Điều kiện cần cực trị và tính ổn định nghiệm của bài toán điều khiển tối ưu cho một lớp phương trình elliptic

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ HỮU NHỰ ĐIỀU KIỆN CẦN CỰC TRỊ VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA BÀI TỐN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU CHO MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2016 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ HỮU NHỰ ĐIỀU KIỆN CẦN CỰC TRỊ VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA BÀI TỐN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU CHO MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC Chuyên ngành: Tốn Giải tích Mã số: 62 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS BÙI TRỌNG KIÊN PGS TS NGUYỄN HỮU ĐIỂN Hà Nội - 2016 LèI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cúu cua riêng tơi Các ket q so li¾u lu¾n án trung thnc chưa tùng đưac công bo bat kỳ cơng trình khác Hà N®i, tháng 12 năm 2015 Tác giá lu¾n án Vũ Huu Nhn LèI CÁM ƠN Lu¾n án đưac hồn thành tai trưàng Đai HQC Khoa HQC Tn nhiên - Đai HQC Quoc gia H Nđi dỏi sn hỏng dan tắn tỡnh cua TS Bùi TRQNG Kiên PGS.TS Nguyen Huu Đien Trưác tiên, tác giã xin đưac bày tõ lòng biet ơn sâu sac tái TS Bùi TRQNG Kiên - ngưài đ¾t tốn, giúp đã, chi bão t¾n tình, chu đáo suot q trình tác giã thnc hi¾n lu¾n án Tác giã xin đưac bày tõ lịng biet ơn sâu sac tái PGS TS Nguyen Huu Đien, ngi ó hỏng dan tắn tỡnh v luụn đng viờn tác giã q trình HQC t¾p, nghiên cúu Tiep theo, tác giã xin bày tõ lòng biet ơn đoi vái GS J.-C Yao ve sn giúp tao đieu ki¾n đe tác giã làm thnc t¾p sinh 06 tháng tai Đai HQC Quoc gia Tôn Trung Sơn (National Sun Yat-sen University, Kaosiung, Taiwan, 3/2013 9/2013) Tác giã xin chân thành cám ơn Ban Lãnh đao trưàng Đai HQC Khoa HQC Tn nhiên - Đai HQC Quoc gia Hà N®i, Phịng Sau đai HQC, Khoa Tốn - Cơ - Tin HQC Và t¾p the thay giáo tai trưàng Khoa HQC Tn nhiên - Đai HQC Quoc gia Hà N®i ln quan tâm giúp đã, tao đieu ki¾n thu¾n lai có nhung ý kien đóng góp q báu cho tác giã q trình HQC t¾p nghiên cúu Xin bày tõ lòng biet ơn đen Ban Lãnh đao trưàng HQC VI¾N Quãn lý giáo dnc, Ban Lãnh đao trưàng HQC vi¾n Cơng ngh¾ Bưu Vien thông, thay cô giáo ban đong nghi¾p ã Khoa Cơng ngh¾ thơng tin – HQC VI¾N Quãn lý giáo dnc Khoa Cơ bãn – HQC vi¾n Cơng ngh¾ Bưu Vien thơng ln đ®ng viên giúp tác giã q trình HQC t¾p, nghiên cúu Nhà nhung ý kien nh¾n xét góp ý q báu cua GS.TSKH Nguyen Văn M¾u, GS.TSKH Pham Kỳ Anh, GS.TSKH Vũ NGQC Phát, GS.TSKH Lê Dũng Mưu, GS.TSKH Nguyen Đơng n, PGS TSKH Vũ Hồng Linh, PGS.TS Cung The Anh, PGS.TS Pham NGQC Anh, PGS.TS Nguyen Quang Huy TS Lê Huy Chuan – Thay Hđi ong cham luắn ỏn cap c só v Hđi ong cham luắn ỏn cap HQC Quoc gia, bãn lu¾n án đưac cãi thi¾n đáng ke so vái bãn dn thão lu¾n án ban đau Tác giã xin chân thành cãm ơn Thay H®i đong cham lu¾n án cap sã ve nhung chi dan quan TRQNG Xin chân thành cám ơn GS.TSKH Hồng Xn Phú, GS.TSKH Nguyen Đơng n, PGS.TS Ta Duy Phưang, PGS.TS Phan Thành An, TS Nguyen Quỳnh Nga, thay ban đong nghi¾p góp nhieu ý kien quý báu thài gian tác giã tham dn Xêmina tai Phịng Giãi tích so Tính tốn khoa HQC tai Vi¾n Tốn HQC, Vi¾n Hàn lâm Khoa HQC Và Cơng ngh¾ Vi¾t Nam Tác giã xin đưac gui lài cãm ơn chân thành tái Thay phãn biắn đc lắp ve nhung nhắn