Luận văn thạc sĩ sử dụng đạo hàm khảo sát bất phương trình và chứng minh bất đẳng thức

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN NGUYEN TH± HUfi SU DUNG ĐAO HÀM KHAO SÁT BAT PHƯƠNG TRÌNH VÀ CHÚNG MINH BAT ĐANG THC LUắN VN THAC SY TON HOC H NđI - NĂM 2016 NGUYEN TH± HUfi SU DUNG ĐAO HÀM KHAO SÁT BAT PHƯƠNG TRÌNH VÀ CHÚNG MINH BAT ĐANG THÚC LU¾N VĂN THAC SY TỐN HOC Chun ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CAP Mã so: 60.46.01.13 Ngưài hưáng dan khoa HQC GS TSKH NGUYEN VN MắU H NđI - NM 2016 i Mnc lnc Ma đau M®t so kien thÉc ban ve hàm so 1.1 Hàm liên tuc hàm kha vi 1.1.1 Hàm liên tuc 1.1.2 Hàm kha vi 1.1.3 Công thúc Taylor 1.2 Hàm đơn đi¾u hàm b% ch¾n 1.3 Hàm loi, hàm lõm 1.4 Hàm đa thúc 1.4.1 Đa thúc Chebyshev 1.4.2 Đa thúc lưong giác 1.4.3 N®i suy Lagrange Bat thÉc, bat phương trình láp hàm kha vi 2.1 M®t so bat thúc chúa đao hàm quan TRQNG 2.1.1 Bat thúc Jensen dang liên quan 2.1.2 Bat thúc đoi vói lóp hàm loi b¾c cao 2.1.3 Bat thúc Landau Landau-Kolmogorov 2.2 Bat thúc chúa đao hàm lóp đa thúc đai so 2.3 M®t so dang tốn cnc tr% lóp hàm kha vi 2.4 M®t so dang bat phương trình lóp hàm kha vi 5 11 13 13 14 15 17 17 17 23 26 29 36 42 Các dang tốn ve bat phương trình bat thÉc qua kỳ thi Olympic 48 3.1 Phương trình, bat phương trình, h¾ phương trình 48 3.2 Bat thúc toán cnc tr% 56 3.2.1 Úng dung tính đơn đi¾u cna hàm so 56 3.2.2 Úng dung tính chat cna hàm loi 65 3.2.3 Úng dung bat thúc Jensen cho hàm loi kha vi 70 Ket lu¾n 76 Tài li¾u tham khao 77 Ma đau Bat thúc, bat phương trình m®t nhung phan quan TRQNG cna chương trình tốn phő thơng nhung tốn ve bat thúc, bat phương trình thưịng tốn khó địi hoi tính tư sáng tao cao Các tốn ve bat thúc, bat phương trình tốn ln có m¾t o hau het đe thi HQc sinh gioi cap tinh, cap quoc gia, đe thi Olympic Tốn quoc te Đe giai m®t tốn ve bat thúc, bat phương trình có rat nhieu cách khác khơng có phương pháp van đe giai quyet MQI toán.Tuy nhiên, phương pháp su dung đao hàm tính chat cna hm so l mđt cụng cu huu hiắu e giai tốn ve tìm đieu ki¾n cna tham so e mđt phng trỡnh, bat phng trỡnh, hắ phng trỡnh có nghi¾m thoa mãn u cau đó, đe chúng minh m®t bat thúc hay m®t tốn tìm cnc tr% cna bieu thúc Bên canh đó, bat thúc lóp hàm kha vi hi¾n cịn đưoc quan tâm giói thi¾u tài li¾u bang tieng Vi¾t như: Bat thúc Landau, bat thúc Kolmogorov, bat thúc Markov-Bernsterin m®t so bat thúc khác liên quan đen hàm loi kha vi Đây nhung bat thúc khó v chi xuat hiắn rai rỏc mđt so ti li¾u Vi¾c giói thi¾u bat thúc can thiet cho vi¾c boi dưõng nâng cao kien thúc cna ngưịi day tốn ve bat thúc liên quan đen hàm so kha vi Vì nhung lý cHQN đe tài "Su dung đao hàm đe khao sát bat phương trình chúng minh bat