Mục lục danh mục bảng Các từ viết tắt Những kí hiệu luận án mở đầu tổng quan phơng pháp song song 1.1 Các phơng ph¸p RKN 1.2 C¸c phơng pháp IR 1.3 Các phơng pháp PI 1.4 Các phơng pháp IPIRKN v 1.5 KÕt luËn Phơng pháp dự báo-hiệu chỉnh dạng PIRKN với công thức dự báo kiĨu adams 2.1 Giíi thiƯu 2.2 Điều kiện cấp xác 2.3 Xác định hệ số phơng pháp PIRKNA 2.4 2.5 Tính chất ổn định phơng pháp PIRKN Thư nghiƯm tÝnh to¸n 2.5.1 2.5.2 2.5.3 2.5.4 KÕt luËn 2.6 phơng pháp lặp song song gi¶ RKN hai b−íc 44 3.1 Giíi thiƯu 3.2 Phơng pháp hiệu chỉnh PTRKN 3.2.1 3.2.2 3.3 Phơng pháp IPIPTRKN 3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.4 Thư nghiƯm tÝnh to¸n 3.4.1 3.4.2 3.5 KÕt luËn Phơng pháp dự báo hiệu chỉnh dạng RKN vi lặp song song liên tục 4.1 4.2 4.3 Giíi thiƯu Phơng pháp RKN liên t Phơng pháp CPIRKN 4.3.1 4.3.2 Thử nghiệm số 4.4.1 4.4.2 KÕt luËn 4.4 4.5 Kết luận công trình đà công bố liên quan đến luận án Tài liệu tham khảo vii Danh sách bảng 2.1 Biên ổn định (m) phơng pháp PIRKNA 2.2 Giá trị NCD/Nseq toán (testprob1) tính b pháp PIRKNA, PIRKN IPIRKN 2.3 Giá trị NCD/Nseq toán (testprob2) tính b pháp PIRKN, IPIRKN trực tiếp PIRKNA 3.1 Nh©n tử hội tụ số phơng pháp song song P 3.2 Biên ổn định (m) phơng pháp song song 3.3 NCD/Nseq toán (testprob1) tính p IPIPTRKN phơng pháp PIRKN 3.4 NCD/Nseq cña toán (testprob2) tính p IPIPTRKN phơng ph¸p PIRKN 3.5 NCD/Nseq toán (testprob3) tính p IPIPTRKN phơng pháp PIRKN 3.6 So s¸nh phơng pháp IPIPTRKN6 với code giả toán (testprob2) 4.1 Giá trị NCDp|NCDp cho toán (testprob2) với pháp RKN liên tục khác 4.2 Biên ổn định stab(m) cho phơng pháp CPIRKN k 4.3 Giá trị NCD/Nseq cho toán (testprob1) với p k 4.4 Giá trị NCD/Nseq cho toán (testprob2) nhận đ khác 4.5 Giá trị NCD/Nseq cho toán (testprob3) với p k 4.6 So sánh phơng pháp CPIRKN56 với code DOPRIN giải toán (testprob2) viii Các từ viết tắt CPIRKN Continuous parallel-iterated RKN Lặp song song liên tục Runge-Kutta-Nystrom ERKN Explicit Runge-Kutta-Nystrom NCD Number of Correct Decimal Digits IPIRKN Improved Parallel Iterated Runge-Kutta-Nystrom IPIPTRKN Improved Parallel-Iterated Pseudo Two-step IRK Implicit Runge-Kutta IRKN Implicit Runge-Kutta-Nystrom PC Predictor-Corrector PIPTRKN Parallel-Iterated Pseudo Two-step Runge-Kutta-Nystrom PIRKNA Parallel Iterated Runge-Kutta-Nystrom with Adams-type predictors PIRKN Parallel Iterated Runge-Kutta-Nystrom PISRKN Parallel-Iterated Symetric Runge-Kutta-Nystrom Runge-Kutta-Nystrom hiển Giá trị trung bình số chữ số thập phân Lặp song song cải tiến Runge-Kutta-Nystrom Lặp song song cải tiến giả Runge-Kutta-Nystrom hai bớc Rungge-Kutta ẩn Runge-Kutta-Nystrom ẩn Dự báo-Hiệu chỉnh Lặp song song giả Runge-Kutta-Nystrom hai bớc Lặp song song Runge-Kutta-Nystrom với dự báo kiểu Adams Lặp song Runge-Kutta-Nystrom Lặp song song đối xứng Runge-Kutta-Nystrom ix PITRKN PTRKN Parallel Iterated Two step Runge-Kutta-Nystrom LỈp song song hai b−íc