xột quý bỏu, nh mà bãn thão lan có nhung cãi thi¾n đáng ke Cuoi cùng, xin cám ơn ban nghiên cúu sinh gia đình, ban bè chia se, đ®ng viên tác giã suot q trình HQC t¾p, nghiên cúu MUC LUC Lài cam đoan0 Lài cám ơn1 Mnc lnc3 Các ký hi¾u5 Má đau8 Chương Kien thúc sá15 1.1 Ánh xa đa tr% 15 1.2 Giãi tích bien phân 18 1.2.1 T¾p tiep tuyen 18 1.2.2 Nón pháp tuyen 22 1.2.3 Nguyên lý bien phân 23 1.2.4 Hàm khã vi tính đơn đi¾u .25 1.2.5 M®t so ket q ve hình HQC Banach 27 1.3 Giãi tích loi 30 1.3.1 Hàm loi 30 1.3.2 Bài toán quy hoach loi 31 1.3.3 Đ%nh lý tách t¾p loi 32 1.4 Không gian Sobolev phương trình elliptic .32 1.4.1 Khơng gian Sobolev 32 1.4.2 Phương trình elliptic tuyen tính 41 1.4.3 Phương trình elliptic nua tuyen tính 44 Chương Đieu ki¾n can cnc tr% cho toán đieu khien toi ưu elliptic núa tuyen tính vái ràng bu®c hőn hap46 2.1 Bài toán quy hoach toán HQC 46 2.2 2.3 2.4 2.5 2.1.1 M®t so ket quã ve giãi tích bien phân 46 2.1.2 Đieu ki¾n quy đieu ki¾n can cnc tr% .51 Bài tốn đieu khien toi ưu elliptic nua tuyen tính vái ràng bu®c hőn hap 69 Chúng minh Đ%nh lý2.7và H¾ quã2.2 76 Các ví dn 88 Ket lu¾n 91 Chương Đieu ki¾n can cnc tr% cho toán đieu khien toi ưu elliptic núa tuyen tính vái ràng bu®c trang thái92 3.1 Các đieu ki¾n can cnc tr% cho tốn đieu khien toi ưu tőng quát.92 3.2 Các đieu ki¾n can cnc tr% b¾c hai cho tốn đieu khien toi ưu elliptic nua tuyen tính vái ràng bu®c trang thái .105 3.3 Ket lu¾n 114 Chương Tớnh on %nh nghiắm cỳa mđt so bi toỏn đieu khien toi ưu elliptic chúa tham so115 4.1 Tính liờn tnc Hoă lder cua ỏnh xa nghiắm theo tham so 115 4.1.1 Bài toán giã thiet 115 4.1.2 M®t so ket quã bő tra 119 4.1.3 Chúng minh Đ%nh lý4.1 122 4.1.4 M®t so ví dn 131 4.2 Tính nua liên tnc dưái cua ánh xa nghi¾m theo tham so .135 4.2.1 Bài tốn giã thiet 135 4.2.2 M®t so ket quã bő tra 139 4.2.3 Chúng minh Đ%nh lý4.2 143 4.2.4 M®t so ví dn 152 4.3 Ket lu¾n 156 Ket lu¾n kien ngh%157 Danh mnc cơng trình khoa HQC cúa tác giá liên quan đen lu¾n án158 Tài li¾u tham kháo159 CÁC KÝ HI›U F : X(F⇒ Dom ), YGraph(F), Im(F) ánh xahuu đa tr% XFvào mienánh đo th%,Ymien ãnh cua xahi¾u, đa tù tr% R RN N t¾p so thnc khơng gian Euclide N−chieu t¾p so tn nhiên X∗ không gian đoi ngau tôpô cua X X∗∗ không gian song đoi ngau tôpô cua X không gian WCG khơng gian sinh bãi t¾p compact yeu ( x ∗ , x) giá tr% cua x∗ ∈ X∗ tai x ∈ X ǁxǁ chuan cua véc tơ x ǁxǁX |xT| x chuan cua véc tơ x không gian X [ x1 , x 2] ∅ x∈A x ∈/ A đoan noi hai véc tơ x1 x2 rng A B(B A) AÂB A cua t¾p B t¾p A khơng cua t¾p B A∩B giao cua hai t¾p A B A∪B hap cua hai t¾p A B A\B AìB hiắu cua A v B tớch Descartes cua hai t¾p A B A+B |A| BX tőng cua hai A v B đ o cua đo đưac A hình cau đơn v% đóng khơng gian X BX(x, ρ) hình cau đóng tâm x vái bán kính ρ X d(x, K) khỗng cách tù x tái t¾p K mơđun cua véc tơ x ∈ RN N chuyen v% cua véc tơ x ∈ R phan tu x thuđc A phan tu x khụng thuđc A BX ( x, ) SX biờn cua hình cau tâm x bán kính ρ X m¾t cau đơn v% không gian X ∗ T− T toán tu liên hap cua toán tu T ánh xa ngưac cua ánh xa T T(K, x) nón tiep tuyen Bouligand cua t¾p K tai x Tb( K, x) nón tiep tuyen trung gian (ke) cua t¾p K tai x TC(K, x) nón tiep tuyen Clarke cua t¾p K tai x T22b(K, x, d) T (K, x, d) t¾p tiep K tuyen b¾c cua t¾p tai xBouligand theo hưáng d hai