thúc" làm lu¾n văn khoa HQc chuyên ngành Phương pháp tốn sơ cap Cau trúc cna lu¾n văn gom ba phan: phan mo đau, phan n®i dung phan ket luắn Nđi dung luắn gom ba chng: Chương M®t so kien thúc ban ve hàm so Trong chương trình bày đ%nh nghĩa ve hàm so liên tuc, hàm so kha vi, hàm so đơn đi¾u, hàm so b% ch¾n, hàm loi, hàm lõm m®t so ket qua liên quan; cơng thúc Taylor, đa thúc Chebyshev tính chat, đa thúc lưong giác, tốn n®i suy Lagrange Chương Bat thúc, bat phương trình lóp hàm kha vi Trong chương trình bày bat thúc Jensen cho hàm loi kha vi dang liên quan, bat thúc Landau, bat thúc Kolmogorov, bat thúc Landau-Kolmogorov, mđt so bat ang thỳc oi vúi hm loi bắc cao, bat thúc đao hàm cna hàm đa thúc, bat thúc MarkovBernsterin; toán ve giá tr% lón nhat, giá tr% nho nhat cna hàm kha vi; bat phương trình lóp hàm kha vi Chương Các dang tốn ve bat phương trình bat thúc qua kỳ thi Olympic Trong chương h¾ thong tốn đe thi đai HQc, HQc sinh gioi cap tinh, thành ve phương trình, bat phương trình, h¾ phương trình; toán đe thi cap quoc gia, Olympic toán quoc te theo tùng chun đe: Úng dung tính đơn đi¾u, úng dung tính chat cna hàm loi kha vi, úng dung bat thúc Jensen cho hàm loi kha vi Trong thịi gian thnc hi¾n lu¾n văn, tác gia nh¾n đưoc sn hưóng dan chi bao t¾n tình cna GS.TSKH.Nguyen Văn M¾u Qua đây, tác gia xin đưoc bày to lòng biet ơn sâu sac trân TRQNG nhung cụng lao, sn quan tõm, đng viờn v sn tắn tình chi bao cna thay Nguyen Văn M¾u Tác gia chân thành cam ơn thay giáo, cô giáo khoa Tốn - Cơ -Tin HQc day bao t¾n tình; chân thành cam ơn thay cô Ban giám hi¾u, phịng Đào tao, văn phịng khoa Tốn - Cơ - Tin trưòng Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên Đai HQc quoc gia H Nđi ó tao MQI ieu kiắn thu¾n loi suot thịi gian tác gia HQc t¾p v thnc hiắn luắn H Nđi, thỏng 12 nm 2016 HQc viờn Nguyen Th% Huắ Chng Mđt so kien thÉc ban ve hàm so Trong chương trình bày đ%nh nghĩa ve hàm so liên tuc, hàm so kha vi, hàm so đơn đi¾u, hàm so b% chắn, hm loi, hm lừm v mđt so ket qua liên quan; công thúc Taylor, đa thúc Chebyshev tính chat, đa thúc lưong giác, tốn n®i suy Lagrange N®i dung chương dna theo tài li¾u [1], [2], [5], [6] 1.1 1.1.1 Hàm liên tnc hàm kha vi Hàm liên tnc Đ%nh nghĩa 1.1 (Hàm liên tuc) Cho hàm so f (x) xác đ%nh khoang (a, b), x0 (a, b) Hàm f (x) đưoc GQI liên tuc tai x0 neu lim f (x) = f (x0) ∈ x→x0 Đ%nh nghĩa 1.2 Hàm so f (x) đưoc GQI liên tuc khoang (a, b) neu liên tuc tai MQI điem thu®c khoang Đ%nh nghĩa 1.3 Hàm so f (x) đưoc GQI liên tuc đoan [a, b] neu liên tuc khoang (a, b) lim f (x) = f (a), = f (b) + x→a lim x→b− Đ%nh lý 1.1 Neu hàm so f (x) liên tuc đoan [a, b] f (a)f (b) < ton tai c ∈ (a, b) cho f (c) = Đ%nh lý 1.2 Neu hàm so f (x) liên tuc đoan [a, b] f (x) nh¾n MQI giá tr % trung gian giua f (a) f (b) Túc là, vói MQI M ∈ [min{f (a); f (b)}, max{f (a); f (b)}] ton tai giá tr% c ∈ [a, b] cho f (c) = M Đ%nh lý 1.3 Neu hàm so f (x) liên tuc đoan [a, b] hàm so đat đưoc giá tr% nho nhat lón nhat đoan [a, b] Túc là, ton tai x1, x2 ∈ [a, b] cho ∀x ∈ [a, b] ta có f (x1) ≤ f (x) ≤ f (x2) 1.1.2 Hàm kha vi Xét hàm so f (x) xác đ%nh (a, b) x0 ∈ (a, b) Đ%nh nghĩa 1.4 (Hàm kha vi) Hàm so f (x) đưoc GQI kha vi tai x0 neu ton tai f (x) − f (x0 ) giói han huu han lim Giói han đưoc GQI đao hàm cna hàm so x→x0 x − x0 f (x) tai x0 ký hi¾u f J (x0 ) Đ%nh nghĩa 1.5 Hàm so f (x) đưoc GQI kha vi phai tai x0 neu ton tai giói han f (x) − f (x0 ) huu han lim Giói han đưoc GQI đao hàm bên phai cna hàm so x→x0+ x − x0 f (x) tai x0 ký hi¾u f J (x0 +) Đ%nh nghĩa 1.6 Hàm so f (x) đưoc GQI kha vi trái tai x0 neu ton tai giói han huu han lim x→x−0 f (x) − f (x0 ) x − x0 Giói han đưoc GQI đao hàm bên trái cna hàm so f (x) tai x0 ký hi¾u f J (x0 −) Nh¾n xét 1.1 Hàm so f (x) có đao hàm tai x0 chi f J (x0 +), f J (x0 −) ton tai bang Đ%nh nghĩa 1.7 Hàm so f (x) đưoc GQI kha vi khoang (a, b) neu kha vi tai MQI điem thu®c khoang Đao hàm cna hàm so f (x) khoang (a, b) ký hi¾u f J (x) Đ%nh nghĩa 1.8 Cho hàm so f (x) kha vi khoang (a, b), neu f J (x) kha v% tai moi điem x ∈ (a, b) ta nói f (x) có đao hàm cap tai x ký hi¾u f JJ (x) Tương tn, cho hàm so f (x) có đao hàm cap n − 1, ký hi¾u f (n−1) (x)(n ∈ N, n ≥ 2) Neu f (n−1) (x) có đao hàm đao hàm cna đưoc GQI đao hàm cap n cna f (x) ký hi¾u f (n) (x) Đ%nh nghĩa 1.9 Đ%nh lý 1.4 (Đ%nh lý Rolle) Cho f (x) hàm so liên tuc đoan [a, b] kha vi khoang (a, b) Neu f (a) = f (b) ton tai nhat m®t điem c ∈ (a, b) cho f J (c) = H¾ qua 1.1 Neu hàm so f (x) có đao hàm khoang (a, b) phương trình f (x) = cú n nghiắm (ke ca bđi) thuđc khoang (a, b) phương trình f J (x) = cú ớt nhat n nghiắm (ke ca bđi) thu®c khoang (a, b) ( Phương trình f (k) (x) = có nhat n − k nghi¾m (ke ca b®i) thu®c khoang (a, b), vói k ∈ {1, 2, , n}) Nh¾n xét 1.2 Neu hàm f (x) hàm đa thúc b¾c n có n nghi¾m thnc f J (x) có n − nghi¾m thnc Đ%nh lý 1.5 (Đ%nh lý Lagrange) Cho f (x) hàm so liên tuc đoan [a, b] kha vi khoang (a, b) Khi đó, ton tai nhat m®t điem c ∈ (a, b) cho f (b) − f (a) b − a= f J (c) Đ%nh lý 1.6 (Đ%nh lý Cauchy ve giá tr% trung bình) Cho hàm so f (x), g(x) liên tuc đoan [a, b], kha vi khoang (a, b) g(a) ƒ= g(b) Khi đó, ton tai nhat m®t điem c ∈ (a, b) cho f (b) − f (a) f J (c) g(b) − g(a) = g J (c) Đ%nh lý 1.7 (Đ%nh lý Darboux) Cho hàm so f (x) kha vi khoang (a, b) c, d ∈ (a, b) Khi f J (x) nh¾n MQI giá tr% trung gian giua f J (c) f J (d) Đ%nh nghĩa 1.10 Cho hàm so f (x) xác đ%nh liên