Hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - PHẠM LAN PHƯƠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS HÀ TIẾN NGOẠN Hà Nội – Năm 2015 Mục lục Mở đầu Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Sobolev 1.1.1 Không gian Lp (Ω), ≤ p < +∞ 1.1.2 Không gian W l,p (Ω) (1 ≤ p < +∞; l ∈ N) 1.1.3 Không gian W0l,p (Ω) (1 ≤ p < +∞; l ∈ N) 1.2 Không gian Holder 1.2.1 Định nghĩa không gian C(Ω), C l (Ω) 1.2.2 Định nghĩa không gian C 0,α (Ω) 1.2.3 Định nghĩa không gian C l,α (Ω) 1.3 Các định lý nhúng 1.3.1 Định nghĩa phép nhúng 1.3.2 Định lý nhúng vào Lp (Ω) 1.3.3 Định lý nhúng không gian W l,p (Ω) 1.4 Một số bất đẳng thức 1.4.1 Bất đẳng thức Young 1.4.2 Bất đẳng thức Holder 1.4.3 Bất đẳng thức Poincare 1.5 Định lý Fredholm phương trình tuyến tính 1.5.1 Định nghĩa ánh xạ compact 1.5.2 Định nghĩa ánh xạ liên hợp 1.5.3 Định lý Fredholm không gian Banach 1.5.4 Định lý Fredholm không gian Hilbert Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic 2.1 Nghiệm suy rộng toán Dirichlet 2.1.1 Hệ phương trình elliptic toán Dirichlet 2.1.2 Nghiệm suy rộng 2.2 Bất đẳng thức thứ Sự tồn nghiệm suy rộng 2.2.1 Bất đẳng thức thứ 2.2.2 Sự tồn nghiệm suy rộng 2.3 Các tính chất định tính nghiệm suy rộng 5 8 9 9 10 11 11 11 12 12 12 12 12 13 14 14 14 15 15 15 25 28 MỤC LỤC 2.3.1 2.4 2.5 Đánh giá max |u| 28 Ω 2.3.2 Đánh giá |u|α,Ω 35 2.3.3 Đánh giá |u|1,α,Ω ||u||W 2,2 (Ω) 40 Đánh giá tiên nghiệm không gian Holder C l,α (Ω) 45 Tính giải toán Dirichlet không gian C l,α (Ω) 47 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 MỞ ĐẦU Đối với phương trình elliptic tuyến tính cấp hai, người ta nghiên cứu tính giải toán Dirichlet Đối với phương trình elliptic dạng bảo toàn, người ta đưa nghiệm suy rộng không gian Sobolev W 1,2 (Ω) chứng minh tồn nghiệm toán Đối với phương trình elliptic dạng không bảo toàn, người ta đưa vào lớp nghiệm cổ điển không gian Holder C 2,β (Ω) chứng minh tồn tính trơn nghiệm Mục tiêu Luận văn trình bày mở rộng kết tính giải toán Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai sang trường hợp hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Dưới hướng dẫn PGS TS Hà Tiến Ngoạn, tác giả hoàn thành luận văn với để tài "Hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai" Luận văn chia làm hai chương: • Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị • Chương 2: Bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị không gian Sobolev, Holder, định lý Fredholm tính giải phương trình tuyến tính không gian Banach, Hilbert Chương - nội dung Luận văn, trình bày toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic tuyến tính cấp hai Với hệ phương trình dạng bảo toàn, luận văn trình bày khái niệm lớp nghiệm suy rộng không gian Sobolev W 1,2 (Ω), phát biểu chứng minh tính giải Fredholm toán Dirichlet không gian Đối với lớp hệ phương trình dạng không bảo toàn, Luận văn trình bày chứng minh đánh giá tiên nghiệm nghiệm toán, phát biểu tính giải Fredholm toán Dirichlet không gian Holder C 2,β (Ω) Mặc dù có nhiều cố gắng, song thời gian trình độ hạn chế nên luận MỞ ĐẦU văn khó tránh khỏi thiếu sót Vì tác giả mong nhận góp ý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Qua luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Hà Tiến Ngoạn, người Thầy truyền cho tác giả có niềm say mê nghiên cứu toán học Thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập hoàn thiện luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo Sau đại học, Khoa Toán-Cơ-Tin, thầy cô tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành luận văn Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 25 tháng 07 năm 2015 Tác giả Phạm Lan Phương Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Không gian Sobolev Không gian Lp (Ω), ≤ p < +∞ Định nghĩa 1.1 Lp (Ω) không gian Banach gồm hàm đo u xác định Ω p - khả tích cho |u(x)|p dx < +∞ Ω Chuẩn Lp (Ω) định nghĩa   p1 |u(x)|p dx , ||u||Lp (Ω) =  Ω |u(x)| trị tuyệt đối mô đun u(x) Khi p = +∞, L∞ (Ω) không gian Banach hàm bị chặn Ω với chuẩn ||u||∞ = sup |u(x)| = ess sup |u(x)| ≡ inf{M ; |u(x)| ≤ M ; hầu khắp nơi Ω} Ω Ω Khi p = 2, L2 (Ω) không gian Hilbert với tích vô hướng (u, v)L2 (Ω) = u(x).v(x)dx, Ω |u(x)|2 dx (u, u) = ||u||2 = Ω Nhận xét 1.1 Nếu f ∈ L2 (Ω); g ∈ L2 (Ω)  f gdx ≤ Ω  12 |f |2 dx  |f g|dx ≤  Ω  21  Ω |g|2 dx Ω Chương Một số kiến thức chuẩn bị (f, g hàm bình phương khả tích) Nếu a ∈ L∞ (Ω) f, g ∈ L2 (Ω) af gdx ≤ ||a||∞ Ω Ω 1.1.2 |f g| dx Không gian W l,p (Ω) (1 ≤ p < +∞; l ∈ N) Định nghĩa 1.2 Với ∀l ∈ N; ≤ p < +∞, ta có W l,p (Ω) = {u(x) ∈ Lp (Ω); Dα u(x) ∈ Lp (Ω), ∀α : |α| ≤ l}, α = (α1 , α2 , , αn ); αj ∈ N; |α| = α1 + α2 + · · · + αn ; Dα u = D1α1 D2α2 Dnαn ; Dj = Khi đó, chuẩn u(x) ∈ ∂ ∂xj W l,p (Ω) định nghĩa  p1  |Dα u|p dx ||u||W l,p (Ω) =  Ω |α|≤l Một chuẩn tương đương ||u||pW l,p (Ω) = |Dα u|pLp (Ω) |α|≤l Nhận xét 1.2 Giả sử Ω ⊂ Rn ; l ∈ N ; ≤ p < +∞ W l,p (Ω) không gian Banach Khi l = 1, p = W 1,2 (Ω) = u ∈ L2 (Ω); D1 u ∈ L2 (Ω) Không gian W 1,2 (Ω) trang bị tích vô hướng (u, v) = (u, v)L2 (Ω) + 1≤l≤n ∂u ∂v ; ∂xl ∂xl , L2 (Ω) chuẩn tương ứng ||u||2W 1,2 (Ω) = |∇u(x)|2 + u(x)2 dx Ω Khi W 1,2 (Ω) không gian Hilbert Nhận xét 1.3 Nếu l < m W m,p (Ω) ⊂ W l,p (Ω) Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1.3 Không gian W0l,p (Ω) (1 ≤ p < +∞; l ∈ N) a) Không gian C0∞ (Ω) C0∞ (Ω) = {u(x) ∈ C ∞ (Ω), supp u ⊂ Ω} b) Không gian W0l,p (Ω) Định nghĩa 1.3 Không gian W0l,p (Ω) với ≤ p < +∞ bao đóng C0∞ (Ω) chuẩn không gian W l,p (Ω) Kí hiệu W0l,p (Ω) = C0∞ (Ω) Khi đó, W0l,p (Ω) = {u(x); u(x) ∈ W l,p (Ω), Dα u|∂Ω = 0; |α| ≤ l − 1} Nhận xét 1.4 i) Đối với hàm u(x) ∈ W01,p (Ω), v(x) ∈ W 1,p (Ω) ta có uxi vdx = − uvxi dx, Ω Ω p + p = ii) Hai chuẩn tương đương W 1,p (Ω) ||u||pW 1,p (Ω) = ||Dα u||pLp (Ω) , |α|≤l ||Dα u||Lp (Ω) ||u||W 1,p (Ω) = |α|≤l Hai chuẩn tương đương, tồn c1 , c2 ∈ R∗+ cho c1 ||u|| ≤ |||u||| ≤ c2 ||u|| iii) Hai chuẩn sau tương đương W0l,p (Ω) n ||u|| = ||u||Lp (Ω) + ||Dj u||Lp (Ω) , j=1 n |||u||| = ||Dj u||Lp (Ω) , j=1 Dj u = Dxj u Chương Một số kiến thức chuẩn bị iv) Khi l = 1, p = Chuẩn W01,2 (Ω) xác định n ||u||2W 1,2 (Ω) = ||u||2L2 (Ω) ||uxj ||2L2 (Ω) + j=1 Chuẩn tương đương n |||u|||2W 1,2 (Ω) = ||u||2W 1,2 (Ω) aij (x)uxi uxj dx, = Ω i,j=1 n aij = aji , c1 |ξ|2 ≤ aij (x)ξi ξj ≤ c2 |ξ|2 , ∀ξ ∈ Rn i,j=1 1.2 Không gian Holder Cho Ω tập mở Rn Ta định nghĩa số không gian 1.2.1 Định nghĩa không gian C(Ω), C l (Ω) Định nghĩa 1.4 C(Ω) = {u(x); u(x) liên tục Ω}, C l (Ω) = {u(x) ∈ C(Ω) : Dα u ∈ C(Ω); ∀|α| ≤ l}, với l ∈ N Trong không gian C l (Ω) xác định chuẩn Dα u |u|l,Ω = sup Ω 1.2.2 |α|≤l Định nghĩa không gian C 0,α (Ω) Định nghĩa 1.5 C 0,α (Ω) không gian Banach hàm u(x) liên tục Ω với |u|(α),Ω xác định C 0,α (Ω) = {u(x) ∈ C (Ω); |u|(α),Ω = sup x,y∈Ω x=y |u(x) − u(y)| < +∞}, |x − y|α với < α ≤ Chuẩn C 0,α (Ω) định nghĩa |u|α,Ω = max |u| + |u|(α),Ω Ω Chú ý 1.1 Hàm u(x) ∈ C 0,α (Ω) u(x) ∈ C 0,α (Ω ) với ∀Ω ⊂ Ω Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.2.3 Định nghĩa không gian C l,α (Ω) Định nghĩa 1.6 C l,α (Ω) = {u(x) ∈ C l,α (Ω); Dα u ∈ C 0,α ; ∀|α| = l} Chuẩn C l,α (Ω) |D(l) u|(α),Ω |u|l,α,Ω = |u|l,Ω + (l) 1.3 1.3.1 Các định lý nhúng Định nghĩa phép nhúng Định nghĩa 1.7 (Phép nhúng) Cho B1 , B2 hai không gian Banach Ta nói B1 nhúng vào B2 kí hiệu B1 → B2 , với u ∈ B1 u ∈ B2 Định nghĩa 1.8 (Phép nhúng liên tục) Một không gian Banach B1 gọi nhúng liên tục không gian Banach B2 , ký hiệu B1 → B2 , B1 nhúng vào B2 ||u||B2 ≤ c||u||B1 , với c số không phụ thuộc vào u ∈ B1 Định nghĩa 1.9 (Phép nhúng hoàn toàn liên tục) Một không gian Banach B1 gọi nhúng hoàn toàn liên tục không gian Banach B2 , tập bị chặn B1 tập tiền compact B2 1.3.2 Định lý nhúng vào Lp (Ω) Định lý 1.1 Giả sử Ω miền bị chặn ≤ p < q < +∞ Khi đó, Lq (Ω) ⊂ Lp (Ω) ánh xạ nhúng j : Lq (Ω) → Lp (Ω) liên tục Chứng minh Giả sử u ∈ Lq (Ω) Ta cần chứng minh u ∈ Lp (Ω) hay |u|p dx < +∞ Ω Ta có ||u||pLp (Ω) = |u|p dx = Ω 1.|u|p dx Ω TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] O Ladyzhenskaya, N Ural’tseva, (1968), Linear and quasilinear elliptic equations, Univerrsity of Southern California [2] D.Gillarg, N Trudinger (2001), Elliptic partial differential equations of second order, Springer 49 [...]...TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] O Ladyzhenskaya, N Ural’tseva, (1968), Linear and quasilinear elliptic equations, Univerrsity of Southern California [2] D.Gillarg, N Trudinger (2001), Elliptic partial differential equations of second order, Springer 49