t¾p t¾p tiep K tuyen b¾c cua tai xtrung theo gian hưáng d hai TC2 (K, x, d) t¾p tiep tuyen Clarke b¾c hai cua t¾p K tai x theo hưáng d N(K, x) nón pháp tuyen cua t¾p K tai x σ ( x ∗ , K) hàm giá cua t¾p K (X, d) khơng gian mêtric L(X, Y) không gian tat cã ánh xa tuyen tính liên tnc tù X vào Y f J, ∇ f đao hàm cua ánh xa f f JJ , ∇2 f đao hàm b¾c hai cua ánh xa f ∇x f , ∇x2 f A, cl(Ay) đao hàm b¾c 1, cua f theo bien x x, y bao đóng cua t¾p A int(A) phan cua t¾p A span(A) khơng gian tuyen tính sinh bãi t¾p A cone(A) t¾p nón sinh bãi t¾p A {xn}, (x n) xn → x xn ~ x dãy véc tơ xn dãy { xn } h®i tn (manh) tái x dãy {x n} h®i tn yeu tái x ∗ x n∗ ~ K x∗ dãy { xn∗ } h®i tn yeu−∗ tái x ∗ xn → x f : X → [−∞, +∞] dãy {x n} h®i tn tái x xn ∈ K hàm thnc mã r®ng dom( f ) mien huu hi¾u cua hàm f epi( f ) epigraph cua hàm f ∂ f (x) dưái vi phân cua hàm f tai x supp(ϕ) t¾p giá cua hàm ϕ α := (α1, α2, , α N ) xα :αN = xα1 xα2 x N m®t đa chi so đơn thúc cap |α| := ∑N αi Dj := toán tu vi phân i=1 ∂ ∂x j Dα := D1α1 D2α2 DαN C m(Ω) C0 (Ω) N toán tu vi phân cap |α| không gian hàm khã vi cap m Ω không hàm vái giá gian compact trongliên Ω tnc C0∞(Ω), D(Ω) không gian hàm khã vi vô han lan vái giá compact Ω D J (Ω) không gian đoi ngau tôpô cua D(Ω) Lp(Ω) , ≤ p < ∞ L1lo (Ω) không gian hàm p−khã tích t¾p Ω khơng gian hàm khã tích đ%a phương Ω L∞(Ω ) khơng gian hàm b% ch¾n hau khap nơi Ω c không gian Sobolev  m,p W (Ω), W m,p (Ω),  m (Ωp)−, + pJ−1 = 1) W −m,pjH (Ω)( không gian đoi ngau tôpô 0cua W m,p (Ω) Γ biên cua t¾p Ω  X ‹→ Y X ‹→‹→ Y X nhúng liên tnc Y X nhúng compact Y C (Ω¯ ) M(Ω¯ ) khơng gian hàm liên tnc t¾p Ω¯ A := B ∃x ∀x A đưac đ%nh nghĩa bang B ton tai x vái MQI x h.k hau khap tr trang Q ket thúc chúng minh khơng gian đ® đo Borel quy huu han Tài li¾u tham khao Tieng Vi¾t [1] Nguyen Th% Tồn (2012), Hàm Giá Tr% Toi Ưu Ánh Xa Nghi¾m Trong Các Bài Toán Đieu Khien Toi Ưu Chna Tham So, Lu¾n án Tien sĩ Tốn HQC, Đai HQC Vinh [2] Lê Dũng Mưu, Nguyen Văn Hien, Nguyen Huu Đien (2014), Giáo Trình Giãi Tích Loi Nng Dnng, NXB Đai HQC Quoc gia Hà N®i, Hà N®i [3] Nguyen Đơng n (2007), Giáo Trình Giãi Tích Đa Tr%, NXB Khoa HQC tn nhiờn v Cụng nghắ, H Nđi Tieng Anh [4] Adams R.A (1975), Sobolev Spaces, Academic Press, New York [5] Alt W., Griesse R., Metla N and R oă sch A (2010), "Lipschitz stability for el- liptic optimal control problems with mixed control-state contraints", Optimization 59, pp 833-849 [6] Aubin J.-P and Ekeland I (1984), Applied Nonlinear Analysis, John Wiley and Sons, New York [7] Aubin J.-P and Frankowska H (1990), Set-Valued Analysis, Birkhaăuser, Boston [8] Aubin J.-P and Cellina A (1984), Differential Inclusions, Set-Valued Maps and Viability Theory, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg [9] Berger M.S (1977), Nonlinearity and functional analysis: Lectures on nonlinear problems in mathematical analysis, Academic Press, New York, San Francisco, London [10] Bonnans J.F and Shapiro A (2000), Perturbation Analysis of Optimization Prob- lems, Springer, New York [11] Bonnans J.F and Hermant A (2009), "Second-order analysis for optimal control problems with pure state constraints and mixed controlstate con- straints", Ann I H Poincaré-AN 26, pp 561-598 [12] Bonnans J.F and Hermant A (2009), "No-gap