Một số kỹ năng giải bài toán tiếp tuyến cực trị của các hàm số cơ bản

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN PHAN TH± HƯèNG M®T SO KY NĂNG GIAI BÀI TOÁN TIEP TUYEN, CUC TR± CUA CÁC HÀM SO CƠ BAN LU¾N VĂN THAC SY TỐN HOC HÀ N®I- 2014 ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN PHAN TH± HƯèNG M®T SO KY NĂNG GIAI BÀI TOÁN TIEP TUYEN, CUC TR± CUA CÁC HÀM SO CƠ BAN Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CAP Mã so: 60460113 LU¾N VĂN THAC SY TỐN HOC Ngưài hưáng dan khoa HQC PGS TS NGUYEN VŨ LƯƠNG HÀ N®I- 2014 Mnc lnc Lài nói đau Các dang toán cEc tr%, tiep tuyen cua y = ax3 1.1 +bx +cx+d; y = dx + c y = ax3 + bx2 + cx + d 1.1.1 1.1.2 1.2 ax2 + bx + c Bài toán cnc tr% Bài toán tiep tuyen cna hàm b¾c .14 Hàm y = 1.2.1 1.2.2 ax + bx + c dx + e 19 Bài toán cnc tr% 19 Bài toán tiep tuyen 22 M®t so dang tốn cEc tr% 31 2.1 Bài tốn cnc tr% khơng su dung đao hàm 31 2.2 Bài toán cnc tr% su dung đao hàm .38 2.3 Bài toán cnc tr% lưong giác 49 2.4 Bài toán cnc tr% tő hop 60 Ket lu¾n 85 Tài li¾u tham khao .86 Lài cam ơn Tơi xin đưoc bày to lịng kính TRQNG biet ơn sâu sac đen PGS.TS Nguyen Vũ Lương Thay dành nhieu thịi gian hưóng dan giai đáp thac mac cna tơi suot q trình tơi thnc hi¾n đe tài Tơi xin gui lịi cam ơn chân thành tói thay Khoa Tốn - Cơ - Tin HQ c, Phòng Sau đai HQc - Trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên- Đai HQc Quoc gia Hà N®i; thay tham gia giang day khóa cao HQc 2011-2013 Cuoi cùng, tơi xin chân thành cam ơn gia đình ban bè ln đ®ng viên tơi suot q trình HQ c t¾p thnc hi¾n lu¾n văn Lài nói đau Bài tốn tiep tuyen, tìm giá tr% lón nhat nho nhat cna hàm so ln ln m®t nhung chn đe quan TRQNG hap dan chương trình giang day b® mơn tốn o nhà trưịng phő thơng Trong đe thi mơn Tốn cna kì thi Đai HQc, Cao 10 năm gan (2004 - 2014) tốn liên quan tiep tuyen xuat hi¾n nhieu, tốn liên quan đen vi¾c tìm giá tr% lón nhat, nho nhat cna hàm so thưịng xun cú mắt v thũng l mđt trụng nhung cõu khú nhat đe thi Đây m®t n®i dung r®ng, khơng phai mói ln ln an chúa khơng thách thúc gan vói nhung tốn khó kỳ thi tao nhieu khó khăn cho ngưịi HQ c muon nam vung n®i dung Chỳng ta cú mđt so phỏt hiắn ã Chia ton b® n®i dung trình bày thành nhung dang ban nhat (khơng nhieu) tìm phương pháp giai se giúp cho ngưịi ĐQc kha tot nhat tìm lũi giai cna mđt bi toỏn cu the ã Sn bat đau cho moi dang tốn phai th¾t đơn gian sn phát trien se đưoc trình bày h¾ thong tao h®i thnc hành tot nhat cho ngưịi HQc • Tìm sn thú v% "Niem vui trí tu¾" đoi vói nhung cách giai hay se làm cho ngưịi ĐQc nhó lâu • Cái đích mà can tói cam thay de dàng giai bi toỏn ve nđi dung