Luận văn thạc sĩ sử dụng hằng số giải bài toán cực trị

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - CẤN THỊ THU THẢO SỬ DỤNG HẰNG SỐ GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - CẤN THỊ THU THẢO SỬ DỤNG HẰNG SỐ GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS NGUYỄN VŨ LƢƠNG MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chƣơng Một số kết 1.1 Bất đẳng thức dạng trung bình AM – GM áp dụng 1.1.1 Bất đẳng thức AM – GM 1.1.2 Một số tốn cực trị có điều kiện dạng thức 1.1.3 Một số tốn cực trị có điều kiện dạng phân thức 12 1.2 Bất đẳng thức Cauchy – Schwarzt áp dụng .19 1.2.1 Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz 19 1.2.2 Hệ 20 1.2.3 Bài tập ứng dụng .21 1.2.4 Một dạng bất đẳng thức xoay vòng chứa 31 Chƣơng Một số kĩ sử dụng số 35 2.1 Sử dụng số nghiệm phƣơng trình thu đƣợc từ điều kiện toán 35 2.2 Sử dụng số nhƣ tham số toán 59 KẾT LUẬN .75 TÀI LIỆU THAM KHẢO 76 LỜI NÓI ĐẦU Bất đẳng thức vấn đề cổ điển xuất lĩnh vực toán học Bất đẳng thức áp dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực toán học nhiều ngành khoa học tự nhiên Một phận thường gặp toán bất đẳng thức tốn tìm cực trị Trong tốn cực trị việc sử dụng số xây dựng lời giải hay, ngắn gọn đơn giản Dưới hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Vũ Lương, tác giả hồn thành luận văn với đề tài: Sử dụng số giải toán cực trị Luận văn chia thành hai chương: Chƣơng Một số kết Trong chương này, tác giả trình bày số tốn tìm cực trị có sử dụng bắt đẳng thức AM – GM bất đẳng thức Cauchy – Schwarz Chƣơng Một số kĩ sử dụng số Trong chương tác giả trình bày số kĩ sử dụng số để tìm cực trị Những kĩ chia thành hai dạng: Sử dụng số nghiệm phương trình thu từ điều kiện tốn Sử dụng số tham số tốn Mặc dù có nhiều cố gắng, song thời gian trình độ cịn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, tác giả mong nhận góp ý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Qua luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Nguyễn Vũ Lương, người Thầy truyền cho tác giả có niềm say mê nghiên cứu Tốn học Thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả suốt q trình học tập hồn thiện luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phịng Đào tạo Sau đại học, Khoa Tốn – Cơ – Tin, thầy cô tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành luận văn Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 15 tháng năm 2014 Học viên Cấn Thị Thu Thảo CHƢƠNG I MỘT SỐ KẾT QUẢ CƠ BẢN 1.1 Bất đẳng thức dạng trung bình AM – GM áp dụng 1.1.1 Bất đẳng thức AM – GM Giả sử a1 ,a2 , ,an n số thực không âm, ta có: a1  a2   an  n (1) n a1a2 an Đẳng thức xảy  a  a   a n Chứng minh Có nhiều cách để chứng minh bất đẳng thức AM – GM Tuy nhiên, ta chứng minh phương pháp quy nạp Côsi - Với n = 2: a1  a2  a a a a2   a1a2   a1a2 Đẳng thức xảy  0 (Đúng)     a1  a2 a1 a2 - Giả sử bất đẳng thức (1) với n = k Ta chứng minh bất đẳng thức (1) với n = 2k Thật vậy, xét 2k số thực a1 ,a2 , ,ak ,ak1 , ,a2k  Sử dụng giả thiết quy nạp ta có   a1  a  2k  a 2k 12  a1  a  k  a k ak1  k  a 2k        k a a  k k ak1 a2k   k a1 ak k ak1 a2k  2k a1a2 ak a2k a  a   a k  Đẳng thức xảy  ak1  a k2   a 2k  k ak1ak2 a2k k  a1a2 ak   a1  a2   ak  a2k - Giả sử bất đẳng thức với n = p, ta chứng minh bất đẳng thức với n = p – Thật vậy, xét (p – 1) số a1,a2 , ,ap1  Sử dụng giả thiết quy nạp với n = p ta có: a1  a2   ap1  p1 a1a2 ap1 p  p a1a2 ap1.p1 a1a2 ap1  p1 a1a2 ap1  a1  a2   ap1  p1 a1a2 ap1  p.p1 a1a2 ap1  a1  a2   ap1  (p 1).p1 a1a2 ap1  a1  a2   ap1  p1 a1a2 ap1 p1 Đẳng thức xảy  a  a   a  p1 a a a p1 p1 Theo nguyên lý quy nạp ta có bất đẳng thức với n  , n  Vậy bất đẳng thức (1) chứng minh Nhận xét Bất đẳng thức AM – GM bất đẳng thức quen thuộc có ứng dụng rộng rãi Khi sử dụng bất đẳng thức ta cần ý tới điều kiện xảy dấu “=” a1  a2   an để tách hệ số cho phù hợp Khi giải tốn cực trị có sử dụng bất đẳng thức trung bình AM – GM việc mượn thêm hệ số thích hợp kĩ thuật quen thuộc 1.1.2 Một số toán cực trị có điều kiện dạng thức Bài (Mexico 2007) Cho a, b, c > a + b + c =1 Tìm giá trị lớn biểu thức: P  a  bc  b  ca  c  ab Giải Xuất phát từ điều kiện ta có: a  bc  a(a  b  c)  bc  (a  b)(a  c) Tương tự, ta có: b  ca  (b  c)(b  a) c  ab  (c  a)(c  b)  P  a  bc  b  ca  c  ab  (a  b)(a  c)  (b  c)(b  a)  (c  a)(c  b) Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: P abac bcba cac  b2  2  4(a  b  c) 2 a  b  a  c bcba Dấu xảy   cac  abc  abc  Vậy max P  abc Bài Cho a, b, c > ab + bc + ca = Tìm giá trị lớn biểu thức: P a  a2  3b  b2 Giải  c  c2 ... KHOA HỌC TỰ NHIÊN - CẤN THỊ THU THẢO SỬ DỤNG HẰNG SỐ GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC PGS... trình bày số tốn tìm cực trị có sử dụng bắt đẳng thức AM – GM bất đẳng thức Cauchy – Schwarz Chƣơng Một số kĩ sử dụng số Trong chương tác giả trình bày số kĩ sử dụng số để tìm cực trị Những kĩ... dựng lời giải hay, ngắn gọn đơn giản Dưới hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Vũ Lương, tác giả hồn thành luận văn với đề tài: Sử dụng số giải toán cực trị Luận văn chia thành hai chương: Chƣơng Một số kết