Luận văn thạc sĩ về cực trị hàm lồi

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - NGUYỄN ĐÌNH THỌ VỀ CỰC TRỊ HÀM LỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2014 NGUYỄN ĐÌNH THỌ VỀ CỰC TRỊ HÀM LỒI Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH LÊ DŨNG MƯU MỤC LỤC Lời nói đầu ii Chương Các kiến thức giải tích lồi 1.1 Tập lồi 1.2 Hàm lồi 1.3 Dưới vi phân 11 1.3.1 Khái niệm 11 1.3.2 Phép tính với vi phân 14 1.4 Đạo hàm theo hướng tính khả vi hàm lồi Chương Cực tiểu hàm lồi tập lồi 17 19 2.1 Phát biểu toán 19 2.2 Sự tồn nghiệm tối ưu 23 2.3 Điều kiện tối ưu 26 2.3.1 Bài toán với ràng buộc đẳng thức 27 2.3.2 Bài toán với ràng buộc bất đẳng thức 29 2.4 Đối ngẫu Lagrange 32 2.5 Các phương pháp giải 35 2.5.1 Phương pháp chiếu đạo hàm 35 2.5.2 Thuật toán Frank-Wolfe 38 Chương Cực đại hàm lồi tập lồi 44 3.1 Phát biểu tốn 44 3.2 Tính chất 44 3.3 Các phương pháp giải 46 3.3.1 Phương pháp xấp xỉ 46 3.3.2 Phân hoạch khơng gian thuật tốn nhánh cận 52 Kết luận 62 Tài liệu tham khảo 63 i LỜI NÓI ĐẦU Cực trị hàm lồi tập lồi lớp tốn tối ưu hóa Cực tiểu hàm lồi tập lồi gọi quy hoạch lồi có tính chất điểm cực tiểu địa phương cực tiểu tuyệt đối Tính chất quan trọng cho phép lý thuyết có tính địa phương giới hạn, vi phân, áp dụng trực tiếp vào quy hoạch lồi Lý thuyết toán quy hoạch lồi nghiên cứu nhiều thu nhiều kết quan trọng dựa lý thuyết giải tích lồi tối ưu hóa Cực đại hàm lồi tập lồi có tính chất khác hẳn cực tiểu hàm lồi tập lồi, cụ thể ta thấy cực đại địa phương hàm lồi không thiết cực đại tuyệt đối Mục đích luận văn để trình bày tốn cực đại, cực tiểu hàm lồi tập lồi số phương pháp giải tốn Luận văn gồm có ba chương: Chương Các kiến thức giải tích lồi Trình bày số khái niệm, định nghĩa kết cần thiết liên quan đến tập lồi hàm lồi Chương Cực tiểu hàm lồi tập lồi Trình bày tốn cực tiểu hàm lồi tập lồi, tồn nghiệm tối ưu điều kiện tối ưu toán Đối ngẫu Lagrange Trình bày hai phương pháp giải tốn quy hoạch lồi phương pháp chiếu đạo hàm thuật toán Frank-Wolfe Chương Cực đại hàm lồi tập lồi Trình bày tốn cực đại hàm lồi tập lồi số tính chất Trình bày hai phương pháp giải tốn cực đại hàm lồi tập lồi phương pháp xấp xỉ ngồi thuật tốn nhánh cận Luận văn hoàn thành Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, hướng dẫn GS TSKH Lê Dũng Mưu Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS TSKH Lê Dũng Mưu, người tận tình hướng dẫn giúp đỡ em suốt trình nghiên cứu để em hồn thành luận văn ii Em bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới quý thầy, cô giáo Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội giảng dạy giúp đỡ em hồn thành khóa học Nhân dịp em xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, đồng