ny Trong luắn Mđt so ky giai toán tiep tuyen, cUc tr% cia hàm so ban này, HQc viên se cung cap cho ban HQc tőng hop ky thơng dung nhat, ban nhat có the ví chìa khóa đe giai quyet nhung tốn tiep tuyen, cnc tr% cna hàm so ban, tốn cnc tr%, tù biet cách áp dung đe giai nhieu toán liên quan đen dang toán Đ¾c bi¾t lu¾n văn co gang sâu vào toán cnc tr% tő hop bang cách đưa hàng loat tốn cịn mói me vói ngưịi HQc, vói mong muon ngưịi hQc cú the tiep cắn, lm quen vúi mđt lnh vnc mói tốn HQc sơ cap Lu¾n văn gom phan mo đau, hai chương, ket lu¾n danh muc tài li¾u tham khao Các dang tốn cEc tr%, tiep tuyen cua y = ax3 +cx+d; y +bx2 = ax2 + bx + c dx + c Trong chương này, HQc viên trình bày tốn tiep tuyen cnc tr% cna hai hàm so ban, g¾p nhieu kỳ thi đai HQc y = ax3 + bx2 + cx + d; y= ax2 + bx + c dx đai di¾n cho c hàm đa thúc hàm phân thúc Chương I tài li¾u rat huu ích cho giáo viên HQc sinh trưịng THPT, cách giai tốn tiep tuyen , cnc tr% có phan GQN nhe giúp cho ngưịi hQ c de dàng l¾p lu¾n bien đői đe đat đưoc ket qua cna tốn so vói • B n cách giai toán cuon t sách tham khao khác, cu the i h • Bài toán cnc tr% cna hàm y = ax3 + bx2 + cx + d phân thành dang: dang bien i thnh tớch nhũ mđt nghiắm, dang tách tham so, dang t%nh tien, dang b¾c hai cna tham so, dang tính đưoc nghi¾m cna yJ, dang chia cho yJ • Bài tốn tiep ax + bx + cđe tìm đưoc phương trình tuyen cna dx + c hàm y = tiep tuyen, ta luôn bien i e oc mđt phng trỡnh bắc hai an t = t n o h c n c n c t r % s d x u + c M®t so dang toán cEc tr% c d a n g c b a n : d d u a n n g g p Chương II n®i dung cna lu¾n văn, trình bày bon dang tốn cnc tr% đ h ban: tốn cnc tr% khơng su dung a â đao hàm, toán cnc tr% su dung đao o n t hàm, toán cnc tr% lưong giác, toán cnc tr% tő hop, cu the • Bài tốn cnc tr% khơng đao hàm: đưa tám ky ban: ky su dung nh¾n xét neu ™ x ™ xn < x vói n ∈ N; ky su dung bat thúc cő đien AM − GM, Cauchy − Bunyakovsky h h ú m c : đ o đ n ã g − Schwarz, Bu − Nhi − A − Cop p − Xki ; ky su dung tính chat h cna giá tr% tuy¾t oi; ky nng su õ b ắ c ã Bi toán cnc tr% lưong giác: đưa cách chúng minh cách bat thúc lưong giác bang cách su dung tính chat loi lõm cna hàm so lưong giác tù v¾n dung bat thúc Karamata, Jensen ngồi lu¾n văn cịn TRQNG đen vi¾c su dung thúc lưong giác đe xây dnng m®t so dang bat thúc tam giác; áp dung mđt dang bat ang thỳc cú ieu kiắn tam giác • Bài tốn cnc tr% tő hop: đưa toán cnc tr% tő hop su dung nguyên lý Pigeonhole 2.93; 2.94; ky đem tő hop 2.86; 2.89; 2.102; 2.109; 2.110; 2.115; 2.117; 2.118; tốn liên quan đen tơ màu 2.119; 2.1212.122; 2.123; 2.124; 2.125; 2.126; 2.127; đ¾c bi¾t tốn tìm giá