Luận văn thạc sĩ về bài toán tập độc lập có trọng số cực đại trên lớp đồ thị có độ rộng cây bị chặn

B GIO DC V O TO TRNG I HC s PHM H NI NGUYN YN TRNG V BI TON TP C LP * cú TRNG S cc I TRấN LP TH Cể RNG CY B CHN *** LUN VN THC s TON HC H Ni, 2015 NGUYN YNTRNG V BI TON TP C LP * Cể TRNG S cc I TRấN LP TH Cể ễ RNG CY BI CHN Chuyờn ngnh: Toỏn ng dng Mó s: 60 46 01 12 LUN VN THC s TON HC Ngi hng dn khoa hc: TS TRAN VNH C Li cam oan Tụi xin cam oan cỏc kt qu nghiờn cu lun ny l trung thc v khụng trựng lp vi cỏc ti khỏc Tụi cng xin cam oan mi thụng tin trớch dn lun ó c ch rừ ngun gc H Ni, thỏng 12 nm 2015 Hc viờn Nguyn Vn Trũng Li cm n Trc ht tụi xin by t lũng cm n chõn thnh n TS Trn Vnh c, b mụn Khoa Hc Mỏy Tớnh, Vin CNTT v TT, trũng i hc Bỏch Khoa H Ni l ngũi ó tn tỡnh hng dn tụi sut quỏ trỡnh lm lun tt nghip Tụi xin cm n cỏc thy, cụ giỏo Vin Toỏn Hc trũng i hc Bỏch Khoa, i hc S Phm H Ni ó ging dy tụi sut thũi gian hc ti trũng, xõy dng cho tụi kin thc nn tng v nhng kin thc chuyờn mụn tụi cú th hon thnh tt lun ny Tuy ó cú c gng nht nh nhng thũi gian v trỡnh cú hn nờn chc chn lun ny cũn nhng thiu sút v hn ch nht nh Kớnh mong nhn c s gúp ý ca thy cụ v cỏc bn H Ni, thỏng 12 nm 2015 Hc viờn Nguyn Vn Trũng Mc lc M u Nhng ý tng u tiờn ca Lý Thuyt th (LTT) c xut phỏt t nhng nm u ca th k 18 bi nh toỏn hc ngi Thy S Leonhard Euler ễng ó s dng th gii bi toỏn ni ting v cỏi cu thnh ph Kửnigsberg Tuy vy, lý thuyt th ch thc s phỏt trin t nhng nm 60 ca th k trúc Quyn sỏch u tiờn v lý thuyt th c Denes Kửnig vit nm 1936, nhng mói n nm 1958 quyn sỏch th hai v th mi c Claude Berge vit T ú n nay, lý thuyt th c phỏt trin mnh m s phỏt trin ca mỏy tớnh in t Hỡnh 0.1: Bi toỏn cõy cu thnh ph Kửnigsberg Ngun: Wikipedia LTT cú ng dng nhiu lnh vc khỏc Vớ d, in t, th thng c s dng xỏc nh cỏc mch vũng gii tớch mch in; húa hc ngi ta s dng LTT phõn bit cỏc hp cht húa hc hu ctớ c thnh phn phõn t ging nhng cu ỳc liờn kt khỏc nhau; mng mỏy tớnh ngi ta s dng LTT mụ hỡnh cỏc kt ni gia cỏc mỏy tớnh Cỏc khỏi nim rng cõy v phõn ró cõy ca th c gii thiu v phỏt trin bi Robertson & Seymour t nhng nm 80 cụng trỡnh ni ting nhm gii quyt gi thuyt v Graph Minor T ú n khỏi nim ny tỡm thy cú nhiu ng dng: phõn tớch mng xó hi, logic v phc tớnh toỏn, c s d liu, x lớ ngụn ng t nhiờn, phõn tớch cỏc ma trn tha Cú nhiu bi toỏn th quan trng v cú nhiu ng dng thuc lp bi toỏn NPkhú nh bi toỏn tụ mu, bi