nghiệp Trường THPT Ân Thi, gia đình bạn bè ln động viên, giúp đỡ tạo điệu kiện cho em mặt suốt trình học tập thực luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý thầy, cô giáo bạn đọc để luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn! iii Chương Các kiến thức giải tích lồi Chương trình bày số khái niệm, định nghĩa kết cần thiết liên quan đến tập lồi hàm lồi Nội dung chương tham khảo từ tài liệu [1], [2], [4], [9] 1.1 Tập lồi a,b  n Định nghĩa 1.1 Cho hai điểm (i) Đường thẳng qua hai điểm a b tập hợp có dạng x   n  x  αa  βb, α, β  , α  β  (ii) Đoạn thẳng nối hai điểm a b tập hợp có dạng x   Định nghĩa 1.2 Một tập n  x  αa  βb, α  0, β  0, α  β  C n gọi tập lồi, C chứa đoạn thẳng qua hai điểm Tức C tập lồi  x, y  C, λ 0,1 λx  1  λ y  C Định nghĩa 1.3 (i) Ta nói x tổ hợp lồi điểm (vectơ) k x   λj x j với x1, x2, , xk k λ j  0, j  1, 2, , k  λj  j1 j1 (ii) Ta nói x tổ hợp affine điểm (vectơ) k k x1, x2, , xk x   λ j x với  λ j  j j1 j1 Mệnh đề 1.1 Tập hợp C lồi chứa tổ hợp lồi điểm Tức C lồi k  k  , λ1, , λk k  cho  λ j  x , , x  C  λ j x j  C j1 k j1 Chương Các kiến thức giải tích lồi Định nghĩa 1.4 Một tập C gọi tập affine chứa đường thẳng qua hai điểm nó, tức C tập affine  x, y  C, λ   λx  1  λ y  C Định nghĩa 1.5 Siêu phẳng không gian n x   a x  α, n a n tập hợp điểm có dạng T vectơ khác α   Định nghĩa 1.6 Nửa khơng gian tập hợp có dạng x   a x  α, n a n Tập T vectơ khác α   , nửa khơng gian đóng x   a x  α nửa không gian mở n T Mệnh đề 1.2 Tập M   tập affine có dạng M L a với L không gian a  M Không gian L xác định Không gian L mệnh đề gọi không gian song song với M (hoặc không gian M ) Định nghĩa 1.7 Thứ nguyên (hay chiều) tập affine M thứ nguyên không gian song song với M ký hiệu dim M Mệnh đề 1.3 Bất kỳ tập affine M  n có số chiều r có dạng M x   n  Ax  b , (1.1) A ma trận cấp m  n , b  m rankA  n  r Ngược lại, tập hợp có dạng (1.1) với rankA  n  r tập affine có số chiều r Chương Các kiến thức giải tích lồi nghĩa 1.8 Các Định x , x1, , n gọi độc lập affine bao điểm xk affine chúng có thứ nguyên k Định nghĩa 1.9 Một tập hợp S  n gọi đơn hình có thứ ngun k (hoặc k  đơn hình), S tổ hợp lồi gọi đỉnh đơn hình k 1 vectơ độc lập affine Các vectơ Định nghĩa 1.10 Một tập gọi tập lồi đa diện, giao số hữu hạn nửa khơng gian đóng Dạng tường minh tập lồi đa diện cho sau:  j D : x   n a , x  a j  n   b j , j  1, 2, , m , b j   j  1, 2, , m , Nếu ta kí hiệu A ma trận có m hàng vectơ a j vectơ bT  j  1, 2, , m  b1,b2, ,bm  hệ viết là: D x   Ax  b n Định nghĩa 1.11 Một tập C gọi nón λ  0, x  C  λx  C (i) Một nón gọi nón lồi đồng thời tập lồi (ii) Một nón lồi gọi nón nhọn khơng chứa đường thẳng, ta nói O đỉnh nón Nếu nón lồi tập lồi đa diện ta nói nón lồi đa diện Định nghĩa 1.12 Cho C  n tập lồi x  C (i) Tập  NC  x  : w w, y  x  0, y  C  gọi nón pháp tuyến (ngồi) C x (ii) Tập NC  x  : w w, y  x gọi nón pháp tuyến (trong) C x  0, y  C  hàm f liên tục nên ta có lim   k f x k cách tính cận αk  α  Pk  nên ta có lim αk  βk  k  Do D bị chặn nên x k lim k  αk  βk   Mặt khác, theo α  Pk   βk   (3.9) có điểm tụ Giả sử x* điểm tụ   Không giảm tổng quát ta giả sử dãy x k j  dãy x k x k (để đơn * j , giản ký hiệu, ta viết xk  x* ) Do hàm f liên tục nên suy x k x  lim k   f x  f xk *  Dãy αk  dãy không tăng bị chặn nữa, dãy βk  β  lim k k dãy số thực không giảm bị chặn f * nên tồn βk Do đó, ta có β  f *  α Từ (3.9), ta có β  lim k Vậy điểm tụ x* dãy f * βk  f * Ví dụ 3.1 Xét tốn   f x  βk  lim f x k k  αk  f * nên tồn α  lim αk Hơn x  k  *  f *  lim αk  α k  nghiệm tối ưu toán  P  Hơn nữa, max  f x  f  x1, x2  1 x2  x2  xD ,  D  x  2  x      x 1  2 Lời giải Ta thấy f  x  x2 x hàm lồi  1, 2 3, 0  3, 2T  T  Lấy hình hộp P0  D với tập đỉnh V  P   1, , T 0 , Ta có 0  max f  x  x V  P0  T , f 3, 2  11  53 T 53 Lấy  ,  điểm chấp nhận D Ta có 0  f  ,   2 4 24 Suy 0  0 Do đó, ta thực chia hộp P0 thành hai hộp P11 P1 thỏa mãn P0  P11  P12 int P11  int P12    Hình hộp   1, P với tập đỉnh V  P 11 T , T 11 T 1, 2 2, 0  2,  0 , , T  Ta có (loại) 11  max f  x  x V  P11 f 2, 2   0     Hình hộp P với tập đỉnh V  P T 2 , 12    2,  T 12 12  max f  x  x V  P12  T ,  2,  3,  ,  3,  T  Ta có f 3, 2  11  0  Do đó, ta thực chia hộp P1 thành hai hộp P21 P2 thỏa mãn P12  P21  P22 int P21  int P22   2  Hình hộp P với tập đỉnh V  P T  2,1 , 21    2,  T 21 21  max f  x  x V  P21  int P31  int P32    Ta có f 3,1  10  0 T  : T f 3,1  10  0 chấp nhận ta đặt nên 3,1 điểm max  f  ,  , f 3,1 f 3,1  10      44   P với tập đỉnh V  P T 2 , 22    2,1 T 22 22  max f  x  x V  P22  T P2 thành hai hộp P31 P3 thỏa mãn P21  P31  P32 Mặt khác, ta nhận thấy 3,1  D mà hộp ,  3,1  Do đó, ta thực chia hộp  Hình T  3,  , ,  2, T  3,1 ,  3,  T  Ta có f 3, 2  11  0  Do đó, ta thực chia hộp P2 thành hai hộp P33 P3 thỏa P22  P33  P34 mãn int P33  int P34   Tiếp tục, ta thực tính cận trên hình hộp P31 P32 P33 P3 , , ,  T  T T 5   T   V P31   2, 0 , 2,1 ,  ,  ,  ,1 ;        T   5 T   T T  V P32    ,  ,  ,1 , 3, 0 , 3,1  ; 2      T T  T  T  V P33   2,1 , 2, 2 ,  ,1 ,  ,   ;   2     T  T  T T  V P34    ,1 ,  ,  , 3,1 , 3, 2  2      Ta có   max f  x  x V  P 31  f   31 32  max f  x  x V   P32    max f  x  x V  P 33  33 34  max f  x  x V P34   Do nghiệm toán 5  (loại);  ,1  7, 25    f 3,1  10  1 ; f 5    (loại);  ,  8, 25    f 3, 2  11  1 T x*  3,1 KẾT LUẬN Sau thời gian học tập Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy cô trực tiếp giảng dạy hướng dẫn, đặc biệt GS TSKH Lê Dũng Mưu, tơi hồn thành luận văn với đề tài “Về cực trị hàm lồi” Luận văn đạt số kết sau: Giới thiệu toán cực tiểu hàm lồi tập lồi, tồn nghiệm toán Điều kiện tối ưu cho toán cho toán với ràng buộc đẳng thức toán với ràng buộc bất đẳng thức Đối ngẫu Lagrange Trình bày hai phương pháp giải toán cực tiểu hàm lồi tập lồi phương pháp chiếu đạo hàm thuật toán Frank-Wolfe Giới thiệu toán cực đại hàm lồi tập lồi, tính chất Giới thiệu phép chia hộp phép chia đơn hình vét kiệt Trình bày hai phương pháp để giải tốn cực đại hàm lồi tập lồi phương pháp xấp xỉ ngồi thuật tốn nhánh cận Có thể xem luận văn bước tìm hiểu ban đầu toán cực đại, cực tiểu hàm lồi tập lồi Tác giả luận văn hy vọng có dịp tìm hiểu sâu lớp tốn quan trọng tối ưu tồn cục 62 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tài liệu Tiếng Việt [1] Nguyễn Thị Bạch Kim (2008), Giáo trình phương pháp tối ưu: Lý thuyết thuật toán, NXB Bách khoa - Hà Nội [2] Đỗ Văn Lưu Phan Huy Khải (2011), Giải tích lồi, NXB Khoa học Kĩ thuật Hà Nội [3] Lê Dũng Mưu (1998), Nhập môn phương pháp tối ưu, NXB Khoa học Kĩ thuật Hà Nội [4] Lê Dũng Mưu, Nguyễn Văn Hiền Nguyễn Hữu Điển (sẽ ra), Nhập mơn giải tích lồi ứng dụng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [5] Trần Vũ Thiệu Nguyễn Thị Thu Thủy (2011), Nhập môn tối ưu phi tuyến, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [6] Hoàng Tụy (2003), Lý thuyết tối ưu, Bài giảng lớp cao học, Viện Toán học Tài liệu Tiếng Anh [7] Stephn Boyd and Lieven Vandenberghe (2004), Convex Optimization, Cambridge University Press [8] P.M Pardalos and J.B Rosen (1987), Constrained Global Optimization: Algorithms and Applications, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York [9] Hoang Tuy (1998), Convex Analysis and Global Optimization, Kluwer Academic Publishers [10] Hoang Tuy (1983), “On outer approximation methods for solving concave minimization problems”, Acta Mathematica Vietnamica, 8, pp 3-34 63 64 65 66 67 68 69 i 70 ... cận 52 Kết luận 62 Tài liệu tham khảo 63 i LỜI NÓI ĐẦU Cực trị hàm lồi tập lồi lớp toán tối ưu hóa Cực tiểu hàm lồi tập lồi gọi quy hoạch lồi có tính chất điểm cực tiểu địa phương cực tiểu tuyệt... lồi, cụ thể ta thấy cực đại địa phương hàm lồi không thiết cực đại tuyệt đối Mục đích luận văn để trình bày tốn cực đại, cực tiểu hàm lồi tập lồi số phương pháp giải toán Luận văn gồm có ba chương:... hoạch lồi phương pháp chiếu đạo hàm thuật toán Frank-Wolfe Chương Cực đại hàm lồi tập lồi Trình bày toán cực đại hàm lồi tập lồi số tính chất Trình bày hai phương pháp giải toán cực đại hàm lồi