Runge-Kutta-Nystrom RK Pseudo Two-step Runge-Kutta-Nystrom Gi¶ Runge-Kutta-Nystrom hai b−íc RKN Runge-Kutta Runge-Kutta SRKN Runge-Kutta-Nystrom Runge-Kutta-Nystrom TRKN Symmetric Runge-Kutta-Nystrom Runge-Kutta-Nystrom ®èi xøng Two Step Runge-Kutta-Nystrom Runge-Kutta-Nystrom hai bớc x Những kí hiệu luận án Ngoài kí hiệu thông thờng giải tích đại số, luận án dùng mét sè kÝ hiƯu sau: TÝch trùc tiÕp cđa hai ma trận Giả sử A ma trận p × q chiỊu, B lµ ma trËn bÊt k× ®ã a 21 B a11B a12B a1qB a 22 B a 2q B ap1B A ⊗ B = [aijB] = ap2B apqB T Luü thõa cña mét véc tơ Giả sử c = (c1, c2, , cs) , ®ã k k k k T c = (c 1, c 2, , c s) d To¸n tư exp(dx ) exp( Khi khai triển Taylor hàm y(t) lân cận điểm t0 là: y(t0 + h) = exp(h f(x, y) KÝ hiƯu vÐc t¬ e VÐc tơ e hiểu có tất thành phần Giả sử hàm thực hai biÕn thùc x vµ y, nÕu thay T x vµ y t−¬ng øng bëi hai vÐc t¬ v = (v1, v2, , vs) vµ w = (w1, T w2, , ws) , ta đợc véc tơ hàm với s thành phần: T f(v, w) = [f(v1, w1), f(v2, w2), , f(vs, ws)] T NÕu x ∈ R, cßn y thay bëi w = (w1, w2, , ws) ta cã T f(x, w) = [f(x, w1), f(x, w2), , f(x, ws)] xi Mở đầu Hầu hết tợng tự nhiên kĩ thuật đợc mô tả hệ phơng trình vi phân Các hệ phơng trình vi phân thuộc loại thờng không cho nghiệm dới dạng giải tích Vì vậy, vấn đề giải gần hệ phơng trình vi phân đà đợc quan tâm từ lâu Một hớng giải gần giải số Nhng khoa học công nghệ ngày phát triển, dẫn đến kích thớc toán ngày lớn, yêu cầu ngày cao độ xác, lại phải cho kÕt qu¶ thêi gian thùc (real time problems) chẳng hạn nh toán dự báo thời tiết hay toán điều khiển chuyến bay Cần thực khối lợng tính toán khổng lồ, với độ xác cao khoảng thời gian hạn chế Các máy tính hệ cũ đáp ứng đợc yêu cầu Trớc nhu cầu xúc đó, chủng loại máy tính đà đời, máy tÝnh cã tèc ®é cao víi nhiỊu bé xư lÝ đồng thời làm việc siêu máy tính ( gọi máy tính song song, máy tính véc tơ ) Sự đời siêu máy tính mở đờng cho hớng phát triển giải tích số nói chung giải số hệ phơng trình vi phân nói riêng Vì phơng pháp số trớc đợc xây dựng nghiên cứu nhằm khai thác loại m¸y tÝnh trun thèng, chØ cã mét bé xư lý, phơng pháp đợc gọi phơng pháp Nếu sử dụng phơng pháp không khai thác cách có hiệu siêu máy tính Việc xây dựng nghiên cứu phơng pháp nhằm khai thác tốt siêu máy tính đà trở thành nhu cầu cấp thiết toán học tính toán nói chung giải số hệ phơng trình vi phân nói riêng Cho đến nay, việc xây dựng thuật toán để giải số toán giá trị đầu máy tính song song đà trở thành hớng nghiên cứu quan trọng Có ba cách tiếp cận chính, là: Song song hoá toán Song song hoá bớc lấy tích phân Song song hoá thuật toán Trong ba cách tiếp cận trên, cách tiếp cận thứ ba đợc quan tâm thuật toán đợc xây dựng độc lập với toán Luận án không quan tâm chung Luận án: Một số phơng pháp song song dạng Runge-Kutta-Nystrom giải b i toán không cơng nghiên cứu phát triển số phơng pháp song song để giải toán Cauchy cho lớp hệ phơng trình vi phân cấp có dạng sau đây: y (t) = f(t, y(t)), y(t0) = y0, y (t0) = y0, t0 y, f ∈ R t T, (1) N đây, nh toàn luận án, hàm vế phải f(t, y(t)) giả thiết liên tục theo biến t Lipschitz theo biến y, nữa, nghiệm toán (1) đợc giả thiết đủ trơn Đây lớp phơng trình quan trọng Vật lí, Cơ học, Thiên văn học mô tả mối quan hệ theo định luật Newton thứ hai Một biện pháp truyền thống để giải toán (1) chuyển đổi hệ phơng trình vi phân cấp với số chiều gấp đôi, sau áp dụng phơng pháp hệ phơng trình vi phân cấp Một lớp phơng pháp truyền thống phổ biến giải hệ phơng trình vi phân cấp phơng pháp Runge-Kutta (RK) có lợc đồ nh sau (xem [6]): Un = e un + h(A ⊗ IN)F(tne + hc, Un), T (2) un+1 = un + h(b ⊗ IN)F(tne + hc, Un) với A, c, b ma trận véc tơ tạo thành tham số phơng pháp Phơng pháp RK (1.1) thờng đợc biểu diễn ngắn gọn dới dạng bảng Butcher nh sau: T yn+1 = yn + hyn + zb Yn = z m+2 T m (m) b A BYn (m ) −1 T + {1 + zb [I + zA + · · · + (zA) T + {1 + zb [I + zA + · · · + (zA) + z m+1 T T m b A eyn−1 + z m−1 m−1 ]e}yn ]c}hyn m+1 T m b A (e + c)hyn−1, (m) hyn+1 = hyn + zd Yn m+2 T m (m ) T m−1 =z d A BYn − + zd [I + zA + · · · + (zA) ]eyn (4.18c) T m−1 m+1 T m + {1 + zd [I + zA + · · · + (zA) ]c}hyn + z d A eyn−1 + z m+1 T m d A (e + c)hyn−1 Tõ (4.18) ta cã quan hƯ ®Ư qui Y(m) yn hyn+1 n yn+1 hy ë Mm(z) có số chiều (s + 4) ì (s + 4) đợc zm+1AmB xác định (4.19b) z A (e + c) Mm(z) = m m zm+2bT A m m+1 T z B m zm+1dT Am(e + c) A B zm+2dT m b A (e + c) 0T 0T m−1 ®ã Pm−1(z) = I + zA + · · · + (zA) , ma trËn Mm(z) xác định (4.19) xác định tính ổn định phơng pháp CPIRKN đợc gọi ma trận khuếch đại, bán kính phổ Mm(z) Với m số bớc lặp cho trớc, khoảng ổn định đợc xác định nh sau stab(m), := z : ρ Mm(z) < 1, z Ta còng gäi stab(m) biên ổn định phơng pháp CPIRKN, tìm thấy điều mục 4.5 n 78 4.4 Thử nghiệm số Trong mục đăng tải kết tính toán số CPIRKN Ta giới hạn phơng pháp CPIRKN với phơng pháp hiệu chỉnh liên tục dựa véc tơ trùng khớp đối xứng c đà xét [10]) Phơng pháp hiệu chỉnh RKN s nấc (4.10) dựa véc tơ trùng khớp đối xứng có cấp p = p s + s tuỳ theo s lẻ hay chẵn (xem [10] Định lí 4.3.1 chơng này) Véc tơ trùng khớp đối xứng đợc chọn cho b¸n kÝnh phỉ ρ(A) cđa ma trËn RKN cùc tiểu, mà phơng pháp CPIRKN xác định (4.10) có tốc độ hội tụ tối u [10]) Bảng 4.2 dới liệt kê biên ổn định phơng pháp CPIRKN với phơng pháp hiệu chỉnh RKN liên tục dựa véc tơ trùng khớp đối xứng đợc xÐt [10] víi s = 3, 4, 5, cấp tơng ứng p = 4, 4, 6, Phơng pháp CPIRKN tơng ứng dựa phơng pháp hiệu chỉnh RKN liên tục s nấc, cấp xác p đợc kí hiệu CPIRKNsp Cho s = 3, 4, 5, 6; p = 4, 4, 6, ta đợc phơng pháp CPIRKN34, CPIRKN44, CPIRKN56, CPIRKN66 Ta nhận thấy biên ổn định phơng pháp đủ lớn để giải toán không cơng có dạng (1) Bảng 4.2: Biên ổn định stab(m) cho phơng pháp CPIRKN khác Phơng pháp stab (1) stab(2) stab(3) stab(4) stab(5) (6) stab Sau ta so sánh phơng pháp CPIRKN với phơng pháp song song hiển với phơng pháp đà có tài liệu Với CPIRKN bớc ta sử