Hệ phương trình đi ô phăng tuyến tính

Mục lục Mở đầu 2 1 Kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Dạng chuẩn Hecmit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Ma trận đơn môđula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 Phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính 14 2.1 Ước chung lớn nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Thuật toán Ơ-clít mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.3 Phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính . . . . . . . . . . . . . 23 2.4 Một số ứng dụng của phương trình Đi-ô-phăng . . . . . . . 29 3 Hệ phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính 32 3.1 Hệ phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính . . . . . . . . . . . 32 3.2 Điều kiện tồn tại nghiệm nguyên . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.3 Thuật toán Hecmit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.4 Nghiệm nguyên dương của hệ phương trình Đi-ô-phăng . . . 38 3.5 Quy hoạch tuyến tính Đi-ô-phăng . . . . . . . . . . . . . . 41 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 1 Mở đầu Phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính (Linear Diophantine Equations) mang tên nhà toán học cổ Hy Lạp Đi-ô-phăng ở xứ Alexandria vào khoảng Thế kỷ thứ 3 sau Công nguyên. Đi-ô-phăng đã viết một chuyên luận có tên “Arithmetica”, đó là cuốn sách sớm nhất được biết về lý thuyết số và đại số. Phương trình Đi-ô-phăng là phương trình đại số đòi hỏi tìm nghiệm hữu tỉ hoặc nguyên. Phương trình đại số là phương trình chỉ bao gồm các biểu thức đa thức của một hoặc nhiều biến. Tính “Đi-ô-phăng” của phương trình là ở chỗ các hệ số của đa thức phải là các số hữu tỉ (hoặc số nguyên) và nghiệm cũng chỉ có thể là số hữu tỉ (hoặc số nguyên). Hai phương trình quen biết từ lý thuyết số sơ khai, có từ trước thời Đi-ô-phăng là những ví dụ về phương trình Đi-ô-phăng. Cả hai loại phương trình này đều đã được người Babylon biết đến. Đó là 1. Phương trình bậc nhất (tuyến tính), hai biến ax + by = c. 2. Phương trình bậc hai (phi tuyến), ba biến x 2 + y 2 = z 2 . Luận văn này có mục đích tìm hiểu và trình bày thuật toán Ơ-clít tìm các nghiệm nguyên của phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính n biến có dạng a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a n x n = b, 2 trong đó a 1 , a 2 , , a n , b là các số hữu tỉ và thuật toán Hecmit tìm tất cả các nghiệm nguyên của hệ phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính Ax = b với ma trận A và véctơ b hữu tỉ. Luận văn được chia thành ba chương. Chương 1 "Kiến thức chuẩn bị" nhắc lại các khái niệm của đại số về dạng chuẩn Hecmit và ma trận đơn môđula, liên quan tới việc giải hệ phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính. Đáng chú ý là mọi ma trận với các phần tử hữu tỉ và có hạng bằng số hàng của ma trận đều đưa được về dạng chuẩn Hecmit nhờ các phép biến đổi cột trên ma trận, dạng chuẩn này là duy nhất. Dạng chuẩn Hecmit lại có quan hệ với các ma trận đơn môđula (ma trận nguyên, không suy biến và có định thức bằng +1 hay −1). Với ma trận hữu tỉ A có hạng bằng số hàng luôn tồn tại ma trận đơn môđula U sao cho AU là dạng chuẩn Hecmit của A. Nêu cách đưa một ma