Một số phương pháp song song dạng runge kutta giải bài toán không cương62 46 30 01

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN  NGUYỄN THU THỦY MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP SONG SONG DẠNG RUNGE - KUTTA GIẢI BÀI TỐN KHƠNG CƯƠNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN  NGUYỄN THU THỦY MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP SONG SONG DẠNG RUNGE - KUTTA GIẢI BÀI TỐN KHƠNG CƯƠNG Chun ngành: Tốn học tính tốn Mã số: 62 46 30 01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Nguyễn Hữu Công HÀ NỘI - 2014 L˝I CAM OAN Tỉi xin cam oan ¥y l cỉng tr…nh nghi¶n cøu cıa ri¶ng tỉi C¡c k‚t qu£ nảu lun Ăn l trung thỹc v chữa tng ÷ỉc cỉng bŁ b§t ký cỉng tr…nh n o kh¡c T¡c gi£ Nguy„n Thu Thıy L˝IC MÌN Lu“n Ăn ữổc ho n th nh dữợi sỹ hữợng dÔn ca GS TSKH Nguyn Hu Cổng Thy  dÔn dt tĂc giÊ l m quen vợi nghiản cứu khoa hồc tł t¡c gi£ ang l håc vi¶n cao håc Ngo i nhng ch dÔn vã mt khoa hồc, sỹ ng viản v lặng tin tững ca thy d nh cho t¡c gi£ ln ºng lüc lỵn gióp t¡c gi£ tỹ tin v say mả nghiản cứu Qua Ơy t¡c gi£ xin b y tä sü bi‚t ìn s¥u sc v lặng quỵ mn i vợi thy l TĂc giÊ cụng xin ữổc b y tọ lặng bit ỡn n cĂc th y cổ v cĂc bn ỗng nghiằp xemina Bº mỉn To¡n håc t‰nh to¡n, tr÷íng ⁄i håc Khoa håc Tü nhi¶n- ⁄i håc QuŁc Gia H Ni  to mổi trữớng hồc v nghiản cứu thu“n lỉi gióp t¡c gi£ ho nh th nh lu“n Ăn n y Ti Ơy tĂc giÊ Â nhn ữổc nhiãu ch dÔn, gõp ỵ cụng nhữ mt mổi trữớng nghiản cứu sổi ni v thƠn thiằn, iãu khổng th thi‚u qu¡ tr…nh nghi¶n cøu, ho n th nh lu“n ¡n cıa t¡c gi£ T¡c gi£ xin gßi líi c¡m ìn tỵi c¡c th y cỉ khoa To¡n-Cì-Tin hồc, Phặng Sau i hồc, Trữớng i hồc Khoa hồc Tü nhi¶n- ⁄i håc QuŁc Gia H Nºi, nìi t¡c giÊ Â hồc v nghiản cứu TĂc giÊ xin ÷ỉc b y tä lỈng bi‚t ìn ‚n Ban Gi¡m hi»u, Ban chı nhi»m khoa To¡n-Tin v Bº mæn To¡n ứng dửng trữớng i hồc Sữ phm H Ni  t⁄o nhœng i•u ki»n thu“n lỉi qu¡ tr…nh t¡c gi£ håc t“p, cæng t¡c v ho n th nh lu“n ¡n n y Trong qu¡ tr…nh håc t“p v ho n th nh lu“n ¡n, t¡c gi£ ¢ nh“n ữổc sỹ quan tƠm giúp ù v gõp ỵ ca GS.TSKH Ph⁄m Ký Anh, PGS.TSKH Vô Ho ng Linh, T¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c Gi¡o sữ vã sỹ giúp ù quỵ bĂu n y Cui cũng, tĂc giÊ xin ữổc b y tọ lặng bit ìn ‚n ỉng b , bŁ mµ, anh chà em hai ni ngoi, chỗng v bn b  gõp ỵ v ng viản tĂc giÊ quĂ trnh håc t“p v ho n th nh lu“n ¡n T¡c giÊ MệC LệC MệCLệC MáTSăKHIUCHUNG DANHMÖCCCTØVITTT M— U Chữỡng MáT Să KI N THC Cè S— 1.1 Ph÷ìng ph¡p Runge-Kut 1.1.1 1.1.2 1.2 C¡c ph÷ìng ph¡p Runge- 1.3 C¡c ph÷ìng ph¡p Runge- 1.4 Ph÷ìng ph¡p Runge-Kut 1.4.1 1.4.2 1.4.3 1.4.4 1.5 Mºt sŁ m¢ t‰nh toĂn tu 1.5.1 1.5.2 1.5.3 1.6 Chữỡng PHìèNG PH Ba b P L P SONG SONG D NG RUNGE- KUTTA HAI BìC MáT DĩA TR N C C I M TRỊNG KH˛P GAUSS-LEGENDRE 