Hướng dẫn học sinh một số phương pháp tìm nhanh đáp án trắc nghiệm các bài toán liên quan đến tiếp tuyến của đồ thị hàm số

MỤC LỤC Trang I MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Kiến thức tiếp tuyến đồ thị hàm số 2.1.2 Các toán tiếp tuyến đồ thị hàm số cách giải tự luận 2.1.3 Một số dạng tốn điển hình liên quan đến tiếp tuyến đồ thị hàm số 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Một số phương pháp tìm đáp án tốn trắc nghiệm phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số để đưa lựa chọn 2.3.1 Một số ví dụ điển hình phương pháp giải 2.3.2 Hệ thống tập dành cho học sinh luyện tập, vận dụng 13 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 18 III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận 19 3.2 Kiến nghị 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO I MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Phương trình tiếp tuyến tốn liên quan đến tiếp tuyến đồ thị hàm số nội dung quan trọng, thường xuyên có mặt kì thi tốn THPT Các dạng tốn tiếp tuyến đa dạng phong phú, đầy đủ cấp độ nhận thức nên thách thức, khó khăn học sinh Vì vậy, giáo viên cần hướng dẫn học sinh nhiều phương pháp giải để tìm đáp án dạng tốn cách nhanh Với lí đó, thân tơi qua thực tiễn giảng dạy mơn tốn, dự đồng nghiệp, tự học, tự bồi dưỡng nghiên cứu, tích lũy rút kinh nghiệm: “Hướng dẫn học sinh số phương pháp tìm nhanh đáp án trắc nghiệm tốn liên quan đến tiếp tuyến đồ thị hàm số” 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu SKKN rèn lực giải toán tiếp tuyến với đồ thị hàm số cho học THPT theo định hướng thi trắc nghiệm thông qua nhiều phương án giải toán cụ thể để lựa chọn đáp án nhanh Góp phần nghiên cứu cách có hệ thống, làm rõ tập tiếp tuyến đồ thị hàm số Giúp học sinh có thêm cách giải khác cho nhiều tập tiếp tuyến đồ thị hàm số, từ lựa chọn cách làm phù hợp với nhận thức Nâng cao trình độ chun mơn phục vụ cho công tác giảng dạy, ôn luyện TN THPT 1.3 Đối tượng nghiên cứu + Một số dạng toán tiếp tuyến thường gặp cách giải + Các phương pháp tìm nhanh đáp án trắc nghiệm toán tiếp tuyến: - Lời giải tự luận - Lựa chọn đáp án trắc nghiệm phép thử - Lời giải tự luận kết hợp máy tính Bỏ túi - Lựa chọn đáp án phép đánh giá + Sự khác biệt toán tự luận tốn trắc nghiệm + Tính hiệu mặt thời gian phương pháp áp dụng 1.4 Phương pháp nghiên cứu + Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết: - Nghiên cứu tài liệu giáo dục học, lý luận dạy học mơn tốn - Các sách báo, viết khoa học toán phục vụ cho đề tài - Các cơng trình nghiên cứu có vấn đề liên quan trực tiếp đến đề tài + Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin qua tiết giảng dạy kết khảo sát, kiểm tra đánh giá lực học sinh II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Kiến thức tiếp tuyến đồ thị hàm số [1] Đạo hàm hàm số y = f ( x ) điểm x0 hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M ( x0 ; f ( x0 ) Nếu hàm số y = f ( x) có đạo hàm điểm x0 tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M ( x0 ; f ( x0 ) có phương trình y = f '( x0 )( x − x0 ) + f ( x0 ) 2.1.2 Các toán tiếp tuyến đồ thị hàm số cách giải tự luận Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị (C) Khi hãy:  Viết phương trình tiếp tuyến với (C) điểm M ( x0 ; y0 ) ∈ (C ) ? Phương pháp giải tự luận:  Tính f '( x)  Tính hệ số góc tiếp tuyến k = f '( x0 )  Phương trình tiếp tuyến (C) điểm M ( x0 ; y0 ) là: y = f '( x0 )( x − x0 ) + y0 Phương pháp tìm đáp án kết hợp máy tính Bỏ túi [5] Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x ) điểm có hồnh độ x = x0 là: y = f '( x0 )( x − x0 ) + f ( x0 ) ⇔ y = f '( x0 ) x + f '( x0 )( − x0 ) + f ( x0 ) ⇔ y = Ax + B { 44 4 43 A - Tìm A: Nhập f '( x0 ) = B d =A ( f ( x) ) dx x = x0 - Tìm B: Nhập − Ax0 + f ( x) bấm CALC với x = x0 ta B  Viết phương trình tiếp tuyến với (C) có hệ số góc k cho trước? Phương pháp giải tự luận 1:  Tính f ' ( x)  Gọi M ( x0 ; y0 ) ∈ (C ) tiếp tuyến có hệ số góc k ⇒ x0 nghiệm phương trình f '( x0 ) = k Thay vào hàm số ⇒ y0 = f ( x0 )  Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng: y = k ( x − x0 ) + y0 Phương pháp giải tự luận 2:  Đường thẳng y = kx + b tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x )  f ( x) = kx + b hệ phương trình sau có nghiệm:   f '( x) = k Khi đó, nghiệm hệ phương trình hồnh độ tiếp điểm [2]  Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua điểm A ( x A ; y A ) cho trước? Phương pháp giải tự luận 1:  Gọi (d ) tiếp tuyến với (C) có hệ số góc k qua A Gọi M ( x0 ; y0 ) ∈ (C ) tiếp tuyến có hệ số góc k ⇒ (d ) có phương trình: y = k ( x − x A ) + y A (1)  Hoành độ tiếp điểm xo hệ số góc k tiếp tuyến nghiệm hệ  f ( x) = k ( x − x A ) + y A  f ' ( x) = k phương trình:   Giải hệ phương trình tìm k , thay vào (1) phương trình tiếp tuyến Phương pháp giải tự luận 2:  Giả sử có tiếp tuyến (d ) qua A , tiếp xúc với (C) tiếp điểm M ( x0 ; f ( x0 )) ⇒ (d ) có phương trình: y − y0 = f '( x0 )( x − x0 )  Vì A ( xA ; y A ) ∈ (d ) ⇒ y A − f ( x0 ) = f '( x0 )( x A − x0 ) (2)  y0 = f ( x0 )  Giải phương trình (2) tìm x0 ⇒  k = f '( x )   Viết phương trình tiếp tuyến dạng: y − y0 = f '( x0 )( x − x0 ) 2.1.3 Một số dạng tốn điển hình liên quan đến tiếp tuyến đồ thị hàm số  Viết PTTT ∆ ( C ) : y = f ( x ) , biết ∆ có hệ số góc k cho trước + Phương trình tiếp tuyến ∆ // d : y = ax + b ⇒ k = a + Phương trình tiếp tuyến ∆ ⊥ d : y = ax + b ⇒ k = − a + Phương trình tiếp tuyến ∆ tạo với trục hồnh góc α ⇒ k = tan α k −a = tan α + k a  Viết PTTT ∆ ( C ) : y = f ( x ) , biết ∆ qua (kẻ từ) điểm A ( x A ; y A )  Viết PTTT ∆ ( C ) : y = f ( x ) , biết ∆ cắt hai trục tọa độ A B cho tam giác OAB vng cân có diện tích S cho trước  Tìm điểm đường thẳng d : ax + by + c = mà từ vẽ 1,2,3, ,n tiếp tuyến với đồ thị hàm số ( C ) : y = f ( x )  Tìm điểm M ( xM ; yM ) mà từ vẽ hai tiếp tuyến với đồ thị hàm số ( C ) : y = f ( x ) , hai tiếp tuyến vng góc + Phương trình tiếp tuyến ∆ tạo với d : y = ax + b góc α ⇒ 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Khảo sát thực tế cho thấy đa số học sinh lúng túng q trình giải tốn tiếp tuyến dạng tốn đa dạng phong phú cách hỏi, học sinh chưa biết phân tích để tìm chất vận dụng kiến thức cách thích hợp Các em cịn chưa vững kiến thức tiếp tuyến, phân biệt tiếp tuyến điểm hay qua điểm đơi cịn nhầm lẫn, hay cách hỏi khác chất toán làm em bối rối Thời lượng mà phân phối chương trình dành cho tiếp tuyến ít, tốn SGK thường đơn nhiều so với đa dạng toán đề thi thực tế; học sinh nhiều thời lượng để tìm đáp án cho tốn, khơng đủ thời gian để hồn thành thi 2.3 Một số phương pháp tìm đáp án tốn trắc nghiệm phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số để đưa lựa chọn 2.3.1 Một số ví dụ điển hình phương pháp giải Bài Cho hàm số f ( x) = x − x có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) điểm có hồnh độ x0 = −2 A y = 10 x − B y = −2 x − 10 C y = 10 x − D y = 10 x + 16 Đáp án trắc nghiệm D  Lời giải tự luận: Ta có: x0 = −2 ⇒ f ( x0 ) = −4 f '( x) = x − ⇒ f '(−2) = 10 Phương trình tiếp tuyến với (C) A là: y = 10( x + 2) − ⇔ y = 10 x + 16 Do đó, đáp án cần lựa chọn D  Lựa chọn đáp án phương pháp sử dụng máy tính Bỏ túi: Tiếp tuyến đồ thị hàm số có dạng là: y = Ax + B + Tìm A: Nhập A = d = 10 ( x − 2x) dx x = −2 + Tìm B: B = 10.2 + x − x; CALC x = −2, KQ: B = 16 Phương trình tiếp tuyến với (C) x0 = −2 là: y = 10 x + 16 Do đó, đáp án cần lựa chọn D  Nhận xét: Việc sử dụng máy tính Bỏ túi cịn hiệu mà hàm số phức tạp Chẳng hạn: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = điểm có hàng độ x0 = −2 x3 − x − x2 − d  x3 − x −  = −2 ; ÷ Ta có: A =  dx  x2 − ÷ x = −   x3 − x −  B = −2(−2) +  ÷ CALC x = −2, KQ: B =  ÷ x −   Vậy nên phương tình tiếp tuyến là: y = −2 x + Bài Cho hàm số: y = x (C ) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) điểm có tung độ ? [1] A y = x − 12 B y = 12 x − 16 C y = 12 x + 16 D y = x − Đáp án trắc nghiệm B  Lời giải tự luận: Ta có f '( x) = 3x Gọi xo hoành độ tiếp điểm ⇒ ta có x0 = ⇔ xo = Với xo = ⇒ f '(2) = 12 ⇒ Phương trình tiếp tuyến M ( 2; 8) là: y = 12( x − 2) + ⇔ y = 12 x − 16  Lời giải tự luận kết hợp phép thử: Với đường thẳng đáp án A, sử dụng máy tính Casio fx 570-ES kiểm tra phương trình hồnh độ giao điểm x = x − 12 ⇔ x − x + 12 = khơng có nghiệm bội nên đáp án A bị loại Với đường thẳng đáp án B, sử dụng máy tính Casio fx 570-ES kiểm tra phương trình hồnh độ giao điểm x = 12 x − 16 ⇔ x − 12 x + 16 = có nghiệm bội x = Mặt khác ta điểm M ( 2; ) thỏa mãn phương trình hàm số y = x đường thẳng y = 12 x − 16 Do đó, đáp án cần lựa chọn C  Nhận xét: Qua ví dụ cho thấy, số dạng toán làm tự luận túy tương đối nhanh gọn Tuy nhiên, học sinh nắm vững kiến thức tiếp tuyến tính chất tiếp điểm kiểm tra phép thử giải pháp tốt Bài Cho hàm số f ( x) = x + x − 15 x + 12 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) điểm A ( 2; −2 ) ∈ ( C ) A y = x − 10 B y = x − 10 C y = x − 12 D y = x − 12 Đáp án trắc nghiệm C  Lời giải tự luận: Ta có f '( x) = 3x + x − 15 ⇒ f '(2) = Phương trình tiếp tuyến với (C) A là: y + = 5( x − 2) ⇔ y = x − 12 Do đó, đáp án cần lựa chọn C  Lựa chọn đáp án đánh giá kết hợp sử dụng máy tính Bỏ túi Với đường thẳng đáp án A, ta thấy đường thẳng không qua A ( 2; −2 ) , nên đáp án A bị loại Với đường thẳng đáp án B, ta thấy đường thẳng qua A ( 2; −2 ) , sử dụng máy tính Bỏ túi kiểm tra phương trình hồnh độ giao điểm x + x − 15 x + 12 = x − 10 ⇔ x + x − 19 x + 22 = khơng có nghiệm bội nên đáp án B bị loại Với đường thẳng đáp án C, ta thấy đường thẳng qua A ( 2; −2 ) , sử dụng máy tính Bỏ túi kiểm tra phương trình hoành độ giao điểm x + x − 15 x + 12 = x − 12 ⇔ x + x − 20 x + 24 = có nghiệm bội Do đó, đáp án cần lựa chọn C  Nhận xét: Trong trường hợp biết hoành độ (hoặc tung độ) tiếp điểm ta tìm yếu tố cịn lại làm tương tự Bài Cho hàm số y = x − x + có đồ thị (C) Tiếp tuyến (C) có hệ số góc có phương trình là: A y = x − B y = x − C y = 3x − D y = x − Đáp án trắc nghiệm D  Lời giải tự luận: Ta có y ' = x − Gọi tọa độ tiếp điểm ( xo ; y0 ) Khi đó: y '( x0 ) = ⇔ x0 − = ⇔ xo = ⇒ y0 = ⇒ Phương trình tiếp tuyến là: y = 2( x − 3) ⇔ y = x − Do đó, đáp án cần lựa chọn D  Lựa chọn đáp án phương pháp đánh giá kết hợp phép thử: Vì hệ số góc tiếp tuyến nên đáp án B C bị loại Với đường thẳng A xét phương trình hồnh độ giao điểm: x − x + = x − ⇔ x − x + = , khơng có nghiệm kép ⇒ y = x − khơng phải phương trình tiếp tuyến ⇒ Đáp án A bị loại Do đó, đáp án cần lựa chọn D  Nhận xét: Trong số toán, để tăng mức độ kiến thức người ta thường phát biểu dạng “Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số song song vng góc với đường thẳng cho trước có hệ số góc thỏa mãn điều kiên K (ví dụ hợp với chiều dương trục hồnh góc 600 )” 3 Bài Cho hàm số (C ) : y = x − 3x + Hai tiếp tuyến (C ) song song với đường thẳng