dụng công thức dự báo cho bëi Y(0) 0,i 79 Sai sè tut ®èi nhËn đợc điểm cuối khoảng lấy tích phân đợc cho dới dạng 10 NCD Khả tính toán ®o bëi tØ sè Nseq/Nstp Thư nghiƯm sè víi bµi toán nhỏ đà cho thấy u tiềm tàng phơng pháp CPIRKN so với phơng pháp hiƯn cã TÝnh −u viƯt nµy cµng cã ý nghÜa giải toán đủ lớn phơng pháp có số lần tính toán hàm vế phải đắt (xem [5]) Nhằm thấy đợc hội tụ phơng pháp CPIRKN, sử dụng chiến lợc động cho việc xác định số lần lặp, từ ta có tiêu chuẩn dừng sau (xem [7, 8, 10, 11, 12]) (m) Yn (m−1) − Yn ∞ p TOL = Ch , C tham số phụ thuộc toán phơng pháp Những tính toán đợc thực máy tính có độ xác 15 chữ số 4.4.1 So sánh với phơng pháp song song Chúng đa kết số thu đợc từ phơng pháp PIRKN trên, phơng pháp RKN song song hiển tốt tiếp cận đợc nh đà đề cập [8, 38], phơng pháp CPIRKN Chúng ta xét phơng pháp PIRKN gián tiếp đà đề cập [38] phơng pháp PIRKN trực tiếp [8] Chúng chọn toán thử nh đà nói Bài toán không dừng tuyến tính Kết số bảng 4.3 đà phơng pháp CPIRKN hiệu so với phơng pháp PIRKN trực tiếp gián tiếp cấp Với toán tuyến tính này, phơng pháp CPIRKN cần lần lặp bớc Lu ý sai số làm tròn ta không hi vọng 15 chữ số xác 80 Bảng 4.3: Giá trị NCD/Nseq cho toán (testprob1) với p khác Phơng pháp PC Ind.PIRKN Dir.PIRKN CPIRKN34 CPIRKN44 Ind.PIRKN Dir.PIRKN CPIRKN56 CPIRKN66 Bài toán Fehlberg phi tuyến Ta sử dụng phơng pháp PC cấp p khác đà đợc nói tới trên, kết số thể bảng 4.4 Những kết đà Bảng 4.4: Giá trị NCD/Nseq cho toán (testprob2) nhận đợc với p khác Phơng pháp PC Ind.PIRKN Dir.PIRKN CPIRKN34 CPIRKN44 Ind.PIRKN Dir.PIRKN CPIRKN56 CPIRKN66 r»ng ph−¬ng pháp CPIRKN vợt xa so với phơng pháp PIRKN trực tiếp gián tiếp cấp Với toán số lần lặp m cần có bớc phơng pháp dự báo-hiệu chỉnh 81 Phơng trình chuyển động Newton Xem [37, p 245], [28], [35] Víi ε = 0.3 kÕt qu¶ sè toán đợc bảng 4.5 Bảng 4.5: Giá trị NCD/Nseq cho toán (testprob3) với p khác Phơng pháp PC Ind.PIRKN Dir.PIRKN CPIRKN34 CPIRKN44 Ind.PIRKN Dir.PIRKN CPIRKN56 CPIRKN66 4.4.2 So sánh với phơng pháp Trong mục đà so sánh phơng pháp CPIRKN với phơng pháp song song indirPIRKN dirPIRKN Trong mục này, so sánh phơng pháp CPIRKN với vài phơng pháp tốt có Chúng giới hạn việc so sánh CPIRKN56 CPIRKN66 với hai phơng pháp ODEX2 DORIN Kết so sánh bảng 4.6 cho thấy phơng pháp CPIRKN có số lần tính hàm vế phải xấp xỉ 1/5 so với phơng pháp DOPRIN Trong CPIRKN có bớc lới cố định DOBRIN đợc trang bị lới biến bớc 4.5 Kết luận Trong chơng này, xây dựng lớp phơng pháp song song dự báohiệu chỉnh gọi phơng pháp dự báo-hiệu chỉnh lặp 82 Bảng 4.6: So sánh phơng pháp CPIRKN56 với code DOPRIN ODEX2 giải toán (testprob2) Phơng pháp ODEX2 (Hairer93) DOPRIN (Hairer93) CPIRKN56 (trong chơng này) CPIRKN66 (trong chơng này) ( phơng pháp CPIRKN ) song song liên tục dạng Runge-Kutta-Nystrom dựa phơng pháp hiệu chỉnh RKN với công thức đầu liên tục Kết việc chạy ba toán thử đà phơng pháp CPIRKN có số lần tính hàm vế phải