tr% lón nhat nho nhat cna bieu thúc F (x1, x2, , xn) x1, x2, , xn hoán v% 2.106; 2.107; 2.108, m®t so tốn cnc tr% tő hop khác Chương Các dang toán cEc tr%, tiep tuyen cua y= ax3 1.1 1.1.1 + bx2 + bx + ax + cx + d; y c = dx + c y = ax3 + bx2 + cx + d Bài tốn cEc tr% Đoi vói hàm so b¾c ba y = ax3 + bx2 + cx + d ta cú ket luắn sau ã ycnc tieu.ycnc < ⇔ đo th% cat truc hoành tai ba iem phõn biắt ã ycnc tieu.ycnc = đo th% tiep xúc vói truc hồnh • ycnc tieu.ycnc đai > ⇔ hàm so có cnc tr% cat truc hồnh tai điem nhat Nh¾n xét Kĩ giúp giai nhanh toán thu®c n®i dung tính chat ve dang cua bieu thúc f (x) = ax3 + bx2 + cx + d Dang bien đoi thành tích nhà mđt nghiắm Bi toỏn 1.1 Cho y = x3 + 2mx2 + (m + 1)x − 10m − 10 Hãy tìm m đe hàm so có cnc tr% thóa mãn ycnc tieu.ycnc đai < Giai Yêu cau toán chi đo th% hàm so cat hoành đ tai ba iem phõn biắt hay phng trỡnh sau có ba nghi¾m phân bi¾t x3 + 2mx2 + (m + 1)x − 10m − 10 = ⇔ (2x2 + x − 10)m + (x3 + x − 10) = ⇔ (x − 2) Σ Σ x2 + 2(m + 1)x + 5m + = x= + 2(m + 1)x + 5(m + 1) = x2 0⇔Σ (2) có hai nghi¾m phân bi¾t = ƒ −13 22 + 4(m + 1) + 5(m + 1) ƒ= m ƒ= ⇔ ⇔ ∆J = (m + 1)2 − 5(m + 1)0 m ∈ ( , −1) ∪ (4, +∞) Bài toán 2.107 Gia su rang 2008 đưac viet dưái dang tőng m®t so huu han so nguyên dương cho tích cua so hang tőng bieu dien lán nhat Tìm giá tr % lán nhat Giai Vì so cách bieu dien cna 2008 dưói dang tőng cna m®t so ngun dương huu han nên ln ton tai m®t bieu dien mà tích cna so ngun dương lón nhat Qk Gia su a1 + a2 + · · · + ak = 2008 (a < a2 < · · · < ak), i= lón nhat Kí hi¾u S = (a1, a2, , ak), S có tính chat sau Có nhieu nhat m®t so nguyên a ∈ [a1 , ak ] mà a ∈/ S Th¾t v¾y gia su có ton tai so nguyên a, b ∈ [a1 , ak ] (a < b), a ∈/ S, b ∈/ S Không giam tőng quát gia su a so nho nhat so a ∈ [a1 , ak ], a S, b so lón nhat so ∈/ b ∈ [a1 , ak ], b ∈/ S ⇒ a − ∈ S, b + ∈ S Ta l¾p S J = (S \{a − 1, b + 1}) ∪ {a, b} Σ Σ ab ab ⇒ SJ = S, = = S (a − 1)(b + ab − (b − a) S 1) −1 Q j Y ⇒ Y S > S J >1 (Mâu thuan) Suy 2008 chi có the bieu dien dưói dang a1 + (a1 + 1) + (a1 + 2) + · · · + a1 + k − = 2008 (1) (Tőng so hang liên tiep có vang m®t so) Ta chúng minh rang a1 Neu a1 = 1, đ¾t S J = {S \{1, ak }} ∪ {ak + 1} ⇒ Và S Q j = S ak + Y >1 1.ak Y SJ > ⇒ Σ S SJ = Σ S (mâu thuan) Neu chúng minh a1 = ho¾c • Neu a1 1⇒ Σ Σ S = 4, S Đ¾t S J =Q S∈ {5 \{ }} 2, ∪{ Q SJ > Q S J}= ⇒ S; 2.3 = S 5.1 > J S (mâu thuan) • Neu a1 = 4, j ∈/ S (j = 5, 6, , t − 1) t ∈ S(t “ 6) Đ¾t S J = {S \{4, t}} ∪ {2, 3, t − 1} Khi Σ S = J S Q j Σ S; Y Y 6(t − 1) > ⇔ 2t > ⇔ t > ⇒ SJ > S S thuant) = (mâu • Neu a1 “ Đ¾t S J = {S \{a1 }} ∪ {2, a1 − 2} ⇒ Σ S = J Σ S S; Q j = S Y Y 2(a1 − 