2.1 Ph÷ìng ph¡p d⁄ng Runge-Kutta hai bữợc mt dỹa trản cĂc im trũng khợp Gauss-Legendre 2.1.1 2.1.2 2.2 Ph÷ìng ph¡p l°p song song d⁄ng Runge-Kutta hai bữợc mt dỹa trản cĂc im trũng khợp Gauss-Legendre 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 2.2.6 Chữỡng PHìèNG PH P L P SONG SONG GI RUNGE-KUTTA HAI BײC V˛I CHI N L×ĐC I U KHI N BìC LìI 3.1 Phữỡng phĂp giÊ Runge-Kutta hai bữợc kàp t bữợc lữợi thay i 3.1.1 3.1.2 3.2 Phữỡng phĂp PIPTRK vợi chin lữổc iãu khin 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.3 Thß nghi»m sŁ 3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.3.4 Chữỡng PHìèNG PH P GI RUNGE-KUTTA BA BìC 4.1 Phữỡng phĂp giÊ Runge4.1.1 4.1.2 4.2 CĂc thò nghi»m sŁ 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.2.4 KTLU N KI N NGH MáT Să HײNG NGHI N CÙU TI P THEO DANH MƯC C˘NG TR NH KHOA H¯C CÕA T C GI LI N QUAN NLU N N TILIUTHAMKHO MáT Să K HI U CHUNG Mt sŁ k‰ hi»u thỉng th÷íng d R khỉng gian c¡c v†c tì thüc d chi•u C t“p sŁ phøc C s phức vợi phn thỹc khổng dữỡng Vợi s phøc z C, Re(z); Im(z) lƒn l÷ỉt l phƒn thüc v phƒn £o cıa sŁ phøc z (A) l phŒ cıa ma tr“n A (A) l b¡n k‰nh phŒ cıa ma tr“n A T Lôy thła cıa mºt v†c tì Gi£ sß c = (c1; c2; : : : ; cs) , â c k k k k T = (c 1; c 2; : : : ; c s) d To¡n tß exp(dx ) exp( K‰ hi»u v†c tì e V†c tì e ln hi”u l v†c tì câ t§t c£ c¡c th nh phƒn b‹ng V†c tì h m Gi£ sß f(x; y) l h m thüc cıa hai bi‚n x; y N‚u thay x T v y t÷ìng øng bði hai v†c tì v = (v1; v2; : : : ; vs) v w = (w1; w2; : T : : ; ws) th… ta ÷ỉc v†c tì h m vỵi s th nh phƒn: T f(v; w) = [f(v1; w1); f(v2; w2); : : : ; f(vs; ws)] : T N‚u x R, cỈn y thay bði w = (w1; w2; : : : ; ws) th… ta câ: T f(x; w) = [f(x; w1); f(x; w2); : : : ; f(x; ws)] : DANHMÖCC CTØVI TT T EPThRK Explicit pseudo three-step Runge-Kutta method Ph÷ìng ph¡p gi£ Runge-Kutta ba bữợc ERK Explicit Runge-Kutta Runge-Kutta hin IRK Implicit Runge-Kutta Rungge-Kutta 'n PC Predictor-Corrector Dü b¡o-Hi»u ch¿nh PIPTRK parallel-iterated pseudo two-step Runge- Kutta methods Ph÷ìng ph¡p l°p song song giÊ Runge-Kutta hai bữợc PIPTRKSC Parallel-iterated pseudo two-step Runge-Kutta method with step size control Ph÷ìng ph¡p l°p song song gi£ Runge-Kutta hai bữợc vợi chin lữổc iãu khin bữợc lữợi PTRK Pseudo two-step RK methods Ph÷ìng ph¡p gi£ Runge-Kutta hai bữợc TBTIRKG Two-step-by-two-step IRK methods based on Gauss-Legendre collocations points Phữỡng phĂp dng Runge-Kutta 'n hai bữợc mt dỹa trản c¡c i”m trịng khỵp Gauss-Legendre TBTRKG Two-step-by-two-step Runge-Kutta-type corrector methods based on Gauss-Legendre collocation points Ph÷ìng ph¡p hi»u ch¿nh d⁄ng Runge-Kutta hai bữợc mt dỹa trản im trũng khợp Gauss-Legendre TBTPIRKG two-step-by-two-step parallel-iterated