v)) Đ¾t v = tϕ1 suy Hqtϕ1 = λtϕ1 + Pf (., tϕ1 + T (λ, tϕ1)), nên tλ1ϕ1 = tλϕ1 + Pf (., tϕ1 + T (λ, tϕ1)) Do v¾y + f (., tϕ1 + T (λ, tϕ1))ϕ1 = (2.18) t(λ − λ1)ϕ Tích phân hai ve cna (2.18) ta đưoc ∫ f (., tϕ1 + T (λ, suy Ω tϕ1))ϕ1dx + ∫ ∫ t(λ − λ1)ϕ2dx = 0, Ω f (., tϕ1 + T (λ, tϕ1))ϕ1dx + t(λ − λ1) = 0.(2.19) Ω Đ¾t ∫ Γ(λ, t) = Ω f (., tϕ1 + T (λ, tϕ1))ϕ1dx (2.20) Khi (2.19) tro thành Γ(λ, t) + t(λ − λ1) = (2.21) Do T (λ, 0) = 0, ∀λ ∈ [λ1, λ1 + ε] f (0) = nên Γ(λ, 0) = Đao hàm theo t hai ve thúc (2.20) ta đưoc ΓJ (λ, t) = ftJ (., tϕ1 + T (λ, tϕ1 ))(ϕ1 + ϕ1 T J (λ, tϕ1 ))ϕ1 dx Ω ∫ ∫ ftJ (., tϕ1 + T (λ, tϕ1 ))(1 + T J (λ, tϕ1 ))ϕ2 dx = Ω Cho t = suy ∫ ΓJ (λ, 0) = f J (., 0)(1 + T (λ, 10))ϕ2 dx = f J (., 0) t Ω J Theo thietđao fu hàm (., 0) < nên =ε ftJđn (., 0) < gia Lay (2.21) theoΓt(λ, 0) cHQN nho, ta đưoc J ΓJ (λ, 0) + (λ − λ1 ) < 0, ∀λ ∈ [λ1 , λ1 + ε] ∩ [λ1 , λ1 + ftJ (x, 0)] M¾t khác, theo gia thiet (d), ta có lim f (x, s) = a > 0; s→+∞ lim f (x, s) = −b < Suy s→−∞ lim t→+ ∞ Γ(λ, t) = ∫ a lim Γ(λ, t) = t→− ∞ −b ϕ1dx > 0, Ω ∫ ϕ1dx < Ω Do ton tai t > t < phu thu®c λ cho + − Γ(λ, t±) + t±(λ − λ1) = − − V¾y [t+ϕ1 cna + Tbài (λ, t+ϕ ϕ1thu®c + T (λ, tam thưịng tốn và1)] t+,vàt−[tphu λ t ϕ1)] hai nghi¾m khơng Ta chi t± → λ → λ1 Th¾t v¾y, gia su t+ → a > t− → b < λ → λ1 Do tính liên tuc cna Γ(λ, t) (2.21) ta có = Γ(λ1, a) = Γ(λ1, b) Đieu nàykhông suy [aϕ + T (λ1, aϕ1)] [bϕ1 + T (λ1, bϕ1)] hai nghi¾m tam thưịng cna tốn (2.17) Đieu mâu thuan vói gia thiet (e) chi xét lân c¾n đn nho cna ±điem Vì v¾y,±t± → λ → λ1 Do tính liên tuc cna T (λ, x) nên T (λ, t ϕ1) → t → V¾y (λ1, 0) điem re nhánh cna tốn (2.17) vói nhat hai nhánh [t+ϕ1 + T (λ, − − t+ϕ 1)] [t ϕ1 + T (λ, t ϕ1)] Ket lu¾n Viắc ỳng dung rđng rói lý thuyet phng trỡnh vi phân đao hàm riêng vào toán thnc te dan đen vi¾c nghiên cúu phương trình vi phân phi tuyen Đó nhung tốn mang ý nghĩa v¾t lý HQc Nhung tốn the chac chan có nghi¾m, phai hieu nghi¾m cna chúng theo mđt ngha no ú cho vựa chắt che ve m¾t tốn HQc, lai vùa hop lý ve m¾t v¾t lý Vì v¾y, tốn ton tai nhat nghi¾m ln van đe thịi sn vi¾c nghiên cúu phương trình đao hàm riêng Trong lu¾n văn tác gia tìm hieu phương pháp Lyapunov - Schmidt tốn Dirichlet đoi vói phương trình elliptic nua tuyen tính mien khơng b % ch¾n Tù đó, trình bày ket qua ve đieu ki¾n ton tai nghi¾m đieu ki¾n ton tai điem re nhánh cna tốn Dirichlet đoi vói phương trình elliptic nua tuyen tính mien khơng b% ch¾n Vi¾c áp dung phương pháp Lyapunov - Schmidt đoi vói phương trình, h¾ phương trình elliptic nua tuyen tính mien giói n®i tìm m®t so ket qua thú v% (xem [9], [10]) Tat nhiên, ta cịn có the mo r®ng vi¾c áp dung phương pháp cho h¾ phương trình elliptic nua tuyen tính mien khơng b% ch¾n Ti liắu tham khao Tieng viẳt 1.Pham K Anh, Tran Đúc Long (2011), hàm, NXB ĐHQG Hà N®i Giáo trình hàm thnc giai tích 2.Nguyen Phu Hy (2005), Giai tích hàm, NXB Khoa HQc ky thu¾t 3.Đo Hong Tân, Nguyen Th% Thanh Hà (2003), Các đ%nh lý điem bat đ®ng, NXB ĐHSP 4.Hồng Tuy (2005), Hàm thnc giai tích hàm, NXB ĐHQG Hà N®i 5.B® mơn Giai tích, Khoa Tốn-Cơ -Tin HQc, Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên (2004), Seminar ve phương trình đao hàm riêng, T¾p Tieng anh 6.A Abakhti-Mchachti and J Fleckinger-Pelle (1992), ” Existence of positive solutions for noncooperative semilinear elliptic system defined on an unbounded domain”, Pitman Research Notes in Maths, 266, p 92-106 volving a Schroădinger withofWeight in all Space, Rostock 7.L Cardoulis (2004),Operator ” Existence Solutions for of anthe Elliptic Equation InMath Kolloq, 58, 53–65 8.Hoang Quoc Toan (2005), ” On a system of Semilinear Elliptic Equations on a Unbounded Domain”, Vietnam Journal of Mathematics, 33:4, 381 389 9.C Vangas and M.zuluaga (1992), ” On a nonlinear Dirichlet problem type at resonance and bifurcation”, Pitman research Notes in Maths, 273, 248-252 10.M Zuluaga (1999), ” On o nonlinear elliptic system: resonance and bifurcation cases”, Comment Math Univ Caroliae, 40, 4, 701 - 711 ... tốn Dirichlet (1.20) Chương Phương pháp Lyapunov Schmidt toán Dirichlet đoi vái phương trình elliptic nEa tuyen tính mien khơng b% ch¾n Phương pháp Lyapunov - Schmidt tốn Dirichlet đoi vói phương. .. tốn Các phương pháp thưịng đưoc su dung nghiên cúu phương trình vi phân khơng tuyen tính là: Phương pháp bien phân, phương pháp đơn đi¾u, phương pháp nghi¾m trên, nghi¾m dưói, phương pháp dna... rđng .18 Toán tu cna toán Dirichlet 19 Sn ton tai nghiắm suy rđng cna toán Dirichlet 20 Phương pháp Lyapunov - Schmidt tốn Dirichlet đoi vái phương trình elliptic nEa tuyen tính mien khơng