trận về dạng chuẩn Hecmit, cách tìm ma trận đơn môđula tương ứng và đưa ra các ví dụ số minh họa cách làm. Chương 2 "Phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính" đề cập tới phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính của hai hay nhiều biến số. Chương này trình bày nhiều định nghĩa và định lý cần thiết cho việc tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính. Đó là khái niệm ước chung lớn nhất, thuật toán Ơ-clít, thuật toán Ơ-clít mở rộng. Đưa ra các ví dụ số và các tính toán chi tiết giúp hiểu rõ hơn các định nghĩa và định lý. Cuối chương đề cập đến một số ví dụ ứng dụng thực tế của phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính. Chương 3 "Hệ phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính" đề cập tới hệ phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính và các điều kiện cần và đủ để hệ có nghiệm nguyên, dựa trên các kết quả lý thuyết về dạng chuẩn Hecmit và ma trận đơn môđula đã nêu ở Chương 1. Sau đó, trình bày thuật toán Hecmit tìm tất cả các nghiệm nguyên của hệ phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính. Cuối chương đề cập tới nghiệm nguyên dương của hệ phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính và bài toán qui hoạch tuyến tính Đi-ô-phăng. Các thuật toán tìm nghiệm nguyên hay nguyên dương đều có kèm theo 3 các ví dụ số để minh họa. Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên có thể luận văn này còn có những thiếu sót nhất định. Vì vậy, tác giả mong muốn được tiếp thu và chân thành cám ơn những ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn. Nhân dịp này, tác giả luận văn xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới GS.TS. Trần Vũ Thiệu đã hướng dẫn tận tình tác giả hoàn thành luận văn này. Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến các thầy phản biện đã dành thời gian đọc và đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho tác giả. Tác giả cũng xin trân trọng cảm ơn ban lãnh đạo khoa Toán – Cơ – Tin học, khoa Sau đại học và các thầy cô giáo trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã trang bị kiến thức, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt những năm tháng tác giả học tập tại trường. Cuối cùng, tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã quan tâm, động viên và chia sẻ để tác giả hoàn thành luận văn của mình. Hà Nội, ngày 20 tháng 11 năm 2014 Tác giả luận văn Vũ Tuấn Anh 4 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương này nhắc lại khái niệm về dạng chuẩn Hecmit và ma trận đơn môđula có liên quan tới việc giải hệ phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính. Mục 1.1 nói về dạng chuẩn Hecmit: mọi ma trận với các phần tử hữu tỉ và có hạng bằng số hàng của ma trận đều đưa được về dạng chuẩn Hecmit, dạng chuẩn này là duy nhất. Mục 1.2 nói tới ma trận đơn môđula: với ma trận hữu tỉ A có hạng bằng số hàng luôn tồn tại ma trận đơn môđula U sao cho AU là dạng chuẩn Hecmit của A. Nội dung của chương được tham khảo từ các tài liệu [3] và [4]. 