y = x + 2017 tiếp xúc với (C ) hai điểm A, B Phương trình đường thẳng ( AB ) gì? [4] A x + y + = B x + y − = C x − y − = D x − y + = Đáp án trắc nghiệm C  Lời giải tự luận: Ta có y ' = 3x − x Giả sử M ( x; y ) tiếp điểm, đó:  x = −1  A(−1; −2) y ' = ⇔ 3x − x = ⇔ x − x − = ⇔  ⇔  x=3  B (3;2) Khi đó, phương trình đường thẳng ( AB) cho bởi: ( AB ) : x +1 y + = ⇔ ( AB ) : x − y − = +1 + Do đó, đáp án cần lựa chọn C  Lời giải tự luận kết hợp phép thử: Ta có y ' = 3x − x Giả sử M ( x; y ) tiếp điểm, đó:  x = −1  A(−1; −2) y ' = ⇔ 3x − x = ⇔ x − x − = ⇔  ⇔  x=3  B (3;2) Ta nhận thấy có phương trình C thỏa mãn tọa độ hai điểm A, B Do đó, đáp án cần lựa chọn C  Lựa chọn đáp án phương pháp đánh giá: Nhận xét, đường thẳng ( AB) phải qua điểm uốn U đồ thị hàm số Ta có y ' = 3x − x ⇒ y '' = x − ⇒ y '' = ⇔ x = ⇒ y = Suy tọa độ điểm uốn U (1;0) A Nhận thấy, tọa độ U thỏa mãn phương trình C U B Do đó, đáp án cần lựa chọn C  Nhận xét: Như dạng toán có tới phương án tìm đáp án  Ta tìm tọa độ tiếp điểm lập phương trình đường thẳng hai điểm  Ta tìm tọa độ tiếp điểm kết hợp với phép thử để tìm đáp án  Ta dùng tính chất hàm đa thức bậc ba “ Đồ thị hàm bậc ba nhận điểm uốn làm tâm đối xứng” Khi giả sử tiếp điểm A, B điểm U trung điểm đoạn AB nên cần tìm tọa độ U dùng phép thử x−3 Hai tiếp tuyến (C ) song song với đường x−2 thẳng x − y + = tiếp xúc với (C ) hai điểm A, B Tọa độ trung điểm I AB gì? [4] Bài Cho hàm số (C ) : y = A (0; ) B (1;2) C (2;1) D (4; ) Đáp án trắc nghiệm C  Lời giải tự luận: Ta có y ' = y' = Giả sử M ( x; y ) tiếp điểm, đó: ( x − 2) x = 1 ⇔ = ⇔ ( x − 2) = ⇔  ⇒ A(0; ) B (4; ) ( x − 2) 2 x = ⇒ Tọa độ trung điểm I (2;1) Do đó, đáp án cần lựa chọn C  Lựa chọn đáp án phương pháp đánh giá: Do tiếp tuyến hai điểm A, B song song với nên hai điểm A, B phải đối xứng qua tâm đối xứng đồ thị hàm số Vậy trung điểm A, B I (2;1) Do đó, đáp án cần lựa chọn C  Nhận xét: Việc nắm tính chất đồ thị hàm số quan trọng (đồ ax + b d a thị hàm bậc bậc y = có tâm đối xứng I (− ; ) ), cho cx + d c c phép ta đưa lựa chọn đáp án cách nhanh chóng Bài Có đường thẳng qua điểm A(1;4) tiếp xúc với đồ thị hàm số (C ) : y = x + ? A B C D Đáp án trắc nghiệm A  Lời giải tự luận 1: Đường thẳng qua A(1;4) có phương trình (d ) : y = k ( x − 1) + Do (d ) tiếp xúc với đồ thị hàm số y = x + nên hệ phương trình sau có nghiệm:  x + = k ( x − 1) + ⇔ x − x + = vô nghiệm  2 x = k Vậy qua A không kẻ đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số  Lời giải tự luận 2: Ta có y ' = x Gọi tọa độ tiếp điểm ( xo ; y0 ) Khi đó: y '( x0 ) = x0 ⇒ Phương trình tiếp tuyến (d ) có dạng là: y = x0 ( x − x0 ) + x02 + ⇔ y = x0 x − x02 + 2 Để (d ) qua A(1;4) điều kiện cần là: = x0 − x0 + ⇔ x0 − x0 + = , vô nghiệm Vậy nên qua A không kẻ đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số Do đó, đáp án cần lựa chọn A 10  Lựa chọn đáp án phương pháp đánh giá: Vì điểm A nằm Parabol y = x + (vì xét dấu 12 + − = −2 < ) nên qua A không kẻ tiếp tuyến tới đồ thị hàm số Do đó, đáp án cần lựa chọn A  Nhận xét: Với Parabol ( P ) thì:  Nếu điểm A nằm ( P ) không kẻ tiếp tuyến tới ( P )  Nếu điểm A nằm ( P ) kẻ tiếp tuyến tới ( P )  Nếu điểm A nằm ( P ) kẻ hai tiếp tuyến tới ( P ) Bài Cho đồ thị (C): y = x − 3x + , viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến qua điểm M ( −2; −1) A y = −1; y = x − B y = x + 2; y = x + 17 C y = x + 1; y = x + 17 D y = −1; y = x + 17 Đáp án trắc nghiệm D  Lời giải tự luận 1: Ta có: y ' = 3x − Gọi M ( x0 ; x0 − x0 + 1) tiếp điểm Hệ số góc tiếp tuyến y '( x0 ) = x0 − 3 Phương trình tiếp tuyến với (C) M (d ) : y = (3x0 − 3)( x − x0 ) + x0 − 3x0 + (d ) qua M ( −2; −1) nên ta có: − = (3 x02 − 3)(− − x0 ) + x03 − x0 + ⇔ x03 + x02 − =  x0 = ⇒ y0 = −1 ⇔  x0 = −2 ⇒ y0 = −1 Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: y = −1; y = x + 17 Do đó, đáp án cần lựa chọn D  Lời giải tự luận Đường thẳng qua M ( −2; −1) có phương trình (d ) : y = k ( x + 2) − Do (d ) tiếp xúc với đồ thị hàm số y = x − 3x + nên hệ sau có nghiệm:  x3 − 3x + = k ( x + 2) − x = k = ⇔ ⇔   ⇔ x − x + = (3 x − 3)( x + 2) −   x = −2  3x − = k  k = 11 Với k = , ta tiếp tuyến (d1 ) có phương trình y = −1 Với k = , ta tiếp tuyến (d ) có phương trình y = x + 17 Do đó, đáp án cần lựa chọn D  Lựa chọn đáp án phương pháp đánh giá kết hợp phép thử Trong đáp án A, đường thẳng y = x − không qua M ( −2; −1) nên đáp án A bị loại Trong đáp án B, hai đường thẳng y = x + 2; y = x + 17 song song nên qua điểm nên đáp án B bị loại Trong đáp án C, hai đường thẳng y = x + 1; y = x + 17 qua điểm M ( −2; −1) Tuy nhiên xét phương trình hồnh độ giao điểm: x − 3x + = x + ⇔ x + x = , khơng có nghiệm bội ⇒ y = x + phương trình tiếp tuyến nên đáp án C bị loại Do đó, đáp án cần lựa chọn D 5  Bài Cho đồ thị (C ) : y = x Hai tiếp tuyến đồ thị qua điểm M  ; −8 ÷ 4  tiếp xúc với (C ) hai điểm A, B Phương trình đường thẳng ( AB ) gì? [4] A y = x B y = x + C y = −5 x + D y = − x Đáp án trắc nghiệm B  Lời giải tự luận 1: Ta có: y ' = x Gọi M ( x0 ; x04 ) tiếp điểm Hệ số góc tiếp tuyến y '( x0 ) = x0 Phương trình tiếp tuyến với (C) M (d ) : y = x0 ( x − x0 ) + x0 (d ) qua M nên ta có: −8 = x03 ( − x0 ) + x04 ⇔ x04 − x03 − =  x0 = −1 ⇒ y0 =  A(−1;1) ⇔ ⇒  x0 = ⇒ y0 = 16  B (2;16) Khi đó, phương trình đường thẳng ( AB) cho bởi: ( AB ) : x +1 y −1 = ⇔ ( AB ) : y = x + + 16 − Do đó, đáp án cần lựa chọn B  Lời giải tự luận 2: 12 5  Đường thẳng qua M  ; −8 ÷ có phương trình (d ) : y = k ( x − ) − 4  Do (d ) tiếp xúc với đồ thị hàm số y = x nên hệ phương trình sau có nghiệm:   x = k (x − 4) − 4 ⇒ x = x ( x − ) − ⇔ 3x − x − =   x = k   x = −1 ⇒ y =  A(−1;1) ⇔ ⇒  x = ⇒ y = 16  B(2;16) Nhận xét tọa độ điểm A, B thỏa mãn phương trình B Do đó, đáp án cần lựa chọn B  Lựa chọn đáp án phương pháp đánh giá kết hợp phép (C)thử: Phác thảo hình vẽ (hình bên) ta thấy đường thẳng ( AB) có hướng lên nên đáp án C, D bị loại Với đường thẳng y = x đáp án A, phương trình hồnh độ giao điểm (C ) (d ) là: x = x ⇔ x = x = y Lúc tiếp tuyến A(0;0) có phương trình ( d A ) : y = y '(0).x ⇔ y = B 5  Tiếp tuyến không qua M  ; −8 ÷ nên đáp án A 4  bị loại A Do đó, đáp án cần lựa chọn B x O M  Nhận xét: Nếu học sinh nắm vững kiến thức hình dạng tính chất đồ thị hàm số học sinh cần giải tự luận phần kết hợp với phép thử tìm đáp án cách nhanh chóng 2.3.2 Hệ thống tập dành cho học sinh luyện tập, vận dụng Câu (THPT Hùng Vương Bình Phước) Phương trình tiếp tuyến đường cong y = x + 3x − điểm có hoành độ x0 = là: A y = x + B y = −9 x − C y = −9 x + D y = x − Câu Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = độ x = là: −x + điểm có hồnh x −1 13 A y = −2 x + B y = −2 x − C y = x − D y = x + Câu (THPT Thiệu Hóa – Thanh Hóa 2019) Cho hàm số y = x + 3x có đồ thị ( C ) Hệ số góc k tiếp tuyến với đồ thị ( C ) điểm có tung độ là: A k = B k = −2 C k = Câu (GKI THPT Việt Đức Hà Nội ) Cho hàm số y = tuyến đồ thị hàm số điểm M ( 1;0 ) là: D k = x −1 Phương trình tiếp x +1 1 1 1 x− B y = x − C y = x + D y = x − 2 2 2 Câu (Chuyên Lê Thánh Tơng) Tìm m để tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x3 − mx + ( 2m − 3) x − có hệ số góc dương A y = A m ≠ B m > C m ≠ D m ∈∅ 1− x Câu (THCS - THPT Nguyễn Khuyến) Tiếp tuyến