second-order optimality con- ditions for optimal control problems with a single state constraint and con- trol", Math Program., Ser B 117, pp 21-50 [13] Borwein J.M and Zhu Q.J (2005), Techniques of Variational Analysis, Springer, Berlin, Heidelberg and New York [14] Brézis H (2010), Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer, New York [15] Cartan H (1971), Differential Calculus, Hermann, Paris [16] Casas E (1994), "Pontryagin’s principle for optimal control problems gov- erned by semilinear elliptic equations", International Series of Numerical Math- ematics, Ed Birkhaăuser Verlad 118, pp 97-114 [17] Casas E (1997), "Pontryagin’s principle for state constrainted boundary con- trol problems of semilinear parabolic equations", SIAM J Control Optim 35, pp 1297-1327 [18] Casas E (1993), "Boundary control of semilinear elliptic equations with pointwise state constraints", SIAM J Control Optim 4, pp 993-1006 [19] Casas E and Mateos M (2002), "Second order optimality conditions for semilinear elliptic control problems with finitely many state constraints", SIAM J Control Optim 40, pp 1431-1454 [20] Casas E., Mateos M and Raymond J.-P (2007), "Error estimates for the nu- merical approximation of a distributed control problem for the steady-state Navier-Stokes equations", SIAM J Control Optim 46, pp 952982 [21] Casas E., Raymond J.-P and Zidani H (1998), "Optimal control problems governed by semilinear elliptic equations with integral constraints and pointwise state constraints", International Series of Numerical Mathematics, Ed Birkhaăuser Verlad 126, pp 89-102 [22] Casas E., Raymond J.-P and Zidani H (2000), "Pontryagin’s principle for lo- cal solutions of control problem with mixed control-state constraints", SIAM J Control Optim 39, pp 1182-1203 [23] Casas E., Reyes J.C.D.L and Tr oă ltzsch F (2008), "Sufficient second- order optimality conditions for semilinear control problems with pointwise state constraints", SIAM J Optim 19, pp 616-643 [24] Casas E and Tr oă ltzsch F (2010), "Recent advanced in the analysis of pointwise state-constrained elliptic optimal control problems", ESAIM: Control, Optim Caculus of Variations 16, pp 581-600 [25] Casas E and Tr oă ltzsch F (2009), "First- and second-order optimality conditions for a class of optimal control problems with quasilinear elliptic equations",SIAM J Control Optim 48, pp 688-718 [26] Cesari L (1983), Optimization Theory and Applications, Springer, New York [27] Chipot M (2009), Elliptic Equations: An Introduction Course, Birkhaăuser Verlag AG, Basel-Boston-Berlin [28] Cioranescu I (1990), Geometry of Banach Spaces, Duality Mappings and Nonlin- ear Problems, Kluwer Academic Publishers, London Clarke F.H (1990), Optimization and Nonsmooth Analysis, SIAM, Philadelphia [29] [30] Cominetti R (1990), "Metric regularity, tangent sets, and second- order opti- mality conditions", Appl Math Optim 21, pp 265-287 [31] Dacorogna B (1989), Direct Methods in Calculus of Variations, Springer- Verlag Berlin Heidelberg [32] Diestel J (1975), Topics, Springer-Verlag Berlin Heidelberg Geometry of Banach Spaces-Selected [33] Domokos A (1999), "Solution sensitivity of variational inequalities", J Math Anal Appl 230, pp 382-389 [34] Dontchev A.L and Hager