1.1 Dạng chuẩn Hecmit Định nghĩa 1.1. Một ma trận cấp m × n có hạng bằng số hàng của ma trận được gọi là ở dạng chuẩn Hecmit (Hecmit normal form) nếu: • Ma trận có dạng [BO], trong đó B là ma trận cấp m × m có nghịch đảo; • B có dạng tam giác dưới; • Các phần tử đường chéo của B dương; • Mọi phần tử khác của B không âm; 5 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị • Phần tử lớn nhất ở mỗi hàng của B là duy nhất và nằm trên đường chéo chính của B, còn O là ma trận không cấp m × (n − m). Sau đây là một ví dụ về ma trận ở dạng chuẩn Hecmit:  2 0 0 0 0 3 4 0 0 0 1 0 3 0 0  . Định nghĩa 1.2. Các phép toán sau về ma trận được gọi là phép toán cột sơ cấp (elementary column operations): a) Đổi chỗ hai cột; b) Nhân một cột với −1 (tức đổi dấu một cột); c) Thêm một bội nguyên của một cột vào một cột khác. Định lý 1.1. (Dạng chuẩn Hecmit, [4] Định lý 4.1, tr. 45). Mọi ma trận với các phần tử hữu tỉ có hạng bằng số hàng của ma trận có thể đưa về dạng chuẩn Hecmit bằng cách thực hiện các phép toán cột sơ cấp. Chứng minh. Giả sử A là một ma trận hữu tỉ với hạng bằng số hàng. Không giảm tổng quát, có thể xem A là ma trận với các phần tử nguyên. Giả sử ta đã biến đổi A (bằng cách thực hiện các phép toán cột sơ cấp) về dạng  B O C D  , trong đó B có dạng tam giác dưới và mọi phần tử ở trên đường chéo là số dương. Bây giờ dùng các phép toán cột sơ cấp, ta có thể biến đổi D để cho hàng đầu của D[d 11 d 12 d 1k ] không âm và sao cho tổng d 11 + d 12 + + d 1k nhỏ nhất có thể. Ta giả thiết d 11 ≥ d 12 ≥ ≥ d 1k . Khi đó d 11 > 0 (do A có hạng bằng số hàng). Hơn nữa, nếu d 12 > 0 thì bằng cách lấy cột thứ nhất của D trừ cột thứ hai của D, hàng thứ nhất sẽ có tổng nhỏ hơn, trái với giả thiết vừa nêu. Do đó d 12 = = d 1k = 0 và ta nhận được ma trận tam giác dưới lớn hơn. 6 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Bằng cách lặp lại thao tác này, cuối cùng ma trận A sẽ được biến đổi thành [BO] với B = (b ij ) là ma trận tam giác dưới với đường chéo dương. Tiếp theo, ta biến đổi ma trận B như sau. Với mỗi hàng i = 2, , m (m × m là cấp của B), thực hiện động tác sau với mỗi cột j = 1, , i − 1: thêm một bội nguyên của cột i vào cột j sao cho phần tử (i, j) không âm và nhỏ hơn b ii . Như vậy, thao tác trên đây được áp dụng theo thứ tự: (i, j) = (2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3), Có thể thấy rằng sau một số phép biến đổi cột sơ cấp này, ma trận A sẽ đưa được về dạng chuẩn Hecmit. Ví dụ 1.1. Đưa ma trận sau về dạng chuẩn Hecmit A =  2 1 4 −5 2 6  . Ta có B = ∅, D = A. Ta biến đổi D như sau: cột 3 trừ hai lần cột 1, cột 1 trừ hai lần cột 2 và đổi chỗ hai cột 1 và 2 ta lần lượt nhận được các ma trận A →  2 1 0 −5 2 16  →  0 1 0 −9 2 16  →  1 0 0 2 −9 16  . Tiếp đó, nhân cột 2 với −1, cột 3 trừ cột 2, cột 2 trừ cột 3 và cột 3 trừ ba lần cột 2, ta nhận được các ma trận →  1 0 0 2 9 16  →  1 0 0 2 9 7  →  1 0 0 2 2 7  →  1 0 0 2 2 1  . Tiếp theo, cột 2 trừ hai lần cột 3 và đổi chỗ hai cột 2, 3 ta được ma trận →  1 0 0 2 0 1  →  1 0 0 2 1 0  ⇒ B =  1 0 2 1  , (C = D = ∅). Cuối cùng, ta biến đổi B như sau: với i = 2, lấy cột j = i − 1 = 1 trừ hai lần cột i = 2, ta được ma trận B không âm, dạng tam giác dưới, không suy biến và mỗi hàng của B có duy nhất một phần tử lớn nhất nằm trên 7 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị đường chéo chính. Từ đó nhận được dạng chuẩn Hecmit duy nhất [BO] của ma trận A ban đầu: B =  1 0 0 1  và [BO] =  1 0 0 0 1 0  . Trước khi nêu hệ quả của Định lý 1.1, ta hãy nhắc lại các khái niệm nhóm (group) và dàn (lattice). Định nghĩa 1.3. Tập hợp G ⊂ R n gọi là một nhóm (cộng tính) nếu có (i) θ ∈ G (nhóm chứa phần tử không); (ii) Nếu x, y ∈ G thì x + y ∈ G và −x ∈ G (tổng các phần tử thuộc nhóm và phần tử đối của một phần tử thuộc nhóm phải là một phần tử thuộc nhóm). Ta nói nhóm sinh bởi các véctơ a 1 , a 2 , , a m ∈ R n nếu G = {λ 1 a 1 + + λ m a m |λ 1 , , λ m ∈ Z}. Định nghĩa 1.4. Nhóm G được gọi là một dàn nếu G sinh bởi các véctơ độc lập tuyến tính. Khi đó, tập hợp các véctơ này được gọi là một cơ sở (basic) của dàn. Nhận xét 1.1. Nếu ma trận B nhận được từ ma trận A bằng các phép toán cột sơ cấp thì các cột của B và các cột của A sinh ra cùng một nhóm. Sau đây là một hệ quả đáng chú ý của Định lý 1.1. Hệ quả 1.1. Nếu a 1 , a 2 , , a m là các véctơ hữu tỉ thì nhóm sinh bởi a 1 , a 2 , , a m là một dàn, nghĩa là nhóm đó sinh bởi các véctơ độc lập tuyến tính. Chứng minh. Ta có thể giả thiết rằng a 1 , a 2 , , a m sinh ra toàn bộ không gian R n , vì nếu trái lại ta có thể áp dụng phép biến đổi tuyến tính đối với không gian có số chiều thấp hơn. Giả sử A là ma trận với các cột a 1 , a 2 , , a m , do dó A có hạng bằng số hàng của A. Giả sử [BO] là dạng 8 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị chuẩn Hecmit của A. Khi đó, các cột của B là các véctơ độc lập tuyến tính. Theo Nhận xét 1.1, các véctơ này sinh ra cùng một nhóm như a 1 , a 2 , , a m . Do các cột của B độc lập tuyến tính nên theo định nghĩa, nhóm này là một dàn. Như vậy nếu a 1 , a 2 , , a m là các véctơ hữu tỉ thì ta có thể nói tới dàn sinh bởi a 1 , a 2 , , a m . Định lý sau cho thấy rằng mọi ma trận hữu tỉ với hạng bằng số hàng có dạng chuẩn Hecmit duy nhất. Vì thế, ta có thể nói về dạng chuẩn Hecmit của một ma trận. Định lý 1.2. ([4] Định lý 4.2, tr. 48). Giả sử A và A’ là hai ma trận hữu tỉ với hạng bằng số hàng và có dạng chuẩn Hecmit tương ứng là [BO] và [B  O]. Khi đó, các cột của A và các cột của A’ sinh ra cùng một dàn như nhau khi và chỉ khi B = B  . Chứng minh. Điều kiện đủ là hiển nhiên, bởi vì các cột của B và A sinh ra cùng một dàn và cũng như vậy đối với B  và A  . Để chứng minh điều kiện cần, ta giả sử các cột của A và các cột của A  cùng sinh ra dàn L. Khi đó, các cột của B và các cột của B  cũng sinh ra dàn L, bởi vì B và B  nhận được từ A và A  bằng các phép toán cột sơ cấp. Chẳng hạn, B = (b ij ) và B  = (b  ij ). Giả sử B = B  . Ta chọn b ij = b  ij với i nhỏ nhất có thể. Không giảm tổng quát có thể xem như b ij ≥ b  ij . Ký hiệu b j và b  j lần lượt là cột j của B và B  . Khi đó, b j ∈ L và b  j ∈ L, do đó b j −b  j ∈ L. Điều này chứng tỏ b j −b  j là một tổ hợp tuyến tính nguyên của các cột của B. Theo cách chọn hàng i, véctơ b j − b  j có i − 1 thành phần đầu bằng 0. Vì thế, do B có dạng tam giác dưới nên b j −b  j là tổ hợp tuyến tính nguyên của các cột với chỉ số i, , n. Vì thế, b ij − b  ij là bội nguyên của b ii . Nhưng điều này mâu thuẫn với 0 < |b ij − b  ij | < b ii (vì nếu j = i thì 0 < b  ii < b ii và nếu j < i thì 0 ≤ b ij < b ii và 0 ≤ b  ij < b  ii ≤ b ii ). Hệ quả 1.2. Mọi ma trận hữu tỉ với hạng bằng số hàng có duy nhất một dạng chuẩn Hecmit. Chứng minh. Áp dụng Định lý 1.2 với A = A  . 