Hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN - PHAM LAN PHƯƠNG Hfi PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYEN TÍNH CAP HAI Chun ngành: GIAI TÍCH Mã so: 60.46.01.02 LU¾N VĂN THAC SY KHOA HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC: PGS.TS HÀ TIEN NGOAN Hà N®i – Năm 2015 Mnc lnc Ma đau M®t so kien thÉc chuan b% 1.1 Không gian Sobolev 5 1.1.1 Không gian Lp(Ω), ≤ p < +∞ l,p 1.1.2 Không gian W (Ω) (1 ≤ p < +∞; l ∈ N) l,p 1.1.3 Không gian W0 (Ω) (1 ≤ p < +∞; l ∈ N) 1.2 Không gian Holder 1.2.1 Đ%nh nghĩa không gian C(Ω), Cl(Ω) 1.2.2 Đ%nh nghĩa không gian C0,α(Ω) 1.2.3 Đ%nh nghĩa không gian Cl,α(Ω) 1.3 Các đ%nh lý nhúng 1.3.1 Đ%nh nghĩa phép nhúng 1.3.2 Đ%nh lý nhúng vào Lp(Ω) 1.3.3 Đ%nh lý nhúng cna không gian Wl,p(Ω) 10 1.4 M®t so bat thúc 11 1.4.1 Bat thúc Young 11 1.4.2 Bat thúc Holder 11 1.4.3 Bat thúc Poincare 12 1.5 Đ%nh lý Fredholm đoi vói phương trình tuyen tính 12 1.5.1 Đ%nh nghĩa ánh xa compact 12 1.5.2 Đ%nh nghĩa ánh xa liên hop 12 1.5.3 Đ%nh lý Fredholm không gian Banach 12 1.5.4 Đ%nh lý Fredholm không gian Hilbert 13 2.2 Bat thúc ban thú nhat Sn ton tai nhat cna Bài nghi¾m tốn Dirichlet cho h¾ phương trình elliptic 14 suy r®ng .15 2.1 2.2.1 Nghiắm suy rđng cnac bi toỏn .14 Bat thúc ban thúDirichlet nhat 15 2.1.1 Sn H¾ton phương elliptic vànghi¾m toánsuy Dirichlet 14 2.2.2 tai trình nhat cna r®ng 25 2.1.2tớnh Nghiắm suy tớnh rđngcna nghiắm suy r®ng 28 15 2.3 Các chat đ%nh MUC LUC 2.3.1 Đánh giá max |u| .28 Ω 2.3.2 Đánh giá |u|α,Ω .35 2.3.3 Đánh giá |u|1,α,Ω ||u||W 2,2 (Ω) 40 Ω) 45 2.4 Đánh giá tiên nghi¾m khơng gian Holder J Cl,α( 2.5 Tính giai đưoc cna tốn Dirichlet khơng gian Cl,α( Ω) 47 Ket lu¾n 48 Tài li¾u tham khao 49 Me ĐAU Đoi vói m®t phương trình elliptic tuyen tính cap hai, ngưịi ta nghiên cúu tính giai đưoc cna tốn Dirichlet Đoi vói phương trình elliptic dang bao tồn, ngũi ta ó a oc nghiắm suy rđng khụng gian Sobolev W 1,2(Ω) chúng minh đưoc sn ton tai nghi¾m cna tốn Đoi vói phương trình elliptic dang khơng bao tồn, ngưịi ta đưa vào lóp nghi¾m cő đien khơng gian Holder C2,β(Ω) chúng minh đưoc sn ton tai tính trơn cna nghi¾m Muc tiêu cna Lu¾n văn trình bày sn mo r®ng ket qua ve tính giai đưoc cna tốn Dirichlet cho m®t phương trình elliptic tuyen tính cap hai sang trưịng hop h¾ phương trình elliptic tuyen tính cap hai Dưói sn hưóng dan cna PGS TS Hà Tien Ngoan, tác gia hoàn thành lu¾n văn vói đe tài "H¾ phương trình elliptic tuyen tính cap hai" Lu¾n văn đưoc chia làm hai chương: • Chương 1: M®t so kien thúc chuan b% • Chương 2: Bài tốn Dirichlet cho h¾ phương trình elliptic Chương trình bày m®t so kien thúc chuan b% không gian Sobolev, Holder, đ%nh lý Fredholm ve tính giai đưoc cna phương trình tuyen tính khơng gian Banach, Hilbert Chương - n®i dung cna Lu¾n văn, trình bày tốn Dirichlet cho h¾ phương trình elliptic tuyen tính cap hai Vói h¾ phương trình dang bao tồn, lu¾n văn trình bày khái ni¾m lúp nghiắm suy rđng khụng gian Sobolev W 1,2(), phát bieu chúng minh tính giai đưoc Fredholm cna tốn Dirichlet khơng gian Đoi vói lóp h¾ phương trình dang khơng bao tồn, Lu¾n văn trình bày chúng minh đánh giá tiên nghi¾m đoi vói nghi¾m cna tốn, phát bieu tính giai đưoc Fredholm cna tốn Dirichlet khơng gian Holder C2,β(Ω) M¾c dù có nhieu co gang, song thịi gian trình đ cũn han che nờn luắn Me AU khú tránh khoi nhung thieu sót Vì v¾y tác gia rat mong nh¾n đưoc sn góp ý cna thay ban đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n Qua lu¾n văn này, tác gia xin bày to lịng biet ơn sâu sac đen PGS.TS Hà Tien Ngoan, ngưòi Thay truyen cho tác gia có niem say mê nghiên cúu tốn HQc Thay t¾n tình hưóng dan, giúp đõ tác gia suot trình HQ c t¾p hồn thi¾n lu¾n văn Tác gia xin chân thành cam ơn Ban Giám hi¾u, Phịng Đào tao Sau đai HQc, Khoa Tốn-Cơ-Tin, thay tao đieu ki¾n thu¾n loi cho em hồn thành ban lu¾n văn Em xin chân thành cam ơn! Hà N®i, ngày 25 tháng 07 năm 2015 Tác gia Pham Lan Phương Chương M®t so kien thÉc chuan b% 1.1 1.1.1 Không gian Sobolev Không gian Lp(Ω), ≤ p < +∞ Đ%nh nghĩa 1.1 Lp(Ω) không gian Banach gom hàm đo đưoc u xác đ %nh Ω p - kha tích cho ∫ |u(x)| pdx < +∞ Ω Chuan cna Lp(Ω) đưoc đ%nh nghĩa boi  p ||u||Lp (Ω) = |u(x)|p dx , ∫ Ω |u(x)| tr% tuy¾t đoi ho¾c mô đun cna u(x) Khi p = +∞, L∞(Ω) khơng gian Banach hàm b% ch¾n Ω vói chuan ||u||∞ = sup |u(x)| = ess sup |u(x)| ≡ inf{M ; |u(x)| ≤ M ; hau khap nơi Ω} Ω Ω Khi p = 2, L2(Ω) không gian Hilbert vói tích vơ hưóng ∫ (u, v)L2(Ω) = u(x).v(x)dx, Ω ∫ (u, u) = ||u||2 = |u(x)|2 dx Ω Nh¾n xét 1.1 Neu f ∈ L2(Ω); g ∈ L2(Ω)  ∫ ∫  ∫ 1  ∫ fgdx ≤ Ω Ω |fg|dx ≤ Ω |f |2 dx  |g|2 dx Chương M®t so kien thúc chuan b (f, g hàm bình phương kha tích) Neu a ∈ L∞(Ω) f, g ∈ L2(Ω) |fg| dx .∫ afgdx ≤ ||a|| ∞ ∫ Ω 1.1.2 Ω Không gian Wl,p(Ω) (1 ≤ p < +∞; l ∈ N) Đ%nh nghĩa 1.2 Vói ∀l ∈ N; ≤ p < +∞, ta có Wl,p(Ω) = {u(x) ∈ Lp(Ω); Dαu(x) ∈ Lp(Ω), ∀α : |α| ≤ l}, α = (α1, α2, , αn); αj ∈ N; |α| = α1 + α2 + · · · + αn; Dαu = Dα1 Dα2 Dαn ; Dj = ∂ ∂xj n Khi đó, chuan cna u(x) ∈ Wl,p(Ω) đưoc đ%nh nghĩa boi  p ∫ |Σα| ||u||W l,p(Ω) = ≤l |Dα u|p dx Ω M®t chuan tương đương ||u||pWl,p(Ω) Σ = p Lp(Ω) α |α|≤l |D u| Nh¾n xét 1.2 Gia su Ω ⊂ Rn; l ∈ N ; ≤ p < +∞ Wl,p(Ω) m®t không gian Banach Khi l = 1, p = 1,2 W (Ω) = u ∈ L2(Ω); D u ∈ L2(Ω) Không gian W 1,2(Ω) đưoc trangΣb% tích vơ hưóng Σ (u, v) = ∂u (u, v) L2(Ω) + chuan tương úng ||u||W 1,2(Ω) =∫ Ω 1≤l≤ n ∂x ∂x l ; ∂v Σ L2(Ω) l Σ |∇u(x)| + u(x)2 dx , Chương M®t so kien thúc chuan b Khi W 1,2(Ω) khơng gian Hilbert Nh¾n xét 1.3 Neu l < m Wm,p(Ω) ⊂ Wl,p(Ω) 1.1.3 Không gian Wl,p (Ω) (1 ≤ p < +∞; l ∈ N) a) Không gian C0∞ (Ω) C0∞ (Ω) = {u(x) ∈ C ∞ (Ω), supp u ⊂ Ω} b) Không gian0 Wl,p(Ω) Đ%nh nghĩa 1.3 Không gian Wl,p(Ω) vói ≤ p < +∞ bao đóng cna C∞(Ω) 0 chuan cna không gian Wl,p(Ω) Kí hi¾u l,p W (Ω) = C∞(Ω) 0 Khi đó, Wl,p(Ω) = {u(x); u(x) ∈ Wl,p(Ω), Dαu|∂Ω = 0; |α| ≤ l − 1} 1,p i)Đoi vói hàm u(x) ∈ W (Ω), v(x) ∈ W 1,pj (Ω) ta có ∫ ∫ Nh¾n xét 1.4 uxivdx = − uvxidx, + p = Ω Ω pJ ii) Hai chuan tương đương W ||u||W p 1,p(Ω) (Ω) 1,p Σ α = |α|≤l ||u||W 1,p(Ω) = p Lp(Ω) , Σ ||D u|| ||Dαu||p L (Ω) |α|≤l Hai chuan tương đương, neu ton tai c1 , c2 ∈ R∗+ cho c1||u|| ≤ |||u||| ≤ c2||u|| iii)Hai chuan sau tương đương W0l,p(Ω) n Σ ||u|| = ||u||Lp(Ω) + ||Dju||Lp(Ω), j=1 n Σ |||u||| = j=1 Dju = Dxj u ||Dju||Lp(Ω), dx ≤ 2µ||∇u||L 2q Ω (Ω) Σ Σ ∂f Σn |u| vói ||u||L 2q (Ω) neu n ≤ 4, = max |u| neu n = 2, c hang so phu thu®c vo v q (2.84) Mắt khỏc, vúi u ∈ W 2,2(Ω), ta có ||∇u||L 2q (Ω) q−2 vói ε đn nho cε hang so phu thu®c vào ε Ω Tù (2.85), (2.86), (2.87) rút  Σn W (Ω) ≤ c ||u||L (Ω) + ∂f ∂ i L x i=1 ||u|| (2.89) + |u| ≤ ε||u||W2 2(Ω) + cε||u||L2(Ω),  L2(Ω) (Ω) + ||f||  , (2.90) vói c l hang so phu thuđc vo n, N, q, ,à (2.2) (2.72) S Bưác ∫ Đánh giá |∇u 4dx Ω | ta có Theo (2.86) ∂ (x) ∂x ul i aij Nhân hai ve cna phương trình vói ∂ (x) l u ∂x i aij Σ Σ = Fl(x) x j −u |∇u| l Σ Σ ta đưoc −ul |∇u|2 = F l (x) Σ −ul |∇u|2 x j Lay tőng hai ve vói l = 1, , n ta đưoc − ∂ ∂xi (x)u Σ xj u|∇u|2 = −F (x)u|∇u|2 (2.91) aij Lay tích phân hai ve (2.91) Ω ta đưoc −∫ Ω ∂ (x)u Σ ∂xi xj (u|∇u|2)dx = aij −∫ F (x)u|∇u|2dx (2.92) Tích phân tùng phan ve trái thúc (2.92), ta có (u Σ Σ aijux jux i|∇u| + ∫ j x k 2aijuux uxkx l) dx = F (x)u|∇u|2dx (2.93) −∫ Theo đieu ki¾n (2.2), tù (2.93) ta rút λ ∫ |∇u|4dx ≤ ∫ ε|∇u| + Σ Ω u ε c |u|2 + ε|∇u|4 + xkxl c ε |u|2 |F |2  dx, vói ε > Đ¾t ε =4 λ, 4ε ∫ |∇u|4 dx ≤ ∫ ε|∇u|4 + Σ u2 c + ε|∇u|4 + xk xl ε ⇔ 2ε ∫ |∇u|4 dx ≤ ∫  Σ |u|2 c c |u|2 |F |2  dx ε |u|2 + c |u|2 |F |2  dx u2 ε Ω xk xl ε k,l Ω Suy ∫ |∇u| dx ≤ Ω c ∫  xkxl k,l 2ε2  Ω Σ (max∫|u| ) c ≤ 2ε2 Vì max |u| = M ; Σ + |F |2  dx |u| Ω Ω Σ u xk xl k,l + |F |2  dx < c < ∞ nên u Ω k,l xkxl  ∫ Ω |∇u|4dx ≤ cM u||2 || ∂fi + Σ ∂xi 2L n i=  + ||f||  , (2.94) (Ω) Q vói c hang so phu thu®c vào n, N, λ, µ, q (2.2), (2.84) S 2.4 Đánh giá tiên nghi¾m khơng gian Holder Cl,α(Ω) Ta xét h¾ phương trình tuyen tính cap hai dang khơng bao tồn Lu ≡ aij (x)uxi xj + Bj uxj + B(x)u = f (x), o u, f hàm vecto N phan tu; aij (x) hàm vơ hưóng aij (x)uxi xj = aij (x).E.uxi xj ; (2.95) Bj(x), B(x) ma tr¾n vng cap N Ta gia thiet rang h¾ so aij(x) cna h¾ (2.95) thoa mãn đieu ki¾n elliptic (2.2) Σ λ n ε ≤a i ij(x)εiεj ≤ µ i,j=1 Σn ; λ,µ = const > 0, i,j=1 vói MQI x ∈ Ω; εi ∈ Rn Đoi vói h¾ (2.95) ta gia thiet thêm đieu ki¾n ∂aij km , i,b ≤ µ i , j a l−2,β, bkm Ω ∂xi (2.96) Tính giai đưoc cna tốn Dirichlet khơng gian Holder Cl,α(Ω) vói l ≥ cna h¾ (2.95), đưoc chúng minh tương tn phan m®t phương trình Ta đưa đánh giá tiên nghi¾m cho |u|l,β,Ω cna h¾ (2.95) Đ%nh lý 2.6 Gia su h¾ (2.95) thóa mãn đieu ki¾n elliptic (2.2) Khi đó, vái u ∈ C l,α (Ω¯ ), ≥ ta có đánh giá |u|l,β,Ω ≤ c(l) Σ|fi |l−1,β,Ω + |f |l−2,β,Ω + |u|l,β,S + max |u|Σ , l ≥ 2, Ω (2.97) đó, c(l) đưac xác đ%nh bái l λ (2.2) cỏc hắ so cua hắ (2.95), giỏ tr% cua bat thúc (2.96) xác đ%nh bái biên S không gian C l,β ChÚng minh Do đieu ki¾n (2.96), ta viet h¾ (2.95) dưói dang bao toàn ∂ (a uk ) = f k − B(x)uk − B (x)uk ∂+ (x)uk, a i xi ij ∂x ij xj ∂xi i hay ∂ ∂xi (a uk ) = f˜ , k = 1, , N, ij xj (2.98) k Vói moi uk ∈ Cl,α(Ω) cna phương trình (2.98) ta có |uk |l,β,Ω ≤ c(l) Σ|f˜k |l−2,β,Ω + max |uk | + |uk |l,β,S Σ Ω (2.99) Neu ta mo r®ng bieu thúc |f˜k |l−2,β,Ω bat thúc bang vi¾c áp dung tính chat cna chuan Cl,β Σ |v + w|l,β,Ω ≤ |v|l,β,Ω + |w|l,β,Ω, (2.100) |vw| ≤ |v| |w| , l,β,Ω l,β,Ω l,β,Ω ket hop vói gia thiet (2.96) ta thu đưoc |uk|l,β,Ω ≤ |u |l−1,β,Ω + |f|l−2,β,Ω i + Σ i= Σ ≤ cJ (l) N Σi=1 Nik lΣ , |u | β ,u | S Ω + max | (2.101) M¾t khác, vói u ∈ Cl,β ta có bat thúc (2.102) |u|l−1,β,Ω ≤ ε|u|l,β,Ω + c(ε, l) max |u|, Ω vói ε so dương bat kì c(ε, l) → ∞ ε → ∞, u ∈ Cl,β(Ω) The (2.102) vào (2.101) ta đưoc ΣΣ Σ N k J i i Ω |u |l,β,Ω ≤ c (l) i= ε|u |l−1,β,Ω + c(ε, l) max |u | + N Σ +|f|l−2,β,Ω + Σ i i= k | u| u| + max | Lay tőng ket qua vói k = 1, , N cHQN ε đn nho, ta thu đưoc |u|l,β,Ω ≤ cJ (l) Σ|f |l−2,β,Ω + |u|l,β,S + max |u|Σ Ω Q 2.5 Tính giai đưac cua tốn Dirichlet khơng gian Cl,α(Ω) Trong phan này, ta van gia su rang h¾ so cna h¾ (2.95) thoa mãn bat thúc (2.96) Đ%nh lý 2.7 Gia su biên S ∈ Cl,β, l ≥ 2, thóa mãn đieu ki¾n (2.2), (2.96) Khi ta có hai kha sau i) Ho¾c h¾ phương trình(2.95) vái f ≡ đieu ki¾n biên ϕ ≡ có nghi¾m khơng tam thưàng u ƒ= Ho¾c h¾ phương trình (2.95) vái f ≡ đieu ki¾n biên ϕ ≡ chs có nghi¾m nhat nghi¾m tam thưàng u ≡ Khi vái MQI ii) f ∈ Cl−2,β(Ω), ϕ ∈ Cl,β(S), ton tai nhat nghi¾m u(x) ∈ Cl,α(Ω) cua toán (2.1), (2.3) Đ%nh lý 2.8 Ton tai m®t so đem đưac giá tr% λ = λ1, λ2, m¾t phang phúc λ, cho toán aij uxi xj + Bi uxj + Bu = λu, u|S = có nghi¾m khác khơng Cl,β(Ω) T¾p hap giá tr% {λk} tao thành phő cua tốn (2.1), (2.3) Mői λk có b®i huu han |λk| → ∞ k → ∞ KET LU¾N Lu¾n văn trình bày van đe sau - Các khơng gian Sobolev, Holder, đ%nh lý nhúng, đ%nh lý Fredholm ve tính giai đưoc cna phương trình tuyen tính khơng gian Banach khụng gian Hilbert - Khỏi niắm nghiắm suy rđng oi vói h¾ phương trình elliptic cap hai dang bao tồn, tính giai đưoc Fredholm cna tốn Dirichlet tính chat đ %nh tính ve đ® trơn cna - Đoi vói lóp h¾ phương trình khơng bao tồn, trình bày lóp nghi¾m cő đien khơng gian Holder, đánh giá tiên nghi¾m, phát bieu chúng minh đ%nh lý ve tính giai đưoc Fredholm cna tốn Dirichlet không gian Holder 12 TÀI LIfiU THAM KHAO [1] O Ladyzhenskaya, N Ural’tseva, (1968), Linear and quasilinear elliptic equations, Univerrsity of Southern California [2] D.Gillarg, N Trudinger (2001), Elliptic partial differential equations of second order, Springer 12 ... tai tính trơn cna nghi¾m Muc tiêu cna Lu¾n văn trình bày sn mo r®ng ket qua ve tính giai đưoc cna tốn Dirichlet cho m®t phương trình elliptic tuyen tính cap hai sang trưịng hop h¾ phương trình elliptic. .. h¾ phương trình elliptic b) Bài tốn Dirichlet Bài tốn Dirichlet đoi vói h¾ phương trình (2.1) tốn tìm hàm vecto 21 Chương Bài tốn Dirichlet cho h¾ phương trình elliptic u(x) Ω cna h¾ phương trình. .. Hilbert Chng - nđi dung chớnh cna Luắn vn, trình bày tốn Dirichlet cho h¾ phương trình elliptic tuyen tính cap hai Vói h¾ phương trình dang bao tồn, lu¾n văn trình bày khái ni¾m lóp nghi¾m suy r®ng