Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức luận án ths toán học 60 46 01 13

Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức ĐẠI HỌC QUỐC GIA TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN  PHẠM THỊ LAN ANH MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HÀ NỘI - 2013 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN  PHẠM THỊ LAN ANH MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS Phan Huy Khải Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức Mục lục Lời nói đầu Chương 1: Mở đầu 1.1 Định nghĩa 1.2 Các tính chất bất đẳng thức: Chương 2: Bất đẳng thức Cauchy 2.1 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy 2.1.1 Bất đẳng thức Cauchy 2.1.2 Bất đẳng thức Cauchy bản: 2.1.3 Các toán minh họa .2 2.1.4 Một số tập tương tự 2.2 Phương pháp sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy 2.2.1 Bất đẳng thức Cauchy .8 2.2.2 Các toán minh họa .8 2.2.3 Một số toán tương tự 16 2.3 Phương pháp thêm bớt số 17 2.3.1 Phương pháp 17 2.3.2 Các toán minh họa: 17 2.3.3 Một số toán tương tự .23 2.4 Phương pháp thêm bớt biểu thức chứa biến 24 2.4.1 Phương pháp 24 2.4.2 Các toán minh họa: 24 2.4.3 Một số toán tương tự .38 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức 2.5 Phương pháp nhóm số hạng 40 2.5.1 Phương pháp thứ 40 2.5.1.1 Nội dung phương pháp .40 2.5.1.2 Các ví dụ minh họa: 40 2.5.2 Phương pháp thứ 44 2.5.2.1 Nội dung phương pháp .44 2.5.2.2 Các ví dụ minh họa 44 2.5.3 Một số toán tương tự .50 2.6 Phương pháp sử dụng kĩ thuật Cô-si ngược dấu 50 2.6.1 Phương pháp 50 2.6.2 Các toán minh họa: 50 2.6.3 Các tập tương tự 52 Chương 3: Phương pháp miền giá trị hàm số 53 3.1 Nội dung phương pháp 53 3.2 Các toán minh họa 53 3.3 Các tập tương tự .55 Chương 4: Phương pháp lượng giác hóa 56 4.1 Nội dung phương pháp 56 4.2 Các ví dụ minh họa 56 4.3 Bài tập tương tự 62 Chương 5: Phương pháp dùng chiều biến thiên hàm số .63 5.1 Nội dung phương pháp 63 5.2 Các toán minh họa: 63 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức 5.3 Các tập tương tự 69 Chương 6: Phương pháp sử dụng hình học 70 6.1 Nội dung phương pháp 70 6.2 Các toán minh họa .70 6.3 Các tập tương tự 74 Kết luận 75 Tài liệu tham khảo 76 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức Lời nói đầu Bất đẳng thức chun đề thú vị chương trình tốn học phổ thơng có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác toán học Trong đề thi chọn học sinh giỏi hay đề thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng năm gần tốn bất đẳng thức thường xuất dạng đề quen thuộc thường hiểu tốn để lấy điểm tối đa việc giải trọn vẹn tốn khơng phải đơn giản với phần lớn học sinh Lý thuyết bất đẳng thức trình bày nhiều sách khác từ phương pháp chứng minh bất đẳng thức đề cập để giải tốn bất đẳng thức Trong phạm vi luận văn này, chúng tơi trình bày tổng hợp vài phương pháp chứng minh bất đẳng thức quen thuộc để giải toán chương trình phổ thơng, phục vụ q trình dạy học mơn tốn Trong luận văn ngồi phần lời nói đầu kết luận bố cục trình bày sau: - Chương 1: Mở đầu Ở chương đưa khái niệm bất đẳng thức tính chất bất đẳng thức - Chương 2: Bất đẳng thức Cauchy Chương trình bày số phương pháp chứng minh bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức Cauchy, đưa phương pháp như:  Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy  Phương pháp sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy  Phương pháp thêm bớt số  Phương pháp thêm bớt biểu thức chứa biến  Phương pháp nhóm số hạng  Phương pháp sử dụng kĩ thuật Cauchy ngược dấu - Chương 3: Phương pháp miền giá trị hàm số Chương trình bày cách từ miền giá trị biến số để tìm miền giá trị hàm số, từ xác định điểm cực trị hàm số miền giá trị để chứng minh bất đẳng thức Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức - Chương 4: Phương pháp lượng giác hóa Chương trình bày phương pháp sử dụng hệ thức lượng giác biến đổi bất đẳng thức trở thành hệ thức lượng giác quen thuộc để chứng minh bất đẳng thức - Chương 5: Phương pháp sử dụng chiều biến thiên hàm số Chương trình bày phương pháp lựa chọn hàm số từ bất đẳng thức để từ qua đạo hàm ta thấy chiều biến thiên khoảng xác định để chứng minh bất đẳng thức ban đầu - Chương 6: Phương pháp sử dụng hình học Chương trình bày phương pháp biến đổi bất đẳng thức trở thành biểu thức chứa yếu tố hình học, từ bất đẳng thức hình học quen thuộc ta chứng minh bất đẳng thức ban đầu Luận văn hoàn thành với hướng dẫn PGS.TS Phan Huy Khải, thầy hướng dẫn tạo điều kiện cho hoàn thành luận văn này, xin chân thành cảm ơn Thầy Tôi xin gửi lời cám ơn đến thầy giáo khoa Tốn – Tin cán giáo viên khoa sau đại học trường ĐH KHTN-ĐH QG HN bạn bè lớp cao học toán khóa 2011-2013, người dạy dỗ, hướng dẫn giúp đỡ tơi suốt q trình học tập trường Sau xin gửi lời tri ân tới cha mẹ, người thân tạo điều kiện tốt cho tơi hồn thành chương trình thạc sĩ Hà Nội, ngày 30 tháng 11 năm 2013 Phạm Thị Lan Anh Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức Chƣơng 1: Mở đầu 1.1 1.2 Định nghĩa: Cho A, B biểu thức Khi đó, bất đẳng thức là: A>B⟺A−B> A < B ⟺ A − B < Các tính chất bất đẳng thức: 1.2.1 Tính chất bắc cầu: Nếu a > ��à � > ì > � 1.2.2 Nếu a > � �à � > � ��ì: ma > � > ma < �� ��� � < 1.2.3 Nếu a > �; � > � ��ì � + � > � + � 1.2.4 Nếu a > �; � < � ��ì � − � > � − � 1.2.5 Nếu a > � > 0; � > � > ì �� > �� 1.2.6 ��ì a b Nếu a > � > 0; � > � > > c d 1.2.7 Nếu a > � > ì � > � ⟺ a2 > b2 1.2.8 Nếu a > � ⟺ a3 > b3 1.2.9 Các bất đẳng thức liên quan đến hệ số mũ logarit: Nếu a > ��ì x1 > x2 ⟺ ax1 > ax2 1.2.10 Nếu < � < ��ì x1 > x2 ⟺ ax1 < ax2 Nếu a > ì � > � > ⟺ loga c > loga d Nếu < � < ì � > � > ⟺ loga c < loga d Các bất đẳng thức với dấu giá trị tuyệt đối: Cho α > ��� đó: A>� A >�⟺ A b + a 1 +a+b+c >+0.≥ b ; ∀a c > 0; b > 0, c + a Chú ý : Dạng tương đương bất đẳng thức là: 1 ∀a > 0; b > + ≥ a b a+ ∀a > 0; b > 0, c > b 1 + + ≥ a b c a+b+c Dạng bất đẳng thức Cauchy tổng quát 1 + ⋯ + ≥ n2 (a1 + + ⋯ + an ) + a1 ∀a a2 an a2 1 i > 0; i = , n n2 ⇔ a1 + + ⋯ +> an + + ⋯ + ∀ai ≥ 0; i = , n a2 an a2 a1 Dấu “ = “ xảy a1 = a2 = ⋯ = an 2.1.3 Các toán minh họa Ch o x Bài toán 1 1 > 0; y > 0; z > thỏa mãn điều kiện + + x y z = Chứng minh rằng: 2x + y +z + ≤ 1 + x + 2y �+�+ 2� +z Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số x; x; y; z ta được: f′ (x) f(x) Ta có < tan 18 + π π < + < nên ⇒ ⇒ f ′ t = t = − t2 t Ta có bảng biến thiên: t f ′ (t) f(t) - + Vậy với ∀t > f t ≥ f = 3 ⇔ S ≥ = 2 Bài toán 6: Cho ΔABC nhọn với A góc lớn nhất, chứng minh rằng: sin 2B + sin 2C + sin A ≤ 73 Lời giải: = sin B + C cos B Ta có sin 2B + sin sin − C + 2C + A ≤ sin sin A + A sinA Dấu “ = “ xảy B = C π π Do ΔABC nhọn A lớn nên ≤ A < ≤ sin A < ta có hay 2 ta có bảng biến thiên sau: Xét f x = 2x +Với x ∈ ; ⇒ f ′ t = − x t2 x f ′ (x)f(x) 73 3 Vậy max f x = f = hay sin 2B + sin 2C + B = C hay ΔABC Dấu “ = “ xảy sin A = ⇔ sin ≤ A 5.3 Các tập tương tự π Bài 1: Cho < Chứng minh: α< a sin 2α < α> α3 3α − α3 b tan α − sin 5π Bài 2: Cho x, y ∈ 0; x sin y y sin x Chứng minh rằng: cos x + y ; < x sin 12 y y sin x Bài 3: Cho x > Chứng minh rằng: lnx < x Bài 4: Cho n số nguyên dương, a ≥ 0, b ≥ a + b = Chứng minh rằng: n n a +b ≥ 2n−1 Bài 5: Chứng minh ΔABC ta ln có: 125 2 P = + cos A + cos B + cos C ≥ π Bài 6: Cho ΔABC có ≥ A ≥ B ≥ C Chứng minh rằng: R ≤ + r Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức Chƣơng 6: Phƣơng pháp sử dụng hình học 6.1 Nội dung phương pháp Sử dụng tính chất hình học sơ cấp như: - Trong đường nối điểm A B đoạn thẳng AB có độ dài bé - Trong tam giác tổng cạnh lớn cạnh cịn lại - Cho M ngồi đường thẳng, đoạn thẳng kẻ từ M vng góc với đường thẳng đoạn ngắn đoạn thẳng kẻ từ M đến đường thẳng - Trong tam giác nội tiếp đường trịn tam giác tam giác có chu vi diện tích lớn 6.2 Các toán minh họa Bài toán 1: A Cho ba số dương a, b, c Chứng minh rằng: a a − ab + b + b − bc + c ≥ a + ac + c 2 2 2 O b B Lời giải: c Đặt OA = a, OB = b, OC = c A OB = B OC = 60 A OC = 120o o Theo định lý hàm cosin ta có: C `AB = a2 − 2ab cos 60o + b2 = a2 − ab + b2 BC = b2 − 2bc cos 60o + c2 = b2 − bc + c A AC = a2 − 2ac cos 120o + c2 = a2 + ac + c2 a Vì AC ≤ AB + BC nên a2 − ab + b2 + b2 − bc + c2 ≥ a2 + ac + c b O Dấu “ = “ xảy ⇔ A, B, C thẳng hàng b c−b 1 Khi A, B, C thẳng hàng = ⇔ + = ta có a a c b a 13 c C B Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức Bài toán 2: Cho số dương a, b, c Chứng minh rằng: a2 + ab + b2 + b2 + bc + c2 > c2 + ca + a2 Lời giải: Đặt OA = a, OB = b, OC = c Với A OB = 120o , B OC = 120o , C OA = 120o Áp dụng định lý hàm cosin ta có: A AB = a2 + ab + b2 a O B b c BC = b + bc + C c2 CA = c2 + ca + a2 Mà ΔABC ta ln có AC < �� + �� �ê� ��� �� đ�ề� ��ả� ��ứ�� ���� Bài toán Cho số dương a, b, c a ≥ c, b ≥ c Chứng minh rằng: c a + c + c b − c ≤ ab Lời giải: Dựng tam giác cân ABC ABD chung đáy AB = c; AC = a; AD = b Nếu a = c C ≡ H Nếu b = c D ≡ H C Với H trung điểm AB Ta có S ABC D = a a AB CD = c CH + HD cHc B A 71 b b Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức D Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức =ca−c+b−c Do SABCD = 2SCBD = a b sin C BD ≤ ab Vậy c a − c + b − c ≤ ab Dấu “ = “ xảy ⇔ sin C BD = 90o ⇔ BH2 = BC2 + 1 ⇔ = + BD2 c a b Bài toán 4: Cho số dương x, y, z thỏa mãn hệ thức xy x + y + z = Chứng minh: x + y x + z ≥ Lời giải: Xét ΔABC với ba cạnh AB = x + y, AC = x + z, BC = y + z Gọi p nửa chu vi ta có p = x +y+z Đường tròn nội tiếp tiếp xúc BC, CA, AB M, N, P Ta có AN = AP = p − BC = x + y + z − y + z CP = CN = z 1 B = AB AC sin B AC ≤ AB AC Ta có S ABC N P = x Tương tự BM = BP = y ⇒ SABC ≤ x + y x + z 13 A I M C Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức Dấu “ = “ xảy ⇔ sin B AC = 90o ⇔ y + z = x + y + x + z 13 ⇔ yz = x2 + x y + z Theo cơng thức Heron ta có ∶ SABC = p p − AB p − BC p − CA = x + y + z xyz = Theo giả thiết x + y x + z ≥ hay x + y x + z ≥ Vậ x y Dấu “ = “ xảy yz = x2 + x y + z = Bài toán 5: Cho số dương x, y, z, t Chứng minh rằng: x + z y2 + z + x + t y2 + t ≥ x + y z + t Lời giải: Dựng tứ giác ABCD có AC ⊥ BD Giả sử AC ∩ BD = O Đặt OA = x, OC = y; OB = z; OD = t B z ⇒ AB = x2 + z2; BC = y2 + z2 A x O CD = y + t ; DA = x + t SABC ≤ ≤ AB BC = 2 SADC DC AD = t x +z y +z 2 2 x2 + t y2 + t D y C Mà SABCD = SABC + SADC = x+yz+t Vậy x2 + z2 y2 + z2 + x2 + t2 y2 + t2 ≥ x + y z + t AB ⊥ BC Dấu “ = “ xảy ⇔ AD ⊥ DC ⇔ x2 + z2 + y2 + t2 = x+y z2 = xy ⇔ x2 + t + y + z = x + y t2 = xy 6.3 Các tập tương tự Bài 1: Cho số dương a, b, c Chứng minh: a2 − 2ab + b2 + b2 − 3bc + c2 ≥ a2 + 2− 3ac + c Bài 2: Cho x1, x2, x 3, x4 số ∈ 0; Chứng minh rằng: x1 + x2 + x3 + x4 − x1x2 − x2x3 − x3x4 − x4x1 ≥ Bài 3: Cho a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ a4 ≥ a5 > Chứng minh: a2 − a2 + a2 − a2 + a2 ≥ a1 − a2 + a3 − a4 + a5 2 Bài 4: Chứng minh với x ∈ R , thì: S = x2 − 6x + 34 − x2 − 6x + 10 ≤ Bài 5: Cho số tự nhiên n ≥ Chứng minh: n2 − 12 + n2 − 22 + ⋯ + n2 − n − < 0.79n2 Kết luận Chứng minh bất đẳng thức có nhiều phương pháp khác nhau, phạm vi luận văn đưa số phương pháp có tính ứng dụng thực tiễn nhiều q trình học tập giảng dạy trường phổ thông, đồng thời với việc chứng minh bất đẳng thức, kiến thức phụ trợ đề cập đến kết hợp kiến thức từ đại số, lượng giác, giải tích, hình học Trong phạm vi luận văn này, đạt số kết như: - Hệ thống bất đẳng thức từ cổ điển đến đại chứng minh bất đẳng thức với cách giải đơn giản - Tìm dấu chung cho loại bất đẳng thức để từ nhanh chóng định hướng phương pháp giải cho toán bất đẳng thức - Luận văn sâu vào phương pháp chứng minh bất đẳng thức dựa vào bất đẳng thức kinh điển Cauchy-cơ sở cho nhiều tốn bất đẳng thức thường gặp kì thi chương trình trung học phổ thơng - Sau phần trình bày phương pháp ln có tập tương tự để nhận biết thực hành phương pháp chứng minh trình bày Trong trình học tập nghiên cứu, dù cố gắng khả có hạn nên khơng thể tránh khỏi thiếu sót trình bày chun mơn luận văn Tác giả mong có góp ý thầy giáo, giáo bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Tài liệu tham khảo Tiếng Việt: Trần Phương (2011), Những viên kim cương bất đẳng thức toán học, NXB Tri Thức Phạm Kim Hùng (2007), Sáng tạo bất đẳng thức, NXB Tri Thức Nguyễn Văn Mậu (2005), Bất đẳng thức số vấn đề liên quan-tài liệu bồi dưỡng giáo viên THPT chuyên Võ Quốc Bá Cẩn, (2011), Sử dụng AM-GM để chứng minh bất đẳng thức, NXB Đại học Sư Phạm Phạm Văn Thuận, Lê Vĩ (2007), Bất đẳng thức-Suy luận khám phá, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh: J Michael Steele (2004), The Cauchy-Schwarz master class, Cambridge University Press T Andreescu, V Cartoaje, G Dospinescu, M Lascu, Old and new inequalities, D J H Garling, (2007) Inequalities - A Journey into Linear Analysis, Cambridge University Press ... bày số phương pháp chứng minh bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức Cauchy, đưa phương pháp như:  Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy  Phương pháp sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy  Phương. .. biểu thức chứa biến 24 2.4.1 Phương pháp 24 2.4.2 Các toán minh họa: 24 2.4.3 Một số toán tương tự .38 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức 2.5 Phương pháp. ..ĐẠI HỌC QUỐC GIA TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN  PHẠM THỊ LAN ANH MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60. 46. 01. 13 LUẬN VĂN