9 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị Nhận xét 1.2. Nếu b 11 , , b mm là các phần tử đường chéo của dạng chuẩn Hecmit [BO] của A thì với mọi j = 1, , m tích số b 11 × × b jj bằng ước chung lớn nhất của các định thức con cấp j của j hàng đầu của A (do ước này bất biến đối với các phép toán cột sơ cấp). Điều này cho một cách khác để thấy rằng đường chéo chính trong dạng chuẩn Hecmit là duy nhất. 1.2 Ma trận đơn môđula Các phép toán cột sơ cấp của ma trận còn có thể được mô tả bởi cái gọi là các ma trận đơn môđula. Trước hết, ta chú ý là ([3], tr.17) mỗi phép toán cột sơ cấp trên ma trận A cấp m ×n đều có thể thực hiện được bằng cách nhân bên phải A với một ma trận sơ cấp tương ứng E cấp n × n, cụ thể E là ma trận thu được bằng cách áp dụng cùng phép toán đó trên ma trận đơn vị cấp n × n. Cho A là ma trận m hàng, n cột (m ≤ n) và I n là ma trận đơn vị cấp n × n. Khi đó: a) Phép đổi chỗ hai cột i và j của A tương đương với phép nhân A với ma trận nhận được từ I n bằng cách đổi chỗ hai cột i và j. Ví dụ 1.2. Phép đổi chỗ hai cột 2 và 3 của ma trận A như sau: A =  1 2 3 4 5 6  →  1 3 2 4 6 5  =  1 2 3 4 5 6  ×  1 0 0 0 0 1 0 1 0  . b) Phép nhân cột j của A với −1 tương đương với phép nhân A với ma trận nhận được từ I n bằng cách đổi dấu cột j. Ví dụ 1.3. Phép nhân cột 2 của ma trận A với −1 như sau: A =  1 2 3 4 5 6  →  1 −2 3 4 −5 6  =  1 2 3 4 5 6  ×  1 0 0 0 −1 0 0 0 1  . c) Thêm bội nguyên k của cột i vào cột j của A tương đương với nhân A với ma trận nhận được từ I n bằng cách thêm bội nguyên k của cột i vào cột j. 10 [...]... 3 Hệ phương trình Đi -ô- phăng tuyến tính Chương này đề cập tới hệ phương trình Đi -ô- phăng tuyến tính: các đi u kiện cần và đủ để hệ có nghiệm nguyên, thuật toán tìm nghiệm riêng và nghiệm tổng quát của hệ Cuối chương đề cập tới nghiệm nguyên dương của hệ phương trình Đi -ô- phăng tuyến tính và bài toán qui hoạch tuyến tính Đi -ô- phăng Nội dung của chương được tham khảo từ các tài liệu [1] − [4] 3.1 Hệ phương. .. Định nghĩa 2.5 Phương trình Đi -ô- phăng là phương trình đa thức với các hệ số nguyên và nghiệm của phương trình cũng là số nguyên hoặc số tự nhiên Phương trình Đi -ô- phăng cơ bản nhất là phương trình Đi -ô- phăng tuyến tính Ví dụ phương trình ax + by = c với a, b, c ∈ Z (Z là tập các số nguyên) Định lý 2.9 Cho a, b và c là các số nguyên với a và b không cùng bằng 0 Phương trình Đi -ô- phăng tuyến tính ax + by... phương trình Đi -phăng Ví dụ 2.16 Clara muốn mua Pizza và Côla cho gia đình Cô có 400 ô la Biết giá mỗi bánh Pizza là 57 ô la và mỗi chai Côla có giá 22 ô la Hỏi với số tiền hiện có, Clara có thể mua được bao nhiêu bánh Pizza và chai Côla? Ta có phương trình Đi -ô- phăng tuyến tính 57x + 22y = 400 Áp dụng thuật toán Ơ-clít ta thấy (57, 22) = 1 Do 400 = 1 × 400 (k = 400) nên phương trình trên có vô... độc lập tuyến tính và loại bỏ những hàng phụ thuộc tuyến tính này Hơn nữa, ta có thể giả thiết rằng mọi phần tử của A nguyên (chỉ cần nhân A với bội số chung 33 Chương 3 Hệ phương trình Đi -ô- phăng tuyến tính nhỏ nhất của mọi mẫu số và cuối cùng, chia nghiệm tìm được cho bội số chung đó) Dạng chuẩn Hecmit của A là chìa khóa để ta tìm nghiệm của hệ phương trình Đi -ô- phăng tuyến tính Ax = b 3.2 Đi u kiện... 4 AU = −5 2 6 × 29 −14 32 −8 4 −9 13 1 0 0 = 0 1 0 Chương 2 Phương trình Đi -ô- phăng tuyến tính Chương này trình bày thuật toán Ơ-clít tìm ước chung lớn nhất của các số nguyên dương và đề cập tới phương trình Đi -ô- phăng tuyến tính hai hay nhiều biến Nêu đi u kiện (cần và đủ) tồn tại nghiệm nguyên và thuật toán tìm nghiệm nguyên của phương trình Cuối chương, xét một số ví dụ áp dụng Nội dung của chương... các số hữu tỉ (1 ≤ m ≤ n) 32 Chương 3 Hệ phương trình Đi -ô- phăng tuyến tính Để làm ví dụ về hệ phương trình Đi -ô- phăng tuyến tính, ta nhắc lại một bài toán cổ, quen thuộc với nhiều người yêu thích môn Toán: "Vừa gà vừa chó có 36 con, bó chúng lại cho tròn, đếm đủ 100 chân Hỏi có bao nhiêu gà, bao nhiêu chó?" Bài toán này có cách giải số học (suy luận) đơn giản Bằng công cụ đại số, ta có thể đặt và giải... này thỏa mãn cả hai phương trình mô tả bài toán ban đầu Tổng quát, ta cần tìm thuật toán đưa ra được tất cả các nghiệm nguyên có thể của hệ phương trình Ax = b Vấn đề trở nên đơn giản nếu ta biết một nghiệm đơn x thỏa mãn A¯ = b Mọi việc còn lại cần làm chỉ là tìm ¯ x không gian nghiệm S của hệ tuyến tính thuần nhất Ax = θ Khi đó, tập nghiệm của hệ phương trình Đi -ô- phăng tuyến tính Ax = b sẽ là x... hợp tuyến tính của 161 và 1274 22 Chương 2 Phương trình Đi -ô- phăng tuyến tính Ta có 7 = 147 − 14 × 10, = 147 − (161 − 147) × 10, = 11 × 147 − 161 × 10, = 11 × (1274 − 161 × 7) − 161 × 10, = −87 × 161 + 11 × 1274 Kết luận: một nghiệm nguyên của phương trình 161x + 1274y = (161, 1274) = 7 là x = −87, y = 11 (Kiểm tra lại: 1274 × 11 − 161 × 87 = 14014 − 14007 = 7) 2.3 Phương trình Đi -ô- phăng tuyến tính. .. với 400 ô la Clara có thể mua 2 bánh Pizza và 13 chai Côla Ví dụ 2.17 Giả sử có sự giảm giá đối với một số món trong hiệu ăn Cụ thể, giá Pizza giảm từ 57 ô la xuống còn 55 ô la (giá Côla không thay đổi) Hỏi với 400 ô la Clara có thể mua được bao nhiêu bánh Pizza và chai Côla? Ta có phương trình Đi -ô- phăng tuyến tính 55x + 22y = 400 Sử dụng thuật toán Ơ-clít ta tìm được (55, 22) = 11 Do 11 không phải... có vô số nghiệm nguyên Muốn thế, ta dùng phương pháp quy nạp Định lý 2.10 cho thấy đi u khẳng định này đúng với n = 2 Giả sử đi u này đúng với n = k, tức là phương trình a1 x1 + a2 x2 + + ak xk = c với d = (a1 , a2 , , ak )|c có vô số nghiệm Ta sẽ chỉ ra phương trình với n = k + 1 biến a1 x1 + a2 x2 + + ak xk + ak+1 xk+1 = c với d = (a1 , a2 , , ak , ak+1 )|c 26 Chương 2 Phương trình Đi -ô- phăng tuyến . thực tế của phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính. Chương 3 " ;Hệ phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính& quot; đề cập tới hệ phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính và các điều kiện cần và đủ để hệ có nghiệm. Đi-ô-phăng tuyến tính . . . . . . . . . . . . . 23 2.4 Một số ứng dụng của phương trình Đi-ô-phăng . . . . . . . 29 3 Hệ phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính 32 3.1 Hệ phương trình Đi-ô-phăng tuyến. Sau đó, trình bày thuật toán Hecmit tìm tất cả các nghiệm nguyên của hệ phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính. Cuối chương đề cập tới nghiệm nguyên dương của hệ phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính và