(Luận văn thạc sĩ) Về bài toán đảm bảo chi phí điều khiển trong thời gian hữu hạn của hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ(Luận văn thạc sĩ) Về bài toán đảm bảo chi phí điều khiển trong thời gian hữu hạn của hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ(Luận văn thạc sĩ) Về bài toán đảm bảo chi phí điều khiển trong thời gian hữu hạn của hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ(Luận văn thạc sĩ) Về bài toán đảm bảo chi phí điều khiển trong thời gian hữu hạn của hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ(Luận văn thạc sĩ) Về bài toán đảm bảo chi phí điều khiển trong thời gian hữu hạn của hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ(Luận văn thạc sĩ) Về bài toán đảm bảo chi phí điều khiển trong thời gian hữu hạn của hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ(Luận văn thạc sĩ) Về bài toán đảm bảo chi phí điều khiển trong thời gian hữu hạn của hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ(Luận văn thạc sĩ) Về bài toán đảm bảo chi phí điều khiển trong thời gian hữu hạn của hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ(Luận văn thạc sĩ) Về bài toán đảm bảo chi phí điều khiển trong thời gian hữu hạn của hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ(Luận văn thạc sĩ) Về bài toán đảm bảo chi phí điều khiển trong thời gian hữu hạn của hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ(Luận văn thạc sĩ) Về bài toán đảm bảo chi phí điều khiển trong thời gian hữu hạn của hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN VĂN HIẾN VỀ BÀI TỐN ĐẢM BẢO CHI PHÍ ĐIỀU KHIỂN TRONG THỜI GIAN HỮU HẠN CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH MẠNG NƠ RON PHÂN THỨ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - NGUYỄN VĂN HIẾN VỀ BÀI TỐN ĐẢM BẢO CHI PHÍ ĐIỀU KHIỂN TRONG THỜI GIAN HỮU HẠN CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH MẠNG NƠ RON PHÂN THỨ Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS MAI VIẾT THUẬN THÁI NGUYÊN - 2019 i Mục lục Một số ký hiệu chữ viết tắt ii Lời nói đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Giải tích phân thứ 1.1.1 Tích phân phân thứ 1.1.2 Đạo hàm phân thứ 1.2 Các định lí tồn nghiệm hệ phương trình vi phân phân thứ 1.3 Công thức nghiệm hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo 10 1.4 Một bổ đề bổ trợ 12 Chương Bài toán đảm bảo chi phí điều khiển thời gian hữu hạn cho hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ bất định 13 2.1 Phát biểu toán số tiêu chuẩn 13 2.2 Ví dụ minh họa 21 Chương Bài tốn đảm bảo chi phí điều khiển thời gian hữu hạn cho hệ phương trình mạng nơ ron chuyển mạch phân thứ 24 3.1 Phát biểu toán số tiêu chuẩn 24 3.2 Ví dụ minh họa 32 ii Một số ký hiệu chữ viết tắt R, R+ tập số thực, số thực không âm tương ứng Rn không gian vectơ Euclide thực n−chiều Rn×r khơng gian ma trận thực cỡ (n × r) C([a, b], Rn ) không gian hàm liên tục [a, b], nhận giá trị Rn AT ma trận chuyển vị ma trận A A = (A)ij phần tử Aij ma trận A diag{l1 , , ln } ma trận đường chéo I ma trận đơn vị A≥0 A ma trận không âm A≥B A−B ≥0 A>0 A ma trận dương α α t0 It , It tốn tử tích phân phân thứ Riemann-Liouville cấp α RL α t0 Dt toán tử đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville cấp α C α α t0 Dt , Dt toán tử đạo hàm phân thứ Caputo cấp α kết thúc chứng minh định lí bổ đề Lời nói đầu Mơ hình mạng nơ ron mơ tả hệ phương trình vi phân với đạo hàm bậc nguyên nghiên cứu L.O Chua L Yang vào năm 1988 [5] Mơ hình nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học năm gần ứng dụng rộng lớn xử lí tín hiệu, xử lí hình ảnh, tối ưu hóa lĩnh vực khác [2, 6, 17] Năm 2008, nghiên cứu mình, A Boroomand M.B Menhaj [2] lần mơ hình hóa mạng nơ ron hệ phương trình vi phân phân thứ (Caputo Riemann–Liouville) So với mạng nơ ron mơ tả hệ phương trình vi phân với đạo hàm bậc nguyên, mạng nơ ron mô tả hệ phương trình vi phân phân thứ (Caputo Riemann–Liouville) mơ tả đặc tính tính chất mạng nơ ron cách xác [2, 17] Do hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học Nhiều kết hay thú vị hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ công bố năm gần (xem [17, 18, 25] tài liệu tham khảo đó) Trong ứng dụng thực tế, ta cần phải xem xét dáng điệu véc tơ trạng thái hệ thống mô tả hệ phương trình vi phân phân thứ thời gian hữu hạn, giá trị lớn véc tơ trạng thái chấp nhận M.P Lazarevi´c cộng [10, 11] tác giả nghiên cứu tính ổn định hữu hạn thời gian (FTS) cho hệ động lực mô tả hệ phương trình vi phân phân thứ Khác với tốn ổn định theo nghĩa Lyapunov, nghiên cứu dáng điệu véc tơ trạng thái hệ phương trình vi phân phân thứ khoảng thời gian vô hạn, khái niệm ổn định hữu hạn thời gian nghiên cứu dáng điệu véc tơ trạng thái khoảng thời gian hữu hạn Cụ thể hệ phương trình vi phân phân thứ gọi FTS ta đưa giới hạn cho điều kiện ban đầu, véc tơ trạng thái hệ không vượt khỏi ngưỡng giới hạn suốt khoảng thời gian cho Bài tốn nghiên cứu tính ổn định hữu hạn thời gian cho số lớp hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học năm gần [4, 7, 21, 22, 23, 24] Mặt khác, tốn kỹ thuật, ngồi việc tìm cách thiết kế điều khiển làm cho hệ thống ổn định hữu hạn thời gian mà đảm bảo mức độ đầy đủ hiệu suất (guarantees an adequate level of performance) Bài toán gọi tốn đảm bảo chi phí điều khiển thời gian hữu hạn hệ động lực Nội dung toán việc thiết kế điều khiển để đảm bảo cho hệ thống điều khiển ổn định hữu hạn thời gian, ta phải dựa điều khiển tìm cận hàm mục tiêu (hàm chi phí) tương ứng Đối với hệ phương trình mạng nơ ron mơ tả hệ phương trình vi phân với bậc ngun có vài cơng trình nghiên cứu toán (xem [9]) Bài toán đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ nghiên cứu [18] Luận văn tập trung nghiên cứu toán đảm bảo chi phí điều khiển thời gian hữu hạn cho số lớp hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ Luận văn gồm có chương gồm nội dung sau: Trong chương 1, chúng tơi trình bày số khái niệm