toỏn tỡm c lp cú trng s ln nht Vi nhng bi toỏn ny, ta khụng hy vng cú thut toỏn tt gii Tuy nhiờn, cú ớt nht hai cỏch tip cn tn cụng cỏc bi toỏn loi ny: S dng thut toỏn xp x chỳng ta khụng cn kt qu ỳng m ch cn kt qu vi chớnh xỏc nht nh S dng thut toỏn nhanh v tr v kt qu chớnh xỏc nhng hn ch trờn mt s lp th c bit Hng i ny ph thuc mnh vo cu trỳc ca cỏc th u vo Ngi ta tin rng nhiu bi toỏn th thc t cú cu trỳc n gin v ú cú thut toỏn hiu qu Trong phm vi lun ny thỡ chỳng tụi s xem xột phng phỏp gii quyt cỏc bi toỏn NP-khú theo hng th C th, chỳng tụi s nghiờn cu k thut phõn ró cõy tn cụng mt bi toỏn NP-khú ú l bi toỏn c lp cú trng s cc i Ngoi chng m u v kt lun, lun gm chng: Chng a mt s khỏi nim ca lý thuyt th, v mụ t ý tng v phõn ró cõy thụng qua phõn tớch bi toỏn c lp cc i trờn cõy Chng a cỏc khỏi nim v phõn ró cõy v rng cõy, xem xột mt s tớnh cht quan trng ca phõn ró cõy, v trỡnh by thut toỏn xõy dng Chng trỡnh by ng dng phõn ró cõy gii quyt bi toỏn c lp cú trng s cc i cho lúp th cú rng cõy b chn Chng Mt s khỏi nim c bn v th 1.1 Cỏc khỏi nim c bn v th Nh chỳng ta ó bit khỏi nim th xut hin t nhiu lnh vc khỏc cuc sng Trong mi lnh v riờng ca mỡnh, ngũi ta cn ti mt kiu th no ú Vỡ vy m cng xut hin nhiu loi th khỏc Song li ta cú th xp chỳng vo tỏm loi chớnh sau õy: th cú hng th vụ hng a th th cú hng a th vụ hng Trng cú hng Trng vụ hng a trng cú hng a trng vụ hng Trong khuụn kh lun ny ta ch xột n th vụ hng khụng cú khuyờn v khụng cú cnh bi nh ngha 1.1.1 Mt th G l mt cp cú th t G = (y, E), õy V l mt tp, cũn E l cỏc hai phn t ca V G Cỏc phn t ca V c gi l cỏc nh, cũn cỏc phn t ca E gi l cỏccnh ca vớ d 1.1.2 Xột th G = ( V, E) ú V = {a, b, c, d, z} E = {{a, b}, {a, d}, {b, z}, {c, d}, {d, z}} th ny cú th c v trờn mt phng dng cỏc ng v im nh hỡnh sau a Trong ú, cỏc im th hin cỏc nh, cũn cỏc ng ni gia hai nh biu din cnh ni gia hai nh ú nh ngha 1.1.3 Hai nh X v y gi l k (hay hng xúm) nu {.X, y} l mt cnh ca th Ta biu din th G = (V, E) bi danh sỏch cnh, ú mi nh V gi mt danh sỏch cỏc nh k vi V Vớ d 1.1.4 th bờn trỏi dúi õy cú danh sỏch cnh c mụ t dng bng nh bờn phi a b c d z b a d a b d z cd nh ngha 1.1.5 Hai th G\ v c gi l ng cu nu cú mt song ỏnh a t nh ca G\ n nh ca G2 cho {o;(a:), c(y)} l mt cnh ca Gi nu v ch nu {X, y} l mt cnh ca G2 - Song ỏnh a c gi l mt ng cu Vớ d 1.1.6 Hai th sau õy ng cu vi v ng cu a nh ngha bi: a(a) = t, a(ũ) = V, a(c) = w, a(d) = u