Runge-Kutta-type PC methods based on Gauss-Legendre collocation points Ph÷ìng ph¡p l°p song song d⁄ng Runge-Kutta hai bữợc mt dỹa trản cĂc im trũng khợp Gauss-Legendre 103 Hnh 4.4: So sĂnh vợi cĂc m tun tỹ cho b i to¡n JACB H…nh 4.5: So s¡nh vỵi c¡c m¢ tuƒn tü cho b i to¡n FEHL 104 H…nh 4.6: So sĂnh vợi cĂc m tun tỹ cho b i to¡n TWOB vỵi " = 0; 4.2.4 So sĂnh phữỡng phĂp EPThRK vợi phữỡng phĂp TBTPIRKG v PIPTRKSC Trong mưc n y, chóng tỉi s‡ so s¡nh t‰nh hiằu quÊ ca phữỡng phĂp EPThRK vợi cĂc phữỡng phĂp m chúng tổi  ã xuĐt v nghiản cứu cĂc chữỡng trữợc l TBTPIRKG v PIPTRKSC Chúng tổi hn ch‚ so s¡nh ba ph÷ìng ph¡p TBTPIRKG, PIPTRKSC v EPThRK cõ cĐp chnh xĂc (kỵ hiằu l phữỡng ph¡p TBTPIRKG6, PIPTRKSC6 EPThRK6, t÷ìng øng) Chóng tỉi ¡p dưng c¡c ph÷ìng ph¡p EPThRK6, TBTPIRKG6 v PIPTRKSC6 v o ba b i to¡n thß ð Mưc 1.6 C¡c gi¡ v trà N CD v N F U N thu ÷ỉc ÷æc bi”u di„n H…nh 4.7, H…nh 4.8 v H…nh 4.9 Nh…n v o H…nh 4.7, H…nh 4.8 v H…nh 4.9, chúng tổi thĐy rng phữỡng phĂp EPThRK6 l hiằu quÊ hỡn so vợi cĂc phữỡng phĂp TBTPIRKG6 v PIPTRKSC6 nh÷ tr÷íng hỉp so s¡nh ph÷ìng ph¡p EPThRK 105 vợi cĂc m song song (xem Mửc 4.2.2) v trữớng hổp so sĂnh vợi cĂc m tun tỹ (xem Mưc 4.2.3) H…nh 4.7: So s¡nh ba ph÷ìng ph¡p EPThRK6, TBTPIRKG6 v PIPTRKSC6 cho b i to¡n JACB 106 H…nh 4.8: So s¡nh ba ph÷ìng ph¡p EPThRK6, TBTPIRKG6 v PIPTRKSC6 cho b i to¡n FEHL H…nh 4.9: So s¡nh ba ph÷ìng ph¡p EPThRK6, TBTPIRKG6 v PIPTRKSC6 cho b i to¡n TWOB vỵi " = 0; 107 K‚t lu“n cıa Chữỡng Trong chữỡng n y, chúng tổi  xƠy dỹng phữỡng phĂp giÊ RK ba bữợc hin (phữỡng phĂp EPThRK) phũ hổp vợi viằc sò dửng trản mĂy t nh song song CĂc phữỡng phĂp EPThRK l rĐt rà giÊi s cĂc hằ phữỡng trnh vi phƠn Sau hai bữợc tnh toĂn u tiản, cĂc phữỡng phĂp EPThRK ch¿ y¶u cƒu mºt lƒn t‰nh to¡n tuƒn tü h m v phÊi f ti mỉi bữợc Chúng tổi cụng  so sĂnh cĂc phữỡng phĂp EPThRK mợi vợi cĂc m ¢ song song v tuƒn tü v o lo⁄i tt nhĐt  cõ bng cĂch Ăp dửng chúng v o vi»c gi£i sŁ c¡c b i to¡n thß thỉng dưng M°c dị c¡c k‚t qu£ cıa c¡c m¢ song song v tun tỹ nhn ữổc nhớ sò dửng lữợi bin bữợc, cĂc phữỡng phĂp EPThRK4 v EPThRK6 ÷ỉc ¡p dưng vỵi b÷ỵc l÷ỵi cŁ ành, nh÷ng c¡c phữỡng phĂp EPThRK4 v EPThRK6 vÔn hiằu quÊ nhĐt Ngo i ra, chúng tổi cặn so sĂnh phữỡng phĂp EPThRK6 vợi cĂc phữỡng phĂp TBTPIRKG6 v PIPTRKSC6, kt quÊ cho thĐy phữỡng phĂp EPThRK6 l hiằu quÊ nhĐt 108 KTLUN Trong lun Ăn n y chúng tổi ã xuĐt v nghiản cứu mt s phữỡng phĂp song song giÊi sŁ b i to¡n gi¡ trà ban ƒu khỉng c÷ìng cho hằ phữỡng trnh vi phƠn cĐp mt CĂc kt quÊ chnh ca lun Ăn: ã xuĐt v nghiản cứu phữỡng phĂp lp song song hiằu chnh hai bữợc mt dng Runge-Kutta dỹa trản im trũng khợp GaussLegendre ã xuĐt v nghiản cứu phữỡng phĂp lp song song giÊ RungeKutta hai bữợc vợi chin lữổc iãu