tuc khoang (a, b), điem x0 ∈ (a, b) đưoc GQI điem cnc tieu đ%a phương cna f (x) neu ∃δ > cho (x0 − δ; x0 + δ) ⊂ (a, b) f (x) ≥ f (x0 ), ∀x ∈ (x0 − δ; x0 + δ) Neu x0 điem cnc tieu đ%a phương cna −f (x) ta GQI x0 điem cnc đai đ%a phương cna f (x) Các điem cnc đai đ%a phương cnc tieu đ%a phương đưoc GQI chung điem cn tr% đ%a phương Đ%nh lý 1.8 (Đ%nh lý Fermat) Cho hàm so f (x) xác đ%nh khoang (a, b) Neu f (x) đat cnc tr% đ%a phương tai x0 f (x) kha vi tai x0 f J (x0 ) = 1.1.3 Công thÉc Taylor Đ%nh lý 1.9 Gia su f : U(a, δ) → R hàm kha vi liên tuc đen cap n − δ-lân c¾n U(a, δ) cna điem a có đao hàm huu han cap n tai điem a Khi đó, hàm f có the bieu dien đưoc dưói dang n (k) Σ f (a ) f (x) = (x − a)k + o((x − a)n) (1.1) k ! x → a, 0! = 1, f (0)(a) = f (a) k=0 Công thúc (1.1) đưoc GQI công thúc Taylor dang đ%a phương vói phan dư Peano Đ%nh lý 1.10 Gia su f : (a, b) → R kha vi liên tuc cap n khoang (a, b) có đao hàm cap n + tai moi điem cna khoang (a, b) có the trù điem x0 ∈ (a, b) Khi đó, giua điem x0 điem x ∈ (a, b) bat kỳ, ton tai điem ξ, cho n f f (x) =Σ (k) ( x 0) k! − (x x )k + R n+ (f ; x), (1.2) k=0 (x − ξ)n+1 f (n+1) (ξ), p ∈ R, p > Rn+1 (f ; x) = (1.3) x − x0 Σ p n!p x−ξ Công thúc (1.2) đưoc GQI công thúc Taylor đoi vói hàm f vói phan dư Rn+1 dưói dang Schlomilch - Roche Bang cách cHQN giá tr% p > hoàn toàn xác đ%nh, ta thu đưoc nhung trưịng hop riêng đoi vói phan dư Rn+1 (f ; x) Ta xét nhung trưòng hop quan TRQNG nhat p = n + p = Khi p = n + 1, tù (1.3), ta thu đưoc phan dư cna cơng thúc Taylor dưói dang Lagrange f (n+1)(ξ)(x − (n + 1)! x0) Rn+1 (f ; x) = n+ , ξ = x0 + θ(x − x0), < θ < (1.4) Khi p = 1, tù (1.3), ta thu đưoc phan dư cna cơng thúc Taylor dưói dang Cauchy Rn+1 (f ; x) = f (n+1) (x − + θ(x xn!0) x )) (x − n+ n, (1 − θ) < θ < 1, ξ = x0 + θ(x − x0) Nh¾n xét 1.3 Cơng thúc Maclaurin vói phan dư (1.4) (1.5) có dang tương úng Rn+1 (f ; x) = Rn+1 (f ; x) = (n+1) n+ f (θx) x , < θ < (dang Lagrange), (n + 1)! (1 − θ) (n + 1)! (n+1) f (θx) n (1.5) , < θ < (dang Cauchy) xn+1 Sau ta xét khai trien Maclaurin đoi vói m®t so hàm sơ cap đơn gian Ví dn 1.1 Hàm f (x) = ex, x ∈ R có f (n) (x) = ex ∀x ∈ R Do n ex = + x + x + · · · x + Rn(x), 2! n! + √ + 2x √ > 0, ∀x ∈ (0, 1), f JJ (x) = 3 x4 nên f (x) hàm loi (0, 1) Do theo bat thúc (3.3), ta có j f (a) ≥f j f (b) ≥f j 1 Σ a √− Σ √ Σ √ + f b√ − + f √ Σ f (c) ≥f √ Σ Σ c−√ + Tù đó, suy 1 Σ , Σ , Σ √ f √ f (a) + f (b) + f (c) ≥ f j Σ √ √ a+b+c − Σ M¾t khác √ Σ fJ √ Σ < a+b+c≤ √ √ 3(a2 + b2 + c2) = nên f (a) + f (b) + f (c) ≥ 3f Do + 3f √ 1+ √ 3 + a V¾y tốn đưoc chúng minh + b c √Σ = Σ − (a + b + c) ≥ Bài toán 3.22 Cho so thnc dương a, b, c thoa mãn a + b + c = Chúng minh rang Lài giai Xét hàm