a nh ngha 1.1.7 Bc ca mt nh V V b th G = (V, E) l s cnh ca G cha Ta ký hiu deg('u) l bc ca nh V Cú ngha rng deg('u) = \DV\ vi Dv = { e Ê E \ v Ê e } n h a deg b c d z 2 Vớ d 1.1.8 Cỏc nh ca th bờn trỏi cú bc c ch bi bng bờn phi nh lý 1.1.9 Tng cỏc bc deg(v), ly trờn mi nh hai ln s cnh: V ca th G = (y, E), bng J]deg(v) = 2\E\ ve V Vớ d 1.1.10 Tng bc ca th di õy bng hai ln s cnh vỡ mi cnh c tớnh hai ln tng bc Ly V l nh th th t 7r; Ly H l th nhn c bng cỏch loi V t H endfor return th t loi tr 7T; Vớ d 2.3.11 Xột th hỡnh 2.8 vi cỏc ch s ghi nh l s cnh cn fill-in ca nh ú Chng hn nh B cú s cn fill-in l vỡ th to bi cỏc nh hng xúm ca B cn thờm cnh to thnh mt Clique Hỡnh 2.9: th vi cỏc ch s l s cnh cn fill-in ca nh Ta duyt cỏc nh th theo th t t in Theo tiờu chn mt cnh cn fill-in nh nht ta c ta c: ft {) = Sau ú loi tr th v tớnh li s fill-in ú /T(D)=2 loi trD th ặ"(E)=6 loi tr E khũi th â âằ /T(G)=7 loi trG th â 7T(H)=8 Vy th t loi tr cn tỡm ca th l = (A, D, c, F,B,E,G,H) Chng ng dng vo bi toỏn c lp cú trng s cc i o 3.1 Bi toỏn c lp cc i cú trng s trờn cõy Gi s rng th xột l mt cõy T = (V, E) vi cỏc trng s dng W v liờn kt vi mi nh V G V Bi toỏn c lp cú trng s ln nht l tỡm c lp s th T = ( V , E) cho tng trng s J2 V ÊS l lón nht cú th Chỳng ta s thit k thut toỏn quy hoch ng gii quyt bi toỏn ny Trc tiờn chỳng ta th dựng thut toỏn tham lam gii bi toỏn ny Ta xột mt cnh e = { u , v}, vi Nu trng s W v > V l mt nh lỏ W u thỡ ta cú th la chn luụn v; nhiờn nu W v < W u , chỳng ta phi i mt vi tỡnh th tin thoỏi lng nan Nu nh u cú cỏc hng xúm V \ , v , , VÊ l cỏc lỏ, thỡ chỳng phi a quyt nh tng t vi V cho tt c nhng nh V ny Sau chỳng ta quyt nh khụng ly u vo c lp, chỳng ta cú th ly tt c cỏc nh lỏ k vi nú Vỡ vy i vi cõy cha u v nhng nh lỏ k vi nú, chỳng ta ch cú hai gii phỏp hp lý xem xột ú l: ly u hoc ly tt c nhng nh lỏ k vi u Chỳng ta s s dng nhng ý tng ny thit k mt thut toỏn quy hoch ng chy thũi gian a thc, u tiờn quyt nh cho mt thut toỏn quy hoch ng l nhng bi toỏn ca chỳng ta s l nh th no i vi bi toỏn tỡm c lp cú trng s ln nht, chỳng ta s xõy dng nhng bi ton bng cỏch ly gc ca cõy T mt nh r tựy ý v õy l thao tỏc nh hng tt c cỏc cnh ca cõy i t r C th, i vi bt k nh u r nh cha p{ự) ca u l nh lin k vi u dc theo ũng t gc r Nhng hng xúm khỏc ca u l ca nú v chỳng ta s s dng childrenu) biu th hp cỏc ca u Nỳt u v tt c nhng nh chỏu ca nú to thnh mt cõy T u cú gc l