đồ thị ( C ) : y = x +1 điểm có tung độ song song với đường thẳng A ( d ) : y = x − B ( d ) : y = − x + C ( d ) : y = x − D ( d ) : y = −2 x + Câu (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội) Cho hàm số y = x + 2cos x có đồ thị ( C ) Hoành độ điểm ( C ) mà tiếp tuyến ( C ) song song trùng với trục hoành π π A x = + kπ ( k ∈ ¢ ) B x = + kπ ( k ∈ ¢ ) C x = π + kπ ( k ∈ ¢ ) D x = k 2π ( k ∈ ¢ ) Câu (Chuyên Hưng Yên 2019) Tiếp tuyến điểm cực tiểu đồ thị hàm số y = x − x + 3x − A Có hệ số góc −1 B Song song với trục hồnh C Có hệ số góc dương D Song song với đường thẳng x = Câu (THPT Yên Phong Bắc Ninh 2019) Tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = − x + x + điểm cực tiểu đồ thị cắt đồ thị A, B khác tiếp điểm Tính độ dài đoạn thẳng AB A B C 2 D 14 Câu 10 Tìm tất giá trị tham số m cho tiệm cận ngang đồ thị mx − hàm số y = tiếp xúc với parabol y = x + x − m +1 A m = B m = C m = D m∈ ¡ −x + có đồ thị (C) điểm x− A(a;1) Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số a để có tiếp tuyến (C) qua A Tổng tất giá trị phần tử S Câu 11 (Đề Tham Khảo 2018) Cho hàm số y = D 2 Câu 12 (Mã 102 2018) Cho hàm số y = x − x có đồ thị ( C ) Có điểm A thuộc đồ thị ( C ) cho tiếp tuyến ( C ) A cắt ( C ) hai điểm phân biệt M ( x1; y1 ) ; N ( x2 ; y2 ) ( M , N khác A ) thỏa mãn y1 − y2 = ( x1 − x2 ) A B A B C C D x+b , ( ab ≠ −2 ) Biết ax − a , b giá trị thỏa mãn tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm A ( 1; −2 ) song song với đường thẳng d : 3x + y − = Khi giá trị a − 3b A −2 B C −1 D x −1 Câu 14 (THPT Gang Thép Thái Nguyên) Cho hàm số y = , gọi d tiếp x+2 tuyến đồ thị hàm số điểm có hoành độ m − Biết đường thẳng d cắt tiệm cận đứng đồ thị hàm số điểm A ( x1 ; y1 ) cắt tiệm cận ngang đồ thị hàm số điểm B ( x2 ; y2 ) Gọi S tập hợp số m cho x2 + y1 = −5 Tính tổng bình phương phần tử S Câu 13 (Chuyên Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y = A 10 B C D x+2 Câu 15 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên) Cho hàm số y = ( 1) Đường 2x + thẳng d : y = ax + b tiếp tuyến đồ thị hàm số ( 1) Biết d cắt trục hoành, trục tung hai điểm A,B cho ∆OAB cân O Khi a + b A -1 B C D -3 15 Câu 16 (Cụm Liên Trường Hải Phòng) Cho hàm số ax + b y = f ( x) = ,( a, b, c, d Ỵ ¡ ; c ¹ 0, d ¹ 0) có đồ cx + d thị ( C ) Đồ thị hàm số y = f ¢( x ) hình vẽ Biết ( C ) cắt trục tung điểm có tung độ - Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) giao điểm ( C ) với trục hoành A x - y + = C x + y + = B x + y - = D x - y - = Câu 17 (Chuyên Vĩnh Phúc) Gọi M , N hai điểm di động đồ thị ( C ) hàm số y =- x + 3x - x + cho tiếp tuyến ( C ) M N song song với Hỏi M , N thay đổi, đường thẳng MN qua điểm điểm đây? A Điểm N ( - 1;- 5) B Điểm M ( 1;- 5) C Điểm Q ( 1;5) D Điểm P ( - 1;5) x+2 đồ thị ( C ) Gọi d khoảng cách từ giao điểm x +1 hai tiệm cận đồ thị ( C ) đến tiếp tuyến ( C ) Giá trị lớn d đạt Câu 18 Cho hàm số y = A 3 B C D 2 Câu 19 (HSG Bắc Ninh 2019) Có giá trị tham số thực m để đồ x − 2mx + m thị hàm số y = cắt trục Ox hai điểm phân biệt tiếp x+m tuyến đồ thị hai điểm vng góc với A B C D 1 Câu 20 Cho hàm số y = x − x có đồ thị ( C ) Có điểm A thuộc ( C ) cho tiếp tyến (C ) A cắt ( C ) hai điểm phân biệt M ( x1; y1 ) , N ( x2 ; y2 ) ( M , N khác A ) thỏa mãn y1 − y2 = 5( x1 − x2 ) A B C D x+2 ( 1) Đường Câu 21 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên) Cho hàm số y = 2x + thẳng d : y = ax + b tiếp tuyến đồ thị hàm số ( 1) Biết d cắt trục hoành, trục tung hai điểm A,B cho ∆OAB cân O Khi a + b bằng: 16 D −3 Câu 22 (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương) Cho