giải tích phân thứ tích phân đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, tích phân đạo hàm phân thứ Caputo Sau đó, chúng tơi trình bày số định lí tồn nghiệm Cuối chương, chúng tơi trình bày số bổ đề bổ trợ Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [8, 13, 14] Trong chương luận văn, trình bày số điều kiện đủ cho tốn đảm bảo chi phí điều khiển thời gian hữu hạn cho hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ bất định Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [18] Trong chương luận văn, chúng tơi nghiên cứu tốn đảm bảo chi phí điều khiển thời gian hữu hạn cho hệ phT P −1 x(t) + ω T (t)ω(t), (3.10) (3.11) (3.12) 2xT (t)P −1 Ewi Fwi (t)Hwi ω(t) T T ≤ xT (t)P −1 Ewi Ewi P −1 x(t) + ω T (t)Hwi Hwi ω(t) T T ≤ xT (t)P −1 Ewi Ewi P −1 x(t) + λmax (Hwi Hwi )ω T (t)ω(t) (3.13) 29 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ma trận điều kiện (A2), ta thu đánh giá sau 2xT (t)P −1 Di f (x(t)) ≤ xT (t)P −1 Di DiT P −1 x(t) + f T (x(t))f (x(t)) (3.14) ≤ xT (t)P −1 Di DiT P −1 x(t) + xT (t)LLx(t), 2xT (t)P −1 Edi Fdi (t)Hdi f (x(t)) T −1 T ≤ xT (t)P −1 Edi Edi P x(t) + f T (x(t))Hdi Hdi f (x(t)) T ≤ x (t)P −1 T −1 Edi Edi P x(t) + T λmax (Hdi Hdi )f T (x(t))f (x(t)) (3.15) T −1 T ≤ xT (t)P −1 Edi Edi P x(t) + λmax (Hdi Hdi )xT (t)LLx(t) Từ (3.9)–(3.15), ta thu đánh giá sau Dtα V (x(t)) ≤ η T (t)Li (P )η(t) + (1 + θ)ω T (t)ω(t), ∀t ∈ [0, Tf ], (3.16) η(t) = P −1 x(t) Chú ý x(t) ∈ Λi nên η(t) = P −1 x(t) ∈ Si η T (t)Li (P )η(t) < Từ lập luận (3.16), ta có Dtα V (x(t)) ≤ (1 + θ)ω T (t)ω(t), ∀t ∈ [0, Tf ] (3.17) Tích phân cấp α hai vế (3.17) từ đến t(0 < t < Tf ) sử dụng Định lý 1.5, ta thu xT (t)P −1 x(t) ≤ xT (0)P −1 x(0) + Itα ((1 + θ)ω T (t)ω(t)) 1+θ t = x (0)P x(0) + (t − s)α−1 ω T (s)ω(s)ds Γ(α) d(1 + θ) t T −1 ≤ x (0)P x(0) + (t − s)α−1 ds Γ(α) d(1 + θ) ≤ xT (0)P −1 x(0) + T α Γ(α + 1) f T −1 (3.18) Mặt khác, ta có 1 xT (t)P −1 x(t) =xT (t)R Pˆ R x(t) ≥λmin (Pˆ )xT (t)Rx(t) =ν1 xT (t)Rx(t), (3.19) 30 1 xT (0)P −1 x(0) = xT (0)R Pˆ R x(0) (3.20) ≤ λmax (Pˆ )xT (0)Rx(0) = ν2 xT (0)Rx(0) ≤ ν2 c1 Từ (3.18)–(3.20), ta nhận ν1 xT (t)Rx(t) ≤V (x(t)) = xT (t)P −1 x(t) ≤ν2 c1 + d(1 + θ) α T Γ(α + 1) f Điều kiện (iii) suy xT (t)Rx(t) < c2 Vậy, hệ (3.5) ổn định thời gian hữu hạn tương ứng với (c1 , c2 , Tf , R, d) Tiếp theo, chúng tơi tìm giá trị chi phí đảm bảo điều khiển cho hàm chi phí tồn phương (3.2) Từ điều kiện (3.17), ta có Dtα V (x(t)) ≤ η T (t)Ωi η(t)+(1+θ)ω T (t)ω(t)−xT (t)[Q1 +K T Q2 K]x(t), (3.21) −Ai P − P ATi + Bi Yi + YiT BiT + P Q1 P + YiT Q2 Yi Bằng cách sử dụng Bổ đề Schur, ta có Ωi < tương đương với điều kiện (ii) Ωi = Do đó, từ (ii) (3.21), ta suy Dtα V (x(t)) ≤ (1 + θ)ω T (t)ω(t) − xT (t)[Q1 + K T Q2 K]x(t), (3.22) Tích phân cấp α hai vế (3.22) từ đến Tf sử dụng Định lý 1.5, ta thu V (x(Tf )) − V (x(0)) ≤ ITαf ((1 + θ)ω T (t)ω(t)) − J(u) (3.23) Suy J(u) ≤ ITαf ((1 + θ)ω T (t)ω(t)) + V (x(0)) ≤ d(1 + θ) α T + ν2 c1 := J ∗ Γ(α + 1) f (3.24) V (x(Tf )) = xT (Tf )P −1 x(Tf ) ≥ Định lý chứng minh ✷ 31 Nhận xét 3.2 Từ Bổ đề 3.1, ta thấy điều kiện (i) Định lý 3.1 N thỏa mãn tồn số τi (i = 1, , N ) thỏa mãn < τi < 1, τi = i=1 cho N τi Li (P ) < M= (3.25) i=1 Bằng cách sử dụng Bổ đề Schur, ta nhận thấy điều kiện M < tương đương với điều kiện Ψ11 Ψ12 ΨT12 −Ψ22 < 0, (3.26) N τi Ψ11 = i=1 T (−Ai P − P ATi + Bi Yi + YiT BiT ) + i Eai Eai + Ebi EbiT T T + Di DiT + Edi Edi + Wi WiT + Ewi Ewi T T T T Ψ12 = τ1 P Ha1 τN P HaN τ1 Y1T Hb1 τN YNT HbN τ1 γ1 P L τN γN P L , Ψ22 = diag{τ1 I, , τN N I, τ1 I, , τN I, τ1 γ1 I, , τN γN I} Chú ý bất đẳng thức ma trận (3.26) đưa bất đẳng thức ma trận tuyến tính ta cố định N số dương τ1 , , τN Vì điều kiện (i) Định lý 3.1 giải số bất đẳng thức ma trận tuyến tính Nhận xét 3.3 Từ Định lý 3.1 Nhận xét 3.2, ta có bước sau để giải tốn đảm bảo chi phí điều khiển thời gian hữu hạn cho hệ phương trình mạng nơ ron chuyển mạch phân thứ (3.1) Bước Giải bất đẳng thức ma trận tuyến tính (3.26), bất đẳng thức ma trận tuyến tính điều kiện (ii), điều kiện (iii) Định lý 3.1 để tìm ma trận đối xứng, xác định dương P , ma trận Yi (i = 1, , N ), số dương i (i = 1, , N ); Bước Xây dựng tập Λi (i = 1, , N ); Bước Chọn quy tắc chuyển mạch hệ sau σ(x(t)) = i ∈ N , mà x(t) ∈ Λi ; 32 Bước u(t) = Yσ P −1 x(t) luật điểu khiển đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ (3.1) với giá trị đảm bảo chi phí điều khiển d(1 + θ) α T + ν2 c Γ(α + 1) f J∗ = 3.2 Ví dụ minh họa Trong mục này, chúng tơi đưa ví dụ minh họa cho kết lý thuyết mục trước Ví dụ 3.1 Xét hệ phương trình mạng nơ ron chuyển mạch phân thứ (3.1) với √ hai hệ con, tức N = tham số α = 0.95, ω(t) = 0.1 sin t, f (x(t)) = T (tanh x1 (t), x2 (t)) ∈ R2 , A1 = D1 = W1 = B1 = A2 = D2 = W2 = B2 = 0 , Ea1 = 0.2 −0.3 0.4 0.3 0.8 −2 0 0.7 0.1 0.3 0.4 0.5 −1 , Eb1 = , Ea2 = 0.2 0.5 1 , Ed2 = , Ew2 = , Eb2 = , Ha1 = 0.5 0.4 , Fa1 (t) = sin t, , Ed1 = , Ew1 = 0.1 0.3 0.1 0.3 0.5 0.3 , Hd1 = 0.1 0.4 , Fd1 (t) = cos t, , Hw1 = 0.5 , Fw1 (t) = sin t, , Hb1 = 0.5 , Fb1 (t) = sin t, , Ha2 = 0.3 0.4 , Fa2 (t) = cos t, 0.3 , Hd2 = 0.2 0.3 , Fd2 (t) = sin t, , Hw2 = , Fw2 (t) = sin t, , Hb2 = 0.9 , Fb2 (t) = cos t Cho trước Tf = 5, c1 = 1, c2 = 3, R = Ta thấy hàm kích hoạt f (x(t)) thỏa mãn điều kiện (A2) với L = diag{1, 1}, véc tơ nhiễu ω(t) thỏa mãn điều ... - NGUYỄN VĂN HIẾN VỀ BÀI TỐN ĐẢM BẢO CHI PHÍ ĐIỀU KHIỂN TRONG THỜI GIAN HỮU HẠN CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH MẠNG NƠ RON PHÂN THỨ Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC... với hệ phương trình mạng nơ ron mơ tả hệ phương trình vi phân với bậc ngun có vài cơng trình nghiên cứu toán (xem [9]) Bài toán đảm bảo chi phí điều khiển cho hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ. . .phân thứ Caputo; • Trình bày tiêu chuẩn cho tốn đảm bảo chi phí điều khiển thời gian hữu hạn cho hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ bất định; • Nghiên cứu tốn đảm bảo chi phí điều khiển thời gian