Hệ phương trình đi ô phăng tuyến tính

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - VŨ TUẤN ANH HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐI-Ô-PHĂNG TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội − 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - VŨ TUẤN ANH HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐI-Ô-PHĂNG TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS TRẦN VŨ THIỆU Hà Nội − 2014 Mục lục Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Dạng chuẩn Hecmit 1.2 Ma trận đơn môđula 10 Phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính 14 2.1 Ước chung lớn 14 2.2 Thuật toán Ơ-clít mở rộng 17 2.3 Phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính 23 2.4 Một số ứng dụng phương trình Đi-ô-phăng 29 Hệ phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính 32 3.1 Hệ phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính 32 3.2 Điều kiện tồn nghiệm nguyên 34 3.3 Thuật toán Hecmit 36 3.4 Nghiệm nguyên dương hệ phương trình Đi-ô-phăng 38 3.5 Quy hoạch tuyến tính Đi-ô-phăng 41 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 Mở đầu Phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính (Linear Diophantine Equations) mang tên nhà toán học cổ Hy Lạp Đi-ô-phăng xứ Alexandria vào khoảng Thế kỷ thứ sau Công nguyên Đi-ô-phăng viết chuyên luận có tên “Arithmetica”, sách sớm biết lý thuyết số đại số Phương trình Đi-ô-phăng phương trình đại số đòi hỏi tìm nghiệm hữu tỉ nguyên Phương trình đại số phương trình bao gồm biểu thức đa thức nhiều biến Tính “Đi-ô-phăng” phương trình chỗ hệ số đa thức phải số hữu tỉ (hoặc số nguyên) nghiệm số hữu tỉ (hoặc số nguyên) Hai phương trình quen biết từ lý thuyết số sơ khai, có từ trước thời Đi-ô-phăng ví dụ phương trình Đi-ô-phăng Cả hai loại phương trình người Babylon biết đến Đó Phương trình bậc (tuyến tính), hai biến ax + by = c Phương trình bậc hai (phi tuyến), ba biến x2 + y = z Luận văn có mục đích tìm hiểu trình bày thuật toán Ơ-clít tìm nghiệm nguyên phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính n biến có dạng a1 x1 + a2 x2 + + an xn = b, a1 , a2 , , an , b số hữu tỉ thuật toán Hecmit tìm tất nghiệm nguyên hệ phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính Ax = b với ma trận A véctơ b hữu tỉ Luận văn chia thành ba chương Chương "Kiến thức chuẩn bị" nhắc lại khái niệm đại số dạng chuẩn Hecmit ma trận đơn môđula, liên quan tới việc giải hệ phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính Đáng ý ma trận với phần tử hữu tỉ có hạng số hàng ma trận đưa dạng chuẩn Hecmit nhờ phép biến đổi cột ma trận, dạng chuẩn Dạng chuẩn Hecmit lại có quan hệ với ma trận đơn môđula (ma trận nguyên, không suy biến có định thức +1 hay −1) Với ma trận hữu tỉ A có hạng số hàng tồn ma trận đơn môđula U cho AU dạng chuẩn Hecmit A Nêu cách đưa ma trận dạng chuẩn Hecmit, cách tìm ma trận đơn môđula tương ứng đưa ví dụ số minh họa cách làm Chương "Phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính" đề cập tới phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính hai hay nhiều biến số Chương trình bày nhiều định nghĩa định lý cần thiết cho việc tìm tất nghiệm nguyên phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính Đó khái niệm ước chung lớn nhất, thuật