2) a1 + a1 − J = >1 ⇒ S > S a1 a1 (mâu thuan) Tóm lai a1 = 2, a1 = • Neu a1 = Áp dung ket qua (1) ta chi có the bieu dien 3+4+5+· · · +n−t = 2008 (tù đen n vang nhieu nhat m®t so t) (n = ak), ≤ t ≤ n n(n + 1) ⇔ − = 2008 + t + n − 4022 − 2t = ⇔n 2 = 16129 ⇒ δ = 16089 + 8t, Vì(127) Suy đe δ so phương ⇒ 8t = 16129 − 16089 = 40 ⇒ t = 5, δ = 1272 −1 + 127 n = = 63 ta thu đưoc bieu dien S={ 3, 4, 6, 7, , 63 thieu Σ } S J = {S \7} ∪ {2, 5} ⇒ SJ = Σ Y Y S S, 2.5 J >1 ⇒ S > S S Q j = mâu thuan • V¾y chi có the a1 = 2, ta có bieu dien + + + · · · + n − t = 2008 ⇔ 2t = n(n + 1) − − t = 2008 ⇔ n2 + n − 4018 − δ = 16073 + 8t ⇒ 8t = 16129 − 16073 = 56 ⇒ t = 7, n = 63 V¾y bieu dien thoa mãn yêu cau cna toán S = {2, 3, 4, 5, 6, , 63} (vang 7) tích lón nhat bang Q ma x = 63! Bài toán 2.108 (2002 - Japan Mathematical Olympiad): Ba ngưài chơi A, B C , neu A thang B , B thang C , C thang A b® (A, B, C) đưac gQI m®t tő hap tam giác Tìm giá tr% lán nhat cua so tő hap tam giác, biet rang có 14 ngưài chơi Giai • Kí hi¾u A1, A2, , A14 14 ngưịi chơi, Ai thang ngưòi khác (i = 1, 2, , 14) Neu ba ngưịi chơi khơng tao thành tő hop tam giác ba ngưịi se có m®t ngưòi thang hai ngưòi lai Suy so nhung b® khơng tő S= C3 Σ − i= C hop tam giác bang a i a i= lón nhat chi Σ14 Σ14 • Ta chúng minh rang i i= Ca nho nhat i C (quy ưóc C = C = 0) so tam giác tő hop bang Σ14 i= nho nhat |ai − aj| ≤ (1 ≤ i < j ≤ 14) Gia Ca i su ton tai − aj “ (i ƒ= j, ≤ i, j ≤ 14) Ta đ¾t aJi = − 1, aJj = aj + 1, aJk = ak (k ƒ= i, k ƒ= j, ≤ k ≤) Khi = C Σ aJ = Σ = 91 (Vì so tr¾n đau bang + C a a i i 1) so − + C2 ) = tr¾n a ( (C than Σ j Σ 2 C g) a − a a − Nhưi j + C ng i C J = −C a+ C1 (Công thúc Pascal) a j ⇒ Σ < C (m = −(ai − 1) + aj = −(ai − aj) + âu ≤ −2 + = −1 Σ th ua n) a i C2 a i Σ • Vì 14 = 91 |ai − aj| ≤ (1 ≤ i, j ≤ 14) Suy 2 S = C3 Σ so giá tr% a1, a2, , a14 phai có giá tr% bang giá tr% bang (7.7 + 7.6 = 91) suy giá tr% lón nhat cna S bang a i 1= − − C C (7.C + 7C )=C − 252 = 112 • Giá tr% cnc đai đat đưoc cHQN A1 thang A2, A3, A4, A5, A6, A7 thua A8, A9, A10, A11, A12, A13, A14 A2 thang A3, A4, A5, A6, A7, A8 thua A9, A10, A11, A12, A13, A14, A1 A3 thang A4, A5, A6, A7, A8, A9 thua A10, A11, A12, A13, A14, A1, A2 A4 thang A5, A6, A7, A8, A9, A10 thua A11, A12, A13, A14, A1, A2, A3 A5 thang A6, A7, A8, A9, A10, A11 thua A12, A13, A14, A1, A2, A3, A4 A6 thang A7, A8, A9, A10, A11, A12 thua A13, A14, A1, A2, A3, A4, A5 A7 thang A8, A9, A10, A11, A12, A13, A14 thua A , A , A , A 4, A , A A8 thang A9, A10, A11, A12, A13, A14, A1 thua A 2, A , A , A , A , A A9 thang A10, A11, A12, A13, A14, A1, A2 thua A , A4 , A5 , A , A7 , A8 10 A10 thang A11, A12, A13, A14, A1, A2, A3 thua A4, A5, A6, A7, A8, A9 11 A11 thang A12, A13, A14, A1, A2, A3, A4 thua A5, A6, A7, A8, A9, A10 12 A12 thang A13, A14, A1, A2, A3, A4, A5 thua A6, A7, A8, A9, A10, A11 13 A13 thang A14, A1, A2, A3, A4, A5, A6 thua A7, A8, A9, A10, A11, A12 14 A14 thang A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7 thua A8, A9, A10, A11, A12, A13 Trong trưịng hop ta có S = 112 Bài toán 2.109 Trên bang (nxn) (n “ 4) ta viet so ho¾c −1 Tích cua n so hàng, c®t khác đưac GQI l mđt so hang c ban Kớ hiắu S l tőng cua tat ca so hang ban Chúng minh rang vái bat kì cách viet so ho¾c −1 lên S chia het cho Giai ã Cú n cỏch cHQN mđt so a1 c®t thú m®t Có n − cách cHQN so a2 c®t thú khơng hàng vói a1 Có n − cách cHQN so a3 c®t thú khơng vói hàng a1 , a2 ·················· Có m®t cách cHQN an c®t n khơng hàng vói a1 , a2 , , an−1 thu đưoc m®t so hang ban Suy có n! so hang ban • Xét so aij(1 ≤ i, j ≤ n) bat kì, suy có (n − 1)! so hang có chúa aij (cHQN aij trưóc se có (n − 1)! cách cHQN n − thùa so cịn lai) V¾y aij đői dau (tù −1 thành ho¾c thành −1) se có tőng c®ng (n − 1)! so hang ban đői dau • Gia su aij đői dau có h so hang đői dau tù −1 thành suy có (n−1)!−h đői dau tù thành −1 Khi đői dau tù −1 thành tőng S tăng 2, đői dau tù −1 thành tőng S giam V¾y ta thu đưoc tőng mói SJ = S +2h−[(n − 1)! − h] V¾y moi lan đői dau cna aij tőng mói SJ = S + 2h − [(n − 1)! − h] V¾y moi lan đői dau cna aij tőng S thay đői m®t lưong bang ∆S = 4h − 2(n − 1)! chia het cho 4(n ≤ 4) • Xuat phát tù m®t tőng S bat kỳ, ta đői dau lan lưot so aij tù −1 thành Sau m®t so huu han bưóc ta nh¾n đưoc bang gom tồn so Tőng so hang ban thu đưoc nh¾n đưoc tù bang gom tồn so bang n! chia het cho (do n “ 4) Suy tőng S bat kì nêu phai chia het cho moi lan đői dau tőng thay đői m®t lưong chia het cho Bài tốn 2.110 Có 2n điem đoan thang AB cho chúng đoi xúng qua điem M cua đoan AB Trong so điem n điem đưac tơ n điem cịn lai đưac tô xanh Chúng minh rang tőng khoang cách tù A tái điem bang tőng khoang cách tù B tái điem xanh Giai • Xét trưịng hop đ¾c bi¾t n điem xanh nam bên trái M n điem đo nam bên phai M Trong trưòng hop tőng khoang cách tù A đen điem đo SA bang tőng khoang cách tù B đen cách điem xanh SB (theo gia thiet 2n điem xep đoi xúng qua điem giua M ) • Gia su vói m®t cách tơ mà có m®t điem đo nam bên trái M m®t điem xanh nam bên phai M (lan lưot GQI C D) Ta hốn đői v% trí cna C D J SA = SA + SBJ CD = SB + CD ⇒ S AJ − S = SA − SB B J suy đoi vói moi phép hốn đői v% trí v¾y hi¾u SA SB khụng thay i ã Hn nua sau mđt so huu han phép bien đői se nh¾n đưoc trưịng hop đ¾c bi¾t ban đau Trong trưịng hop đ¾c bi¾t ban đau ta có SA −SB = Suy trưòng hop bat kỳ ta có SAJ − SBJ = Bài tốn 2.111 Chỳng ta thờm dau cđng hoắc dau trự vo dãy so 1, 2, 3, , 2005 cho tőng đai so cua dãy nh¾n đưac khơng âm Tìm giá tr% nhó nhat cua tőng đai so nhắn ac 2005.2006 = 2005.1003 l mđt so le Mà moi lan đői dau tőng đai so khơng đői tính chan le a + b a − b Giai • Ta có + + + · · · + 2005 = tính chan le Suy bat kì tőng đai so no cng l mđt so le ã Ta cú tng đai so 1+(2−3−4+5)+(6−7−8+9)+· · ·+(2002−2003−2004+2005) = so le nho nhat Bài toán 2.112 Gia su MQI điem mắt phang ac tụ bỏi mđt ba mu Chỳng minh rang có ton tai hai điem màu mà khoang cách giua chúng bang Giai Neu chi tô bang hai màu hien nhiên tốn thoa mãn, lay m®t tam giác đeu bat kỳ vói canh đ® dài se ton tai hai đinh màu Gia su phan chúng rang có m®t cách tơ màu mà hai điem bat kỳ có khoang cách đưoc tô bang hai màu khác Ta lay hai điem A, B cho AB = √ 3, ve hai đưịng trịn có tâm lan lưot A, B đeu có bán kính bang cat tai C, D ⇒ CD = Theo gia thiet phan chúng đinh cna ∆ADC, ∆BDC đưoc tơ bang màu phân bi¾t Suy A khác màu C, D B khác màu C, D, tù suy A, B màu Ta xét ∆XY Z cho XY = XZ = √ 3, Y Z = 1, theo ket qua chúng minh ta suy Y X màu, Z X màu Suy Y, Z mau (mâu thuan) Bài toán 2.113 Gia su rang MQI điem mắt phang TQa đ ac tụ bang mđt hai màu Chúng minh rang ton tai m®t tam giác đeu có ba đsnh màu Giai Xét luc giác đeu ABCDEF có tâm S , gia su có m®t cách tô màu mà MQI tam giác đeu, đeu đưoc tơ đinh boi hhat hai màu (Gia su phan chúng) Gia su tâm S tô bang màu đen Theo gia thiet phan chúng đoi vói ∆BDF phai có m®t đinh đưoc tơ đen GQI đinh B Xét ∆ASB ⇒ A tô trang, ∆CSB ⇒ B tô trang Xét ∆ACE ⇒ E tô đen, xét ∆SEF ⇒ F tô trang, xét ∆AF G ⇒ G tô đen Suy ∆EBG có ba đinh màu (mâu thuan) Bài tốn 2.114 Gia su MQI điem m¾t phang đưac tơ bang m®t ba màu Chúng minh rang có ton tai m®t tam giác vng có ba đsnh màu Giai Lay hai điem màu A, B bat kỳ Đưịng trịn tâm O đưịng kính AB n®i tiep hình vng KNML Màu cna A, B a Neu m®t hai điem P, Q ∈ (O) có mau a Ví du P màu a ⇒ ∆APB tam giác vng có ba đinh màu a (bài tốn thoa mãn) Neu đưịng kính PQ cna (O) màu, ta xét tam giác vng XY Z n®i tiep đưịng trịn O có Y Z đưịng kính, cho {X, Y, Z} ∩ {A, B, P, Q} = ∅ Gia su phan chúng rang khơng ton tai tam giác vng có ba đinh đưoc tơ boi m®t màu Gia su P, Q màu b Xét ∆XPQ ⇒ X có màu khác b, xét ∆XAB ⇒ X có màu khác a ⇒ X có màu C Tương tn Z, Y có màu c (vơ lý) V¾y ta chi cịn xét trưòng hop P màu b, Q màu c Xét điem u ∈ KN (u ƒ= a) Vì ∆UAB vng suy U có màu khác a Xét màu cna K hai trưịng hop • K mau b xét ∆KPN ⇒ N có mau khác b, xét ∆NAB ⇒ N có màu khác a suy N có màu c Lay T ∈ NA, T ƒ= A ⇒ T khác màu c T khác màu a, tù suy T mau b ⇒ TKP đưoc tô boi m®t màu b (mâu thuan vói gia thiet phan chúng) • Neu K màu c Ta xét tam giác XY Z vng cna đưịng trịn ngoai tiep KNPC ⇒ ∆XY Z có ba đinh màu Bài tốn 2.115 M¾t phang đưac chia thành mien bái n đưàng thang Mői mien đưac tơ bang m®t hai màu Chúng minh rang có the tơ màu mien cho hai mien có màu có giao khơng nhieu m®t điem Giai Ta chúng minh quy nap sau • n = Hien nhiên hai mien đưoc tơ bang hai màu • Gia su tốn vói k > 1, ta chúng minh vói n = k + Trong k + đưịng thang ta cHQN m®t đưịng thang Theo gia thiet quy nap se có m®t cách tơ mien tao boi k đưòng thang thoa mãn yêu cau cna tốn Gia su tơ màu P J = P \{l} Nhung vùng cna cách tơ nam o bên mien đóng ho¾c mien vơ han Khi thêm đưịng thang l nhung mien đóng ho¾c mien vơ han có thêm đưịng thang l nhung mien có l qua đưoc chia thành hai mien mói Các mien mói phía l ta giu nguyên màu cũ nên thoa mãn gia thiet cna tốn Đoi vói mien mói phía dưói l ta đői màu Khi mien mói có màu khác mien phía l Hai mien mói canh khác màu vói hai mien ke khác màu cũ nên có màu khác Bài tốn 2.116 Mắt phang ac chia thnh mđt so mien bỏi n đưàng thang (n “ 3) Gia su tô màu (bang m®t màu) mien có giao vái nhieu nhat m®t điem tùy ý Chúng minh rang so mien đưac tô p ≤ n2 + n Giai Kí hi¾u S1 t¾p mien b% ch¾n đưoc tơ, S2 t¾p mien khơng b% ch¾n đưoc tơ Suy P = |S1| + |S2| • Xét trưòng hop n đưòng thang song song suy S1 = ∅ |S2| ≤ n + ⇒ p ≤ n + ≤n + (n “ 3) n • Moi đưịng thang cna HQ đưoc cat boi giao điem vói (n− 1) đưịng thang khác thành hai nua đoan thang nhieu nhat n− đoan thang (đ® dài dương) Tőng lai có 2n nua đoan thang nhieu nhat n(n − 2) đoan thang đe l¾p thành đưịng biên cna mien Moi nua đưịng thang hay đoan thang đeu thu®c biên cna nhat m®t mien Neu mien M ∈ S1 se đa giác k canh k “ Vì mien đưoc tơ giao tai nhieu nhat m®t điem nên so canh thu®c đa giác M chi đưoc dùng cho ⇒ 3|S1| so canh nhat đe tao thành đa n(n − 2) giác đưoc tô ⇒ 3|S1| ≤ Neu M ∈ S2 (mien vơ han đưoc tơ) gom hai nua đưịng thang Do so mien đưoc tơ khơng có canh chung ⇒ 2|S2| ≤ 2n (so n(n − 2) n(n + 1) nua đưòng thang) ⇒ | | ≤ n ⇒ P = | | + | + n= 2| ≤ S 3 S S Bài toán 2.117 Trờn bn c vua 8.8 chỳng ta thnc hiắn mđt phép bien đői sau: CHQN bat kì m®t hàng hay c®t thay đői đong thài màu cua tat ca cua sang màu đoi (ngưac lai) Có the sau mđt so bỏc bien i chỳng ta nhắn đưac bàn cà vái m®t đen Giai Gia su m®t hàng có k đen (8 − k) ô trang Khi bien đői ta nh¾n đưoc (8 − k) đen V¾y so ô đen thay đői m®t lưong (8 − k) − k = − 2k so chan Như v¾y sau m®t phép bien đői so đen thay đői m®t lưong chan Thoat đàu ta có 32 đen so đen cịn lai sau m®t so phép bien đői phai so chan Suy khụng the nhắn oc bn cũ vúi ỳng mđt ụ đen Bài tốn 2.118 Có the tơ bàn cà 1990.1990 bang hai màu trang đen cho bat kỳ hai ô đoi xúng qua tâm bàn cà có màu đoi (khác nhau) mői hàng, mői c®t so ô tô đen bang so ô tô trang Giai Ta chia bàn cị thành bon vng bang A, B, C, D (995.995) Neu X ∈ A, B, C, D l mđt bon hỡnh vuụng, kớ hiắu Wx so ô trang, Bx so ô tô đen cna X Do tính đoi xúng nên ta có Wx = BD Vì moi hàng moi c®t so trang bang so ô đen Ta suy WA + WB bang so ô trang o 995 hàng đau, mà moi hàng có 995 trang ⇒ WA + WB = 9952 Tương tn WB + WD = 9952 ( lắp luắn theo cđt) suy WB + WD vỡ 9952 = BD + WD = 2WA (mâu thuan) 9952 so le Ket lu¾n Trong lu¾n văn này, tác gia đ¾t hồn thành đưoc m®t so ket qua sau: (i)Đã trình bày toán tiep tuyen cnc tr% cna hai hàm so ban, g¾p nhieu kỳ thi đai hQc y = ax3 + bx2 + cx + d; y= ax2 + bx + c dx + c ; (ii) Đã trình bày bon dang tốn cnc tr% ban: tốn cnc tr% khơng su dung đao hàm, toán cnc tr% su dung đao hàm, toán cnc tr% lưong giác, toán cnc tr% tő hop; (iii) Đưa đưoc nhung toán cnc tr% tő hop; Tài li¾u tham khao [1] Nguyen Vũ Lương (2007), M®t so giang ve tốn tam giác, NXB Đai HQc Quoc Gia Hà N®i [2] Nguyen Vũ Lương (2009), Các giang ve bat thúc Bunhiacoxpki , NXB Đai HQc Quoc Gia Hà N®i [3] Nguyen Vũ Lương (2008), Các giang ve bat thúc Côsi , NXB Đai HQc Quoc Gia Hà Nđi [4] Nguyen Vn Mắu (2006), Bat ang thỳc %nh lí áp dnng , NXB Giáo Duc [5] Phan Huy Khai (2011), Các phương pháp giai toán giá tr% lán nhat, nhó nhat , NXB đai HQc Sư Pham [6] Nguyen NGQc Thu (2008), Phương pháp giai dang toán khao sát hàm so, NXB đai HQc Quoc Gia TP Ho Chí Minh [7] Đinh Th% Kim Phương (11/2012), Các chun đe tốn boi dưãng HQc sinh giói , Ky yeu h®i ngh% khoa HQc, Thái Nguyên [8] Pham Minh Phương ( 2010), M®t so chun đe tốn tő hap boi dưãng HQc sinh giói THPT, NXB Giáo duc Vi¾t Nam [9] Hồng Chí Thành (2001),Giáo trình tő hap, NXB Đai HQc Quoc gia Hà N®i [10]Tap chí tốn HQc tuői tre, Tuyen t¾p năm, NXB Giáo Duc, 2003 [11]Tài li¾u tù Internet ... b¾c .14 Hàm y = 1.2.1 1.2.2 ax + bx + c dx + e 19 Bài toán cnc tr% 19 Bài toán tiep tuyen 22 M®t so dang toán cEc tr% 31 2.1 Bài toán cnc tr%... 2.1 Bài toán cnc tr% không su dung đao hàm 31 2.2 Bài toán cnc tr% su dung đao hàm .38 2.3 Bài toán cnc tr% lưong giác 49 2.4 Bài toán cnc tr% tő hop 60 Ket lu¾n... KHOA HOC TU NHIÊN PHAN TH± HƯèNG M®T SO KY NĂNG GIAI BÀI TOÁN TIEP TUYEN, CUC TR± CUA CÁC HÀM SO CƠ BAN Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CAP Mã so: 60460113 LU¾N VĂN THAC SY TỐN HOC