hàm số y = x − x + ( C ) 2 Xét hai điểm A ( a; y A ) B ( b; yB ) phân biệt đồ thị ( C ) mà tiếp tuyến A B song song Biết đường thẳng AB qua D ( 5;3) Phương trình AB A x − y − = B x + y − = C x − y + = D x − y + = A −1 B C x+3 có đồ x −1 thị ( C ) , điểm M thay đổi thuộc đường thẳng d : y = − x cho qua M có hai tiếp tuyến ( C ) với hai tiếp điểm tương ứng A, B Biết đường thẳng AB qua điểm cố định H Tính độ dài đường thẳng OH Câu 23 (THPT Ngơ Quyền - Ba Vì - Hải Phịng) Cho hàm số y = A 34 B 10 C 29 D 58 Câu 24 (Chuyên Thái Bình - 2019) Cho hàm số f ( x ) = x + 3x + mx + Gọi S tổng tất giá trị tham số m để đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt đường thẳng y = ba điểm phân biệt A ( 0;1) , B , C cho tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x ) B , C vng góc với Giá trị S 11 9 B C D 5 Câu 25 (Chuyên Hà Tĩnh 2019) Cho hàm số y = f ( x ) , y = g ( x ) , f ( x) + y= Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số cho g ( x) +1 điểm có hồnh độ x = khác Khẳng định đúng? 11 11 A f ( 1) > −3 B f ( 1) < −3 C f ( 1) ≤ − D f ( 1) ≥ − 4 Câu 26 (Sở Nam Định) Cho hàm số y = f ( x ) , biết điểm A, B, C đồ thị hàm số y = f ( x ) có tiếp tuyến thể hình vẽ bên Mệnh đề đúng? A f ′ ( xC ) < f ′ ( x A ) < f ′ ( xB ) A B f ′ ( x A ) < f ′ ( xB ) < f ′ ( xC ) C f ′ ( x A ) < f ′ ( xC ) < f ′ ( xB ) D f ′ ( xB ) < f ′ ( x A ) < f ′ ( xC ) 17 Câu 27 Cho hàm số y = x − ( m + 3) x + ( C ) Tìm tất giá trị m thỏa mãn qua A ( −1; −1) kẻ hai tiếp tuyến đến ( C ) ∆1 : y = −1 ∆ tiếp xúc với ( C ) N cắt ( C ) điểm P ( P ≠ N ) có hồnh độ x = A Không tồn m B m = C m = ; m = −2 D m = −2 Câu 28 Cho hàm số y = x3 + x + có đồ thị ( C ) điểm A ( 1; m ) Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên tham số m để qua A kể ba tiếp tuyến tới đồ thị ( C ) Số phần tử S là: A B C D 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Qua tiết tự chọn sử dụng giải pháp SKKN cho thấy: Học sinh chủ động xây dựng kiến thức, phát chiếm lĩnh đơn vị kiến thức bài, điều đáng kể em hiểu mà nhận biết dạng hướng giải tốn, khả giải hồn chỉnh tốn cao Thơng qua hoạt động học sinh bị hút vào công việc học tập, tạo cho học sinh lịng ham học, kích thích tính tích cực chủ động sáng tạo, khơi dậy khả tiềm ẩn học sinh Việc sử dụng phương pháp phương tiện dạy học hợp lí tăng tính tích cực, chủ động sáng tạo, tạo niềm tin vào khả học sinh Sau thời gian thực nghiệm học sinh cảm thấy u thích mơn tốn hơn, đặc biệt việc tìm tịi phương pháp giải nhanh toán trắc nghiệm 2.4.1 Về mặt định lượng Đối với lớp 11A8 cho em sử dụng phương pháp tự ln thơng thường để tìm đáp án, cịn lớp 11A4 tơi hướng dẫn sử dụng phương pháp để giải Kết khảo sát: Lớp 11A8 (45 học sinh) Số học sinh đạt 10 điểm Số học sinh đạt từ 8- 9,5 điểm Số học sinh đạt từ 6,5-7,5 điểm Số học sinh đạt từ 5-6 điểm Số học sinh điểm 11 22 10 18 Lớp 11A4 (48 học sinh) Số học sinh đạt 10 điểm Số học sinh đạt từ 8- 9,5 điểm Số học sinh đạt từ 6,5-7,5 điểm Số học sinh đạt từ 5-6 điểm Số học sinh điểm 14 24 2.4.2 Về mặt định tính Tác giả thăm dị ý kiến học sinh giáo viên dự sau tiết giảng thực nghiệm sau: - Các em học sinh hỏi ý kiến cho biết giảng vừa dễ hiểu vừa dễ nhớ tỏ hứng thú học tập Ngồi ra, cịn rèn luyện cho em kĩ tự lập suy nghĩ giải vấn đề học tập - Các giáo viên đánh giá cao hiệu giảng III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Trải qua thực tiễn giảng dạy, nội dung giảng liên quan đến đề tài có tham gia góp ý đồng nghiệp, vận dụng đề tài vào giảng dạy thu số kết định sau: + Lời giải ngắn ngọn, logic tiết kiệm thời gian làm + Tính tốn