so a Ta có b c √ +1 +√ b2 + a +√ c2 + ≤√ 10 x J f (x) = √ , vói x ∈ (0, 1) xJJ2 + 1 3x f (x) = √ , f (x) = − √ < 0, ∀x ∈ (0, 1), (x2 + 1)3 (x2 + 1)5 nên f (x) hàm lõm (0, 1) Theo bat thúc (3.4), ta có 1 f (a) ≤ f J Σ a − Σ + f Σ , 3 1 f (b) ≤ f J Σ b − Σ + f Σ , 3 1 f (c) ≤ f J Σ c − Σ + f Σ Suy f (a) + f (b) + f (c) ≤ f J Σ Σ (a + b + c − 1) + 3f Đang thúc xay chi a = b = c = 3 = 10 Nhắn xột 3.6 Trong mđt so trưịng hop hàm so y = f (x) có f JJ (x) đői dau (a, b) ta van có đưoc đánh giá f (x) ≥ f (x0 ) + f J (x0 )(x − x0 ), ∀x, x0 ∈ (a, b) f (x) ≤ f (x0 ) + f J (x0 )(x − x0 ), ∀x, x0 ∈ (a, b), ho¾c thơng qua vi¾c cHQN x0 phù hop toi ưu vói tốn Bài tốn 3.23 (Chinese MO, 2005) Cho ba so thnc không âm a, b, c thoa mãn đieu ki¾n a + b + c = Chúng minh rang 10(a3 + b3 + c3) − 9(a5 + b5 + c5) ≤ Lài giai Ta thay rang, thúc xay a = b = c = Xét hàm so f (x) = 10x3 − 9x5, vói x ∈ (0, 1) CHQN x0 = , bieu thúc f (x ) + f J (x )(x − x ) = f1( ) + f1J ( )(x − 0 3 Ta có f (x) − 75x 16 − 27 Tiep theo, xét hàm so Σ 75x ) = 16− 27 27 (3x − 1)2 (−27x3 − 18x2 + 21x + 16) = 27 g(x) = −27x3 − 18x2 + 21x + 16, vói x ∈ (0, 1) Khi g J (x) = −81x2 − 36x + 21  x g J (x) = ⇔  − 1ƒ∈9 = x= (0, 1) ∈ (0, 1) Tù đó, suy hàm so g(x) đong bien khoang 0, 1 , 1Σ max g(x) = g Σ = 3 (0,1) Σ, ngh%ch bien khoang Do v¾y 75x 16 f (x) − − Σ ≤ 0, ∀x ∈ (0, 1), 27 27 hay f (x) ≤ 75x 27 − 16 27 , ∀x ∈ (0, 1) Do a, b, c ∈ (0, 1) nên áp dung đieu trên, ta có  27 ≤ − 16   f (b) f (a)75b 75a27 − c − 16 27 16 ≤  Suy f (c) ≤ f (a) + f (b) + f (c) ≤ 75a − 16 75b − 16 75c − 16 + + 2 75(7a + b + c) 7− 48 = 27 = 1, (do a + b + c = 1) V¾y 10(a3 + b3 + c3) − 9(a2 + b2 + c2) ≤ 1, ∀a, b, c ≥ a + b + c = Bài toán 3.24 (Rusisan MO, 2002) Cho ba so thnc không âm a, b, c thoa mãn đieu ki¾n a + b + c = Chúng minh rang √ √ √ a + b + c ≥ ab + bc + ca Lài giai Tù gia thiet, ta có = (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) đó, bat thúc can chúng minh tương đương vói √ √ √ a2 + b2 + c2 + a + b + c ≥ Ta thay rang, thúc xay a = b = c = Xét hàm so √ f (x) = x2 + x, vói x ∈ (0, 3) Khi J f (x) = 2x + √ x CHQN x0 = 1, bieu thúc f (x0 ) + f J (x0 )(x − x0 ) = f (1) + f J (1)(x − 1) = 3x Tiep theo, ta thay √ √ √ f (x) − 3x = x2 + x − 3x = ( x − 1)2(x + x) ≥ 0, ∀x ∈ (0, 3) Do a, b, c ∈ (0, 3) nên áp dung đieu trên, ta có  f (a) ≥ 3a f (b) ≥ 3b  f (c) ≥ 3c Do v¾y f (a) + f (b) + f (c) ≥ 3(a + b + c) = 9, vói MQI a, b, c ≥ a + b + c = Túc √ √ √ a2 + b2 + c2 + a + b + c ≥ 9, vói MQI a, b, c ≥ a + b + c = Bài toán 3.25 (Japanese MO, 1997) Cho ba so thnc dương a, b, c Chúng minh rang (a + b − c)2 (b + c − a)2 (c + a − b)2 + + ≥ (a + b)2 + c2 (b + c)2 + a2 (c + a)2 + b2 Lài giai Bat thúc thuan nhat nên không mat tính tőng quát, ta gia su a + b + c = Khi đó, bat thúc can chúng minh đưoc viet lai dưói dang (1 − 2a)2 ⇔ (1 − 2b)2 (1 − 2c)2 + + ≥ 2+ 2 − +3 c2 4a + a12 4b(1 −−4b (1 2−−a)4a b)2++1 b4c (14c −+c)1 ⇔ + + ≥ 2 − 2b + 1 2c2 − 2c + 2b− − 2a2 − 2a + + + − ≥ 2a − 2a + 2b2 − 2b + 2c2 − 2c + 1 27 ⇔ + + ≤ 2a2 − 2a + 2b2 − 2b + 2c2 − 2c + Xét hàm so f (x) = 2x2 − 2x +1 1) , vói x ∈ (0, 4x − f J (x) = − , (2x2 − 2x + 1)2 Ta có Σ f = , bieu thúc CHQN x0 f J(x ) + f (x 54 = 25 J J )(x − x ) = f ( ) + f1 ( )(x −1) = 54x + 27 0 3 25 Tiep theo, ta thay f (x) − 54x + 27 −2(5x3 27x2 + 1) 2(3x + 1)2(6x + 1) − = 25(2x2 − 2x + 1) 25(2x2 − 2x + 1) ≤ 0, ∀x ∈ (0, 1) 25 = f (x) ≤ Tù suy 54x + 27 , ∀x ∈ (0, 1) 25 Do a, b, c ∈ (0, 1), nên áp dung đieu ta có  25 54b   f (b) f (a) ≤ + 27 54a + 27 25 c + 27 ≤ 25   Tù suy f (c) ≤ 54(a + b + c) + 3.27 27 = 25 f (a) + f (b) + f (c) ≤ vói MQI a, b, c ∈ (0, 1) a + b + c = Túc 2a2 − 2a + + 2b2 − 2b + + 27 2c2 − 2c + ≤ V¾y (a + b − c)2 (b + c − a)2 (c + a − b)2 + + ≥ , vói MQI a, b, c > (a + b)2 + c2 (b + c)2 + a2 (c + a)2 + b2 3.2.3 Úng dnng bat thÉc Jensen cho hàm loi kha vi Trong phan tác gia trình bày m®t so tốn chúng minh bat thúc su dung bat thúc Jensen: Cho xi ∈ I(a, b), pi ≥ 0, i ∈ {1, 2, , n} Pn := n Σ pi > Khi i= Neu f (x) hàm loi I(a, b) ta có Σ1 n Σ pixiΣ f P n n ≤ P n i=1 pixiΣ P n ≥ P i=1 n pif (xi) (3.5) pif (xi) (3.6) i=1 Neu f (x) hàm lõm I(a, b) ta có n Σ1 Σn f i=1 Bài tốn 3.26 (Indian MO, 1995) Cho so thnc dương x1, x2, , xn có tőng bang Chúng minh rang x1 x2 xn √ +√ +···+√ ≥ 1− − x1 − x2 xn Lài giai Xét hàm so Ta có n n−1 x f (x) = √ , vói x ∈ (0, 1) 1−x √ f J (x) = x(−1) 1− x− √ −x 1−x nên √ 2−x = √ , (1 − x) − x √ 1−x Σ −1(1 − x) − x − (2 −1−x− √ 1−x − x) JJ f (x) = 4−x (1 − x)3 = √ − x(1 − x)2 Vì f JJ (x) > 0, vói MQI x ∈ (0, 1) nên f (x) hàm loi (0, 1) Áp dung bat thúc Jensen cho hàm loi f (x) ta đưoc đieu phai chúng minh Bài toán 3.27 (IMO Shortlist, 2009) Cho ba so thnc dương a, b, c thoa mãn 1 Chúng minh rang + + a b c 1 + + ≤ (2a + b + c)2 (2b + a + c)2 (2c + a + b)2 16 a + b + c = a + b + c= Lài giai Đau tiên ta thay bat thúc cho tương đương vói (a+b+c)2 (2a + b + + (2b + a + + (2c + a + Σ≤ (a+b+c) + a b + c Σ Ta se chi rang bat thúc vói MQI a, b, c > Th¾t v¾y, bat thúc tương đương vói + (1 + 1 ≤ (1 + b) (1 + Xét hàm so x f (x) = (1 + x)2 1 + + a b c Σ , vói x ∈ (0, 1) Ta có − x JJ 2(x − 2) f J (x) = , f (x) = (1 + x)3 (1 + x)4 Vì f JJ (x) ≤ 0, vói MQI x ∈ (0, 1) nên f (x) hàm lõm (0, 1) Khi áp dung bat thúc Jensen cho hàm lõm f (x), ta đưoc 1 1 1  a f (a) +b f (b) + f (c) ≤ + +  Σ f  1 1 a b c + + c a b c   Ta ý rang ≤ 1+ 1+ a b c a+b+c = 3 Nên a Σ b 1  1 31 f +c + + + Σ 1 = + +a b c  a b c ≤ Σ Σ 13 161 a b c f + + V¾y bat thúc cho đưoc chúng minh Bài toán 3.28 (IMO, 1995) Cho ba so thnc dương a, b, c thoa mãn abc = Chúng minh rang + + ≥ a3(b + c) b3(a + c) c3(a + b) 1 Lài giai Đ¾t x = , y = , z = Vì abc = xyz = nên ta có a b c x2 y2 z2 1 a3(b + c) Xét hàm so + b3(a + c) + c3(a + b) = y+z f (x) = , vói x ∈ (0, +∞) x + x+z + x+y Ta có , f JJ (x) = ≥ 0, ∀x ∈ (0, +∞), x2 x3 nên f (x) hàm loi khoang (0, +∞) Khi theo bat thúc Jensen, ta có f J (x) = − =x + x2 2 y + z y z f yf + y+ + Σ x + x + z z y Σ + x + z zf x+y Σ (y + z) + (Σ z ≥+ x) + (x + y) x+ y+ z (x + y + z)f x+y+z = Do √ x + y + z ≥ xyz = nên ta có đieu phai chúng minh Bài tốn 3.29 (Canadian MO, 2002) Chúng minh rang a3 b3 c3 + + ≥a+b+c bc ca ab vói MQI a, b, c > Lài giai Xét hàm so f (x) = −ln x vói x ∈ (0, Khi +∞) f JJ (x) = x2 > 0, ∀x ∈ (0, +∞) Do đó, f hàm loi (0, +∞) Theo bat thúc Jensen vói MQI a1 , a2 , a3 ∈ (0, +∞), ta có −ln Σ a1 + a2 + a3ln a3 ln a1 + ln a2 + = −ln ≤− 3 CHQN Khi đó, ta có a1 = a , a2 = b, a3 = c bc   a3 + b + c −l   a3 bc  ln n b ≤ − bc √3 a a a 123 Túc là, a3 + b + c ≤ 3a bc Tương tn, ta có b3 + a + c ≤ 3b ac c3 + a + b ≤ 3c ab Do vắy, cđng cỏc bat ang thỳc trờn ve theo ve, ta đưoc a3 b3 c3 + + ≥ a + b + c bc ca ab V¾y toán đưoc chúng minh Bài toán 3.30 (Australian MO, 2002) Cho a, b > so nguyên n Chúng minh rang + Đang thúc xay nào? a Σn b b = + Σn a n+ ≥ 21 Lài giai * Trưòng hop 1: n ≥ Xét hàm so f (x) = xn, vói x ∈ (0, +∞) Ta có f JJ (x) = n(n − 1)xn−2 > 0, vói MQI x ∈ (0, +∞) Do f (x) hàm loi (0, +∞) Khi đó, theo bat thúc Jensen, ta có  n a b n + + + Σ b a Σn b a   +b a + 1+ ≥2 a + b n     =2 1 + b a   Đang thúc xay a b b = a ⇔ a = b, ho¾c n = 0, ho¾c n = M¾t khác, theo bat thúc AM - GM, ta có a b + b a ≥ Do v¾y + a Σn b + + b Σn n ≥ 2.2 ≥ a Đang thúc xay a = b ho¾c n = * Trưịng hop 2: n ≤ −1 Đ¾t p = −n ≥ Khi 1+ a Σn b Σ Xét hàm so (a + n+1 a bp ⇔ ≥ + + b b)p + ap + bp ⇔ ≥ ap ≥ (a + b)p 2p−1 a+b Σp f (x) = xp hàm loi (0, +∞), vói p ≥ Do đó, theo bat thúc Jensen, ta có ap + bp ≥ a+b Σp Đang thúc xay a = b ho¾c p = 1, hay a = b ho¾c n = −1 Ket lu¾n Lu¾n văn "Su dung đao hàm khao sát bat phương trình chúng minh bat thúc" giai quyet nhung van đe sau: Lu¾n văn h¾ thong đay đn kien thúc ban bő tro ve tính liên tuc, tính kha vi, tính đơn đi¾u, tính b% ch¾n, tính loi lõm cna hàm so ket qua liên quan; công thúc Taylor dang phan dư Cauchy, Lagrange ví du minh HQA; đ%nh nghĩa tính chat cna đa thúc Chebyshev, đa thúc lưong giác, tốn n®i suy Lagrange Lu¾n văn trình bày đ%nh lý Jensen cho hàm kha vi vói chúng minh chi tiet v¾n dung cna đe chúng minh m®t so bat thúc thưịng g¾p chương trình tốn phő thơng như: bat thúc AG-MG, bat thúc Cauchy- Schwarz Bên