u Nhng bi toỏn ca chỳng ta s l nhng bi toỏn trờn nhng cõy T u ny Cõy T r l bi toỏn gc ca chỳng ta Nu n r l mt lỏ thỡ T u bao gm mt nh nht i vi nh u m tt c cỏc l nh lỏ, chỳng ta nhn thy T u l loi cõy ó tho lun trờn gii quyt bi toỏn bng quy hoch ng chỳng ta s bt u t lỏ v i dn lờn gc i vi mt nh u, chỳng ta mun gii quyt bi toỏn liờn kt vi cõy T u sau chỳng ta dó gii quyt nhng bi ton cho tt c cỏc nh ca nú cú c mt c lp S u cú trng s ln nht cho cõy T u Chỳng ta xem xột hai trũng hp sau: Nu nh u nm S u thỡ S u s khụng cha bt k nh no ca nú Nu nh u khụng nm S u thỡ S u cú th cha hoc khụng cha nhng nh ca nú iu ny cho ta thy, chỳng ta nờn nh ngha hai bi toỏn cho mi cõy T u , bi toỏn OPTn(x) s biu th trng s ln nht ca mt c lp ca T u m bao gm u v bi toỏn OPToutCu) v OPT n(ti) bng cỏch s dng nhng giỏ tr ca nhng nh ca u OPTin(u) = wu+ Ê OPTouttô) vechớldren(u) OP r out{u)= max(OPTout(i;), OPTn(ớ;)) vechớldren(u) S dng cụng thc quy ny, chỳng ta nhn c mt thut toỏn quy hoch ng bng cỏch xõy dng cỏc gii phỏp ti u trờn cỏc cõy ln dn Chỳngta xac dinh mang M o u ^[u] va M- m [u] git? cac gia tri tai OPTou^-u) va OPT^-ix) tiidng ling De xay diing nhiing giai phap, chung ta can phai xd ly tat ca nhiing dinh cua mot dinh triidc chung ta xd ly dinh Theo thuat ngii duyet cay, chung ta tham nhiing dinh cua mot dinh triidc chung ta xii ly dinh Cu the, thii tii duyet nhii sau: Thuat toan MWIS tren cay Dau vao: Cay T va ham, so W : V > M Dau ra: Trong so cua MWIS tren cay T Lay goc cay T tai r for moi dinh u cua T theo hau thii tii -^outM-0 M i n [u} = W u if u la dinh la else -^OUtt^] - Si; la v la cua ma x{M o u t {v),M i n {v)} u M i n [u] = W U + E jn cuaô v la cua M ou t(v) u endif 10 endfor 11 return ma x(Mout[r],Min[r]) Vớ d 3.1.1 Xột th sau vi giỏ tỡ mi cnh mi nh l trng s ca nh Ta ly gc ca cõy l nh T, v duyt cõy theo kiu hu th t t ỏi qua phi, th t duyt l: ch i d e a f j g b r u tiờn vi nh c, vỡ nh c l nh lỏ nờn nu ly c vo c lp thỡ M m = W c = 4, cũn nu khụng ly c thỡ Mout = Tdng t vúi nh h v nh u l nh lỏ nờn nu: M n [h] = Wh = 2, Mn = W = 7, Mn[i] = ta c: n nh d, vỡ nh d c hai nh l nh h v nh i nờn: MoutM = max{Mout[v] M n [v\ = + = Do h v i khụng cú nờn Mn[d] = Wd = Lm tng t vi cỏc nh cũn li, ta c Mout[r] = 38 v Mn[r] ú c lp cú ng s ln nht trờn cõy ny s cú 11 trng s l: Mon n Min M M M M s Tfr dử tọp dửc lọp S ta se bao gửm dinh r, diidc lay dinh / nen ta se