tiết kiệm lần so với phơng pháp truyền thống nh ODEX2, DOPRIN tiết kiệm lần so với phơng pháp song song đợc công bố tài liệu 83 Kết luận Luận án đà đề xuất, xây dựng nghiên cứu thuật toán mới, lặp song song dạng Runge-Kutta-Nystrom giải trực tiếp hệ phơng trình vi phân cấp hai dạng (1) máy tính song song Cả ba phơng pháp mang chất dự báo-hiệu chỉnh Cách tiếp cận chung là: phát biểu phơng pháp, tính toán ma trận véc tơ hệ số, nghiên cứu tính hội tụ, tính ổn định, tính toán thử nghiệm Các phơng pháp có u điểm chung tiết kiệm số lần tính hàm vế phải, ra, phơng pháp có u điểm riêng, là: a) Phơng pháp PIRKNA đợc xây dựng cách thay phơng pháp PIRKN công thức dự báo hai bớc kiểu Lagrange công thức dự báo hai bớc kiểu Adams, phơng pháp PIRKNA có khối lợng tính toán 2/3 so với PIRKN IPIRKN Với véc tơ c Gauss-Legendre, phơng pháp PIRKNA đạt đợc siêu hội tụ (p = 2s) b) Phơng pháp lặp song song dự báo-hiệu chỉnh giả RungeKutta- Nystrom hai bớc (phơng pháp IPIPTRKN) có đặc tính ổn định tốt không cần nhiều xử lí song song Chúng đợc áp dụng tốt trờng hợp máy tính có xử lí làm việc đồng thời c) Phơng pháp song song dự báo-hiệu chỉnh dạng RKN với công thức đầu liên tục (phơng pháp CPIRKN) cho phép tính toán giá trị nghiệm điểm bớc mà không cần chia lại lới không cần tính toán lại hàm phải Những thí dụ giải số đà thể tính hiệu phơng pháp CPIRKN 84 Đề tài đà mở số vấn đề tiếp tục nghiên cứu: a) Trong thời gian thực luận án này, máy tính song song ë n−íc ta ch−a nhiỊu, ®ã viƯc chạy toán thử máy tính song song gặp nhiều khó khăn, việc triển khai chạy máy tính song công việc b) ý tởng kĩ thuật nghiên cứu giải toán (1) hoàn toàn áp dụng vào việc nghiên cứu giải hệ phơng trình vi phân cấp cao (n) (y (t) = f(t, y(t)), n > 2) Phơng trình vi phân cấp cao xuất số toán học Chúng đà triển khai ý tởng đà thu đợc số kết ban đầu c) Trong luận án xét toán có dạng y (t) = f(t, y(t)), y(t0) = y0, y (t0) = y0 Việc giải toán tổng quát y (t) = f(t, y(t), y (t)), y(t0) = y0, y (t0) = y0 đợc nghiên cứu thời gian tới 85 công trình đà công bố liên quan đến luận án Để hoàn thành luận án, sử dụng công trình khoa học sau đây, công bố Nguyễn Văn Minh (2000), Phơng pháp Dự báo-Hiệu chỉnh dạng PIRKN với công thức dự báo kiểu Adams, Tạp chí Khoa học vC Công Nghệ, Đại học Thái Nguyên (16), 27-31 Nguyen Huu Cong and Nguyen Van Minh, ” Improved Parallel-iterated pseudo two-step RKN methods for nonstiff BVPs”, Southeast Asian Bulletin of Mathematics, Vol 32(2008), 1-18 Nguyen Huu Cong and Nguyen Van Minh, ” Continuous parallel-iterated RKN-type PC methods for nonstiff IVPs”, Applied Numerical Mathematics, (57), 1097-1107 86 Tµi liƯu tham khảo [1] Nguyễn Hữu Công (1995), Các phơng pháp song song dạng Runge-Kutta Nystro m, Luận án Tiến sĩ khoa học Toán lí [2] Nguyễn Thị Hồng Minh (2001), Một số thuật toán song song giải số hệ phơng trình vi phân siêu máy tính, Luận án Tiến sĩ Toán học [3] Nguyễn Văn Minh(2000), Phơng pháp Dự báo-Hiệu chỉnh dạng PIRKN với công thức dự báo kiểu Adams, Tạp chí Khoa học Công Nghệ, Đại học Thái Nguyên (16), 27-31 [4] Nguyễn Văn Minh, Phơng pháp Runge-Kutta-Nystro m cho hệ phơng trình vi phân cấp 3, Tạp chí Khoa học Công nghệ Đại học Thái Nguyên, ( Đà nhận đăng 12/ 2006) [5] K Burrage (1995), Parallel and Sequential Methods for Ordinary Differential Equations, Clarendon Press, Oxford [6] J.C Butcher (1987), The Numerical Analysis of Ordinary Differential Equa-tions, Runge-Kutta and General Linear Methods, Wiley, New York [8] N.H Cong (1993), ” Note on the performance of direct and indirect Runge Kutta-Nystro m methods”, J Comput Appl Math.(45), 347-355 [9] N.H Cong (1995), ” Direct collocation-based two-step Runge-Kutta-Nystro m methods ”, SEA Bull Math (19), 49-58 [10] N.H Cong (1996), ” Explicit symmetric Runge-Kutta-Nystro m methods for parallel computers”, Computers Math Applic (31),111-122 87 [11] N.H Cong (1996), ” Explicit parallel two-step Runge-Kutta-Nystro m meth-ods”, Computers Math Applic (32), 119-130 [12] N.H Cong (1998), ” RKN-type parallel block PC methods with Lagrange-type predictors”, Computers Math Applic (35), 45-57 [13] N.H Cong, K Strehmel and R Weiner (1999), ” Runge-Kutta-Nystro m-type parallel block predictor-corrector methods”, Advances in Computational Mathematics, (10), 115-133 [14] N.H Cong, K Strehmel and R Weiner (1999), ” A general class of explicit pseudo two-step RKN methods on parallel computers”, Computers Math Ap-plic (38), 17-30 [15] N.H Cong , ” Explicit pseudo two-step RKN methods with stepsize control”, accepted for publication in Appl Numer Math [16] N.H Cong (1999), ” Half-implicit pseudo two-step RKN methods ”, SEA Bull Math (23), 585-597 [17] N.H Cong, K Strehmel and R Weiner (1999), ” A general class of explicit pseudo two-step RKN methods on parallel computers ”, Computers Math Ap-plic (38), 17-30 [18] N.H Cong (1999), ”New high-order Runge-Kutta methods and applications to paralell integrations”, Viet J Math (32), 353-359 [19] Nguyen Huu Cong and Nguyen Thi Hong Minh (2000), ” Parallel block PC methods with RKN-type correctors and Adams-type predictors”, Intern J Comput Math.(74), 509-527 [20] Nguyen Huu Cong and Nguyen Thi Hong Minh (2001), ” Fast convergence PIRKN-type PC methods with Adams-type predictors”, Intern J Comput Math (77), 373-387 [21] Nguyen Huu Cong and Nguyen Thi Hong Minh (2002), ”Parallel-iterated pseudo two-step RKN methods for nonstiff BVPs”, Comput Math App (44) , 143-155 88 [22] Nguyen Huu Cong and Nguyen Van Minh, ”Improved Parallel-iterated pseudo two-step RKN methods for nonstiff BVPs”, Southeast Asian Bulletin of Math-ematics, Vol 32(2008), 1-18 [23] Nguyen Huu Cong and Nguyen Van Minh, ”Continuous parallel-iterated RKN-type PC methods for nonstiff IVPs”, Applied Numerical Mathematics,(57), 1097-1107 [24] E Fehlberg (1972), ”Klassische Schrittweiten-Kontrolle fur Differentialgleichungen x = f(t, ing (10), 305-315 x)”, Comput- [25] E Fehlberg (1981), ” Eine Runge-Kutta-Nystro m Formel 9-ter Ordnung mit Schrittweitenkontrolle fur Differentialgleichungen x Math Mech (61), 477-485 [26] E Fehlberg, S Filippi und J Graf(1986), ” Eine Formelpaar der Ordnung 10(11) fur Differentialgleichungen y = f(t, Z Angew Math Mech.