canh lu¾n văn cịn trình bày đưoc bat thúc chúa đao hàm: Landau, Kolmogorov, Landau-Kolmogorov mà tài li¾u bang tieng Vi¾t đưoc đe c¾p đen Ngồi ra, lu¾n văn h¾ thong đưoc bat thúc lóp hàm đa thúc m®t cách tương đoi đay đn chi tiet Lu¾n văn hắ thong mđt cỏch tng oi ay n, phong phỳ dang t¾p ve bi¾n lu¾n so nghi¾m cna phương trình, bat phương trình, h¾ phương trình thưịng xuat hi¾n đe thi HQc sinh gioi cap tinh, thành pho; toán ve bat thúc, ve cnc tr% đe thi Olympic nưóc quoc te theo chuyên đe: Úng dung tính đơn đi¾u cna hàm so, úng dung tính chat cna hàm loi, úng dung bat thúc Jensen M¾c dù het súc co gang nghiêm túc trình HQc t¾p nghiên cúu khoa HQc thịi gian kha nhieu han che nên chac chan lu¾n văn cịn có nhung thieu sót Tác gia mong nh¾n đưoc nhieu nhung ý kien đóng góp cna q thay ban đong nghi¾p đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n Tài li¾u tham khao [A] Tieng Vi¾t [1]Y.Y Liashko , A C Boiachuk, Ia.G Gai, P Golovak (1970), Giai tích Tốn HQc- Các ví dn t¾p, T¾p 1, NXB Đai HQc Trung HQc chuyên nghi¾p [2]Nguyen Th% Dương Kieu (2010), %nh lý Rolle v mđt so ỏp dnng, Luắn Thac sĩ Toán HQc, ĐHKH ĐH Thái Nguyên [3]Nguyen Văn M¾u (1993), Phương pháp giai phương trình bat phương trình, NXB Giáo duc [4]Nguyen Văn M¾u, Lê NGQc Lăng, Pham The Long, Nguyen Minh Tuan (2006), Các đe thi Olympic Tốn sinh viên tồn quoc , NXB Giáo duc [5]Nguyen Văn M¾u (2006), Bat thúc đ%nh lý áp dnng, NXB Giáo duc [6]Nguyen Văn M¾u (2008), Các tốn n®i suy áp dnng, NXB Giáo duc [7]Nguyen Kim Tồn (2012), M®t so bat thúc đao hàm úng dnng, Lu¾n văn Thac sĩ Tốn HQc, ĐHKH ĐH Thái Nguyên [8]Tr%nh Khac Tuan (2015), Tuyen CHQN đe thi HQc sinh giói THPT mơn Tốn, NXB Đai HQc Quoc gia Hà N®i [B] Tieng Anh [9]Cerone P., Dragonir S S (2011), Mathematical Inequalities: A perspective, CRS press, Taylor and Francis Group, LLC, USA [10] Teodora-Liliana T.R., Vicentiu D.R., Titu Andreescu (2009), Problems in real analysis: Advanced calculus on real axis, Springer [11] Victor Prasolov (2001), Polynomial in Algorithms and computation in mathe- matics, Vol.11, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg ... bat phương trình bat thÉc qua kỳ thi Olympic 48 3.1 Phương trình, bat phương trình, h¾ phương trình 48 3.2 Bat thúc toán cnc tr% 56 3.2.1 Úng dung tính đơn đi¾u cna hàm. .. quan đen hàm so kha vi Vì nhung lý cHQN đe tài "Su dung đao hàm đe khao sát bat phương trình chúng minh bat thúc" làm lu¾n văn khoa HQc chuyên ngành Phương pháp tốn sơ cap Cau trúc cna lu¾n văn gom... tham so e mđt phương trình, bat phương trình, h¾ phương trình có nghi¾m thoa mãn u cau đó, đe chúng minh m®t bat thúc hay m®t tốn tìm cnc tr% cna bieu thúc Bên canh đó, bat thúc lóp hàm kha vi