khửng lọy cọc dinh cỹa nử, ta xet tiep tai cọc dinh chọu cỹa r trử xuửng Ta lọm tifdng ttf vửi cọc dinh chọu dử nhtf dinh r Ket qua tim diidc tap doc lap S cỹa cọy tren lọ: s= {r,c,h,i,e,f,g} 3.2 Bai toọn tim tọp doc lọp cd s5 ciic dai tren ldp dử thi co dử rửng cọy bi chọn Trong muc nọy, chỹng ta se phọt trien mot thuat toọn quy hoach dong vửi thửi gian tuyen tinh tren phọn rọ cọy de tim tap doc lap cử so ciic dai cỹa mot thi cho tnfửc Cho mot dử thi n dinh vửi mot so phọn rọ cọy lien quan cử dử rửng w, nử se chay thửi gian f(w).0(i), dử /() lọ mot họm mỹ mọ chi phu thuửc vọo rửng w chỹ khửng phọi tren so liidng dinh n cỹa dử thi Vọ nhu tnfửng hdp cỹa cọy mac du chỹng ta dang tap trung vọo bọi toọn tim tap doc lap cử so ctfc dai nhiing phiidng phọp tiep can nọy cử the tửng quọt cho nhieu bọi toọn NP-khử khọc Vi vay dử phỹc tap cỹa bọi toọn da diidc dọy khửi kichthc ca th v a vo rng cay, m rng cõy cú th nh hn rt nhiu so vi kớch thc ca th Trong thc t nhng mng ln th gii thc thũng cú rng cõy rt nh iu ny khụng phi ngu nhiờn, m cỏch cu trỳc hoc mụ-un m chỳng c thit k Vỡ vy nu chỳng ta gp phi mt mng 1000 nh vi cõy phõn ró cú rng 4, phng phỏp tho lun õy vụ cựng hiu qu cho nhiu bi toỏn NP-khú thit k cỏc thut toỏn chỳng ta nh li nhng gỡ chỳng ó lm vi trũng hp ca mt cõy T Sau chn gc cho T, chỳng ta xõy dng c lp bng cỏch xem xột t nhng nh lỏ Vi nhng nh u bờn trong, chỳng ta lit kờ cỏc kh nng lm vi u ly hoc khụng ly nú, quyt nh ny c c nh, cỏc bi toỏn cho cỏc cõy khỏc bờn di u tr nờn c lp Tng quỏt cho th G vi cõy phõn ró (T, cú rng w nhỡn rt ging Chỳng ta xỏc nh gc ca cõy T v xõy dng c lp bng cỏch xem xột cỏc V t nh lỏ tr lờn bng gc Ti mt nh t khụng phi nh lỏ ca T chỳng ta a cõu hi c bn sau õy: Tp c lp giao vi V bi u ca V Vy u nú nh th no? Vỡ vy chỳng ta lit kờ tt c cỏc kh nng cho u ú l tt c cỏc kh nng m cỏc nh cú H ly t V T V cú th cú kớch thc lờn ti w + iu ny cú th l W + kh nng xem xột u Nhng bõy gi chỳng ta khai thỏc hai thụng tin chớnh u tiờn nh lng W + l hp lý hn rt nhiu so vi 2" m w nh hn rt nhiu so vi n Th hai, chỳng ta cú th xỏc nh W + kh nng ny Nhng tớnh cht 1, tớnh cht phn tớnh cht ca phõn ró cõy m bo rng nhng bi toỏn nhng cõy ca di t cú th c gii quyt mt cỏch c lp Vỡ vy, chỳng ta gii quyt cho tỡm kim brute-force mc mt nht (khi ú bao gm tt c cỏc nh ca th), chỳng ta cú mt thut toỏn m khỏ hiu qu cp tng quỏt th c chia thnh cỏc cú kớch thc nh (cỏc phõn ró cõy) Xỏc nh bi toỏn Chỳng ta xỏc nh gc ca cõy T mt nh r i vi nh t bt k, cho T biu th cho cỏc cõy gc ti t Ta nh li rng Gx t biu th th ca cõy G gõy bi nhng nh tt c cỏc gn vi nhng nh ca T\ cho ký hiu n gin, chỳng ta s ký hiu th ny nh T i vi mt u ca trng s ca nhng nh u, cú ngha l: W(u) = Y, w V, chỳng ta s dng w () biu th tng UÊU Chỳng ta xỏc nh mt hp nhng bi toỏn cho mi cõy T tng ng vi mi u cú th ca V cú th i din cho phn giao ca c lp cn tỡm vi V Nh vy i vi mi c lp U G V, chỳng ta ký hiu biu th trng s ln nht ca mt c lp s ft{ự) G.Giỏ tr F{ự) khụng xỏc nh nu u khụng phi l mt c lp, vỡ trng hp ny chỳng ta bit rng u khụng th i din cho phn giao ca c lp cn tỡm vi V Cú nhiu nht l W + bi toỏn liờn kt vi mi nh t ca T, vỡ õy l s lng ti a cỏc c lp cú th cú ca V Bi tớnh cht c chỳng ta cú th gi s chỳng ta ang lm vic vi mt phõn ró cõy cú nhiu nht l n v ú núi chung cú tng cng ti a w + n bi toỏn Rừ rng nu chỳng ta cú nhng li gii cho tt c nhng bi toỏn ny, chỳng ta cú th xỏc nh trng s ln nht ca cỏc c lp G t cỏc bi toỏn liờn kt vi gc r chỳng ly giỏ ti ln nht trờn tt c cỏc c lp U Ê Vr ca ft{u) Xõy dng li gii Bõy gi chỳng ta ch lm th no xõy dng cỏc li gii cho nhng bi toỏn ny Tht d dng bt u Khi t l mt lỏ, ft{u) = w(u) cho mi c lp U ầ V Bõy gi gi s rng t cú d nh , , t, v chỳng ta ó xỏc nh c cỏc giỏ tr ca f ( U i ) cho mi nh ti vi mi c lp V ầ V., vic cn lm ca chỳng ta l xỏc nh giỏ tr ca f t (lớ) cho c lp U ầ V, Hỡnh 3.1: Bi toỏn /ớ (lớ) th G Trong li gii ti u cho bi toỏn ny chỳng ta xem xột nhng c lp Si th chỏu Gti v rng buc l: Si n vt = u n vtl Ly l c lp cú trng s ln nht i tng G vi yờu cu rng cú ngha l w (5) = f t (lớ) iu quan trng l phi bit giao ca s s ny nh th no giao vi mi th Gt, nh xut ong hỡnh 3.2.1 chỳng ta cho Si biu th cỏc vi nhng nh G t B 3.2.1 Si l c lp cú trng s ln nht ca G., phi chu s rng buc rng Si n V = ur\v t l B 3.2.1 l chớnh xỏc nhng gỡ chng ta thit k mt quan h quy cho nhng b toỏn ca chỳng ta Nú ni rng nhng thụng tin cn tớnh toỏn f t ( u ) tim n cỏc giỏ tr ó c tớnh toỏn cho cỏc cõy C th i vi mi nh ti chỳng ta ch n gin cn xỏc nh giỏ tr ca c lp cú trng s ln nht S ca G t phi rng buc rng S n V = u n v t l , rng buc ny nú núi rng cú th l bt ký c lp Ui c V, cho Ui n V = V n V Vỡ vy, trng s ca Si ti u l bng vi: max{/ (*) : Ui n V u n Vtv Ui ầ V, l c lp} Cui cựng, giỏ tr ca f t ( u ) ch n gin l w ( u ) cng vi nhng giỏ tr cc i trờn d ca t