đơn giản, bước trung gian dễ gây nhầm lẫn sai sót + Áp dụng với nhiều dạng toán tiếp tuyến đồ thị hàm số 19 + Học sinh trung bình trở lên nắm vững số phương pháp biết vận dụng dạng tìm lời giải + Học sinh khá, giỏi sử dụng phương pháp trình bày nhiều dạng tốn khác để tìm đáp án Ngồi ra, bổ sung cho học sinh kiến thức: + Về phương trình tiếp tuyến kiến thức liên qua + Ý nghĩa hình học việc nắm vững tính chất đồ thị hàm số + Về việc sử dụng hiệu máy tính cầm tay hỗ trợ giải tốn Sau phần tiếp tuyến, tơi tiếp tục nghiên cứu để áp dụng SKKN tốn phần khác chương trình toán THPT 3.2 Kiến nghị Với nhà trường: Tạo diễn đàn trao đổi kinh nghiệm giải tốn tìm nhanh đáp án toán trắc nghiệm vào buổi học tự chọn hoạt động ngoại khóa để học sinh tham gia chia sẻ học hỏi lẫn Với sở GD-ĐT: Dù trường THPT Sầm Sơn SKKN hay tổ chuyên môn trao đổi chia sẻ để áp dụng vào giảng dạy Tuy nhiên chúng tơi mong muốn sở GD-ĐT có thêm nhiều buổi sinh hoạt chuyên đề ứng dụng thành công SKKN trường tỉnh để chúng tơi có hội trao đổi học tập lẫn nhau, nâng cao chất lượng giáo dục toàn tỉnh Mặc dù nỗ lực, cố gắng song q trình làm việc chắn khơng tránh khỏi thiếu sót hình thức nội dung Tác giả mong Hội đồng xét duyệt đóng góp thêm ý kiến để SKKN hồn thiện Xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN Thanh Hóa, ngày 16 tháng 05 năm 2021 CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ HIỆU TRƯỞNG Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Trịnh Ngọc Long Dương Quốc Nam 20 21 TÀI LIỆU THAM KHẢO ********* [1] Đại số giải tích nâng cao 11, Đoàn Quỳnh, NXB Giáo dục, 2011 [2] Giải tích 12 nâng cao, Đồn Quỳnh, NXB Giáo dục, 2011 [3] Báo Thanh niên - Ngày 10.9.2016 [4] Các phương pháp tìm nhanh đáp án tập trắc nghiệm mơn tốn, Lê Hồng Đức, NXB ĐHQG Hà Nội, 2017 [5] Cao Văn Tuấn, GV Luyện thi Hà nội - “Rèn luyện kĩ giải trắc nghiệm toán, chuyên đề hàm số” tài liệu luyện thi 2020 [6] Nhóm Strong toán Vận dụng, vận dụng cao [7] Tham khảo số tài liệu mạng internet - Nguồn: https://www.facebook.com/groups/738612776292680 - Nguồn: https://toanmath.com/ 22 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SKKN NGÀNH GD VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Dương Quốc Nam Chức vụ đơn vị cơng tác: Thư kí hội đồng, trường THPT Sầm Sơn, Thành phố Sầm Sơn, Tỉnh Thanh Hóa TT Tên đề tài SKKN Tính hữu dụng cơng thức tính diện tích tam giác giải số dạng tốn hình học Thay đổi số chiều hệ trục tọa độ Đề-Các giúp giải nhanh số toán diện tích cực trị hình học Vận dụng phương pháp chuẩn hóa để chứng minh bất đẳng thức bồi dưỡng học sinh khá, giỏi Một số phương pháp giải toán cực trị hàm số Sử dụng phương pháp đặc biệt hóa để tìm nhanh đáp án số toán trắc nghiệm Cấp đánh giá xếp loại Kết đánh giá xếp loại Năm học đánh giá xếp loại Ngành GD tỉnh Thanh Hóa C 2009 -2010 Ngành GD tỉnh Thanh Hóa C 2011 -2012 Ngành GD tỉnh Thanh Hóa B 2013 -2014 Ngành GD tỉnh Thanh Hóa C 2015 -2016 Ngành GD tỉnh Thanh Hóa B 2017 -2018 23 ... kinh nghiệm: ? ?Hướng dẫn học sinh số phương pháp tìm nhanh đáp án trắc nghiệm tốn liên quan đến tiếp tuyến đồ thị hàm số? ?? 1.2 Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu SKKN rèn lực giải toán tiếp tuyến. .. tượng nghiên cứu + Một số dạng toán tiếp tuyến thường gặp cách giải + Các phương pháp tìm nhanh đáp án trắc nghiệm toán tiếp tuyến: - Lời giải tự luận - Lựa chọn đáp án trắc nghiệm phép thử -... khá, giỏi Một số phương pháp giải toán cực trị hàm số Sử dụng phương pháp đặc biệt hóa để tìm nhanh đáp án số toán trắc nghiệm Cấp đánh giá xếp loại Kết đánh giá xếp loại Năm học đánh giá xếp