W.W (1998), "Lipschitzian stability for state con- strained nonlinear optimal control," SIAM J Control Optim 36(2), pp 698- 718 [35] Dubovitskii A.Ya and Milyutin A.A (1965), "Second variations in extremal problems with constarints", Dokl Akad Nauk SSSR 160, pp 1821 Evans L.C (2010), Partial Differential Equations, American [36] Mathematical So- ciety Gilbarg D and Trudinger N.S [37] (2001), Elliptic Partial Differential Equation of Second Order, Springer-Verlag Berlin Heidelberg [38] Griesse R (2006), "Lipschitz stability of solutions to some state- constrained elliptic optimal control problems", J Anal Appl 25, pp 435455 Grisvard P (1985), Elliptic Problems in Nonsmooth Domains, Pitman, Boston [39] [40] Hardy G., Littlewood o´ lya G (1934), Inequalities, Cambridge, At J.E and P The University Press [41] Hoehener D (2012), "Variational approach to second-order optimality con- ditions for control problems with pure state constraints", SIAM J Control Optim 50, pp 1139-1173 [42] (1979), Ioffe A.D and Tihomirov V.M Theory of Extremal Problems, North- Holand Publishing Company, Amsterdam [43] Jourani A (1993), "Regularity and strong sufficient optimality conditions in differentiable optimization problems", Numer Funct Anal and Optimiz 14, pp 69-87 [44] Jourani A (1994), "Metric regularity and second-order necessary optimality conditions for minimization problems under inclusion constraints", J Optim Theor Appl 81, pp 97-120 [45] Kawasaki H (1988), "An envelope like effect of infinitely many inequality constraints on second-order necessary conditions for minimization prob- lems", Math Programming 41, pp 73-96 [46] Kawasaki H (1991), "Second order necessary optimality conditions for min- imizing a sup-type function", Math.Program 41, pp 213-229 [47] Kien B.T (2008), "Lower semicontinuity of the solution set to a paramet- ric generalized variational inequality in reflexive Banach spaces",Set-Valued Analysis 16, pp 1089-1105 [48] Kien B.T and Nhu V.H (2014), "Second-order necessary optimality condi- tions for a class of semilinear elliptic optimal control problems with mixed pointwise constraints", SIAM J Control Optim 52(2), pp 11661202 [49] Kien B.T., Nhu V.H and R oă sch A (2015), "Lower semicontinuity of the solution map to a parametric elliptic optimal control problem with mixed pointwise constraints", Optimization 64(5), pp 1219-1238 Kien B.T., Nhu V.H and R oă sch A (2015), "Second-order necessary optimality [50] conditions for a class of optimal control problems governed by partial differ- ential equations with pure state constraints", J Optim Theory Appl 165(1), pp 30-61 [51] Kien B.T., Nhu V.H and Wong M.M (2015), "Necessary optimality condi- tions for a class of semilinear elliptic optimal control problems with pure state constraints and mixed pointwise constraints", J Nonlinear and Convex Analysis 16 (7), pp 1363-1383 [52] Kien B.T., Toan N.T., Wong M.M and Yao J.