2 Phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính
2.4 Một số ứng dụng của phương trình Đi-ô-phăng
ô-phăng
Ví dụ 2.16. Clara muốn mua Pizza và Côla cho gia đình. Cô có 400 đô la. Biết giá mỗi bánh Pizza là 57 đô la và mỗi chai Côla có giá 22 đô la. Hỏi với số tiền hiện có, Clara có thể mua được bao nhiêu bánh Pizza và chai Côla?
Ta có phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính
57x+ 22y = 400.
Áp dụng thuật toán Ơ-clít ta thấy (57, 22) = 1. Do 400 = 1 ×400 (k = 400) nên phương trình trên có vô số nghiệm nguyên.
Để tìm một nghiệm riêng x0, y0, áp dụng thuật toán Ơ-clít mở rộng, ta tìm được biểu diễn 1 = −57 ×5 + 22×13 (u = −5, v = 13). Suy ra nghiệm riêng x0 = u×k = −2000, y0 = v×k = 5200.
Từ đó, nghiệm tổng quát của phương trình 57x+ 22y = 400 là x = −2000 + 22n, y = 5200−57n, n∈ Z.
Chương 2. Phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính
Do x và y biểu thị số bánh Pizza và số chai Côla cần mua nên x và y phải là số nguyên dương, nghĩa là ta có điều kiện x > 0 và y > 0.
Từ −2000 + 22n > 0 ⇒ 22n > 2000. Chia hai vế cho 22, ta có n > 90,9.
Từ 5200−57n > 0⇒ 5200 > 57n. Chia hai vế cho 57, ta đượcn < 91. Vì thế n= 91.
Đặt n = 91 vào nghiệm tổng quát ta được
x = −2000 + 22×91 = 2 và y = 5200−57×91 = 13.
Vì vậy, với 400 đô la Clara có thể mua 2 bánh Pizza và 13 chai Côla.
Ví dụ 2.17. Giả sử có sự giảm giá đối với một số món trong hiệu ăn. Cụ thể, giá Pizza giảm từ 57 đô la xuống còn 55 đô la (giá Côla không thay đổi). Hỏi với 400 đô la Clara có thể mua được bao nhiêu bánh Pizza và chai Côla?
Ta có phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính 55x+ 22y = 400. Sử dụng thuật toán Ơ-clít ta tìm được (55, 22) = 11. Do 11 không phải là ước của 400 (hay 400 không chia hết cho 11). Vì thế phương trình trên vô nghiệm.
Ví dụ 2.18. Peter muốn mua vài vật nuôi làm cảnh. Peter có 151 euro và phải chọn ít nhất một con mỗi loại. Giá bán như sau: cá 3 euro/con, mèo 5 euro/con, chó 10 euro/con. Hỏi với số tiền đó Peter có thể mua bao nhiêu cá, mèo và chó?
Ta lập phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính 3x+ 5y + 10z = 151. Với cùng một phương pháp như ở Ví dụ 2.16, ta viết (3x+ 5y) + 10z = 151. Đặt x+ 5y = v, ta có phương trình v + 10z = 151. Một nghiệm riêng: v0 = 151, z0 = 0. Nghiệm tổng quát của phương trình:
v = 151 + 10n và z = −n, n∈ Z.
Để tìm xvày ta giải phương trình3x+5y = v hay3x+5y = 151+10n. Giải như trước đây, ta thấy nghiệm tổng quát của phương trình này là
Chương 2. Phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính
Biến x, y và z phải lớn hơn 0. Vì thế ta tìm giá trị của n và k sao cho x = 47 + 5k > 0, y = 2 + 2n−3k > 0 và z = −n > 0 với n, k ∈ Z. (2.6)
Các bất phương trình này cho thấy
n < 0, k > −10 và 2n−3k > −2 với n, k ∈ Z.
Ta thử tìm n và k nguyên thỏa mãn các điều kiện nêu trên. Chẳng hạn, 2n−3k > −2 hay 3k < 2n+ 2. Ta biết rằng n là số âm. Vì vậy, nếu đặt n = −1 vào 2n− 3k > −2, ta được k < 0. Do đó, miền giá trị của k là −10 < k < 0. Tiếp tục quá trình này. Chọn n = −2 cho cùng kết quả k < 0. Với n = −3 sẽ có k < −2 và nếu tiếp tục tính toán như thế, với n = −16 sẽ có k < −10. Kết quả này sai vì k phải lớn hơn −10. Vì vậy, miền giá trị của n cần là −15 ≤ n ≤ −1. Và miền giá trị của k là
−9< k < −1.
Nếu chọn n= −14thì có thể thấyk chỉ có thể là−9.Đặt các giá trị này vào (2.6), ta tìm đượcx = 47+5×(−9) = 2, y = 2+2×(−14)−3×(−9) = 1 và z = −(−14) = 14. Vì vậy, Peter có thể mua 2 con cá, 1 con mèo và 14 con chó và anh ta phải trả 151 euro. Chọn n sao cho −15 ≤ n ≤ −1, còn k sẽ phụ thuộc n.
Chương 3
Hệ phương trình
Đi-ô-phăng tuyến tính
Chương này đề cập tới hệ phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính: các điều kiện cần và đủ để hệ có nghiệm nguyên, thuật toán tìm nghiệm riêng và nghiệm tổng quát của hệ. Cuối chương đề cập tới nghiệm nguyên dương của hệ phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính và bài toán qui hoạch tuyến tính Đi-ô-phăng. Nội dung của chương được tham khảo từ các tài liệu [1]−[4].
3.1 Hệ phương trình Đi-ô-phăng tuyến tính
Cho ma trận hữu tỉ A cấp m ×n (tức ma trận với mọi phần tử hữu tỉ) và véctơ hữu tỉ b với m thành phần, hãy tìm véctơ nguyên x sao cho
Ax = b. (3.1)
Ta có thể viết lại hệ này ở dạng chi tiết như sau: Tìm x1, x2, ..., xn nguyên thỏa mãn a11x1 +a12x2 + ...+a1nxn = b1 a21x1 +a22x2 + ...+a2nxn = b2 ... am1x1 +am2x2 +...+amnxn = bm trong đó a11, a12, ..., amn và b1, b2, ..., bm là các số hữu tỉ (1 ≤ m ≤ n).