toán Ơ-clít, thuật toán Ơ-clít mở rộng Đưa ví dụ số tính toán chi tiết giúp hiểu rõ định nghĩa định lý Cuối chương đề cập đến số ví dụ ứng dụng thực tế phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính Chương "Hệ phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính" đề cập tới hệ phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính điều kiện cần đủ để hệ có nghiệm nguyên, dựa kết lý thuyết dạng chuẩn Hecmit ma trận đơn môđula nêu Chương Sau đó, trình bày thuật toán Hecmit tìm tất nghiệm nguyên hệ phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính Cuối chương đề cập tới nghiệm nguyên dương hệ phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính toán qui hoạch tuyến tính Đi-ô-phăng Các thuật toán tìm nghiệm nguyên hay nguyên dương có kèm theo ví dụ số để minh họa Mặc dù có nhiều cố gắng, thời gian kiến thức hạn chế nên luận văn có thiếu sót định Vì vậy, tác giả mong muốn tiếp thu chân thành cám ơn ý kiến đóng góp thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Nhân dịp này, tác giả luận văn xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới GS.TS Trần Vũ Thiệu hướng dẫn tận tình tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy phản biện dành thời gian đọc đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho tác giả Tác giả xin trân trọng cảm ơn ban lãnh đạo khoa Toán – Cơ – Tin học, khoa Sau đại học thầy cô giáo trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội trang bị kiến thức, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt năm tháng tác giả học tập trường Cuối cùng, tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp quan tâm, động viên chia sẻ để tác giả hoàn thành luận văn Hà Nội, ngày 20 tháng 11 năm 2014 Tác giả luận văn Vũ Tuấn Anh Chương Kiến thức chuẩn bị Chương nhắc lại khái niệm dạng chuẩn Hecmit ma trận đơn môđula có liên quan tới việc giải hệ phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính Mục 1.1 nói dạng chuẩn Hecmit: ma trận với phần tử hữu tỉ có hạng số hàng ma trận đưa dạng chuẩn Hecmit, dạng chuẩn Mục 1.2 nói tới ma trận đơn môđula: với ma trận hữu tỉ A có hạng số hàng tồn ma trận đơn môđula U cho AU dạng chuẩn Hecmit A Nội dung chương tham khảo từ tài liệu [3] [4] 1.1 Dạng chuẩn Hecmit Định nghĩa 1.1 Một ma trận cấp m × n có hạng số hàng ma trận gọi dạng chuẩn Hecmit (Hecmit normal form) nếu: • Ma trận có dạng [BO], B ma trận cấp m × m có nghịch đảo; • B có dạng tam giác dưới; • Các phần tử đường chéo B dương; • Mọi phần tử khác B không âm; Chương Kiến thức chuẩn bị • Phần tử lớn hàng B nằm đường chéo B , O ma trận không cấp m × (n − m) Sau ví dụ ma trận dạng chuẩn Hecmit: 0 0 0 0 Định nghĩa 1.2 Các phép toán sau ma trận gọi phép toán cột sơ cấp (elementary column operations): a) Đổi chỗ hai cột; b) Nhân cột với −1 (tức đổi dấu cột); c) Thêm bội nguyên cột vào cột khác Định lý 1.1 (Dạng chuẩn Hecmit, [4] Định lý 4.1, tr 45) Mọi ma trận với phần tử hữu tỉ có hạng số hàng ma trận đưa dạng chuẩn Hecmit cách thực phép toán cột sơ cấp Chứng minh Giả sử A ma trận hữu tỉ với hạng số hàng Không giảm tổng quát, xem A ma trận với phần tử nguyên Giả sử ta biến đổi A (bằng cách thực phép toán cột sơ cấp) dạng B O C D , B có dạng tam giác phần tử đường chéo số dương Bây dùng phép toán cột sơ cấp, ta biến đổi D hàng đầu D[d11 d12 d1k ] không âm cho tổng d11 + d12 + + d1k nhỏ Ta giả thiết d11 ≥ d12 ≥ ≥ d1k Khi d11 > (do A có hạng số hàng) Hơn nữa, d12 > cách lấy cột thứ D trừ cột thứ hai D, hàng thứ có tổng nhỏ hơn, trái với giả thiết vừa nêu Do d12 = = d1k = ta nhận ma trận tam giác lớn Chương Kiến thức chuẩn bị Bằng cách lặp lại thao tác này, cuối ma trận A biến đổi thành [BO] với B = (bij ) ma trận tam giác với đường chéo dương Tiếp theo, ta biến đổi ma trận B sau Với hàng i = 2, , m (m × m cấp B ), thực động tác sau với cột j = 1, , i − 1: thêm bội nguyên cột i vào cột j cho phần tử (i, j) không âm nhỏ bii Như vậy, thao tác áp dụng theo thứ tự: (i, j) = (2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3), Có thể thấy sau số phép biến đổi cột sơ cấp này, ma trận A đưa dạng chuẩn Hecmit Ví dụ 1.1 Đưa ma trận sau dạng chuẩn Hecmit A = −5 Ta có B = ∅, D = A Ta biến đổi D sau: cột trừ hai lần cột 1, cột trừ hai lần cột đổi chỗ hai cột ta nhận ma trận 0 1 0 A → −5 16 → −9 16 → −9 16 Tiếp đó, nhân cột với −1, cột trừ cột 2, cột trừ cột cột trừ ba lần cột 2, ta nhận ma trận 0 0 0 0 → 16 → → 2 → 2 Tiếp theo, cột trừ hai lần cột đổi chỗ hai cột 2, ta ma trận 0 0 → → ⇒ B = , (C = D = ∅) Cuối cùng, ta biến đổi B sau: với i = 2, lấy cột j = i − = trừ hai lần cột i = 2, ta ma trận B không âm, dạng tam giác dưới, không suy biến hàng B có phần tử lớn nằm Chương Kiến thức chuẩn bị đường chéo Từ nhận dạng chuẩn Hecmit [BO] ma trận A ban đầu: B= [BO] = 0 Trước nêu hệ Định lý 1.1, ta nhắc lại khái niệm nhóm (group) dàn (lattice) Định nghĩa 1.3 Tập hợp G ⊂ Rn gọi nhóm (cộng tính) có (i) θ ∈ G (nhóm chứa phần tử không); (ii) Nếu x, y ∈ G x + y ∈ G −x ∈ G (tổng phần tử thuộc nhóm phần tử đối phần tử thuộc nhóm phải phần tử thuộc nhóm) Ta nói nhóm sinh véctơ a1 , a2 , , am ∈ Rn G = {λ1 a1 + + λm am |λ1 , , λm ∈ Z} Định nghĩa 1.4 Nhóm G gọi dàn G sinh véctơ độc lập tuyến tính Khi đó, tập hợp véctơ gọi sở (basic) dàn Nhận xét 1.1 Nếu ma trận B nhận từ ma trận A phép toán cột sơ cấp cột B cột A sinh nhóm Sau hệ đáng ý Định lý 1.1 Hệ 1.1 Nếu a1 , a2 , , am véctơ hữu tỉ nhóm sinh a1 , a2 , , am dàn, nghĩa nhóm sinh véctơ độc lập tuyến tính Chứng minh Ta giả thiết a1 , a2 , , am sinh toàn không gian Rn , trái lại ta áp dụng phép biến đổi tuyến tính không gian có số chiều thấp Giả sử A ma trận với cột a1 , a2 , , am , dó A có hạng số hàng A Giả sử [BO] dạng Chương Hệ phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính hay x1 = 10 − 3y3 , x2 = 28 − 9y3 , x3 = 25 − 8y3 với y3 tham số nguyên tùy ý Để đảm bảo cho x1 , x2 , x3 ≥ cần phải có 10 − 3y3 ≥ 0, 28 − 9y3 ≥ 0, 25 − 8y3 ≥ 0, nghĩa y3 ≤ Do cT x = −(10 − 3y3 ) − 2(28 − 9y3 ) + 3(25 − 8y3 ) = − 3y3 nên toán qui hoạch tuyến tính nguyên Đi-ô-phăng (3.5) cho ví dụ có dạng: min{9 − 3y3 |y3 ≤ 3, y3 ∈ Z} Nghiệm tối ưu toán y3∗ = Do đó, nghiệm tối ưu toán cần giải x∗1 = x∗2 = x∗3 = 43 [...]...Chương 3 Hệ phương trình Đi -ô- phăng tuyến tính hay x1 = 10 − 3y3 , x2 = 28 − 9y3 , x3 = 25 − 8y3 với y3 là tham số nguyên tùy ý Để đảm bảo cho x1 , x2 , x3 ≥ 0 cần phải có 10 − 3y3 ≥ 0, 28 − 9y3 ≥ 0, 25 − 8y3 ≥ 0, nghĩa là y3 ≤ 3 Do đó cT x = −(10 − 3y3 ) − 2(28 − 9y3 ) + 3(25 − 8y3 ) = 9 − 3y3 nên bài toán qui hoạch tuyến tính nguyên Đi -ô- phăng (3.5) cho ví dụ này có dạng: