Một số phương pháp song song dạng runge kutta giải bài toán không cương

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN  NGUYỄN THU THỦY MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP SONG SONG DẠNG RUNGE - KUTTA GIẢI BÀI TOÁN KHƠNG CƯƠNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC HÀ NỘI - 2014 NGUYỄN THU THỦY MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP SONG SONG DẠNG RUNGE - KUTTA GIẢI BÀI TỐN KHƠNG CƯƠNG Chun ngành: Tốn học tính tốn Mã số: 62 46 30 01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Hữu Công HÀ NỘI - 2014 LèI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cúu cna riêng tơi Các ket qua nêu lu¾n án trung thnc chưa tùng đưoc cơng bo bat kỳ cơng trình khác Tác gia Nguyen Thu Thuy LèI CAM ƠN Lu¾n án đưoc hồn thành dưói sn hưóng dan cna GS TSKH Nguyen Huu Công Thay dan dat tác gia làm quen vói nghiên cúu khoa HQ c tù tác gia dan ve m¾t khoa HQ c, HQ c viên cao HQ c Ngoài nhung chi sn đ®ng viên lịng tin tưong cna thay dành cho tác gia ln đ®ng lnc lón giúp tác gia tn tin say mê nghiên cúu Qua tác gia xin bày to sn biet ơn sâu sac lịng q men đoi vói thay Tác gia xin đưoc bày to lòng biet ơn đen thày cụ v cỏc ban ong nghiắp xemina Bđ mụn Tốn Khoa hQc Tn nhiên-Đai HQ c HQ c tính tốn, trưịng Đai HQ c Quoc Gia Hà N®i tao mơi trưịng HQ c t¾p nghiên cúu thu¾n loi giúp tác gia hồnh thành lu¾n án Tai tác gia nh¾n đưoc nhieu chi dan, góp ý m®t mơi trưịng nghiên cúu sơi női thân thi¾n, đieu khơng the thieu q trình nghiên cúu, hồn thành lu¾n án cna tác gia Tác gia xin gui lịi cám ơn tói thày khoa Tốn-Cơ-Tin HQ c, Phịng Sau đai HQ c, Trưịng Đai Quoc Gia Hà N®i, nơi tác gia HQ c HQ c Khoa HQ c Tn nhiên- Đai HQ c t¾p nghiên cúu Tác gia xin đưoc bày to lịng biet ơn đen Ban Giám hi¾u, Ban chn nhiắm khoa Toỏn-Tin v Bđ mụn Toỏn ỳng dung trưịng Đai HQ c Sư pham Hà N®i tao nhung đieu ki¾n thu¾n loi q trình tác gia HQc t¾p, cơng tác hồn thành lu¾n án Trong q trình HQ c t¾p hồn thành lu¾n án, tác gia nh¾n đưoc sn quan tâm giúp đõ góp ý cna GS.TSKH Pham Kỳ Anh, PGS.TSKH Vũ Hoàng Linh, Tác gia xin chân thành cam ơn Giáo sư ve sn giúp đõ quý báu Cuoi cùng, tác gia xin đưoc bày to lòng biet ơn đen ông bà, bo me, anh ch% em hai bên n®i ngoai, chong ban bè góp ý đ®ng viên tác gia q trình HQ c t¾p hồn thành lu¾n án Tác gia MUC LUC MUC LUC DANH MUC CÁC TÙ VIET TAT M®T SO KÍ HIfiU CHUNG Me ĐAU Chương M®T SO KIEN THÚC CƠ Se 1.1 11 Phương pháp Runge-Kutta 12 1.1.1 Cap xác cna phương pháp Runge-Kutta 14 1.1.2 Tính őn đ%nh cna phương pháp Runge-Kutta 15 1.2 Các phương pháp Runge-Kutta hien 16 1.3 Các phương pháp Runge-Kutta an .18 1.4 Phương pháp Runge-Kutta lắp song song (PIRK) .21 1.5 1.4.1 Nđi dung phương pháp PIRK 23 1.4.2 Cap xác cna phương pháp PIRK .24 1.4.3 Sn őn đ%nh cna phương pháp PIRK 24 1.4.4 Sn h®i tu cna q trình lắp 26 Mđt so mó tính tốn tuan tn 26 1.5.1 Phương pháp kep thêm có cap xác - mã 1.5.2 DOPRI5 27 Phương pháp kep thêm có cap xác 8- mã DOPRI853 28 1.5.3 1.6 Phương pháp ngoai suy- mã ODEX 31 Ba toán thu 37 Chương PHƯƠNG PHÁP L¾P SONG SONG DANG RUNGEKUTTA HAI BƯéC M®T DUA TRÊN CÁC ĐIEM TRÙNG KHéP GAUSS-LEGENDRE 2.1 40 Phương pháp dang Runge-Kutta hai bưóc m®t dna điem trùng khóp Gauss-Legendre .41 2.2 2.1.1 Őn đ%nh tuyen tính .44 2.1.2 Thu nghi¾m so .49 Phương pháp lắp song song dang Runge-Kutta hai búc mđt dna trờn điem trùng khóp Gauss-Legendre .50 2.2.1 Đieu ki¾n b¾c 52 2.2.2 Sn hđi tu cna quỏ trỡnh lắp 54 2.2.3 Mien őn đ%nh 55 2.2.4 Thu nghi¾m so .57 2.2.5 So sánh vói phương pháp song song 59 2.2.6 So sánh vói mã tuan tn .62 Chương PHƯƠNG PHÁP L¾P SONG SONG GIA RUNGE-KUTTA HAI BƯéC VéI CHIEN LƯeC ĐIEU KHIEN BƯéC LƯéI 3.1 65 Phương pháp gia Runge-Kutta hai bưóc kep thêm vói bưóc lưói thay đői 66 3.2 3.3 3.1.1 Đieu ki¾n b¾c 68 3.1.2 Công thúc kep thêm 72 Phương pháp PIPTRK vói chien lưoc đieu khien bưóc lưói 73 3.2.1 Đieu ki¾n b¾c cho cơng thúc dn báo 75 3.2.2 Sn h®i tu cna q trình l¾p 77 3.2.3 Đieu khien bưóc lưói 77 Thu nghi¾m so 79 3.3.1 Xác l¾p phương pháp PIPTRKSC 79 3.3.2 So sánh vói mã song song .81 3.3.3 So sánh vói mã tuan tn .83 3.3.4 Tính hi¾u qua cna chien lưoc đieu khien bưóc lưói 85 Chương PHƯƠNG PHÁP GIA RUNGE-KUTTA BA BƯéC 4.1 4.2 89 Phương pháp gia Runge-Kutta ba bưóc (EPThRK) 90 4.1.1 Đieu ki¾n b¾c 92 4.1.2 Tính őn đ%nh 97 Các thu nghi¾m so 98 4.2.1 CHQN phương pháp EPThRK 98 4.2.2 So sánh vói mã song song 100 4.2.3 So sánh vói mã tuan tn .102 4.2.4 So sánh phương pháp EPThRK vói phương pháp TBTPIRKG PIPTRKSC 104 KET LU¾N 108 KIEN NGH± M®T SO HƯéNG NGHIÊN CÚU TIEP THEO 109 DANH MUC CƠNG TRÌNH KHOA HOC CUA TÁC GIA LIÊN QUAN ĐEN LU¾N ÁN 110 TÀI LIfiU THAM KHAO .111 MđT SO K HIfiU CHUNG Mđt so kớ hiắu thơng thưàng • Rd− khơng gian véc tơ thnc d chieu ã C so phỳc ã C so phúc vói phan thnc khơng dương • Vói so phúc z ∈ C, Re(z), Im(z) lan lưot phan thnc phan ao cna so phúc z • σ(A) l ph cna ma trắn A ã (A) l bỏn kính phő cna ma tr¾n A Lũy thÈa cua m®t véc tơ Gia su c = (c1, c2, , cs)T , ck = (ck, ck, , ck)T d s ) dx d d2 dn d exp( ) = + + +···+ + dx dx n!dxn 2!dx Tốn tE exp( Kí hi¾u véc tơ e Véc tơ e ln hieu véc tơ có tat ca thành phan bang thay5 y,tương boi tơ (v1vói , vcna , bien vsphan: )T = 2,s thành sutahai f đưoc (x,véc y)véc v hàm thnc hai x, y.wNeu (wxVéc hàm , wúng )T tơ= hàm 1, w 2tơ sGia f (v, w) = [f (v1, w1), f (v2, w2), , f (vs, ws)]T Neu x ∈ R, y thay boi w = (w1, w2, , ws)T ta có: f (x, w) = [f (x, w1), f (x, w2), , f (x, ws)]T DANH MUC CÁC TÙ VIET TAT EPThRK Explicit pseudo three-step Runge-Kutta method Phương pháp gia Runge-Kutta ba bưóc ERK Explicit Runge-Kutta Runge-Kutta hien IRK Implicit Runge-Kutta Rungge-Kutta an PC Predictor-Corrector Dn báo-Hi¾u chinh PIPTRK parallel-iterated pseudo two-step Runge- Kutta methods Phương pháp l¾p song song gia Runge-Kutta hai bưóc PIPTRKSC Parallel-iterated pseudo two-step Runge-Kutta method with step size control Phương pháp l¾p song song gia Runge-Kutta hai bưóc vói chien lưoc đieu khien bưóc lưói PTRK Pseudo two-step RK methods Phương pháp gia Runge-Kutta hai bưóc TBTIRKG Two-step-by-two-step IRK methods based on GaussLegendre collocations points Phương pháp dang Runge-Kutta an hai bưóc m®t dna điem trùng khóp Gauss-Legendre TBTRKG Two-step-by-two-step Runge-Kutta-type corrector methods based on Gauss-Legendre collocation points Phương pháp hi¾u chinh dang Runge-Kutta hai bưóc m®t dna điem trùng khóp Gauss-Legendre TBTPIRKG two-step-by-two-step parallel-iterated Runge-Kutta-type PC methods based on Gauss-Legendre collocation points Phương pháp l¾p song song dang Runge-Kutta hai bưóc m®t dna điem trùng khóp Gauss-Legendre Hình 4.4: So sánh vói mã tuan tn cho tốn JACB Hình 4.5: So sánh vói mã tuan tn cho tốn FEHL Hình 4.6: So sánh vói mã tuan tn cho tốn TWOB vói ε = 0, 4.2.4 So sánh phương pháp EPThRK vái phương pháp TBTPIRKG PIPTRKSC Trong muc này, se so sánh tính hi¾u qua cna phương pháp EPThRK vói phương pháp mà chúng tơi đe xuat nghiên cúu chương trưóc TBTPIRKG PIPTRKSC Chúng han che so sánh ba phương pháp TBTPIRKG, PIPTRKSC EPThRK có cap xác (ký hi¾u phương pháp TBTPIRKG6, PIPTRKSC6 EPThRK6, tương úng) Chúng áp dung phương pháp EPThRK6, TBTPIRKG6 PIPTRKSC6 vào ba toán thu o Muc 1.6 Các giá tr% NCD NFUN thu đưoc đưoc bieu dien Hình 4.7, Hình 4.8 Hình 4.9 Nhìn vào Hình 4.7, Hình 4.8 Hình 4.9, chúng tơi thay rang phương pháp EPThRK6 hi¾u qua so vói phương pháp TBTPIRKG6 PIPTRKSC6 trưịng hop so sánh phương pháp EPThRK vói mã song song (xem Muc 4.2.2) trưòng hop so sánh vói mã tuan tn (xem Muc 4.2.3) Hình 4.7: So sánh ba phương pháp EPThRK6, TBTPIRKG6 PIPTRKSC6 cho tốn JACB Hình 4.8: So sánh ba phương pháp EPThRK6, TBTPIRKG6 PIPTRKSC6 cho tốn FEHL Hình 4.9: So sánh ba phương pháp EPThRK6, TBTPIRKG6 PIPTRKSC6 cho tốn TWOB vói ε = 0, Ket lu¾n cua Chương Trong chương này, xây dnng phương pháp gia RK ba bưóc hien (phương pháp EPThRK) phù hop vói vi¾c su dung máy tính song song Các phương pháp EPThRK rat re giai so h¾ phương trình vi phân Sau hai bưóc tính tốn đau tiên, phương pháp EPThRK chi u cau m®t lan tính tốn tuan tn hàm ve phai f tai moi bưóc Chúng tơi so sánh phương pháp EPThRK mói vói mã song song tuan tn vào loai tot nhat có bang cách áp dung chúng vào vi¾c giai so tốn thu thơng dung M¾c dù ket qua cna mã song song tuan tn nh¾n đưoc nhị su dung lưói bien bưóc, phương pháp EPThRK4 EPThRK6 đưoc áp dung vói bưóc lưói co đ%nh, phương pháp EPThRK4 EPThRK6 van hi¾u qua nhat Ngồi ra, chúng tơi cịn so sánh phương pháp EPThRK6 vói phương pháp TBTPIRKG6 PIPTRKSC6, ket qua cho thay phương pháp EPThRK6 hi¾u qua nhat KET LU¾N Trong lu¾n án chúng tơi đe xuat nghiên cúu m®t so phương pháp song song giai so tốn giá tr% ban đau khơng cng cho hắ phng trỡnh vi phõn cap mđt Cỏc ket qua chớnh cna luắn ỏn: ã e xuat v nghiên cúu phương pháp l¾p song song hi¾u chinh hai bưóc m®t dang Runge-Kutta dna điem trùng khóp GaussLegendre • Đe xuat nghiên cúu phương pháp l¾p song song gia Runge-Kutta hai bưóc vói chien lưoc đieu khien bưóc lưói • Đe xuat nghiên cúu phương pháp gia Runge-Kutta ba bưóc Các phương pháp đưoc đe xuat đeu đưoc thu nghi¾m so đe chúng minh tính hi¾u qua cna chúng so vói phương pháp vào loai hi¾u qua nhat hi¾n có Các ket qua cna lu¾n án mói, có tính chat thịi sn, góp phan làm phong phú thêm phương pháp song song dang Runge-Kutta giai so phương trình vi phân KIEN NGH± M®T SO HƯéNG NGHIÊN CÚU TIEP THEO Tiep theo ket qua cna lu¾n án, tác gia thay có m®t so van đe can đưoc tiep tuc nghiên cúu l: ã Nghiờn cỳu thờm cỏc phng phỏp khỏc hiắu qua đe giai toán giá tr% ban đau cna hắ phng trỡnh vi phõn ã Nghiờn cỳu mo r®ng phương pháp cho tốn giá tr% ban đau cna h¾ phương trình vi phân có tre • Nghiên cúu mo r®ng phương pháp cho hắ phng trỡnh vi phõn cap hai ã Nghiờn cỳu viet chương trình cna thu¾t tốn lu¾n án thành code chay máy song song DANH MUC CƠNG TRÌNH KHOA HOC CUA TÁC GIA LIÊN QUAN ĐEN LU¾N ÁN N.H Cong and N.T Thuy (2011), "Two-step-by-two-step PIRKtype PC methods based on Gauss-Legendre collocation points", Journal of Computational and Applied Mathematics, 236, pp.225233 (SCI) N.H Cong and N.T Thuy (2012), "Stability of Two-Step-by-TwoStep IRK methods based on Gauss-Legendre collocation points and an application", Vietnam Journal of Mathematics, 40, no.1, pp.115-126 N.H Cong and N.T Thuy (2014), "Parallel iterated pseudo twostep RK methods with stepsize control", Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics, 31, no 2, pp 441-460 (SCI) N.H Cong and N.T Thuy (2014), "A class of explicit pseudo threestep Runge-Kutta methods", Journal of Engineering Mathematics (submitted) TÀI LIfiU THAM KHAO [1] Pham Kỳ Anh (2008), Giai tích so, Nhà xuat ban Đai hQc Quoc Gia Hà N®i [2] Nguyen Huu Cơng (2002), Cỏc phng phỏp song song dang RungeKutta- Nystrăom, Nh xuat ban Đai hQc Quoc Gia Hà N®i [3] Lê NGQc Xuân (2007), M®t so phương pháp song song giai h¾ phương trình vi phân, Lu¾n án Tien sĩ Tốn HQc, Đai HQc Khoa HQc Tn nhiên- Đai HQc Quoc gia Hà N®i Tieng Anh [4] Bellen, A., Vermiglio, R., Zennaro, M (1990), "Parallel ODE-solvers with stepsize control", J Comput Appl Math 31, pp.277-293 [5] K Burrage (1993), "Efficient block predictor-corrector methods with a small number of corrections", J Comput Appl Math 45, pp.139-150 [6] K Burrage (1993), "Parallel methods for initial value problems", Appl Numer Math 11, pp.5-25 [7] K Burrage (1995), Parallel and Sequential Methods for Ordinary Differential Equations, Clarendon Press, Oxford [8] K Burrage and H Suhartanto (1997), "Parallel iterated methods based on multistep Runge-Kutta mehods of Radau type", Advances in Computational Mathematics 7, pp.37-57 [9] K Burrage (1978), "A special family of Runge-Kutta methods for solving stiff differential equations", BIT 18, pp.22-41 [10] J.C Butcher (1963), "Coefficients for the study of Runge-Kutta Integration Processes", J of the Australian Math Soc., 3, pp.185201 [11] J.C Butcher (1964), "Implicit Runge-Kutta processes", Math Comp 18, pp.50-64 [12] J.C Butcher (1964), "Integration processes based on Radau quadra- ture formulas", Math Comp 18, pp.233-244 [13] J.C Butcher (1964), "On Runge-Kutta processes of high order", J of the Australian Math Soc 4, pp.179-194 [14] J.C Butcher (1964), "On the attainable order of Runge-Kutta methods", Math Comp 19, pp.408-417 [15] J.C Butcher (1985), "The non-existence of ten stage eighth order explicit Runge-Kutta methods", BIT 27, pp.521-540 [16] J.C Butcher (1977), "A-stable implicit Runge-Kutta methods", BIT 17, pp.375-378 [17] J.C Butcher (1987), The Numerial Analysys of Ordinary Differen- tial Equations, Runge-Kutta and General Linear Methods, Wiley, New York [18] N.H Cong (1994), "Parallel iteration of symmetric Runge- Kutta methods for nonstiff initial-value problems", J Comput Appl Math 51, pp.117-125 [19] N.H Cong (1999), "Explicit pseudo two-step Runge-Kutta methods for parallel computers", Int J Comput Math 73, pp.7791 [20] N.H Cong (1999), "Continuous variable stepsize explicit pseudo two-step RK methods", J Comput Appl Math 101, pp.105-116 [21] N.H Cong and T Mitsui (1996), "Collocation-based two- step Runge-Kutta methods", Japan J Indust Appl Math 13, pp.171- 183 [22] N.H Cong and T Mitsui (1997), "A class of explicit parallel two- step Runge-Kutta methods", Japan J Indust Appl Math 14, pp.303-313 [23] N.H Cong and T Mitsui (2003), "Parallel PC iteration of pseudo two-step RK methods for nonstiff IVPs", Japan J Indust Appl Math 20, pp.51-64 [24] N.H Cong, H Podhaisky and R Weiner (1998), "Numerical exper- iments with some explicit pseudo two-step RK methods on a shared memory computer", Comput Math Appl 36, pp.107116 [25] N.H Cong and H.T Vi (1995), "An improvement for explicit par- allel Runge-Kutta methods", Vietnam J Math 23, pp.241252 [26] N.H Cong and L.N Xuan (2003), "Parallel-iterated RK-type PC methods with continuous output formulas", Int J Comput Math 80, pp.1027-1037 [27] N.H Cong and L.N Xuan (2003), "Parallel-iterated RK-type PC methods with continuous output formulas", Int J Comput Math 23, pp.241-252 [28] N.H Cong and L.N Xuan (2008), "Improved parallel- iterated pseudo two-step RK methods for nonstiff IVPs", Appl Numer Math 58, pp.160-170 [29] N.H Cong and L.N Xuan (2008), "twostep-by-twostep PIRK-type PC methods with continous output formulas", J Comput Appl Math 221, pp.165-173 [30] N.H Cong and N.T Thuy (2011), "Two-step-by-two-step PIRK- type PC methods based on Gauss-Legendre collocation points", J Comput Appl Math 236, pp.225-233 [31] N.H Cong and N.T Thuy (2012), Stability of Two-Step-by- Two- Step IRK methods based on Gauss-Legendre collocation points and an application, Vietnam Journal of Mathematics, 40, no.1, pp.115- 126 [32] N.H Cong and N.T Thuy (2014), "A class of explicit pseudo three- step Runge-Kutta methods", (submitted) [33] N.H Cong and N.T Thuy (2014), "Parallel iterated pseudo two- step RK methods with stepsize control", Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics, 31, no 2, pp 441-460 [34] N.H Cong (2001), "A general family of pseudo two-step Runge- Kutta methods", SEA Bull Math 25, pp.61-73 [35] N.H Cong, "Explicit pseudo three-step Runge-Kutta- Nystrăom methods", in preparation [36] A.R Curtis (1975)," High-order explicit Runge-Kutta formulae , their uses and limitations", J Inst Math Appl 16, pp.35-55 [37] A.R Curtis (1964), Tables of Jacobian Elliptic Functions Whose Arguments are Rational Fractions of the Quater Period, H.M.S.O., London [38] Gear, C.W (1988), "Parallel methods for ordinary differential equa- tions", Calcolo 25, pp 1-20 [39] E Hairer (1978), "A Runge-Kutta method of order 10", J Inst Math Appl 21, pp.47-59 [40] E Hairer, S.P Nørsett and G Wanner (1987), Solving Ordinary Differential Equations I Nonstiff Problems, 1st edition, Springer- Verlag, Berlin [41] E Hairer, S.P Nørsett and G Wanner (1993), Solving Ordinary Differential Equations I Nonstiff Problems, 2nd edition, Springer- Verlag, Berlin [42] E Hairer and G Wanner (1991), Solving Ordinary Differential Equa- tions II, Stiff and Differential-Algebraic Problems, SpringerVerlag, Berlin [43] P.J van der Houwen and N.H Cong (1993), "Parallel block predictor-corrector methods of Runge-Kutta type", Appl Numer Math 13, pp.109-123 [44] P.J van der Houwen and B.P Sommeijer (1990), "Parallel itera- tion of high-order Runge-Kutta methods with stepsize control", J Comput Appl Math 29, pp.111-127 [45] P.J van der Houwen and B.P Sommeijer (1992), "Block Runge- Kutta methods on parallel computers", Z Angew Math Mech 68, pp.3-10 [46] P.J van der Houwen, and B.P Sommeijer (1991), "Iterated Runge- Kutta methods on parallel computers", SIAM J Sci Stat Comput 12, pp.1000-1028 [47] P.J van der Houwen, B.P Sommeijer and W Couzy (1992), "Em- bedded diagonally implicit Runge-Kutta algorithms on parallel computers", Math Comput 58, pp.135-159 [48] T.E Hull, W.H Enright, B.M Fellen and A.E Sedgwick (1972), "Comparing numerical methods for ordinary differential equations", SIAM J Numer Anal 9, pp.603-637 [49] G.Yu Kulikov and R Weiner (2010), "Variable-stepsize interpolat- ing explicit parallel peer methods with inherent global error con- trol", SIAM J Sci Comput 32, pp.1695-1723 [50] G.Yu Kulikov and R Weiner (2010), "Doubly quasi- consistent par- allel explicit peer methods with built-in global error estimation", J Comput Appl Math 233, pp.2351-2364 [51] S.P Nørsett and H.H Simonsen (1989), "Aspects of parallel Runge- Kutta methods, in Numerical Methods for Ordinary Differential Equations", Proceedings L’Aquilla 1987, Lecture Notes in Mathe- matics, 1386, (Edited by A Bellen, C.W Gear and E Russo), Springer-Verlag, Berlin [52] B.A Schmitt, R Weiner and S Jebens (2009), "Parameter opti- mization for explicit parallel peer two-step methods", Appl Numer Math 59, pp.769-782 [53] B.A Schmitt and R Weiner (2010), "Parallel start for explicit par- allel two-step peer methods", Numer Algorithms 53, pp.363-381 [54] L.F Shampine and M.K Gordon (1975), Computer Solution of Ordinary Differential Equations, The Initial Value Problems, W.H Freeman and Company, San Francisco [55] O Axelsson (1969), "A class of A-stable methods", BIT 9, pp.185- 199 [56] K Dekker and J.G Verwer (1984), Stability of Runge-Kutta Mehtods for Stiff Nonlinear Differential Equations, NorthHolland, Amsterdam [57] P Kaps (1981), Rosenbrock-type methods, in: Numerical Methods for Stiff Initial Value Problems, G Dahlquist and R Jeltsch (eds.), Bericht Nr 9, Inst fuăr Geometrie und Praktische Mathematik der RWTH Aachen [58] J.D Lambert (1991), Numerical Methods for Ordinary Differential Systems, The Initial Value Problems, John Wiley & Sons [59] B.P Sommeijer, W Couzy and P.J van der Houwen (1992), "A- stable parallel block methods for ordinary and integrodifferential equations", Appl Numer Math 9, pp.267-281 [60] O Widlund (1967), "A note on unconditionally stable linear multi- step methods", BIT 7, pp.65-70 [61] M.T Chu and H Hamilton (1987), "Parallel solution of ODEs by multi-block methods", SIAM J Sci Statist Comput 3, pp.342-353 [62] R Weiner, G.Yu Kulikov and H Podhaisky (2012), "Variable- stepsize doubly quasi-consistent parallel explicit peer methods with global error control", Appl Numer Math 62, pp.1591-1603 ... 11 Phương pháp Runge- Kutta 12 1.1.1 Cap xác cna phương pháp Runge- Kutta 14 1.1.2 Tính őn đ%nh cna phương pháp Runge- Kutta 15 1.2 Các phương pháp Runge- Kutta hien 16 1.3 Các phương pháp. .. GQI phương pháp Runge- Kutta nua an (hay phương pháp đưòng chéo an) • Trong trưịng hop cịn lai phương pháp Runge- Kutta (1.3) đưoc GQi phương pháp Runge- Kutta an 1.1.1 Cap xác cua phương pháp Runge- Kutta. .. ch¾t phương pháp Runge- Kutta (1.3) GQI phương pháp Runge- Kutta hien (hay phương pháp Runge- Kutta cő đien) • Neu aij = 0, vói MQI j > i, i = 1, s hay A ma tr¾n tam giác dưói phương pháp Runge- Kutta