-C (2012), "Lower semicontinuity of the solution set to a parametric optimal control problem", SIAM J Control Optim 50, pp 2889–2906 [53] Knowles G (1981), Optimal Control, Academic Press, New York An Introduction to Applied [54] (1977), Kufner A., John O and S Fucik Function Spaces, Noordhof Interna- tional Publishing Leyden and Academi, Prague Li X and Yong J (1995), Optimal Control Theory [55] for Infinite Dimensional Sys- tems, Birkhaăuser, Boston Malanowski K and Tr oă ltzsch F (2000), "Lipschitz stability of solutions to [56] parametric optimal control for elliptic equations", Control Cybern 29, pp 237-256 [57] Maurer H and Zowe J (1979), "First- and second-order necessary and suf- ficient optimality conditions for infinite-dimensional programming prob- lems", Math Program 16, pp 98-110 Meyer C., Pr uă fert U and Troă ltzsch F (2007), "On two numerical methods [58] for state-constrained elliptic control problems", Opt Meth Software 22, pp 871-889 [59] Morrey C (1996), Multiple Integrals in the Calculus of Variations, Springer, New York Nhu V.H., Anh N.H and Kien B.T (2013), "H oă lder continuity of the solution [60] map to an elliptic optimal control problem with mixed control-state constraints", Taiwanese J Math 17(4), pp 1245-1266 [61] Páles Z and Zeidan V (1994), "Nonsmooth optimum problems with con- straints", SIAM J Control Optim 32, pp 1476-1502 [62] Páles Z and Zeidan V (1998), "Optimum problems with certain lower semi- continuous set-valued constraints", SIAM J Optim 8, pp 707-727 [63] Páles Z and Zeidan V (2003), "Optimal control problems with set- valued control and state constraints", SIAM J Control Optim 14, pp 334-358 [64] Penot J.-P (2013), Calculus Without Derivatives, Springer, New York [65] Penot J.-P (1989), "Metric regularity, openness and Lipschitzian behavior of multifunctions", Nonlinear Anal 13, pp 629-643 [66] Robinson S.M (1976), "Stability theory for systems of inequalities, part II: Differentiable nonlinear systems", SIAM J Numer Anal 12, pp 497-513 [67] Rockafellar R.T and Wets R.J-B (1997), Variational Analysis, Springer, Berlin Tr oă ltzsch F (2010), Optimal Control of Partial Differential Equations, Theory, [68] Method and Applications, Americal Mathematical Society, Providence, Rhode Island Yen N.D (1995), "H oă lder continuity of solutions to a parametric variational [69] inequality", Appl Math Optim 31, pp 245-255 [70] Zeidler E (1986), Nonlinear Functional Analysis and its Applications I: Fixed- Point Theorems, Springer-Verlag, New York, Berlin, Heidelberg, Tokyo [71] Zeidler E (1990), Nonlinear Functional Analysis and its Applications II/B: Non- linear Monotone Operators, Springer - Verlag, Berlin [72] Zowe J and Kurcyusz S (1979), "Regularity and stability for the mathemat- ical programming problem in Banach spaces", Appl Math Optim 5, pp 49- 62 .F (zˆ, µ) − F (z¯, µ¯ ) ≤ F (zˆ, µ) − F (z¯, µ) + Σ ... VŨ HỮU NHỰ ĐIỀU KIỆN CẦN CỰC TRỊ VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA BÀI TỐN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU CHO MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC Chuyên ngành: Tốn Giải tích Mã số: 62 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI... 1.4 Không gian Sobolev phương trình elliptic .32 1.4.1 Khơng gian Sobolev 32 1.4.2 Phương trình elliptic tuyen tính 41 1.4.3 Phương trình elliptic nua tuyen tính 44 Chương Đieu... phương trình vi phân thưàng phương trình đao hàm riêng (xem [26,42,55,68]) Trong nhung th¾p niên gan đây, nghiên cúu đ%nh tính cho toán đieu khien toi ưu đưac cho bãi phương trình vi phân thưàng phương