khin bữợc lữợi ã xuĐt v nghiản cứu phữỡng phĂp giÊ Runge-Kutta ba bữợc CĂc phữỡng phĂp ữổc ã xuĐt ãu ữổc thò nghiằm sŁ ” chøng minh t‰nh hi»u qu£ cıa chóng so vợi cĂc phữỡng phĂp v o loi hiằu quÊ nhĐt hi»n câ C¡c k‚t qu£ cıa lu“n ¡n l mỵi, câ t‰nh ch§t thíi sü, gâp phƒn l m phong phú thảm cĂc phữỡng phĂp song song dng Runge-Kutta giÊi s phữỡng trnh vi phƠn 109 KI N NGH MáT Să HìNG NGHI N CU TI P THEO Ti‚p theo c¡c k‚t qu£ cıa lu“n ¡n, t¡c gi£ thĐy cõ mt s vĐn ã cn ữổc tip tửc nghiản cứu l : Nghiản cứu thảm cĂc phữỡng phĂp kh¡c hi»u qu£ hìn ” gi£i b i to¡n gi¡ tr ban u ca hằ phữỡng trnh vi phƠn Nghiản cøu mð rºng c¡c ph÷ìng ph¡p n y cho b i to¡n gi¡ trà ban ƒu cıa h» ph÷ìng tr…nh vi phƠn cõ tr Nghiản cứu m rng cĂc phữỡng phĂp n y cho hằ phữỡng trnh vi phƠn cĐp hai Nghiản cứu vit chữỡng trnh ca cĂc thut toĂn lu“n ¡n th nh c¡c code ch⁄y tr¶n m¡y song song 110 DANH MÖC C˘NG TR NH KHOA H¯C CÕA T CGI LI NQUAN NLU N N N.H Cong and N.T Thuy (2011), "Two-step-by-two-step PIRKtype PC methods based on Gauss-Legendre collocation points", Journal of Computational and Applied Mathematics, 236, pp.225-233 (SCI) N.H Cong and N.T Thuy (2012), "Stability of Two-Step-byTwo-Step IRK methods based on Gauss-Legendre collocation points and an application", Vietnam Journal of Mathematics, 40, no.1, pp.115-126 N.H Cong and N.T Thuy (2014), "Parallel iterated pseudo twostep RK methods with stepsize control", Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics, 31, no 2, pp 441-460 (SCI) N.H Cong and N.T Thuy (2014), "A class of explicit pseudo three-step Runge-Kutta methods", Journal of Engineering Mathematics (submitted) 111 T ILI UTHAMKH O [1] Ph⁄m Ký Anh (2008), Gi£i t‰ch sŁ, Nh xu§t b£n ⁄i håc QuŁc Gia H Nºi [2] Nguy„n Hœu Cỉng (2002), C¡c ph÷ìng ph¡p song song d⁄ng Runge-Kutta- Nystrom, Nh xu§t b£n ⁄i hồc Quc Gia H Ni [3] Lả Ngồc XuƠn (2007), Mºt sŁ ph÷ìng ph¡p song song gi£i h» ph÷ìng tr…nh vi phƠn, Lun Ăn Tin sắ ToĂn hồc, i hồc Khoa håc Tü nhi¶n- ⁄i håc QuŁc gia H Nºi Ti‚ng Anh [4] Bellen, A., Vermiglio, R., Zennaro, M (1990), "Parallel ODE-solvers with stepsize control", J Comput Appl Math 31, pp.277-293 [5] K Burrage (1993), "Efficient block predictor-corrector methods with a small number of corrections", J Comput Appl Math 45, pp.139-150 [6] K Burrage (1993), "Parallel methods for initial value problems", Appl Numer Math 11, pp.5-25 [7] K Burrage (1995), Parallel and Sequential Methods for Ordinary Differential Equations, Clarendon Press, Oxford [8] K Burrage and H Suhartanto (1997), "Parallel iterated methods based on multistep Runge-Kutta mehods of Radau type", Advances in Computational Mathematics 7, pp.37-57 [9] K Burrage (1978), "A special family of Runge-Kutta methods for solving stiff differential equations", BIT 18, pp.22-41 112 [10] J.C Butcher (1963), "Coefficients for the study of Runge-Kutta Integration Processes", J of the Australian Math Soc., 3, pp.185-201 [11] J.C Butcher (1964), "Implicit Runge-Kutta processes", Math Comp 18, pp.50-64 [12] J.C Butcher (1964), "Integration processes based on Radau quadra-ture formulas", Math Comp 18, pp.233-244 [13] J.C Butcher (1964), "On Runge-Kutta processes of high order", J of the Australian Math Soc 4, pp.179-194 [14] J.C Butcher (1964), "On the attainable order of Runge-Kutta methods", Math Comp 19, pp.408-417 [15] J.C Butcher (1985), "The non-existence of ten stage eighth order explicit Runge-Kutta methods", BIT 27, pp.521-540 [16] J.C Butcher (1977), "A-stable implicit Runge-Kutta methods", BIT 17, pp.375-378 [17] J.C Butcher (1987), The Numerial Analysys of Ordinary Differen-tial Equations, Runge-Kutta and General Linear Methods, Wiley, New York [18] N.H Cong (1994), "Parallel iteration of symmetric Runge-Kutta methods for nonstiff initial-value problems", J Comput Appl Math 51, pp.117-125 [19] N.H Cong (1999), "Explicit pseudo two-step Runge-Kutta methods for parallel computers", Int J Comput Math 73, pp.77-91 [20] N.H Cong (1999), "Continuous variable stepsize explicit pseudo two-step RK methods", J Comput Appl Math 101, pp.105-116 113 [21] N.H Cong and T Mitsui (1996), "Collocation-based two-step Runge-Kutta methods", Japan J Indust Appl Math 13, pp.171183 [22] N.H Cong and T Mitsui (1997), "A class of explicit parallel twostep Runge-Kutta methods", Japan J Indust Appl Math 14, pp.303-313 [23] N.H Cong and T Mitsui (2003), "Parallel PC iteration of pseudo two-step RK methods for nonstiff IVPs", Japan J Indust Appl Math 20, pp.51-64 [24] N.H Cong, H Podhaisky and R Weiner (1998), "Numerical experiments with some explicit pseudo two-step RK methods on a shared memory computer", Comput Math Appl 36, pp.107-116 [25] N.H Cong and H.T Vi (1995), "An improvement for explicit parallel Runge-Kutta methods", Vietnam J Math 23, pp.241-252 [26] N.H Cong and L.N Xuan (2003), "Parallel-iterated RK-type PC methods with continuous output formulas", Int J Comput Math 80, pp.1027-1037 [27] N.H Cong and L.N Xuan (2003), "Parallel-iterated RK-type PC methods with continuous output formulas", Int J Comput Math 23, pp.241-252 [28] N.H Cong and L.N Xuan (2008), "Improved parallel-iterated pseudo two-step RK methods for nonstiff IVPs", Appl Numer Math 58, pp.160-170 [29] N.H Cong and L.N Xuan (2008), "twostep-by-twostep PIRKtype PC methods with continous output formulas", J Comput Appl Math 221, pp.165-173 114 [30] N.H Cong and N.T Thuy (2011), "Two-step-by-two-step PIRKtype PC methods based on Gauss-Legendre collocation points", J Comput Appl Math 236, pp.225-233 [31] N.H Cong and N.T Thuy (2012), Stability of Two-Step-by-TwoStep IRK methods based on Gauss-Legendre collocation points and an application, Vietnam Journal of Mathematics, 40, no.1, pp.115-126 [32] N.H Cong and N.T Thuy (2014), "A class of explicit pseudo three-step Runge-Kutta methods", (submitted) [33] N.H Cong and N.T Thuy (2014), "Parallel iterated pseudo twostep RK methods with stepsize control", Japan Journal of Industrial and Applied Mathematics, 31, no 2, pp 441-460 [34] N.H Cong (2001), "A general family of pseudo two-step RungeKutta methods", SEA Bull Math 25, pp.61-73 [35] N.H Cong, "Explicit pseudo three-step Runge-Kutta-Nystrom methods", in preparation [36] A.R Curtis (1975)," High-order explicit Runge-Kutta formulae , their uses and limitations", J Inst Math Appl 16, pp.35-55 [37] A.R Curtis (1964), Tables of Jacobian Elliptic Functions Whose Arguments are Rational Fractions of the Quater Period, H.M.S.O., London [38] Gear, C.W (1988), "Parallel methods for ordinary differential equa-tions", Calcolo 25, pp 1-20 [39] E Hairer (1978), "A Runge-Kutta method of order 10", J Inst Math Appl 21, pp.47-59 115 [40] E Hairer, S.P N rsett and G Wanner (1987), Solving Ordinary Differential Equations I Nonstiff Problems, 1st edition, SpringerVerlag, Berlin [41] E Hairer, S.P N rsett and G Wanner (1993), Solving Ordinary Differential Equations I Nonstiff Problems, 2nd edition, Springer-Verlag, Berlin [42] E Hairer and G Wanner (1991), Solving Ordinary Differential Equa-tions II, Stiff and Differential-Algebraic Problems, Springer-Verlag, Berlin [43] P.J van der Houwen and N.H Cong (1993), "Parallel block predictor-corrector methods of Runge-Kutta type", Appl Numer Math 13, pp.109-123 [44] P.J van der Houwen and B.P Sommeijer (1990), "Parallel iteration of high-order Runge-Kutta methods with stepsize control", J Comput Appl Math 29, pp.111-127 [45] P.J van der Houwen and B.P Sommeijer (1992), "Block RungeKutta methods on parallel computers", Z Angew Math Mech 68, pp.3-10 [46] P.J van der Houwen, and B.P Sommeijer (1991), "Iterated Runge-Kutta methods on parallel computers", SIAM J Sci Stat Comput 12, pp.1000-1028 [47] P.J van der Houwen, B.P Sommeijer and W Couzy (1992), "Em-bedded diagonally implicit Runge-Kutta algorithms on parallel computers", Math Comput 58, pp.135-159 [48] T.E Hull, W.H Enright, B.M Fellen and A.E Sedgwick (1972), "Comparing numerical methods for ordinary differential equations", SIAM J Numer Anal 9, pp.603-637 116 [49] G.Yu Kulikov and R Weiner (2010), "Variable-stepsize interpolat-ing explicit parallel peer methods with inherent global error con-trol", SIAM J Sci Comput 32, pp.1695-1723 [50] G.Yu Kulikov and R Weiner (2010), "Doubly quasi-consistent par-allel explicit peer methods with built-in global error estimation", J Comput Appl Math 233, pp.2351-2364 [51] S.P N rsett and H.H Simonsen (1989), "Aspects of parallel Runge-Kutta methods, in Numerical Methods for Ordinary Differential Equations", Proceedings L’Aquilla 1987, Lecture Notes in Mathe-matics, 1386, (Edited by A Bellen, C.W Gear and E Russo), Springer-Verlag, Berlin [52] B.A Schmitt, R Weiner and S Jebens (2009), "Parameter optimization for explicit parallel peer two-step methods", Appl Numer Math 59, pp.769-782 [53] B.A Schmitt and R Weiner (2010), "Parallel start for explicit parallel two-step peer methods", Numer Algorithms 53, pp.363-381 [54] L.F Shampine and M.K Gordon (1975), Computer Solution of Ordinary Differential Equations, The Initial Value Problems, W.H Freeman and Company, San Francisco [55] O Axelsson (1969), "A class of A-stable methods", BIT 9, pp.185-199 [56] K Dekker and J.G Verwer (1984), Stability of Runge-Kutta Mehtods for Stiff Nonlinear Differential Equations, NorthHolland, Amsterdam [57] P Kaps (1981), Rosenbrock-type methods, in: Numerical Methods for Stiff Initial Value Problems, G Dahlquist and R Jeltsch (eds.), 117 Bericht Nr 9, Inst fur Geometrie und Praktische Mathematik der RWTH Aachen [58] J.D Lambert (1991), Numerical Methods for Ordinary Differential Systems, The Initial Value Problems, John Wiley & Sons [59] B.P Sommeijer, W Couzy and P.J van der Houwen (1992), "Astable parallel block methods for ordinary and integrodifferential equations", Appl Numer Math 9, pp.267-281 [60] O Widlund (1967), "A note on unconditionally stable linear multi-step methods", BIT 7, pp.65-70 [61] M.T Chu and H Hamilton (1987), "Parallel solution of ODEs by multi-block methods", SIAM J Sci Statist Comput 3, pp.342-353 [62] R Weiner, G.Yu Kulikov and H Podhaisky (2012), "Variablestepsize doubly quasi-consistent parallel explicit peer methods with global error control", Appl Numer Math 62, pp.1591-1603 ...  NGUYỄN THU THỦY MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP SONG SONG DẠNG RUNGE - KUTTA GIẢI BÀI TỐN KHƠNG CƯƠNG Chun ngành: Tốn học tính tốn Mã số: 62 46 30 01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa... EPThRK Explicit pseudo three-step Runge- Kutta method Ph÷ìng ph¡p gi£ Runge- Kutta ba bữợc ERK Explicit Runge- Kutta Runge- Kutta hin IRK Implicit Runge- Kutta Rungge -Kutta 'n PC Predictor-Corrector... two-step Runge- Kutta methods Ph÷ìng ph¡p l°p song song giÊ Runge- Kutta hai bữợc PIPTRKSC Parallel-iterated pseudo two-step Runge- Kutta method with step size control Ph÷ìng ph¡p l°p song song gi£ Runge- Kutta