Nh vy chỳng ta cú: fi(u) = w(u) + ^ max { f ( u i ) w(u r i ) tha (3.1) U n V = u n V v U ầ V l c lp} Thut toỏn bõy gi ch xõy dng cỏc giỏ tr ca tt c cỏc bi toỏn t nh lỏ ca cõy T tr lờn trờn Thut toỏn MWIS u vo: th G, hm trng s w, v phõn ró cõy (T, Vi) u ra: Trng s ca MWIS Ti u phõn ró cõy Ly gc cõy T ti r for mi nh t ca T theo hu th t if t l nh lỏ then for mi c lp u ca V ft{u) = wu endfor else for mi c lp u ca V /() xỏc nh nh (3.1) 10 endfor 11 endif 12 endfor 13 return max { f i ( u ) I u l c lp ca V r } Vớ d 3.2.2 Xột thi v mt phõn ró cõy ca nú nh dúi õy Ta ly gc ca cõy, ca phõn ró cõy, ca th l nh ng vi (EGH) Khi ú ta cú th t duyt ca cõy l: (FBG), (ABC), (DCE), (CBE), (.BEG), (EGH) Bt u t nh (FBG), ta sinh mi u c lp ca nh ny: {0},{F},{B},{G} Do nú l mt nh lỏ nờn U v V ca nú l cũn /ớ(0) = 0, ft{F) = W F = 6, ft{B) = W B = 2, (G) = W Q = Ta lm tng t vi hai lỏ (ABC) v (DCE) Ti nh (CBE), nh ny cú cỏc u c lp l {0},{},{B},{F} Do nh ny khụng phi l nh lỏ m cú hai nh l (DCE) v (ABC) cỏc giỏ tr ti V s l (DCE) v (ABC), cũn cỏc giỏ tr U v ft(u) s c tớnh theo (3.1) u { }{ B { E {Ê } u )ÊF} {B} {G} V Vu (T BG (C BE (IB (C (F (C (IB (C BE Ui Ui 0U )ib {Q {B} m {G} u FrC Vti (BEG) Ui {E {G} (BEG) (BEG) El {G (H[ (BEG) [) 11 14 10 u i }P {C} {E} {im Vtỡ u { < ( C { B { E F, V ti * Ui FKU )0 u { ){4} {B> C } FtfU } 1 1 Ui (D CE (A BC DC (A (D CE (A (D (A V U < p < p p Hỡnh 3.3: Kt qu chy thut toỏn MWIS Tng t ta cú cỏc c lp ca nh gc ( E G H ) l v cỏc giỏ /ớ (0) = 11; f t ( G ) = 10, f t { H ) = 17 gỏ tr ng s ca c lp c ng s ln nht ca th l: ớU } iỡ, {A} C} {C} B E} {M Et(U FK 3 s Kt lun Lý thuyt th l mt lnh vc rng ln v cú nhiu ng dng Cỏc thut toỏn th ng dng mng mỏy tớnh, bn , phõn tớch mng xó hi, trự hc Tuy nhiờn nhiu bi toỏn quan trng ca lý thuyt th li thuc lp NP-khú Ngi ta khụng hy vng cú thut toỏn nhanh gii cỏc bi toỏn nh vy Khi phõn ró cõy c a ra, nú th hin tm quan trng ca mỡnh cỏc bi toỏn thc t c bit nú ch nhiu bi toỏn NP-khú cú th gii c hiu qu trờn lp th hay gp thc t: lp th cú rng cõy b chn C th, lun ny ch rng bi toỏn c lp cú trng s ln nht cú th gii hiu qu trờn lp th ny Thut toỏn tỡm phõn ró cõy c trỡnh by õy ch tỡm c mt phõn ró cõy ch khụng phi phõn ró cú rng nh nht tng hiu qu ca cỏc thut toỏn cú s dng phõn ró cõy, ta cn tỡm phõn ró cõy ti u Mt nhng hng m rng ca lun l tỡm hiu cỏc thut toỏn tỡm phõn ró cõy ti u, v ng dng nú vo nhiu lp bi toỏn khỏc