(66), 265-270 y)”, [27] S Filippi und J Graf(1985), ” Ein Runge-Kutta-Nystro m Formelpaar der Ord nung 11(12) fur Differentialgleichungen der Form y ing(34), 271-282 [28] S Filippi and J Graf(1986), ” New Runge-Kutta-Nystro m formula-p order 8(7), 9(8), 10(9) and 11(10) for differential equations of the for f(t, y)”, J Comput Appl Math (14), 361-370 [29] E Hairer (1977), ” Methodes de Nystro m pour y (t) = f(t, y)”, Numer Math (27), 283-300 [30] E Hairer (1979), ” Unconditionally stable methods for second order equations”, Numer Math (32), 373-379 [31] E Hairer (1982), ” A one-step method of order 10 for y (t) J Numer Anal (2), 83-94 89 = f(t, y) [32] E Hairer, S.P Norsett and G Wanner (1993), Solving Ordinary Differen-tial Equations, I Nonstiff Problems, second revised edition, Springer-Verlag, Berlin [33] P.J van der Houwen, B.P Sommeijer and N.H Cong (1991), ” Stability of collocation-based Runge-Kutta-Nystro m methods”, BIT (31), 469-481 [34] P.J van der Houwen, B.P Sommeijer (1990), ” Parallel iteration of highorder Runge-Kutta methods with stepsize control”, J Comput Appl Math (29), 111-127 [35] T.E Hull, W.H Enright, B.M Fellen and A.E Sedgwick (1972), ”Comparing numerical methods for ordinary differential equations”, SIAM J Numer Anal (9), 603-637 [36] J D Lambert(1991), Numerical methods for ordinary differential sys- tems, John Wiley & sons Chishester-New York-Brisbane-Toronto-Singapor [37] L.F Shampine and M.K Gordon (1975), Computer Solution of Ordinary Differential Equations, The Initial Value Problems, W.H Freeman and Company, San Francisco [38] B.P Sommeijer (1993), ”Explicit, high-order Runge-Kutta-Nystro m methods for parallel computers”, Appl Numer Math (13), 221-240 90 Thank you for evaluating AnyBizSoft PDF Splitter A watermark is added at the end of each output PDF file To remove the watermark, you need to purchase the software from http://www.anypdftools.com/buy/buy-pdf-splitter.html ... Two-step Runge- Kutta- Nystrom Gi¶ Runge- Kutta- Nystrom hai b−íc RKN Runge- Kutta Runge- Kutta SRKN Runge- Kutta- Nystrom Runge- Kutta- Nystrom TRKN Symmetric Runge- Kutta- Nystrom Runge- Kutta- Nystrom. .. án: Một số phơng pháp song song dạng Runge- Kutta- Nystrom giải b i toán không cơng nghiên cứu phát triển số phơng pháp song song để giải toán Cauchy cho lớp hệ phơng trình vi phân cấp có dạng. .. Lặp song song cải tiến giả Runge- Kutta- Nystrom hai b−íc Rungge -Kutta Èn Runge- Kutta- Nystrom Èn Dù b¸o-HiƯu chØnh Lặp song song giả Runge- Kutta- Nystrom hai bớc Lặp song song Runge- Kutta- Nystrom